Geometria e Álgebra

Monômio e Polinômio

Geometria e Álgebra

Chamamos expressões algébricas inteiras as que não têm letras (ou variáveis) em denominador nem dentro de radicais.

Exemplos:

• 4x + 6

• 8x2y

• a2 – a + 4

• 8x1

• ab

Expressão algébrica inteira

2

Geometria e Álgebra

A área do quadrado é: ℓ . ℓ ou ℓ2

O perímetro do quadrado é:

ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4ℓ

Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica (coeficiente)e uma parte literal.

Monômios

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

3

Geometria e ÁlgebraGrau de um monômio

Exemplos:

• –5x3y4

3o grau referente a x

4o grau referente a y

O grau deste monômio é 7 (3 + 4 = 7).

• 12x5 5o grau referente a x

O grau deste monômio é 5.

Monômios semelhantes ou termos semelhantes

Exemplo:

O termo semelhante dos monômios x3, 8x3, 64x3 e 125x3 é a parteliteral que eles apresentam: x3.

4

Geometria e ÁlgebraOperações com monômios

Adição e subtração de monômios semelhantes

Exemplos:

• 2x + 3x = (2 + 3)x = 5 . x = 5x

Portanto: 2x + 3x = 5x

• 7y2 – 5y2 = (7 – 5)y2 = 2y2

Portanto: 7y2 – 5y2 = 2y2

5

Geometria e ÁlgebraMultiplicação de monômios

Exemplos:

• (9x2) . (5x3) = (9 . 5)(x2 . x3) = 45x2 + 3 = 45x5

propriedade comutativa eassociativa da multiplicação

propriedade do produto de potências de mesma base

• (3a) . (–4b) = –12ab

3 . (–4)

a . b

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Geometria e ÁlgebraDivisão de monômios

Exemplos:

• (12x6) : (3x2) =1

4

4x6 – 2 = 4x4

• (5a) : (15b) =

1

3

• (10y2) : (2y3) = 5y2 – 3 = 5y –1 =

=

=

7

Geometria e ÁlgebraPotenciação de monômios

Exemplos:

• (5x3)2 = 52 . (x3)2 = 25x3 . 2 = 25x6

• (4x2)–1 = 4 –1 . (x2)–1 =

• (5a3b2)4 = 5 4 . (a3)4 . (b2)4 = 625a12b8

, com x ≠ 0. x –2 = . =

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Geometria e Álgebra

Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômios.

Exemplos:

5a2 – 3a

2x + 6

4x2 – 2xy + 3x

a2 – 2ab + b2 – a2b2

Trinômio (3 termos):Binômio (2 termos):

Polinômio (mais de um termo):

Polinômio

x – y + 5

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Geometria e ÁlgebraRedução de termos semelhantes

Exemplo:

2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y

(2x + 2x + 4x) + (y + 2y + 3y)

ouUsando as propriedades

comutativas e associativas da adição.

8x 6y

8x + 6y

ouReduzindo os

termos semelhantes.

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Geometria e ÁlgebraGrau de um polinômio

O grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes.

Exemplo:

• 4x3 – 3x2 + 5

Polinômio do 3o grau, 4x3 é seu termo de maior grau.

• 2x + xy – 6y

Polinômio do 2o grau, xy é seu termo de maior grau.

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Geometria e ÁlgebraOperações com polinômios

Adição e subtração de polinômios

Exemplos:

Sejam os polinômios: A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x

• A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x

• A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) = 3x2 + 2x – 2x2 – x = x2 + x

Polinômios opostos ou simétricos

Exemplo:3x2 – 5x – 10

– 3x2 + 5x + 10

+ 00x2 + 0x

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Geometria e ÁlgebraMultiplicação de polinômios

Exemplos:

• A área da parte I é: x . (3x) = 3x2

• A área da parte II e I é: 3x . (x + 5x + 1) = 3x . (5x + 1) = 15x2 + 3x

A área da região é:

(x + 2) . (x + 5) = x . x + x . 5 + 2 . x + 2 . 5 =

= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

I II

A x E 5x + 1 B

CFD

3x

A B

CD x + 5

x + 2

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Geometria e Álgebra

3x – 2

(3x – 2) . (x2 – 4x + 6)

x2 – 4x + 6

X

+ 18x– 12x23x3

+ 8x– 2x2 – 12

– 12+ 26x– 14x23x3

Multiplicação de polinômios

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Geometria e ÁlgebraDivisão de polinômios

é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x)

(6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4

ou

2x2 – 4= − =

Exemplos:

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Geometria e ÁlgebraDivisão de polinômios

(15x2 + 2x – 8) : (5x + 4)

15x2 + 2x – 8 5x + 4 Dividimos o 1o termo do dividendopelo 1o termo do divisor:3x– 15x2 – 12x

– 10x – 8

– 2

(15x2) : (5x) = 3x

Dividimos novamente o 1o termo de–10x – 8 pelo 1o termo de 5x + 4:

(–10x) : (5x) = –2

+ 10x + 8

0

Verificação:

(3x – 2) . (5x + 4) = 15x2 + 12x – 10x – 8 = 15x2 + 2x – 8

quociente divisor

Exemplo:

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