LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

LÍMITES LATERALES

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

LÍMITES INDETERMINADOS

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

LÍMITES AL INFINITO

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

LÍMITES EXPONENCIALES

LÍMITES INFINITOS

FUNCIÓN CONTINUA

DISCONTINUIDAD

OS NATU

DERIVADA

VARIACIÓN INSTANTÁNEA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

RECTA TANGENTE Y NORMAL DE UNA FUNCIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Los límites fueron utilizados en la antigüedad por nuestros ancestros

para hallar áreas bajo una curva, aunque la teoría en se desarrolló en

el siglo XVIII y XIX.

Encontrar el límite de una función significa hallar el valor de la

función cuando “x” la variable dependiente tiende a un valor

específico, se expresa de la siguiente forma.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

Se lee: “Límite de f(x), cuando “x” tiende a “a”, es igual a “L”.

Ejemplo:

lim𝑥→2

𝑥2 + 3𝑥 − 2

Se reemplaza el valor al que tiende el límite. Ojo cuando se

reemplaza ya no aparece el límite.

lim𝑥→2

𝑥2 + 3𝑥 − 2 = (2)2 + 3(2) − 2 = 4 + 6 − 2 = 8

LÍMITES LATERALES

Un límite lateral es acercarse a “a” por la izquierda y por la derecha

y se expresa de la siguiente forma.

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿

Límite cuando me acerco por la izquierda de “a”.

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

Límite cuando me acerco por la derecha de “a”.

Ejemplo:

lim𝑥→3

𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥 − 3

Se halla el límite por la izquierda y por la derecha de “3”.

lim𝑥→3−

𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥 − 3

lim𝑥→3+

𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥 − 3

𝑥 2,9 2,99 2,999

𝑓(𝑥) 0,9 0,99 0,999

𝑥 3,1 3,01 3,001

Cuando se acerca a “3” por la izquierda y por la derecha el límite se

acerca a “1”.

No siempre el límite por la izquierda y por la derecha es igual, pero

para que el límite de una función exista si deben ser.

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎∓

𝑓(𝑥)

En conclusión:

lim𝑥→3

𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥 − 3= 1

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥), existe un 휀 > 0 y existe un 𝛿 > 0, tal que:

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 Entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

Para cualquier valor que esté en el intervalo.

𝑓(𝑥) 0,9 0,99 0,999

(𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿)

Siempre tiene una imagen en el intervalo

(𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀)

Ejemplo: encontrar un 𝛿 > 0, que verifique la definición del límite.

lim𝑥→2

𝑥2 = 4 Si 휀 = 0,5.

Se halla el intervalo.

(𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2)) = (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) = (4 − 0.5, 𝐿 + 0.5) = (3.5,4.5)

Se remplazan en la función los valores que cumplan con estos

intervalos.

𝑓(𝑥1) = (𝑥1)2 3.5 = 𝑥1

2

√3.5 = 𝑥1 1.87 ≈ 𝑥1

𝑓(𝑥2) = (𝑥2)2 4.5 = 𝑥2

2

√4.5 = 𝑥2 2.12 ≈ 𝑥2

Luego se determina cuál de los valores está más cercano a “x=2”.

|2 − 𝑥1| = |2 − 1.87| = |0.13| = 0.13

|2 − 𝑥2| = |2 − 2.12| = |−0.12| = 0.12

Como "𝑥2" está más cerca por lo tanto.

|2 − 𝑥1| = |2 − 1.87| = |0.13| = 0.13

𝛿 = 0.12

lim𝑥→2

𝑥2 = 4 Existe un 휀 = 0.5 > 0, existe un 𝛿 = 0.12 > 0 tal que:

0 < |2 − 𝑥2| < 0.12 Entonces, |𝑥2 − 4| < 0.4

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Los límites cuentan con las siguientes propiedades sea 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)

tal que:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑀

Límite de una constante es la misma constante.

lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘

El límite de una constante por una función es la constante por el

límite de la función.

lim𝑥→𝑎

𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de cada función.

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀

El límite de un producto de funciones es el producto de los límites

de cada función.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥). lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑀

Límite de un cociente, es el límite del numerador sobre el límite del denominador.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀

Límite de una función compuesta, es la función evaluada en el límite

de la función.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑀)

Límite de una potencia es la potencia del límite.

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑛 = [𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)]𝑛

= (𝐿)2

El límite de una función radical, es el radical del límite.

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛

= √𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿𝑛

El límite de una función logarítmica, es el logaritmo del límite.

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[log𝑏 𝑓(𝑥)] = log𝑏 [𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)] = log𝑏 𝐿

LÍMITES DE FUNCIONES INDETERMINADAS

En algunos casos los límites al ser calculados nos generan

indeterminaciones como:

0

0

∞

∞ ∞ − ∞ 00

∞0 1∞

0. ∞

Para determinar si el límite existe o no es necesario eliminar la

indeterminación si es posible con procesos algebraicos.

Indeterminación en funciones racionales:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

0

0

Para resolverlas se debe Factorizar el numerador y el denominador,

para eliminar la indeterminación.

Ejemplo: hallar:

lim𝑥→−3

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 3=

0

0

Se simplifica la expresión racional utilizando los casos de

factorización.

lim𝑥→−3

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

𝑥 + 3= lim

𝑥→−3𝑥 + 2 = (−3) + 2 = −1

Para funciones radicales se utiliza la conjugada.

Ejemplo: hallar:

lim𝑥→4

√𝑥 + 5 − 3

𝑥 − 4=

0

0

Se multiplica por la conjugada.

lim𝑥→4

√𝑥 + 5 − 3

𝑥 − 4.√𝑥 + 5 + 3

√𝑥 + 5 + 3= lim

𝑥→4

(√𝑥 + 5)2

− 9

(𝑥 − 4)(√𝑥 + 5 + 3)

lim𝑥→4

𝑥 + 5 − 9

(𝑥 − 4)(√𝑥 + 5 + 3)= lim

𝑥→4

𝑥 − 4

(𝑥 − 4)(√𝑥 + 5 + 3)=

lim𝑥→4

1

(√𝑥 + 5 + 3)=

1

(√4 + 5 + 3)=

1

(√9 + 3)=

1

(3 + 3)=

1

6

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

En funciones trigonométricas se debe tener en cuenta:

lim𝑥→0

𝑆𝑒𝑛𝑎𝑥

𝑎𝑥= 1 lim

𝑥→0

1−𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥

𝑎𝑥= 0 lim

𝑥→0

𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥

𝑎𝑥= 1

Ejemplo: hallar:

lim𝑥→0

𝑇𝑎𝑛𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝑥= lim

𝑥→0

𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥.

1

𝐶𝑜𝑠𝑥

= lim𝑥→0

𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥 . lim

𝑥→0

1

𝐶𝑜𝑠𝑥= 1.1 = 1

Ejemplo: Hallar el siguiente límite.

lim𝑥→0

𝑆𝑒𝑛3𝑥

𝑆𝑒𝑛4𝑥=

0

0

Se multiplica y se divide por “3x” en el numerador y “4x” en el

denominador.

lim𝑥→0

3𝑥𝑆𝑒𝑛3𝑥3𝑥

4𝑥𝑆𝑒𝑛4𝑥4𝑥

=3𝑥lim

𝑥→0(

𝑆𝑒𝑛3𝑥3𝑥

)

4𝑥lim𝑥→0

(𝑆𝑒𝑛4𝑥

4𝑥)

=3𝑥

4𝑥=

3

4

LIMITES EXPONENCIALES.

Son aquellos que tienen la forma:

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥)

Para solucionarlos se deben tener en cuenta los siguientes casos.

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑀

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = 𝐿𝑀

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑀

lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = 𝐿𝑀

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = {0 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝐿 < 1

∞, 𝐿 > 1𝑓(𝑥), 𝐿 = 1

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑀

lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = {∞, 𝑠𝑖 𝑀 > 00, 𝑠𝑖 𝑀 > 0

lim𝑥→∞

(1 +1

𝑥)

𝑥

= 𝑒, 𝑠𝑖 𝑒 > 0

LIMITES INFINITOS

Son aquellos que al ser resueltos tienen la forma 𝑎

0.

Para saber si tiende a “ ∞ “ o a “ −∞ “ , se hallan los límites

laterales.

Ejemplo: hallar el siguiente límite:

lim𝑥→3

2𝑥 + 1

𝑥 − 3

Se halla el límite por la izquierda y por la derecha de “3”.

lim𝑥→3−

2𝑥 + 1

𝑥 − 3= −∞

lim𝑥→3+

2𝑥 + 1

𝑥 − 3= ∞

𝑥 2,9 2,99 2,999

𝑓(𝑥) -68 -698 -6998

𝑥 3,1 3,01 3,001

𝑓(𝑥) 72 702 7002

LÍMITES AL INFINITO

Son aquellos donde el límite que tiende al “ ∞ “existe, estos límites

tienen la siguiente forma:

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Para resolverlos se debe tener en cuenta lo siguiente:

= lim𝑥→∞

𝑎1𝑥𝑚 + 𝑎2𝑥𝑚−1 … … … 𝑎𝑚

𝑏1𝑥𝑛 + 𝑏2𝑥𝑛−1 … … … 𝑏𝑛

Si” 𝑚 > 𝑛", el límite tiende a infinito. Si” 𝑚 < 𝑛", el límite tiende a “0”.

Si” 𝑚 = 𝑛", el límite tiende a 𝑎1

𝑏1.

Ejemplos:

lim𝑥→∞

3𝑥5 + 4𝑥2 − 2

7𝑥5 + 3𝑥 − 4=

3

7

lim𝑥→∞

3𝑥 − 1

𝑥3 + 2𝑥= 0

lim𝑥→∞

3𝑥3 − 1

4𝑥2 − 2𝑥 − 10= ∞

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.

Una asíntota es una a la cual se acerca una función de manera

indefinida sin llegar a tocarla.

Las funciones pueden llegar a presentar 3 tipos de asíntotas.

Asíntota Horizontal: cuando se halla el límite al infinito y existe.

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Asíntota Vertical: Cuando se halla el límite a un valor y da infinito.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = −∞

“a” son los valores donde la función presenta problemas.

Asíntota oblicua: una función tiene asíntotas oblicuas 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏,

si se cumple con:

lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚, 𝑠𝑖 𝑚 ≠ 𝑜

lim𝑥→±∞

(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥) = 𝑏

Ejemplo: graficar la función

𝑓(𝑥) =𝑥3 + 1

𝑥3 − 𝑥=

Se halla la asíntota horizontal.

lim𝑥→∞

𝑥3 + 1

𝑥3 − 𝑥= 1

Se halla las asíntotas horizontales hallando los ceros del

denominador.

𝑥3 − 𝑥 = 𝑥(𝑥2 − 1) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥 = 0 𝑥 = 1 𝑥 = −1

Se hallan los límites en esos ceros.

lim𝑥→0

𝑥3 + 1

𝑥3 − 𝑥=

1

0= ∞

lim𝑥→1

𝑥3 + 1

𝑥3 − 𝑥=

2

0= ∞

lim𝑥→−1

𝑥3 + 1

𝑥3 − 𝑥=

0

0

Cuando “𝑥 → −1” es un hueco ya que da indeterminación.

Para encontrar donde queda el hueco se simplifica la expresión

racional.

lim𝑥→−1

(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)

𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)=

lim𝑥→−1

𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑥(𝑥 − 1)

(−1)2 − (−1) + 1

(−1)((−1) − 1)=

3

2

Cuando hay una asíntota horizontal no hay oblicua o viceversa, Se

hallan los cortes.

Corte en el eje “x”, y=0 Corte en el eje “y”, x=0

𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑥(𝑥 − 1)= 0

𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0 Como no tiene solución no corta el eje “x”.

𝑓(0) =(0)2 − (0) + 1

(0)((0) − 1)=

1

0

No corta el eje “y” ya que este es una asíntota vertical.

Se asignan valores alrededor de las asíntotas verticales y se hace el

bosquejo de la gráfica.

FUNCIONES CONTINUAS

Una función es continua si se puede recorrer sin levantar la mano, es

decir, no existen asíntotas, huecos y ni saltos.

Cuando se realizan operaciones de funciones continuas el resultado

es una función continua.

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑜𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)

Para determinar si una función es continua debe cumplir con:

𝑓(𝑎) = 𝐿 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Ejemplo: Determinar si la siguiente función es continua en 𝑥 = 2.

𝑓(𝑥) = {4𝑥 − 3 , 𝑥 < 2

𝑥2 + 1 , 𝑥 ≥ 2

Se halla la función en 𝑓(2).

𝑓(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5

Se halla el límite lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥).

Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3

= 4(2) − 3 = 5

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = (2)2 + 1

= 4 + 1 = 5

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5

En conclusión la función es continua en 𝑓(2).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN

INTERVALO.

Una función es continua en un intervalo [𝑎, 𝑏]si es continua en todos

los puntos de (𝑎, 𝑏)

La función 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏]si

lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Es decir el límite existe.

DISCONTINUIDAD

Se puede presentar dos tipos de discontinuidad, evitable y no

evitable.

Evitable:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥 = 𝑎 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎)

Es decir, cuando presenta un hueco.

Ejemplo:

𝑓(𝑥) =𝑥3 + 8

𝑥 + 2

Se factoriza y se simplifica.

𝑓(𝑥) =𝑥3 + 8

𝑥 + 2=

(𝑥 + 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)

𝑥 + 2= 𝑥2 + 2𝑥 + 4

Esta función tiene un hueco en 𝑥 = −2, por lo tanto no es continua,

pero se puede redefinir tapando el hueco.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 4

𝑓(−2) = (−2)2 + 2(−2) + 4 = 4 − 4 + 4 = 4

La nueva función continua queda.

𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 8

𝑥 + 2, 𝑥 ≠ 2

4 , 𝑥 = 2

No evitable:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

DERIVADA

Es la pendiente de la recta tangente a la función en un determinado

punto, también se puede definir como la velocidad instantánea de

un cuerpo en movimiento.

La pendiente de una recta es:

𝑚 =∆𝑥

∆𝑦=

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑎 − 𝑏

A esta ecuación se le llama tasa de variación media y cuando

hablamos de velocidad media.

∆𝑥

∆𝑡=

𝑓(𝑡2) − 𝑓(𝑡1)

𝑡2 − 𝑡1

VARIACIÓN INSTANTÁNEA

Para encontrarla se aproxima al punto “a”, y se observa que cada

vez que se acerca se aproxima a la pendiente de la recta tangente en

el punto dado.

lim𝑏→𝑎

𝑚 = lim𝑏→𝑎

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑎 − 𝑏

En términos de velocidad instantánea.

lim𝑡2→𝑡1

𝑓(𝑡2) − 𝑓(𝑡1)

𝑡2 − 𝑡1

Ejemplo: Determinar la velocidad instantánea en 𝑡 = 10 𝑠 de un

objeto que su función está dada por la expresión

𝑠(𝑡) = 3𝑡2 − 5𝑡 + 8

lim𝑡→10

𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡1)

𝑡 − 𝑡1=

lim𝑡→10

3𝑡2 − 5𝑡 + 8 − [3(10)2 − 5(10) + 8]

𝑡 − 10=

lim𝑡→10

3𝑡2 − 5𝑡 + 8 − [300 − 50 + 8]

𝑡 − 10=

lim𝑡→10

3𝑡2 − 5𝑡 + 8 − [258]

𝑡 − 10=

lim𝑡→10

3𝑡2 − 5𝑡 − 250

𝑡 − 10=

lim𝑡→10

(𝑡 − 10)(3𝑡 + 25)

𝑡 − 10=

lim𝑡→10

3𝑡 + 25 = 3(10) + 25 = 55

La velocidad instantánea es 55 𝑚𝑠⁄ .

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Teniendo en cuenta la definición de derivada.

lim𝑏→𝑎

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑎 − 𝑏

Se hace la sustitución de ℎ = 𝑏 − 𝑥 , y 𝑎 = 𝑥 teniendo en cuenta que

cuando “𝑏 → 𝑎” , “ℎ → 0” tiende a cero.

limℎ→0

𝑓(ℎ + 𝑥) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Lo anterior se denomina la derivada de una función. Está se puede

denotar como:

𝑦´ Derivada de “y” 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivada de “y” con respecto a “x”

𝑓´(𝑥) f prima de “x”

𝐷𝑥(𝑦) Derivada de “x” de “y”

Ejemplo: hallar la derivada de 𝑥2 + 3𝑥 − 2 .

limℎ→0

𝑓(ℎ + 𝑥) − 𝑓(𝑥)

ℎ

limℎ→0

(ℎ + 𝑥)2 + 3(ℎ + 𝑥) − 2 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2

ℎ

limℎ→0

ℎ2 + 2𝑥ℎ + 𝑥2 + 3ℎ + 3𝑥 − 2 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2

ℎ

limℎ→0

ℎ2 + 2𝑥ℎ + 3ℎ

ℎ

limℎ→0

ℎ(ℎ + 2𝑥 + 3)

ℎ

limℎ→0

ℎ + 2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 3

2𝑥 + 3 Es la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la

función.

Si se quiere hallar la derivada de la función en un punto específico se

reemplaza el valor dado.

Ejemplo: hallar la derivada de la función anterior en 𝑥 = 2.

𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 3

𝑓´(2) = 2(2) + 3 = 7

“7” es la pendiente de la recta tangente a la función en 𝑥 = 2.

RECTA TANGENTE Y NORMAL DE UNA

FUNCIÓN

Como por medio de la derivada se puede hallar la pendiente de la

recta tangente, se puede determinar la ecuación de la recta tangente

y normal en ese punto.

Ejemplo: hallar la recta tangente y normal a 𝑥2 + 3𝑥 − 2 en

(−1, −4).

Se halla la derivada como es el mismo ejercicio anterior.

𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 3

Se halla la pendiente de la recta tangente a la función en el punto

(−1, −4).

𝑓´(−1) = 2(−1) + 3 = 1

La pendiente de la recta tangente que pasa por (−1, −4) es “1”.

Se halla la ecuación de la recta utilizando la ecuación punto

pendiente.

𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0

𝑦 = 1(𝑥 − (−1)) + (−4)

𝑦 = 𝑥 + 1 − 4

𝑦 = 𝑥 − 3

Para encontrar la ecuación de la recta normal se tiene en cuenta que:

𝑚1 = −1

𝑚2 𝑚1 = −

1

1 𝑚1 = −1

La pendiente de la normal es 𝑚1 = −1 y con la ecuación punto

pendiente se halla la ecuación de la recta normal que pasa por el

punto (−1, −4).

𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0

𝑦 = −1(𝑥 − (−1)) + (−4)

𝑦 = −𝑥 − 1 − 4

𝑦 = −𝑥 − 5

REGLAS DE DERIVACIÓN

En ocasiones el proceso de hallar la derivada de una función por el

concepto del límite se vuelve muy dispendioso, pero para eso se

crearon unas reglas de derivación.

DERIVADAS 𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑥)

Constante 𝑐 0

Función idéntica 𝑥 1

Constante por una función

𝑘. 𝑔(𝑥) 𝑘. 𝑔´(𝑥)

Potencia 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛−1 Suma o resta de

funciones 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥)

Producto 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥)

Cociente 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥)

(𝑔(𝑥))2

Función compuesta 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑓´(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)

Logaritmo log𝑎 𝑔(𝑥) 1

𝑔(𝑥) ln 𝑎𝑔´(𝑥)

Función exponencial

𝑎𝑔(𝑥) 𝑎𝑔(𝑥)𝑔´(𝑥) ln 𝑎

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https://www.youtube.com/watch?v=m0GgQX_rcK0