CHAPITRE IICALCUL DES PORTIQUES PAR LA MTHODE DES DPLACEMENTSHEI 4 BTPHautes Etudes dIngnieur13, rue de Toul59046 Lille Cedex

I. DfinitionsUn portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent un plan (Oxy) et qui sont charges dans ce plan. Le point dassemblage de plusieurs poutres sappelle un nud.Les poutres sont considres comme encastres aux nuds, on dit ainsi que les nuds sont rigides.II. Conventions de signes sur les lments poutresII.1 Dplacements des nuds En un nud i dune poutre, le dplacement di 3 composantes (ou 3 degrs de libert)

II. Conventions de signes sur les lments poutresII.3 Forces extrieures II.2 Elments de rduction Chaque section droite est sollicite par un effort normal N, un effort tranchant T et un moment flchissant . Dans les sections extrmes, les sens positifs sont les suivants:

III. Dfinition des vecteurs force et dplacement nodauxPour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et dplacement {d} scriront:Notre objectif est dtablir la relation de rigidit dun lment poutre, cest--dire:

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre localMatrice de rigidit due aux efforts selon x* (cf chapitre prcdent)Soit:

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localb) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*On impose une rotation q1 au nud 1 en bloquant les autres dplacementsLe moment M1 ncessaire pour produire q1 est (p 21) :SMt/1=0 M1+M2+Y2L=0 De plus, on a Y1+Y2=0 Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0Il produit un moment M2 au nud 2 :

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localb) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*De mme, on impose une rotation q2 au nud 2 en bloquant les autres dplacementsLe moment M2 ncessaire pour produire q2 est :SMt/2=0 M1+M2-Y1L=0 De plus, on a Y1+Y2=0 Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0Il produit un moment M1 au nud 1 :

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localb) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*En superposant les deux cas, on obtient:

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localc) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*On impose un dplacement v1 au nud 1 et on bloque tous les autres dplacementsNous avons des moments (2.4 p 23)SMt/2=0 M1+M2-Y1L=0 De plus, on a Y1+Y2=0 Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localc) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*De mme, on impose un dplacement v2 au nud 2 et on bloque tous les autres dplacementsNous avons des moments SMt/1=0 M1+M2+Y2L=0 De plus, on a Y1+Y2=0 Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localc) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*En superposant les deux cas, on obtient:

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localConclusion : La matrice de rigidit de llment poutre en repre local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre localCas particuliers : La poutre est rigide-articule ou articule-rigide (p 63-65)

IV.2 En repre globalLa matrice de rotation est la suivante:Au nud 1 (par exemple), nous avons les relations:

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre globalPour la poutre 1-2, on peut donc crire :De mme, on a :En repre local, la relation de rigidit scrit :On cherche tablir la relation de rigidit en repre global, soit :

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaire IV.1 En repre globalOn a la relation de rigidit en repre local :et :De plus :La relation de rigidit en repre global scrit :Ou encore :Comme on a :

V. Transformation des chargements en forces nodalesLa relation {F}=[Ke].{d} quon doit rsoudre nest valable que lorsque les forces {F} sont appliques aux nuds.Une charge rpartie ou concentre (en trave) doit donc tre dcompose en forces nodales appeles forces de blocage.On cherche donc dterminer Yi et Yj qui correspondent aux ractions des nuds au chargement considr (p 71 75).

VI. Equation dquilibre dun lment poutreLes quations dquilibre dun lment poutre charg entre les nuds scriront:O fi et fj sont les systmes de forces extrieures qui sollicitent directement les nuds i et j :

VII. Effet thermique sur les poutresLes expressions en repre local des forces de blocage sont les suivantes :La relation de rigidit avec effet thermique dans les poutres s'crit alors :

VIII. Tableau de localisation

eijEA/L12EI/L36EI/L24EI/Ljlm..........