calcul en logique du premier ordre...concepts, les objets et les méthodes propres à la logique...

YVES BOUCHARD

Calcul en logique du premier ordre

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YVES BOUCHARD


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Conception graphique Michèle Blondeau

Mise en pages Yves Bouchard

Dépôt légal : 1er trimestre 2015 › Bibliothèque et Archives nationales du Québec › Bibliothèque et Archives Canada

© 2015 – Presses de l’Université du Québec Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés

Imprimé au Canada

Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec et Bibliothèque et Archives Canada

Bouchard, Yves, 1963-


Comprend des références bibliographiques et un index.

ISBN 978-2-7605-4209-9

1. Logique du premier ordre. 2. Calcul propositionnel. I. Titre.

BC128.B68 2015 160 C2014-942383-7

À Ghislaine et Guillaume

Avant-propos

Cet ouvrage présente le contenu relatif à deux outils de calcul en logiquedes prédicats du premier ordre, soit le calcul en arbres de consistance etle calcul en déduction naturelle. Dans la première partie, on retrouve lesconcepts, les objets et les méthodes propres à la logique propositionnelle(chapitres 1 à 3). L’approche de cette partie est centrée sur la notion destructure propositionnelle. Dans la deuxième partie, la logique proposition-nelle est étendue à la logique prédicative au moyen de la quantification etde concepts caractéristiques d’un langage du premier ordre (chapitre 4). Lesdeux outils de calcul sont enrichis de manière à pouvoir traiter des fonctionspropositionnelles (chapitre 5 et 6), à savoir des prédicats du premier ordre.Les exemples et les exercices utilisés dans chaque chapitre répondent biensûr au besoin d’illustration mais surtout aux impératifs liés à la progressiondans les développements plus techniques.

Tout au long de la préparation de cet ouvrage, j’ai pu bénéficier de l’aideet de l’appui de plusieurs collègues. Je tiens en particulier à remercier SergeRobert et André Mayers pour leurs suggestions de corrections qui m’ontpermis de réduire les défauts dans ma présentation. Je remercie égalementBenoît Côté et Gilles Beauchamp pour leur aide, notamment dans la révisiondes exercices et dans l’exploration de voies inédites.

En ce qui concerne la typographie LATEX, les arbres de consistance ontété réalisés à l’aide de la librairie de commandes pst-tree développée parTimothy Van Zandt et Herbert Voß, et les déductions naturelles, au moyende la librairie fitch programmée par Peter Selinger.

Enfin, j’aimerais inviter le lecteur attentif à me communiquer toute erreurqui a pu échapper à mon attention ([email protected]).

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Table des matières

Avant-propos ix

Introduction 1

I Logique propositionnelle 9

1 Les connecteurs logiques 11

1.1 Objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Propriétés des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Définitions des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Relations entre les connecteurs . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Traduction de la langue naturelle . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.1 Tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.2 Calcul par réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.3 Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Les arbres de consistance I 45

2.1 Forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.2 Ensemble d’énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.3 Inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Objets et méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

xii TABLE DES MATIÈRES

2.5 Sommaire des règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


3 La déduction naturelle I 105

3.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2 Règles d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3 Règles d’élimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116



II Logique prédicative 159

4 La quantification 161

4.1 Prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.1.1 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2 Quantificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.2.1 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.2.2 Instanciation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.3 Traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.4 Propriétés des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5 Langage du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.5.1 Point de vue syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.5.2 Point de vue sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


5 Les arbres de consistance II 193

5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.1.1 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.1.2 Règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.3 Objets et méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.4 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208



TABLE DES MATIÈRES xiii

6 La déduction naturelle II 237

6.1 Règles d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2 Règles d’élimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.3 Règles définitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.4 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245



Bibliographie 279

Index 285

Introduction

Given a number of premises, logic does

not tell us what conclusions we ought to

draw from them ; it merely tells us what

conclusions we may draw from them – if

we wish and if we are clever enough.

Hintikka, 1962

Un calcul logique, au sens large, est une méthode de résolution appliquéeau traitement d’une structure propositionnelle. Une structure proposition-nelle doit présenter certaines propriétés afin de pouvoir faire l’objet d’uncalcul et les propositions constituant cette structure peuvent aussi bien êtredes expressions d’une langue naturelle (comme le français) que des expres-sions d’un langage formalisé (comme l’arithmétique). Le rapport structurelentre ces propositions fait en sorte d’établir entre elles une forme de dépen-dance assimilable à celle d’une fonction. Ainsi, la notion de calcul en logiqueest-elle tributaire de deux notions fondamentales, celle de structure proposi-tionnelle et celle de fonction propositionnelle. Ces notions sont elles-mêmesissues de développements dont l’histoire passe principalement par Aristote,Boole et Frege.

Aristote

Aristote a le mérite d’avoir préparé la voie à la notion de calcul en met-tant en lumière les propriétés logiques de certaines structures proposition-nelles dans ses Premiers analytiques. Pour Aristote, une proposition (ou unjugement) est une relation logique entre deux termes, le sujet et le prédicat(le verbe canonique étant la copule), et les propositions formant les schémasinférentiels de base sont réduites à quatre formes, selon que la proposition

2 Introduction

est affirmative ou non (aspect qualitatif) et universelle ou non (aspect quan-titatif). On utilise habituellement le carré d’Apulée, appelé aussi le carré desoppositions, pour représenter ces formes :

A

Tous les X sont Y

E

Aucun X n’est Y

I

Quelques X sont Y

O

Quelques X ne sont pas Y

contrariété

subalternatio

ncontradiction

subalternatio

n

contradiction

sous-contrariété

Dans ce carré, chaque type de propositions entretient des rapports infé-rentiels avec les autres types. Par exemple, la vérité d’une proposition A

implique la fausseté de la proposition E (sa contraire), et la vérité d’uneproposition O implique la fausseté de la proposition A (sa contradictoire).De tels rapports logiques sont dits immédiats, puisqu’une seule propositionsuffit à en inférer une autre. Lorsqu’une proposition est inférée à partirde deux propositions, la structure devient celle d’un syllogisme. La spécifi-cité de la conclusion d’un syllogisme est de mettre en rapport deux termes(les termes extrêmes) par le biais d’un troisième (le moyen terme). L’unedes contributions majeures d’Aristote réside dans la reconnaissance qu’unestructure comme celle d’un syllogisme garantit la vérité de la conclusion,étant donnée la vérité des prémisses, suivant certains arrangements des troistermes (figure) selon la quantité et la qualité (mode). Par exemple, dans lesyllogisme

Tous les êtres humains sont mortels.

Tous les hommes sont des êtres humains.

Donc, tous les hommes sont mortels.

le moyen terme (le terme commun aux deux prémisses) est être humain, legrand terme (l’extrême de la majeure et le prédicat de la conclusion) estmortel et le petit terme (l’extrême de la mineure et le sujet de la conclu-sion) est homme. Du point de vue de la qualité et de la quantité, les troispropositions sont affirmatives et universelles (type A). En utilisant M , Tet t pour désigner respectivement le moyen, le grand et le petit termes, onobtient la configuration :

Introduction 3

Majeure M T A

Mineure t M A

Conclusion t T A

La liaison opérée par le moyen terme dans ce syllogisme assure logiquementla vérité de la conclusion, puisque la classe des hommes est incluse dans laclasses des êtres humains qui est elle-même incluse dans la classe des mortels.Aristote a initialement identifié quatorze structures inférentielles valides sousforme syllogistique catégorique qui sont classifiées selon la position du moyenterme dans les prémisses et la qualité/quantité des propositions (1947, I 4-6).Ce cadre d’analyse logique élaboré par Aristote va traverser le moyen âge etl’époque moderne pour perdurer jusqu’au xixe siècle, tout en faisant l’objetde raffinements successifs notamment de la part des logiciens médiévaux 1.

Boole

La notion de calcul logique proprement dite, bien qu’envisagée par Leib-niz, ne trouve sa véritable première réalisation qu’avec l’algèbre de Boole(1847, 1848, 1854) 2. L’idée ingénieuse de Boole consistait à représenter sym-boliquement les quatre schémas de proposition de la syllogistique aristotéli-cienne afin de traiter les relations inférentielles au moyen d’une algèbre. PourBoole, les termes mis en relation dans une proposition sont conçus commedes membres de classes et les propositions comme des résultats d’opérationsur des classes. Une proposition est considérée comme une fonction de sé-lection (elective function) des objets du domaine de référence. Les fonctionsde sélection qui correspondent aux schémas aristotéliciens sont

Proposition Fonction

Tous les X sont Y (A) xp1 ´ yq “ 0

Aucun X n’est Y (E) xy “ 0

Quelques X sont Y (I) v “ xy

Quelques X ne sont pas Y (O) v “ xp1 ´ yq

où x, y et v sont des classes, et 1´x et 1´y sont des compléments de classe.Dans cette algèbre, les opérations définies sont l’addition et la multiplicationavec leurs propriétés (commutativité et distributivité). De plus, l’algèbre deBoole satisfait l’équation xn “ x (idempotence de la multiplication), étant

1. Pour une présentation de la syllogistique aristotélicienne, on consultera entre autresŁukasiewicz (1957, 2010), Bocheński (1961), Kneale et Kneale (1962), Robert (1978), Blais(1985) ainsi que Parry et Hacker (1991).

2. De Morgan a aussi publié en 1847 un traité de logique intitulé Formal Logic : Or,

the Calculus of Inference, Necessary and Probable, mais la notion de calcul y est davantageexploitée dans l’exposition des probabilités que dans l’analyse de la syllogistique.

4 Introduction

donné que les seules valeurs du domaine sont t0, 1u. Pour vérifier la vali-dité d’un syllogisme, on traite symboliquement les fonctions de sélection desdeux prémisses (majeure et mineure) de manière à obtenir par réduction lafonction de sélection de la conclusion. Par exemple, la validité du syllogisme

Tous les Y sont X .

Tous les Z sont Y .

Donc, tous les Z sont X .

peut être démontrée au moyen du calcul booléen suivant :

1. yp1´ xq “ 0 prémisse (majeure)2. zp1´ yq “ 0 prémisse (mineure)3. y “ yx par algèbre, 14. z “ zy par algèbre, 25. z “ zyx par substitution yx{y, 3 et 46. zy “ zy2x par multiplication, 57. zy “ zyx par idempotence, 68. z “ zx par division, 79. zp1´ xq “ 0 par algèbre, 8

La fonction de sélection zp1 ´ xq “ 0 (ligne 9) signifie que tous les Z sontX, ce qui correspond à la conclusion du syllogisme.

L’une des conséquences de ce type de calcul est qu’il nous permet desortir du cadre rigide du syllogisme, selon lequel les trois termes sont répar-tis dans deux prémisses, et de traiter un ensemble de prémisses comme unsystème d’équations. Grâce au théorème d’expansion de Boole (1848, 1854),stipulant que toute fonction de sélection à n variables (soit n classes) peutêtre développée dans une expression constituée d’une somme de produits den facteurs, la notion de fonction autorise désormais une généralisation sur lastructure propositionnelle. Il s’agit là d’un progrès tout à fait remarquable,qui a donné une impulsion nouvelle, avec les travaux de Frege, au dévelop-pement de la logique cantonnée jusque-là aux limites du cadre aristotélicien.

Frege

Frege, quant à lui, est à l’origine d’un nouvel effort d’abstraction qui vaprocurer à la logique les ressources suffisantes pour opérer définitivementson déploiement formel. À cet égard, on ne peut manquer d’être étonné enconstatant que d’un point de vue strictement chronologique, Frege se pré-sente comme le point de rencontre de deux axes historiques dont l’évolutionest relativement indépendante et qui trouvent tous deux leur point de départau ive siècle avant notre ère avec, d’un côté, les Premiers analytiques d’Aris-tote et, de l’autre, les Éléments d’Euclide (présentation axiomatique de la

Introduction 5

géométrie). C’est en 1879 que Frege publie la Begriffsschrift (idéographie),la toute première axiomatisation de la logique.

L’idéographie de Frege est une nouvelle forme de langage destinée àrendre explicite d’un point de vue symbolique (et graphique) les enchaîne-ments inférentiels des raisonnements logiques 3. Pour ce faire, il développeun graphisme original pour exprimer les rapports de conditionnalité. À labase de ce graphisme, on retrouve l’assemblage d’un trait horizontal poursignifier le contenu d’un jugement (proposition) et d’un trait vertical pourdésigner l’assertion de ce contenu. Par exemple, pour référer au contenu del’expression 1` 1 “ 2, on écrit

1` 1 “ 2

et pour asserter ce même contenu, on le préfixe d’un trait vertical :

1` 1 “ 2.

Seule une assertion peut avoir une valeur de vérité. La négation d’une ex-pression est réalisée à l’aide d’un trait vertical sous le trait de contenu. Pouraffimer la négation de l’expression 2` 2 “ 5, on écrit

2` 2 “ 5.

Pour exprimer un lien de conditionnalité entre deux expressions, on assertela dépendance des contenus en liant deux traits de contenu par un traitvertical :

x2 “ 4

x` 2 “ 4,

ce qui signifie que les conditions de vérité de x2 “ 4 dépendent des conditionsde vérité de x` 2 “ 4 de manière telle que si x` 2 “ 4 alors x2 “ 4.

La présentation axiomatique de la logique développée par Frege dansl’idéographie s’exprime dans ce symbolisme qui permet d’identifier aisémentles relations d’implication et les relations d’équivalence. Par exemple, à partirde la prémisse que si A implique B alors A implique C et de la prémisse queA implique B, on peut tirer la conclusion que A implique C :

3. La clarté et l’expressivité sont pour Frege des propriétés essentielles du symbolisme.L’indéniable avantage notationnel de Leibniz sur Newton en regard du calcul infinitésimaltémoigne de manière éloquente de l’importance de ces propriétés. Par contre, le langageformulaire de Frege ne connaîtra pas une telle postérité.

6 Introduction

C

A

B

A

B

A

C

A

La verticalité du graphisme symbolise de cette manière la conditionnalité,ce qui facilite le repérage des enchaînements logiques.

Frege a insisté fortement sur les caractéristiques de son langage formu-laire, qu’il conçoit comme un langage au sens fort du terme plutôt quecomme un simple outil de calcul : « Je n’ai pas voulu créer seulement uncalculus ratiocinator mais une lingua characterica au sens de Leibniz, étantbien entendu que le calcul de la déduction est à mon sens partie obligéed’une idéographie » ([1882] 1971, 71). Il reprocha même à Boole, sans douteavec trop de sévérité, d’avoir cherché avec son calcul à « habiller la logiqueabstraite du vêtement des signes algébriques » ([1882] 1971, 73) 4.

Parmi les innovations que l’on retrouve dans l’idéographie de Frege, enplus de son aspect axiomatique, deux éléments en particulier auront unimpact important sur le développement de la logique. Le premier élémentconcerne la distinction rigoureuse et fondamentale que Frege établit entrela notion de fonction et la notion d’argument. Ce sont ces deux notionscomplémentaires qui sont appelées à être substituées aux notions logiquestraditionnelles de prédicat et de sujet. Dans la préface de l’idéographie, Fregeécrit : « Je crois que le remplacement des concepts de sujet et de prédicat parargument et fonction fera ses preuves à la longue » ([1879] 1999, 9). C’estbien ce qui s’est produit. Le prédicat logique sera dorénavant entendu ausens d’une fonction propositionnelle.

L’autre élément, qui est en lien avec le premier, est une théorie de laquantification. Avec son idéographie, Frege fournit les moyens de représen-ter la généralité de même que sa négation (ce qu’on appelle aujourd’huiles quantificateurs). On peut dès lors exprimer formellement la généralitédes variables constitutives des fonctions. Pour désigner de manière généraletoutes les valeurs que peut prendre une fonction fpxq, on écrit :

4. Le caractère de calculabilité de la logique rendu manifeste par l’algèbre n’est pasqu’un aspect ornemental pour Boole, il est plutôt de l’ordre d’une loi de la pensée (1854,1 §10).

Introduction 7

x fpxq.Cette expression signifie que pour tous les x, fpxq. La concavité dans le traitde contenu sert à délimiter la portée de la généralité. Quant à la négationde la généralité,

x fpxq,elle signifie qu’il existe au moins un x tel que non fpxq. La théorie de laquantification de Frege dans l’idéographie, bien qu’elle présente un certainnombre de difficultés propres, demeure néanmoins la première en date quiait été formulée explicitement.

Ainsi, comme on peut le voir à partir d’Aristote, de Boole et de Frege,l’itinéraire des notions de structure et de fonction à la base de la notionde calcul logique se présente-t-il de manière assez linéaire mais discontinuedans le temps. L’important est d’apprécier les différentes étapes du progrèsdans l’abstraction logique et les avancées théoriques qui en résultent.


Yves Bouchard est professeur d’épistémologie et de logique au Département de philosophie et d’éthique appliquée de l’Université de Sherbrooke. Il est président-fondateur de la Société canadienne d’épistémologie.

Un calcul logique, au sens large, est une méthode de résolution appliquée au trai-tement d’une structure propositionnelle. Les propositions constituant cette structure peuvent aussi bien être des expressions d’une langue naturelle (comme le français) que des expressions d’un langage formalisé (comme l’arithmétique), liées entre elles par une dépendance de nature fonctionnelle.

Cet ouvrage constitue une introduction à deux outils de calcul en logique du premier ordre, soit le calcul en arbres de consistance et le calcul en déduction natu-relle. La première partie, centrée sur la notion de structure propositionnelle, expose les concepts, les objets et les méthodes propres à la logique propositionnelle. Dans la deuxième partie, la logique propositionnelle est étendue à la logique prédicative au moyen de la quantifi cation et de concepts caractéristiques d’un langage du premier ordre. Les deux outils de calcul sont ensuite enrichis de manière à pouvoir traiter des fonctions propositionnelles, soit des prédicats du premier ordre.

De nombreux exemples et exercices, accompagnés de leurs solutions, aideront l’étudiant à progresser vers des calculs toujours plus complexes et à raffi ner ses méthodes de calcul logique.

PUQ.CA

ISBN 978-2-7605-4209-9

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