calcul fondations

CONSTRUCTIONS CIVILES B3ConservatoireNationalDes arts et métiers Michel BERTHAUD / Alain DUVIVIER

CNAM de Basse-NormandieReproduction et diffusion interdites sans l’accord de l’auteur 1/12

Séquence 2

CALCUL DES FONDATIONS - SEMELLES

IDEES DEVELOPPEES

RETOUR AU PLAN GENERAL

ETUDES DE CASEXEMPLES DECALCUL

IDEES PRINCIPALES


Séquence 2 - CALCUL DES FONDATIONS - Semelles 2/12

OBJECTIFS: Il s'agit de déterminer les fondations superficielles par semelles filantes ou isolées

dans les cas courants.

PLAN DE L'ETUDE: I) LES FONDATIONS SUPERFICIELLES

II) DESCENTES DE CHARGES

III) DIMENSIONNEMENT

IV) CALCUL DES ARMATURES

V) SEMELLES AVEC CHARGES EXCENTREES

VI) DESSIN DES FONDATIONS

Séquence 2

IDEES PRINCIPALES

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I) LES FONDATIONS SUPERFICIELLES

a) - définitions -Les fondations superficielles sont définies par opposition aux fondations profondes. Les fondations

profondes sont les fondations par pieux ou par puits: ce sont avant tout des fondations pour lesquelles la

largeur est inférieure au 1/6 de la hauteur d'encastrement, lorsque celle-ci est supérieure à 3 m.

Une fondation qui ne répond pas à ces critères est considérée comme superficielle.

Séquence 2

COURS

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a'

p

p en m

a en m'0

1

2

3

4

5

6

0 5, 1 0, 15, 2 0,

Fondations superficielles

Fondations profondes: se

reporter au DTU 13.2 et aux

normes particulières.



b) - différentes fondations superficielles -Les fondations superficielles se répartissent en deux grandes familles:

les radiers: ils ne sont pas étudiés ici. Ils seront étudiés par la suite.

les semelles: Ce sont de simples élargissements de la base d'un mur ou d'un poteau pour

répartir la charge correspondante sur une surface de sol suffisante.

c) - différentes formes de semelles -On distingue deux familles de semelles, en prenant en compte leur largeur.

les semelles rigides :

• pour terrain courant homogène

• charge moyenne

• calcul par la méthode des bielles

• rupture par cisaillement ou poinçonnement de la partie centrale

les semelles larges ou souples :

• pour terrain hétérogène de faible résistance ou pour de fortes charges

• calcul en poutre console

• disposition rare, à éviter

• peuvent être renforcées par :

•• un libage (semelle en T)

•• ou un glacis (semelle trapézoïdale)

a

<3 a

a

proportions courantes Proportions courantes

a

aaa'<3a



>3a

a

a

semelle en T

libage glacis

semelle trapézoïdale

d) - documents de référence –

Précis de Bâtiment (AFNOR/NATHAN)

Maîtrise du BAEL 91 (Perchat et Roux, édité chez EYROLLES)

Norme NF P 06 001 : Charges d'exploitation

Norme NF P 06 004 : Charges permanentes

DTU 13.11 : Fondations superficielles CCT et CCS

DTU 13.12 : Règles pour le calcul des fondations superficielles

DTU 20.11 : Murs enterrés en sous-sol.

BAEL : Article B.9

a

a a'> 3a

libage glacis

Semelle en T Semelle trapézoïdale



II) DESCENTE DE CHARGES

a) - but -On calcule la charge ultime supportée par la semelle.

La neige n'est pas prise en compte.

La combinaison d'actions à considérer est la suivante ( BAEL 99 Art. B.9.2):

N G Qu B= ⋅ + ⋅1 35 150, ,

Lorsque l'action du vent est importante (rarement) on est amené à considérer les combinaisons d'actions

suivantes:

N G Q Wu B= ⋅ + ⋅ +1 35 150, ,

N G W Qu B= ⋅ + ⋅ +1 35 150 1 3 0, , , ψ avec ψ 0 0 77= ,

N G Wu = + ⋅150,

b) - méthodes de calcul -

Il s'agit de "peser" le bâtiment.

1ère méthode: on peut calculer le poids total et admettre qu'il se répartit uniformément sur

la fondation. C'est un cas simple et rarement utilisé.

2ème méthode: on peut modéliser la structure et calculer les actions aux appuis, méthode

complexe qui s'applique bien aux bâtiments ossaturés (avec des portiques).

3ème méthode: C'est la méthode généralement utilisée:

• on découpe le bâtiment en zones représentatives,

• on "descend" les charges sur 1,00 m. de largeur de mur ou sur un poteau sans se

préoccuper de la continuité des éléments sauf de manière forfaitaire pour les poteaux.

On peut appliquer la loi de dégression des charges selon la norme NF P 06 001 (voir annexe 1).



III) DIMENSIONNEMENT DES SEMELLES

a) - contrainte de calcul du sol -La résistance du sol est donnée dans le rapport de sol ou le CCTP par sa contrainte ultime de rupture

qu exprimée en MPa . Dans les cas courants (charge centrée, tassements différentiels faibles) on en déduit

la contrainte de calcul à l'état limite ultime: qq

cu=

2.

Nota 1: certains rapports de sol ne tiennent pas compte du DTU 13.12 publié en Mars 1988 et

fournissent encore la contrainte admissible du sol (appelée aussi taux de travail du sol ou encore

capacité portante du sol) σ S exprimée en MPa ou en bar . Dans ce cas on peut prendre comme

contrainte de calcul: qc S= ⋅1 35, σ

Dans les calculs qc est toujours exprimée en MPa

b) - semelle sous mur (semelle filante) –

D'une manière générale, quelle que soit la forme de la semelle, il y a trois dimensions à déterminer pour

définir la géométrie de la semelle.

Longueur: Une semelle sous un mur, appelée aussi semelle filante, est calculée pour une

longueur de 1,00 mètre.

Largeur: Lorsqu'on connaît la charge apportée par le mur et la contrainte de calcul du sol,

on détermine la largeur de la semelle par une relation du type :

contrainte du soleffort normal

surface≥

soit en considérant une longueur de mur et de semelle de b m' ,= 1 00 : qNa b

Nac

u u≥⋅

=' ' '



soit encore: aNq

u

c'≥ .

• pour Nu en MN et qc en MPa , a' est exprimé en m .

• pour Nu en kN et qc en MPa , a' est exprimé en mm .

On prendra toujours a'≥ 400 mm , c'est la largeur minimale d'un godet.

Hauteur : ( DTU 13.12, Annexes 1 et 2)

• Cas des semelles massives sans armature transversale :

Une semelle continue sous mur peut ne pas comporter d'armature transversale si :

•• le mur transmet à la semelle une charge verticale, uniforme et centrée,

•• h a a≥ −' ou bien h d≥ ⋅2 0

do a do

h

a'

armatures longitudinales

• Cas des semelles rigides :

On appelle semelle rigide une semelle pour laquelle:

( ' )'

a ad a a

−≤ ≤ −

4ou encore

dd d0

022≤ ≤ ⋅

avec en complément des annotations précédentes:

d : hauteur utile

h d− = 30 à 50 mm : enrobage

Nota 2: Quelles que soient les conditions de fissuration, les bureau d'études prévoient généralement

un enrobage de 50 mm . C'est cette valeur que l'on retiendra dans tous nos calculs.

d0

d0a

a'

h armatures longitudinales

avec : a : largeur du voile

a' : largeur de la semelle

d0 : débord de la semelle



semellemassivesans arm.tr.

2d

d/2 a

d

semelle rigide

h

a'

do

• Cas des semelles souples :

Les semelles souples ( d d0 2≥ ⋅ ) ne sont pas étudiées dans ce cours.

c) - semelle sous un poteau –Dimensions horizontales : les dimensions horizontales des semelles sous poteau sont

représentées par les symboles a' et b' avec b a' '≤ .

On calcule la surface de la semelle à partir de la relation: qNS

Na bc

u u≥ =⋅' '

soit S a bNq

u

c= ⋅ ≥' '

Si le poteau est carré ou rond on en déduit a' .

Nota 3: Sous un poteau rond il est plus facile de prévoir une semelle carrée qu'une semelle

circulaire, on prend alors a = ∅ du poteau.

Si le poteau est rectangulaire la semelle peut être :

homothétique ou à débord égal

ba

ba

=''

a a x'= + 2 et b b x'= + 2

a'

a

bb'

a'

a

b b'x

x

a'

b'a

b

ab

d2

b'x

a

x

d0

a'

d h

a' semelle rigide

d2



Les calculs sont conduits en théorie avec des semelles à débords homothétiques (méthode des bielles).

Cependant, dès que la longueur du poteau est supérieure à trois fois sa largeur, la semelle devient

disproportionnée, exagérément longue par rapport à sa largeur. Il est préférable de choisir alors des débords

égaux.

On connaît S , a et b . Il faut calculer a' et b' dans chaque cas :

Dimensions verticalesComme pour une semelle sous mur on doit avoir :

( ' )'

a ad a a

−≤ ≤ −

4mais aussi

( ' )'

b bd b b

−≤ ≤ −

4avec b a' '≤

soit: d Maxa a b b a a

≥− −

=−( ' )

;( ' ) ( ' )

4 4 4 et [ ]d a a b b b b≤ − − = −min ( ' ); ( ' ) ( ' )

soit:( ' )

( ' )a a

d b b−

≤ ≤ −4

On choisit généralement pour d la valeur la plus proche de a , arrondi au multiple de 5 cm supérieur.

La hauteur réelle de la semelle sera : h d cm= + 5Cette hauteur minimale devra être contrôlée et, au besoin, corrigée pour respecter les conditions d'enrobage

supérieur des aciers.

Semelle homothétique Semelle à débord égal(utilisation générale) (utilisation plus rare)

S a b= ⋅' ' S a b= ⋅' 'ba

ba

='' ⇔ a

ab

b' '= et bba

a' '=a a x'= + 2 et b b x'= + 2

Sab

b= ⋅ '2 ⇔ bb S

aba

Nq

u

c'=

⋅= ⋅ S a x b x

Nq

u

c= + ⋅ + =( ) ( )2 2

équation du second degré dont x est l'inconnue et

dont seule la racine positive doit être retenue



d) - vérifications des semelles –

vérification de la contrainte réelle du sol:Les calculs précédents nous ont conduit à des dimensions de semelle pour lesquelles on n'a pas tenu

compte ni du poids propre de la semelle ni du poids propre des terres de remblai. Ces valeurs n'étant pas

négligeables, il convient de vérifier que la contrainte réelle du sol σ sol au niveau de la surface d'appui de

la semelle reste inférieure à la contrainte de calcul qc , soit:

σ sol cq≤

avec σ soluN G G

a b=

+ ⋅ +⋅

1 35 0 1, ( )' '

où G0 est le poids de la semelle

G1 est le poids propre du remblai

condition de non-poinçonnement

• Cas général

Dans le cas de semelles sur sol donnant lieu à des contraintes de sol relativement élevées

(σ sol > 0 6, MPa ) sous l'effet de charges localisées, il faut vérifier le comportement de la semelle vis à vis

du poinçonnement. Cette vérification est inutile si: ha a

≥−'2

On appelle Pu' la charge poinçonnante: Pu

' = [ ]N G Ga ba bu + ⋅ + −

⋅⋅

1 35 10 12 2, ( )' '

La condition de non-poinçonnement s'écrit ( BAEL 99 Art. A.5.2,42):

Pu' ≤ 0 045, ⋅ ⋅ ⋅u h

fc

cj

bγavec u a bc = ⋅ +2 1 1( )

avec: a a h1 = + a a h2 2= +

b b h1 = + b b h2 2= + ⇒ u a h b h a b hc = ⋅ + + + = + +2 2 2( ) ( )

• Cas des semelles filantes

A priori la condition de non-poinçonnement ne s'applique pas, la charge ne pouvant pas être considérée

comme localisée. On peut cependant faire la vérification en prenant: b b b b m= = = =' ,1 2 1 00 .



• Cas des semelles isolées rectangulaires

Dans ce cas la condition devient:

[ ]N G Ga h b h

a bu + ⋅ + −+ ⋅ +

⋅

1 35 12 2

0 1, ( )( ) ( )

' '≤ ⋅ + + ⋅ ⋅0 09 2, ( )a b h h

f cj

bγ

Au cas où la condition de non-poinçonnement n'est pas vérifiée, il faut augmenter la hauteur h de la

semelle.

IV) CALCULS DES ARMATURES

Dans le cas de charges centrées, le règlement ( BAEL 99 Art. B.9.3) autorise et préconise l'utilisation de

la méthode des bielles pour la détermination des ferraillages des semelles filantes ou isolées à condition que

les dimensions soient homothétiques.

a) - cas des semelles filantes –Les armatures sont de 2 types :

Armatures transversales : placées en travers de la semelle. Pour une semelle rigide on

calcule les armatures transversales par la méthode des bielles.

• Effort de traction

On considère que les efforts provenant du mur sont transmis au sol par l'intermédiaire de bielles de béton

obliques et équilibrées par les armatures. Ces bielles ont leur origine en A, intersection de BC avec l'axe du

mur.

a

d ho

a'

A

B

CO E x

Nu

Armature tendue

bielle de bétoncomprimée

dR

dF dT

x dxq

y

D



Soit un élément de semelle de largeur dx et de longueur unité, situé à la distance x de l'axe Oy . Le sol

exerce une action élémentaire: dR q dxc= ⋅ ⋅1

Or qNac

u='

donc dRNa

dxu= ⋅'

.

On peut projeter dR sur AE et Ox en : dF qui comprime la bielle de béton

dT qui tend l'armature.

En comparant les triangles semblables (OEA et dR , dT ) on obtient :

dTdR

xh

=0

soit dTN

a hx dxu=

⋅⋅ ⋅

' 0

En intégrant de 0 à a'2

on obtient l'effort de traction dans l'armature :

T dTa

= ∫02

'=

⋅⋅ ⋅∫

Na h

x dxua

''

00

2 =⋅

⋅N a

hu '

8 0

La hauteur h0 n'est pas évidente à évaluer. Les triangles ACO et BCD sont homothétiques, on peut donc

écrire:ah

a ad

' ( ' )2 2

0=

−⇒

ah

a ad

' '

0=

−

D'où l'effort de traction dans les armatures: TN a a

du=

⋅ −⋅( ' )

8• Section des armatures transversales

On peut donc calculer la section des armatures à mettre en place sur 1 00, m de longueur de semelle:

ATfst

su= soit A

N a ad fst

u

su=

⋅ −⋅ ⋅

( ' )8

• Bien que les calculs ne donnent pas de sections minimales, en pratique on utilise les

ferraillages minimaux suivants:

•• diamètre minimum: 8 mm

•• espacement maximum: 33 cm soient 3 aciers par m.

• Arrêt des barres

Les armatures sont normalement terminées par des crochets normalisés, cependant certains cas permettent

d'utiliser des ancrages droits. On peut donc distinguer trois cas de figures en fonction des valeurs des

longueurs de scellement droit ls et de la largeur de la semelle a' .



Rappel: les longueurs de scellement droit (ou ancrages rectilignes) sont données dans le règlement

( BAEL 91-99 Art. A.6.1,22).Les ancrages courbes sont définis dans le règlement en BAEL 91-99 Art.6.1,25.

•• la

s >'

4⇒ ancrage par crochets normalisés

••a

la

s

' '8 4

≤ ≤ ⇒ ancrage rectiligne sur toute la largeur de la semelle

•• la

s <'

8⇒ deux possibilités:

••• ancrage rectiligne une barre sur deux sur toute la largeur de la

semelle, la suivante de longueur 0 71, '⋅ a , axée.

••• ancrage rectiligne de toutes les barres de longueur 0 86, '⋅ a ,

prolongées alternativement jusqu'au bord de la semelle d'un coté et de l'autre.

D'autre part il ne faut pas oublier les amorces des aciers du mur qui doivent être descendues au moins

jusqu'à la nappe inférieure de la semelle.

Armatures longitudinales : Ce sont des armatures de répartition définies forfaitairement:

( DTU 13.12, Art. 2.5.3)

A MaxA

Aslst

f≥

4

; avec au minimum 3 barres, où Af prend l'une des valeurs suivantes:

Af = 3 0, ²cm pour des aciers doux

Af = 2 0, ²cm pour des HA Fe E 400

Af =1 6, ²cm pour des HA Fe E 500 (Ce sont ces aciers qui sont couramment utilisés)

Pour les grandes longueurs, les barres successives doivent avoir un recouvrement d'au minimum 35 ∅ . Il

faut assurer la continuité dans les angles.



b) - cas des semelles isolées –

Les armatures sont "transversales" dans les 2 directions.

Semelle carrée : chaque nappe se calcule par la relation précédente sans se préoccuper

de la différence des valeurs de d .

Semelle rectangulaire : on calcule les armatures dans chaque sens (avec b a' '≤ ).

• armatures parallèles au sens a AN a a

d fstau

a su=

⋅ −⋅ ⋅

( ' )8

(armatures principales)

• armatures parallèles au sens b AN b b

d fstbu

b su=

⋅ −⋅ ⋅

( ' )8

avec d db aa b= −

∅ + ∅( )2

En pratique on ne connaît pas ∅b puisque Astb n'est pas encore connue, on prendra donc: d db a a≈ − ∅

Les aciers Asta sont toujours placés en nappe inférieure parallèlement au grand coté a (rappel: a b≥

et a b' '≥ ).

Arrêt des barresLes armatures sont normalement terminées par des crochets normalisés, cependant certains cas permettent

d'utiliser des ancrages droits. On peut donc distinguer deux cas de figures en fonction des valeurs des

longueurs de scellement droit ls et de la largeur de la semelle a' .

Rappel: les longueurs de scellement droit (ou ancrages rectilignes) sont donnés dans le règlement (BAEL 91-99 Art. A.6.1,22).Les ancrages courbes sont définis dans le règlement en BAEL 91-99 Art.6.1,25.

• la

s >'

4⇒ ancrage par crochets normalisés

• la

s ≤'

4⇒ ancrage rectiligne sur toute la largeur de la semelle

Les conditions sont similaires dans le sens b .



D'autre part il ne faut pas oublier les amorces des aciers du poteau qui doivent être descendues au moins

jusqu'à la nappe inférieure de la semelle dans le cas d'une charge centrée, et avec un retour horizontal de

35 ∅ , dans le cas d'une charge excentrée (avec moment fléchissant).

c) - conditions de fissuration –

Quel que soit le type de semelle, le calcul des armatures est conduit à l'état limite ultime, en fissuration nonpréjudiciable.

Dans le cas où la fissuration est préjudiciable, les sections d'acier obtenues par les calculs précédents sont

majorées forfaitairement de 10% (coefficient multiplicateur de 110, ).

Dans le cas où la fissuration est très préjudiciable, les sections d'acier obtenues par les calculs en

fissuration non préjudiciable sont majorées forfaitairement de 50% (coefficient multiplicateur de 150, ).

d) - enrobage -Les aciers des semelles doivent être enrobés au minimum de 3 cm. Il est très fréquent de prévoir un

enrobage de 5 cm, par sécurité, même en fissuration non préjudiciable (voir Nota 2).



V) SEMELLES AVEC CHARGES EXCENTREES

a) - présentation du problème –

Le calcul par la méthode des bielles est un calcul très simple autorisé par le BAEL uniquement dans le cas

de charge centrée et de semelle à débords homothétiques. Dans tous les autres cas c'est la méthode dite

"des moments" ou encore du CEB (Comité Européen du Béton) qui doit être utilisée. C'est cette méthode

qui est définie ici.

On ne rentrera pas dans le détail de la théorie, on se contentera de calculer les dimensions et le ferraillage

de la semelle.

b) - dimensionnement de la semelle –

L'axe du couple de flexion est supposé perpendiculaire au plan contenant le plus grand coté du poteau.

La contrainte du sol est supposée uniformément répartie.

Le moment Mu est calculé en tenant compte des effets du second ordre ( BAEL 99 Art. A.4.3,5).

Nu

Mu

a'

a

N Gu + ⋅1 35 0,

e

σ sol

2ea

e'

2−

ae

'2

−

a'



On obtient alors eM

N Gu

u=

+ ⋅1 35 0, (on néglige G1 )

La section de la semelle se calcule comme précédemment en augmentant la dimension dans le sens

d'action de Mu de la valeur 2e , soit: S = a bNqr

u

c' '⋅ = , avec ensuite: a a er' '= +2

Nota 3: on n'est plus astreint à utiliser des débords homothétiques, on utilise alors

fréquemment des débords égaux.

c) - calculs des armatures -On calcule les aciers à la base de la semelle nécessaires à équilibrer le moment de flexion dans une section

S1 située à une distance de 0 35, ⋅ a (voir Nota 6) de l'axe du poteau en ne prenant en compte que le

réaction du sol au delà de cette section.

Il existe alors deux possibilités pour le moment:

22

0 35ea

a< + ⋅'

, ⇒ V N G

aa

a euS u1 01 35 20 35

2= + ⋅

− ⋅

−( , )

',

'

⇒ M V

aa

uS uS1 12

0 35

2=

− ⋅'

,

22

0 35ea

a≥ + ⋅'

, ⇒ V N GuS u1 01 35= + ⋅( , )

⇒ M V e auS uS1 1 0 35= − ⋅( , )

Par la suite, la valeur de MuS1 étant établie, on calcule:

µ =M

f b duS

bu

1

0. . ²avec b b0 = '

α µ= − −1 25 1 1 2, .( . )

z d= −( , . ).1 0 4 α

AM

z f susta

uS= 1

.



Dans le sens transversal, il n'y a généralement pas de moment, le calcul se fait par la méthode des bielles

soit: AN b b

d fstbu

b su=

⋅ −⋅ ⋅

( ' )8

Nota 4: Dans le cas de semelle sous voile avec un moment, les calculs sont similaires en

prenant b b m= =' ,1 00

Nota 5: Tous les calculs complémentaires tenant compte de la fissuration ou pour les arrêts

de barres, les enrobages ou les espacements restent les mêmes.

Nota 6: Au cas où on utilise la méthode des moments alors que la charge est centrée (c'est

le cas en théorie dès que l'on veut faire le calcul avec des semelles à débords égaux sous charges centrée),

on calcule par rapport à une section située S1 à une distance de 0 25, ⋅ a de l'axe du poteau en ne prenant

en compte que le réaction du sol au delà de cette section.

VI) DESSIN DES FONDATIONS

Il comprend un plan et une ou plusieurs coupes, souvent à plus grande échelle, pour définir le coffrage. Des

détails sont souvent nécessaires. Le ferraillage qui est en général simple peut s'indiquer sommairement et

dans un calepin si les armatures sont préfabriquées.

• Pour faire ressortir les semelles on peut dessiner leur contour en traits renforcés et le contour

des murs ou des poteaux en traits forts.

• Les axes horizontaux des semelles sont repérés dans les 2 directions. Ces axes sont aussi ceux

des murs porteurs et doivent se retrouver sur tous les autres plans du projet.

• La cotation d'implantation (en cotes cumulées) est préférable mais au bureau d'études on ne sait

pas en général par quel angle du bâtiment la construction va commencer. Il faut donc réaliser

cette cotation de manière logique par rapport à l'implantation probable.



• L'indication du niveau des fondations est primordiale et il faut préciser de quel niveau il s'agit,

fond de fouille ou arase supérieure. En général on essaie d'avoir une arase supérieure

commune et on indique le niveau du fond de fouille des semelles qui peut être variable mais doit

respecter la mise hors gel de la surface d'appui sur le sol ( − 0 80, m pour notre région).

• Sur un dessin de coffrage ou de ferraillage le béton coupé est laissé blanc. On n'utilise la

représentation symbolique du béton (pointillés et ronds) que sur des dessins de détail et jamais

mélangée avec des armatures.

• Sur le plan des fondations doivent figurer les canalisations enterrées qui passent sous les

semelles ou sous le dallage ou dans le vide sanitaire car ces canalisations seront mises en

place en même temps que les fondations. Des coupes et des détails sont souvent nécessaires.

• Les semelles sont coulées sur un béton de propreté de 50 mm d'épaisseur minimale qui donne

une assise plane et horizontale et évite au béton de la semelle de se mélanger avec le terrain

sous-jacent.

A chaque fois que cela est possible les semelles sont coulées directement dans une rigole creusée

dans le terrain, ce qui évite le coffrage et le décoffrage et permet un bon encastrement, mais cause souvent

des imprécisions sur la largeur de la semelle. Ce sont finalement les armatures longitudinales (et

transversales si elles existent) qui matérialiseront la largeur réelle de la semelle.

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Exemple 1

Déterminer la dimension et le ferraillage de la semelle filante suivante soumise à une charge centrée:

poids propre du BA: g0 = 25 kN/m3

poids propre du remblai: g1 = 20 kN/m3

1) - Inventaire des hypothèses:

• largeur du voile: a = 0,25 m

• enrobage minimal des aciers: c ≥ 4 cm

• résistance ultime du sol: qu = 0,80 MPa

• béton: f c28 = 25 MPa

• aciers: f e = 500 MPa

• charges permanentes: G = 300 kN/m

• charges d'exploitation: Q = 150 kN/m

• fissuration non préjudiciable

2u

cqq = = =

0 802

0 40,

, MPa

f fbu c=0 8515 28

,,

=0 8515

25,,

× = 14,16 Mpa

ff

sue=

115,=

500115,

= 435 MPa

2) - Calcul de la charge ultime:

• combinaison d'action:

N G Qu = ⋅ + ⋅1 35 150, , Nu = ⋅ + ⋅1 35 300 150 150, , = 630 kN/m

soit 0,63 MN/m

Séquence 2

EXEMPLES DE CALCUL

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• combinaison d'action:

N G Qu = ⋅ + ⋅1 35 150, , Nu = ⋅ + ⋅1 35 300 150 150, , = 630 kN/m

soit 0,63 MN/m

3) - Dimensions de la semelle:

• largeur a' de la semelle: aNq

u

c'=

• hauteur utile d avec: ( ' )

'a a

d a a−

≤ ≤ −4

• hauteur réelle h avec h d cm= + 5

a',,

=0 630 40

= 1,575 m

arrondi au multiple de 5 cm par excès soit:

a' = 1,60 m

( , , )

( , , )1 60 0 25

41 60 0 25

−≤ ≤ −d ⇒

d = 0,35 m

h = +0 35 0 05, , = 0,40 m

4) - Vérifications de la semelle

• poids propre de la semelle:

G a h g0 01 00= ⋅ ⋅ ⋅, '

• poids propre du remblai:

G a a p h ge1 11 00= ⋅ − ⋅ − ⋅, ( ' ) ( )

• vérification de la contrainte réelle du sol:

σ soluN G G

a b=

+ ⋅ +⋅

1 35 0 1, ( )' '

• conclusion:

G0 = ⋅ ⋅ ⋅1 00 1 60 0 40 0 025, , , , = 0,016 MN

G1 = ⋅ − ⋅ − ⋅1 00 1 60 0 25 0 80 0 40 0 020, ( , , ) (, , ) ,

= 0,0108 MN

σ sol =+ ⋅ +

⋅0 630 1 35 0 016 0 011

1 60 1 00, , ( , , )

, ,= 0,416

la contrainte réelle du sol est supérieure à lacontrainte de calcul: la semelle n'est pas assezlarge: il faut reprendre les calculs.

On aurait pu se dispenser de reprendre les calculs si

on avait majoré la charge ultime de 10% afin de tenir

compte forfaitairement du poids propre de la semelle

et du remblai.

CONSTRUCTIONS CIVILES B3ConservatoireNationalDes arts et métiers

Michel BERTHAUD / Alain DUVIVIER

ConservatoireNationalDes arts et métiers


3 bis) - Dimensions de la semelle:

• largeur a' de la semelle: aN

qu

c'

,=

⋅110


'a a

d a a−

≤ ≤ −4


Majoration de 10% de Nu, uniquement pour ledimensionnement

a', ,

,=

⋅110 0 630 40

= 1,7325 ⇒ arrondi au multiple

de 5 cm par excès soit: a' = 1,75 m

( , , )

( , , )1 75 0 25

41 75 0 25

−≤ ≤ −d ⇒

d = 0,40 m

h = +0 40 0 05, , = 0,45 m

4 bis) - Vérifications de la semelle


G a h g0 01 00= ⋅ ⋅ ⋅, '


G a a p h ge1 11 00= ⋅ − ⋅ − ⋅, ( ' ) ( )


σ soluN G G

a b=

+ ⋅ +⋅

1 35 0 1, ( )' '

• conclusion:

• condition de non-poinçonnement

G0 = ⋅ ⋅ ⋅1 00 1 75 0 45 0 025, , , , = 0,020 MN

G1 = ⋅ − ⋅ − ⋅1 00 1 75 0 25 0 80 0 45 0 020, ( , , ) (, , ) ,

= 0,0105 MN

σ sol =+ ⋅ +

⋅0 630 1 35 0 020 0 011

1 75 1 00, , ( , , )

, ,= 0,384

σ sol cq< ⇒ la semelle est vérifiée

la semelle est filante et qc < 0 60, MPa ⇒ il n'y

a rien à vérifier.

5) - Détermination de la section d'acier tendu

• Aciers principaux AN a a

d fstau

su'

( ' )=

⋅ −⋅ ⋅8

• choix des aciers

Valeur de base de Nu pour les aciers

Asta ' =0 630 1 75 0 25

8 0 40 435, ( , , )

,× −

× × = 6,79.10-4 m ²

9 HA 10 par m soit 7,07 cm²



• longueur de scellement: ls L= ⋅44 Φ

• arrêt des barres: comparaison de

ls aveca'4

eta'8

• Aciers longitudinaux:

AstL ≥

MaxA

cmsta ' ; , ²4

1 6






exemple 2

Déterminer la dimension et le ferraillage de la semelle isolée sous poteau suivante soumise à une charge

centrée:

poids propre du BA: g0 = 25 kN/m3

poids propre du remblai: g1 = 20 kN/m3

1) - Inventaire des hypothèses:

• Dim. du poteau: a = 0,40 m

b = 0,30 m

• enrobage minimal des aciers: c ≥ 4 cm

• résistance ultime du sol: qu = 1,40 MPa

• béton: f c28 = 25 MPa

• aciers: f e = 500 MPa

• charges permanentes: G = 300 kN/m

• charges d'exploitation: Q = 183 kN/m

• fissuration préjudiciable

qq

cu=

2 = =

1 402

0 70,

, MPa

f fbu c=0 8515 28

,,

=0 8515

25,,

× = 14,16 Mpa

ff

sue=

115,=

500115,

= 435 MPa


• combinaison d'actions:

N G Qu = ⋅ + ⋅1 35 150, , Nu = ⋅ + ⋅1 35 300 150 183, , = 680 kN/m

soit 0,68 MN/m

3) - Dimensions de la semelle:

• Surface S de la semelle: SNq

u

c= S =

0 6800 70,,

= 0,972 m²





• Largeur de la semelle: bba

S'= ⋅

• Longueur de la semelle: aab

b' '=


( ' )a a

d b b−

≤ ≤ −4


4) - Vérifications de la semelle


G a b h g0 0= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅' '


( )G a b a b p h ge1 1= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅' ' ( )


σ soluN G G

a b=

+ ⋅ +⋅

1 35 0 1, ( )' '

• conclusion:

• vérification de la condition de non-

poinçonnement: siσ sol > 0 6, puis ha a

<−'2

G0 = ⋅ ⋅ ⋅1 20 0 90 0 45 0 025, , , , = 0,0122 MN

G1 = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅( , , , , ) ( , , ) ,1 2 0 9 0 4 0 3 0 8 0 45 0 02

= 0,0067 MN

σ sol =+ ⋅ +

⋅0 680 1 35 0 012 0 007

1 20 0 90, , ( , , )

, ,= 0,653

la contrainte réelle du sol est inférieure à lacontrainte de calcul: la semelle est vérifiée

6,0653,0 >=solσ

h = ≥−

=0 451 20 0 40

20 40,

, ,, vérification

inutile

5) - Détermination des sections d'acier tendu

• Aciers sens a : AN a a

d fstau

a su=

⋅ −⋅ ⋅

( ' )8

• majoration pour fissuration préjudiciable

Asta =43540.,08

)40,020,1(680,0××

−× = 3,91.10-4 m ²

91,310,1 ⋅ = 4,30 cm²



• choix des aciers sens a :

• détermination de d db a a≈ − ∅

• Aciers sens b : AN b b

d fstbu

b su=

⋅ −⋅ ⋅

( ' )8

• majoration pour fissuration préjudiciable


• longueur de scellement: ls L= ⋅44 Φ

• arrêt des barres sens a : comparaison de

ls aveca'4

eta'8

• arrêt des barres sens b : comparaison de

ls avecb'4

etb'8



DEGRESSION DES CHARGES D'EXPLOITATIONEN FONCTION DU NOMBRE D'ETAGES (NORME NF P 06-001)

Conditions d'utilisation: Bâtiments à étages à usage d'habitation.

Principe de calcul: L'occupation des locaux est indépendante d'un niveau à l'autre.

Utilisation: Calculs des éléments porteurs de la structure: fondations, murs, poteaux, etc...

Schéma de principe de lastructure d'un bâtiment Cas de charges identiques Cas de charges différentes

Q Q Q Qn1 2= = = =...

=∑ Q00

= +∑ Q Q01

= + ⋅∑ Q Q02 1 9,

= + ⋅∑ Q Q03 2 7,

= + ⋅∑ Q Q04 3 4,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

= +

+

⋅

≥

∑ Qn

Q

pour n

n 0

32

5

Q Q Q Qi n1 2≠ ≠ ≠ ≠ ≠... ...

=∑ Q00

= +∑ Q Q01 1

( )= + ⋅ +∑ Q Q Q02 1 20 95,

( )= + ⋅ + +∑ Q Q Q Q03 1 2 30 90,

( )= + ⋅ + + +∑ Q Q Q Q Q04 1 2 3 40 85,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

= +

+

⋅

≥

∑ ∑Qn

nQ

pour n

n i

n

01

32

5

avec: Q0 valeur de référence de la charge d'exploitation pour le toit ou la terrasse,

Qi valeur de la charge d'exploitation pour le plancher de l'étage i la numérotation étant

effectuée du haut vers le bas.

Q0

Qn

Q5

Q4

Q3

Q2

Q1



Exemples d'application: Nombre d'étages: 7

Cas de charges identiques Cas de charges différentes

Q0 1000= N m²

Q1 1500= N m²

Q0 1000= N m²

Q1 1500= N m²

Q2 1700= N m²

Q3 2000= N m²

Q4 2300= N m²

Q5 2000= N m²

Q6 1800= N m²

Q7 1600= N m²

=∑ Q00 = 1000

= +∑ Q Q01 = + =1000 1500 2500

=∑2 1000 1 9 1500 3850+ ⋅ =,

=∑3 1000 2 7 1500 5050+ ⋅ =,

=∑4 1000 3 4 1500 6100+ ⋅ =,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

= ++

⋅

∑ Q Q07

3 72

= + ⋅1000 5 1500

= 8500

=∑ Q00 = 1000

= +∑ Q Q01 1 = + =1000 1500 2500

( )= + ⋅ +∑ Q Q Q02 1 20 95, = + ⋅1000 0 95 3200, = 4040

( )= + ⋅ + +∑ Q Q Q Q03 1 2 30 90, = + ⋅1000 0 90 5200,= 5680

( )= + ⋅ + + +∑ Q Q Q Q Q04 1 2 3 40 85,= + ⋅1000 0 85 7500, = 7375

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

= ++

⋅

∑ ∑Q

nn

Qn i

n

01

32

= ++⋅

⋅

10003 72 7

12900

= + ⋅ =1000 0 714 12900 10214,



Si une donnée venait à manquer, vous devrez formuler des hypothèses judicieuses et cohérentes vous

permettant de poursuivre les calculs.

Exercice n° 1

Vous devez étudier et définir les dimensions et le ferraillage d'une semelle sous le poteau défini ci-dessous:

dimensions du poteau prévues par l'architecte:

a = 400 mm

b = 300 mm

caractéristiques des matériaux employés

béton: fcj = 28 MPa, cg = 25 mm

aciers longitudinaux Fe E 500, η = 1,6

aciers transversaux Fe E 500

La contrainte ultime du sol est de: qu = 1,20 MPa

Les charges de service appliquées en pied de poteau sont les suivantes:

G = 630 kN

QB = 270 kN

La profondeur de l'arase inférieure est de -0,80 m au minimum par rapport au sol voisin.

Nota: aucune venue d'eau extérieure n'est prévisible au niveau des fondations.

Vous réaliserez le plan de coffrage de la semelle et le plan de ferraillage accompagné d'une coupe et d'une

nomenclature détaillée y compris l'amorce de ferraillage du poteau en 6 HA 12.

Séquence 2

EXERCICES

Retour au plan



Exercice N° 2

Calculer les dimensions et les armatures d'une semelle rigide sous poteau rectangulaire

• de section: 0,35 m x 0,25 m

• soumis à une charge centrée ultime de Nu = 1,45 MN

• pour une contrainte ultime du sol de qu = 0,65 MPa

Effectuer les vérifications d'usage.

Représenter la section de la semelle et son ferraillage sur un schéma à l'échelle.

Exercice N° 3

Un mur en béton banché de 20 cm d'épaisseur est soumis aux charges suivantes:

• masse du mur et de éléments qu'il supporte Mg = 11,5 t/m

• charge d'exploitation Mq = 8,3 t/m

La contrainte ultime du sol est de 13 bars

L'enrobage minimum est de 5 cm.

La fissuration est considérée préjudiciable.

Dimensionner et vérifier la semelle nécessaire sous le mur.

Calculer les aciers nécessaires au ferraillage correct de cette fondation .



Exercice N° 4

Vous devez étudier la fondation d'un poteau en béton armé de 0,300 x 0,400 à la base d'un bâtiment.

Cette fondation sera rigide et homothétique.

Les caractéristiques mécaniques sont les suivantes:

• charge ultime en pied de poteau: Nu = 3,04 MN

• moment ultime en pied de poteau: Mu = 0.456 MN.m

• résistance du sol qu = 2,80 MPa

• béton f c28 = 30 MPa

• enrobage c ≥ 4 cm

Exercice N° 5

Vous avez reçu sur chantier un ferraillage qui ne vous est pas destiné a priori. Le fabricant ne veut pas le

récupérer et vous dit de l'utiliser si vous le pouvez.

Les caractéristiques de ce ferraillage sont les suivantes:

• largeur apparente de la semelle avec un enrobage ≥ 4 cm: 0,85 m

• dimension apparente du voile: 0,20 m

• aciers principaux avec crochets normaux: 7 HA 10 par m

• aciers longitudinaux filants: 5 HA 8

A quelle charge centrée ultime correspond cette semelle dans le cas de fissuration non préjudiciable? Quelle

est la contrainte ultime minimale du sol correspondant à la charge précédemment calculée? Quelle serait la

hauteur de la semelle?

Mêmes questions dans le cas de fissuration préjudiciable.

Mêmes questions dans le cas de fissuration très préjudiciable.



Exercice N° 6

Vous devez déterminer les dimensions de la semelle sous un poteau, effectuer les vérifications et

déterminer les sections d'acier théoriques et pratiques correspondant aux hypothèses formulées ci-dessous:

dimensions du poteau:

a = 300 mm

b = 200 mm

valeurs des charges de service:

G = 456 kN

Q = 280 kN

caractéristiques des matériaux employés

béton: fcj = 28 MPa, cg = 25 mm

aciers longitudinaux fe E 500, η = 1,6

aciers transversaux fe E 500

contrainte ultime du sol: qu = 0,80 MPa

des venues accidentelles d'eau extérieure considérée très agressive sont prévisibles au niveau

des fondations.

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calcul fondations

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