calculo de arcos
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TRIGONOMETRÍA
Matemáticas PreuniversitariasConsuelo Díaz Torres
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Medición de distancias en la tierra
La distancia entre dos puntos A y B de la tierra se mide a lo largo de una circunferencia cuyo centro es C, situado en el centro del globo, y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro del planeta es aproximadamente 8000 millas, ¿cómo se puede calcular la distancia entre A y B si el ángulo ACB mide 45°?
B
A
C
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Movimiento del péndulo
El péndulo del reloj mide 4 pies de largo y se mueve en ambos sentidos a lo largo de un arco de 6 pies ¿Cómo se puede calcular el ángulo por el que pasa el péndulo durante un movimiento?
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Distancia al Monte Fuji El Monte Fuji, en Japón, mide aproximadamente 12400 pies de altura.
Un turista que está a varias millas de distancia de esa montaña (y que sabe trigonometría) desea calcular la distancia que le falta para llegar a la base de ésta, para lo cual observa que el ángulo entre el nivel del suelo y la cima de la montaña es de 30°. ¿Cuál es la distancia que le falta para llegar?
30°
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Angulos Angulo: Conjunto de puntos determinados por 2
semirectas, l1 y l2, con un punto extremo en común llamado vértice.
Los ángulos se denotan como o por letras griegas , , , etc.
O l1
l2
A
B
AOB
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Clasificación de ángulos
Agudo entre 0° y 90°
Obtuso entre 90° y 180°
Recto 90°
Llano 180°
Complementariossuma = 90°
Suplementarios suma = 180°
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Medición de ángulos Grados hasta milésimas 38.425° Grados, minutos y segundos 38°25’30’’ Radianes 0.6706 radianes
Radián: es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo.
La circunferencia del círculo de radio r es 2r, entonces el número de veces que r unidades se pueden trazar en la circunferencia es 2. Por tanto en 360° se puede trazar 2 veces el radio, es decir
360° = 2 radianes
1 radián
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Relación entre grados y radianes
1801
180
180
radianes
radianes
1 radián
Ejercicios: Haz las siguientes conversiones 45° =
90° =
150° =
236
32
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Definición de Radián
Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de una circunferencia de longitud igual a radio.
En geometría se demuestra que los ángulos en el centro son proporcionales a los arcos que interceptan. De la figura,
r
C
r
1 rad
OA
B
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AOC = 180º, AOB = 1 radián y ABC es una semicircunferencia cuya longitud es r.
rr
radián1180
1801
180radián1
180radianes
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Longitud de Arco Una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, es el
cálculo de longitudes de arco. Sea s el arco de una circunferencia de radio r, interceptado por un ángulo de radianes.
Por geometría se sabe que en una circunferencia los arcos son proporcionales a sus ángulos centrales; si el ángulo AOB mide un radián, el arco AB tiene longitud r.
Aplicaciones
r
O
rC
1 radA
D
s
B
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Entonces podemos establecer la proporcionalidad
de donde
s = r; para en radianes. Ejmplo: Encuentra la longitud de un arco de circunferencia subtendido
por un ángulo central de 67º, si el radio mide 20 cm. Solución: Expresamos primero el ángulo en radianes:
67º = 1.17 radianes Entonces
s = (20)(1.17) = 23.4cm
radián1radianes
rs
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Otras aplicaciones
Area de un sector circular Si es la medida en radianes de un ángulo central de una
circunferencia de radio r, y si A es el área de un sector circular determinado por , entonces
Ejercicio:
Calcula el área del sector circular del ejemplo anterior.
221 rA
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Otras aplicacionesRapidez angular La rapidez angular de una rueda que gira a razón constante
es el ángulo generado, en una unidad de tiempo, por un segmento de recta que va del centro de la rueda a un punto P de la circunferencia.
Rapidez lineal La rapidez lineal de un punto P de la circunferencia es la
distancia que P recorre por unidad de tiempo.
O
P
P’
d
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Ejemplo
Una máquina que contiene una rueda de 3 pies de diámetro gira con una rapidez de 1600 revoluciones por minuto (rpm).
a) Determina la rapidez angular de la rueda.
b) Determina la rapidez lineal de un punto P sobre la circunferencia de la rueda.
Solución:
a) Dado que el número de revoluciones por minuto es 1600 y cada revolución genera un ángulo de 2 radianes, el ángulo generado por el segmento de recta OP en un minuto medirá (1600)(2) radianes, es decir,
Rapidez angular = (1600)(2) = 3200 radianes por minuto.
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b) La rapidez lineal de P es la distancia que recorre por minuto. Se puede encontrar esta distancia con la fórmula
s = r, con r = 3/2 pies y = 3200, por tanto,
y, en consecuencia, la rapidez lineal de P es 4800 pies/minuto.
4800)3200(23
s
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Medición de distancias en la tierra
Ejercicio:
Si el diámetro del planeta es aproximadamente 8000 millas, ¿cómo se puede calcular la distancia entre A y B si el ángulo ACB mide 45°?
B
A
C
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Movimiento del péndulo
Ejercicio:
El péndulo del reloj mide 4 pies de largo y se mueve en ambos sentidos a lo largo de un arco de 6 pies ¿Cómo se puede calcular el ángulo por el que pasa el péndulo durante un movimiento?
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Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo
caco
tan
hca
cos
hco
sen
coca
cot
cah
sec
coh
csc
Estas definiciones son independientes del tamaño del triángulo, solamente dependen del ángulo.
3 6
4 85
10
6
8
3
4tan
10
6
5
3cos
10
8
5
4sen
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Ejercicios:
1. Considera un triángulo equilátero de longitud 2. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de
= 30°y = 60°
2. Considera un triángulo rectángulo de longitud 1 en ambos catetos. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de = 45°.
2 2
2
1
1
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Distancia al Monte FujiEjercicio:
El Monte Fuji, en Japón, mide aproximadamente 12400 pies de altura. Un turista que está a varias millas de distancia de esa montaña (y que sabe trigonometría) desea calcular la distancia que le falta para llegar a la base de ésta, para lo cual observa que el ángulo entre el nivel del suelo y la cima de la montaña es de 30°. ¿Cuál es la distancia que le falta para llegar?
30°
![Page 22: calculo de arcos](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/5571fa4a497959916991c5b9/html5/thumbnails/22.jpg)
Funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos
En un sistema de coordenadas rectangulares se acostumbra representar un ángulo en “forma estándar” colocando el vértice en el origen y el lado inicial en el semieje positivo de las absisas.
-
ángulo positivo ángulo negativo
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Círculo unitario
Círculo con un radio de una unidad
(1,0 )
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
(x2,y2)
(x1,y1)
1
1
1
1
1
1
1
1
yx
cot
x1
sec
y1
csc
xy
tan
xcos
ysen
2
2
2
2
2
2
2
2
yx
cot
x1
sec
y1
csc
xy
tan
xcos
ysen
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Ejercicios:
1. Traza en tu cuaderno un circulo unitario y calcula los valores de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos
a) 90° b) 180°
c) 270° d) 360°
d) 45° e) 135°
g) 225° h) 315°
h) 60° i) 150°
j) 240° k) 330°
l) 0°
2. Haz una tabla en la que se indique la medida del ángulo en grados, en radianes y los valores de las funciones trigonométricas.
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Signo de la funciones trigonométricas
El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante en el que esté el lado final del ángulo.
Cuadrantes
III
III IV
CuadranteFunción I II III IVSeno + + - -Coseno + - - +Tangente + - + -
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Angulos Valores de las Funciones TrigonométricasGrados Radianes Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente0° 0 0.000 1.000 0.000 #¡DIV/0! 1.000 #¡DIV/0!30° (1/6) 0.500 0.866 0.577 2.000 1.155 1.73245° (1/4) 0.707 0.707 1.000 1.414 1.414 1.00060° (1/3) 0.866 0.500 1.732 1.155 2.000 0.57790° (1/2) 1.000 0.000 #¡DIV/0! 1.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0!120° (2/3) 0.866 -0.500 -1.732 1.155 -2.000 -0.577135° (3/4) 0.707 -0.707 -1.000 1.414 -1.414 -1.000150° (5/6) 0.500 -0.866 -0.577 2.000 -1.155 -1.732180° 0.000 -1.000 0.000 #¡DIV/0! -1.000 #¡DIV/0!210° (7/6) -0.500 -0.866 0.577 -2.000 -1.155 1.732225° (5/4) -0.707 -0.707 1.000 -1.414 -1.414 1.000240° (4/3) -0.866 -0.500 1.732 -1.155 -2.000 0.577270° (3/2) -1.000 0.000 #¡DIV/0! -1.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0!300° (5/3) -0.866 0.500 -1.732 -1.155 2.000 -0.577315° (7/4) -0.707 0.707 -1.000 -1.414 1.414 -1.000330° (11/6) -0.500 0.866 -0.577 -2.000 1.155 -1.732360° 2 0.000 1.000 0.000 #¡DIV/0! 1.000 #¡DIV/0!