CALCULANDO EL AREA EN COORDENADAS POLARES

CALCULO VECTORIAL

AREA EN COORDENADAS

POLARES

Si f es continua y no negativa en el intervalo 𝛼, 𝛽 , 0 < 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋, entonces el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 entre las rectas radiales 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = β está dada por:

𝐴 =1

2 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 𝑑𝜃 =1

2 𝛼

𝛽

𝑟2 𝑑𝜃

0 ≤ 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋

RECUERDO DE ALGUNAS FORMULAS

cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃

tan𝜃 =𝑦

𝑥=𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃

HALLAR EL AREA DE LA REGION MEDIANTE UN PETALO CUYA FUNCION ES

𝑟 = 2cos3𝜃

SOLUCION:

Primero se grafica para encontrar los límites de la función del pétalo.

Y al analizar vemos que es una rosa d 3 pétalos pero da la casualidad de que no sabemos de donde tomar los límites, para ello se realizará una tabla (los resultados fueron hechos mediante la calculadora:

𝜽 𝟎° = 𝟎 𝟏𝟓° =𝝅

𝟏𝟐𝟑𝟎° =

𝝅

𝟔𝟒𝟓° =

𝝅

𝟒

𝑟 2 1.4142 0 -1.4142

𝟔𝟎° =𝝅

𝟑𝟕𝟓° = 𝟓𝝅/𝟏𝟐 𝟗𝟎° =

𝝅

𝟐𝟏𝟎𝟓° = 𝟕𝝅/𝟏𝟐

-2 -1.4142 0 1.4142

Al analizar la tabla, vemos que 30° =𝜋

6cae el numero cero, así que,

tomaremos ese limite; además para más facilidad tomaremos el pétalo que está en el eje x, y, como estamos calculando el pétalo a la mitad de ese eje es recomendable agregar un 2 a la integral ya que con eso estamos calculando el pétalo de la rosa completamente; por lo tanto, empecemos con la solución:

Continuación de la solución:

𝐴 =1

2 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 𝑑𝜃 =1

2 𝛼

𝛽

𝑟2 𝑑𝜃

𝐴 = 21

2 0

𝜋62 cos 3𝜃 2 𝑑𝜃 =

0

𝜋64 cos 3𝜃 2 𝑑𝜃

= 4 0

𝜋6cos 3𝜃 2 𝑑𝜃

= 4 0

𝜋6cos 3𝜃 2 𝑑𝜃 = 4

0

𝜋6cos 𝛼 2 𝑑𝜃

NOTA: SE USO 𝛼 PARA HACER QUE 𝛼 = 3𝜃

= 4 0

𝜋6cos 𝛼 2 𝑑𝜃 = 4

0

𝜋6 1 + cos 2𝛼

2𝑑𝜃

= 4 0

𝜋6 1

2𝑑𝜃 + 4

0

𝜋6 cos 2𝛼

2𝑑𝜃

=4

2 0

𝜋6𝑑𝜃 +

4

2 0

𝜋6cos 2𝛼 𝑑𝜃

= 2 0

𝜋6𝑑𝜃 + 2

0

𝜋6cos 2𝛼 𝑑𝜃

= 2 0

𝜋6𝑑𝜃 + 2

0

𝜋6cos 6𝜃 𝑑𝜃

= 2 0

𝜋6𝑑𝜃 +

2

6 0

𝜋6cos 6𝜃 6𝑑𝜃

= 2 0

𝜋6𝑑𝜃 +

1

3 0

𝜋6cos 6𝜃 6𝑑𝜃

= 2 𝜃

𝜋60+1

3cos 6𝜃

𝜋60

=2𝜋

6+ −

1

3+1

3=𝜋

3

ASI QUE EL AREA DEL PETALO DE ESA ROSA ES:

𝐴 =𝜋

3𝑈2 ≈ 1.0472 𝑈2

Y SI DE PURA CASUALIDAD QUEREMOS SABER EL AREA DE TODOS LOS PETALOS, SOLO BASTA CON MULTIPLICAR EL AREA OBTENIDA Y EL NUMERO DE PETALOS DADOS:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑎𝑙𝑜𝑠 = 𝜋 𝑈2 ≈ 3.1416 𝑈2

HALLAR EL AREA DE LA REGION MEDIANTE UN FUNCION ES

𝑟 = 1 − sen𝜃

DE SU INTERIOR

SOLUCION:

REALIZAMOS LOS MISMOS PASOS:

𝜽 𝟎° = 𝟎 𝟏𝟓° =𝝅

𝟏𝟐𝟑𝟎° =

𝝅

𝟔𝟒𝟓° =

𝝅

𝟒

𝑟 1 0.7412 0.5 0.2929

𝟔𝟎° =𝝅

𝟑𝟕𝟓° = 𝟓𝝅/𝟏𝟐 𝟗𝟎° =

𝝅

𝟐𝟏𝟎𝟓° = 𝟕𝝅/𝟏𝟐

0.134 0.034 0 0.034

AL ANALIZAR LA TABLA Y LA GRAFICA, PODEMOS DECIR QUE

LOS LIMITES SERAN DESDE 𝜋

2HASTA

3𝜋

2Y MULTIPLICAR A LA

INTEGRAL POR 2 YA QUE SI NO SE HACE ESO SOLO OBTENDREMOS EL RESULTADO DE LA MITA DEL AREA Y NO COMPLETA…

CONTINUANDO CON LA SOLUCION:

𝐴 =1

2 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 𝑑𝜃 =1

2 𝛼

𝛽

𝑟2 𝑑𝜃

𝐴 = 21

2 𝜋2

3𝜋21 − sen𝜃 2 𝑑𝜃 =

𝜋2

3𝜋21 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

= 𝜋2

3𝜋2𝑑𝜃 − 2

𝜋2

3𝜋2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 +

𝜋2

3𝜋2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

SOLUCIONAREMOS LA PRIMERA INTEGRAL:

𝜋2

3𝜋2𝑑𝜃

𝜋2

3𝜋2𝑑𝜃 = 𝜃

3𝜋2𝜋2

=3𝜋

2−𝜋

2= 𝜋

SOLUCION DE LA SEGUNDA INTEGRAL:

−2 𝜋2

3𝜋2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃

−2 𝜋2

3𝜋2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = −2 cos 𝜃

3𝜋2𝜋2

= −2 cos3𝜋

2+ 2 cos

𝜋

2= 0

Y, SOLUCION DE LA TERCERA INTEGRAL:

𝜋2

3𝜋2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

𝜋2

3𝜋2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 =

𝜋2

3𝜋2 1 + cos 2𝜃

2𝑑𝜃

=1

2 𝜋2

3𝜋2𝑑𝜃 +

1

2

1

2 𝜋2

3𝜋2cos 2𝜃 2𝑑𝜃

=1

2 𝜋2

3𝜋2𝑑𝜃 +

1

4 𝜋2

3𝜋2cos 2𝜃 2𝑑𝜃

=1

2 𝜋2

3𝜋2𝑑𝜃 +

1

4 𝜋2

3𝜋2cos 2𝜃 2𝑑𝜃

=1

2𝜃

3𝜋2𝜋2

+1

4𝑠𝑒𝑛 2𝜃

3𝜋2𝜋2

=1

2

3𝜋

2−𝜋

2+1

4𝑠𝑒𝑛 3𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋

=1

2𝜋 + 0 =

1

2𝜋

Y CAPTURANDO RESULTADOS:

𝐴 = 𝜋2

3𝜋21 − sen𝜃 2 𝑑𝜃 = 𝜋 + 0 +

1

2𝜋 =

3𝜋

2

Y POR LO TANTO EL AREA INFERIOR DE ESA FUNCION ES:

∴ 𝐴 =3𝜋

2𝑈2 ≈ 4.7124𝑈2

BIBLIOGRAFIAS

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América,

1097

SOFTWARE

GRAPH

WOLFRAM-ALPHA

DERIVE