5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 59

Práctica nº 5 :

DESCARGA POR UN ORIFICIO

5.1. INTRODUCCIÓN 5.1.1. Objeto

Los medidores del caudal circulante por tuberías más simples (y no por ello menos fiables) son los que están basados en la imposición de un estrechamiento en el conducto, y en la medida de la correspondiente caída de presión. Esta diferencia de presión se relaciona fácilmente con el caudal circulante mediante las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli, como ya se comprobó en la práctica número 2 de esta serie para el caso de caudalímetros de tubo Venturi y de placa orificio. Sin embargo el caudal así obtenido ha de ser corregido mediante un coeficiente de derrame, Cd, que tenga en cuenta que en el flujo real hay una pérdida de carga (mientras que la ecuación de Bernoulli presupone fluido no viscoso o ideal) y que la sección de paso efectiva por la zona estrecha se ve algo reducida por el efecto denominado de vena contracta. Estos dos efectos se cuantifican respectivamente mediante los llamados coeficientes de velocidad, Cv, y coeficiente de contracción, Cc.

El objeto de la presente práctica es el de visualizar y cuantificar la incidencia de

esos dos fenómenos sobre el flujo a través de este tipo de medidores. Sin embargo, para facilitar el estudio, se contemplará el caso particular de un orificio directamente practicado sobre la pared de un depósito con fluido a presión (agua). Se probarán distintas geometrías de orificio, y, en cada caso, se compararán los caudales ideales y

60 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS reales, además de otras variables, para obtener los correspondientes valores de los coeficientes de velocidad, contracción y derrame.

5.1.2. Flujo por un orificio en la pared de un tanque Supóngase un orificio de pequeña sección sobre la pared lateral de un tanque

con fluido a presión en el interior, por ejemplo con agua con la superficie libre a una cierta altura por encima del orificio, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Líneas de corriente en la descarga de un chorro desde un depósito por un orificio. Do= diámetro del orificio. Dvc= diámetro de la vena contracta.

Debido a la presión interior, por el orificio se producirá una descarga de agua, tanto mayor cuanto mayor sea el tamaño del orificio, en la dirección perpendicular a la pared. Lógicamente el fluido sale a través de toda la sección del orificio, pero en realidad la dirección de la velocidad en cada posición es distinta. En efecto, la forma de las líneas de corriente por el interior del tanque hace que en la sección del orificio el vector velocidad tenga en cada punto una componente radial hacia el eje. El conjunto de estas componentes hacen que la sección del chorro se reduzca en cierta medida tras pasar el orificio, hasta que las componentes radiales se contrarrestan entre sí. La zona del chorro en la que la sección es mínima se desgina como vena contracta. El efecto de vena contracta es tanto más acusado cuanto más vivos sean los bordes del orificio por

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 61 el interior del tanque, pues más dificultad tienen entonces las líneas de corriente para adaptarse a la geometría.

Atendiendo a la notación de la Figura 2, la carga H sobre el orificio se mide del

centro del orificio a la superficie libre del líquido. Se supone que la carga permanece constante y que el depósito está abierto a la atmósfera. La ecuación de Bernoulli, aplicada desde un punto 1 en la superficie libre hasta el centro de la vena contracta, punto 2, establece que:

2 21 1 2 2

1 22 2v p v pz zg g g gρ ρ+ + = + + (1)

En este caso, las presiones p1 y p2, son iguales a la presión atmosférica local que

se toma como referencia. Generalmente, la velocidad en la superficie libre, v1, es suficientemente pequeña, dada la gran sección del depósito, para poder despreciarla frente al resto de términos. Si además tomamos el punto 2 como punto de referencia de elevación, entonces 1 2z z H− = . Con todo esto, la ecuación (1), se escribe como:

22

2 22vH v gHg

= ⇒ = (2)

que es la expresión del teorema de Torricelli.

Figura 2. Chorro descargado a través de un orificio.

62 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Torricelli (retrato en la Figura 3) nació en 1608 en Faenza (Italia). Estudió en el Colegio Romano en Roma, donde posteriormente pasó a la Universidad de Sapienza. De 1641 a 1642 fue secretario de Galileo, ingresando posteriormente como matemático en la corte del gran duque Fernando II de Toscana (Florencia). Ocupó este puesto hasta su muerte en 1647.

Figura 3. Retrato de Torricelli.

Torricelli fue el primero en crear un indicador de vacío y en descubrir el principio del barómetro. En 1643 Torricelli propuso el experimento con el que demostró que la presión atmosférica está determinada por la altura en que un fluido asciende en un tubo invertido, sobre el mismo líquido. Este concepto contribuyó en el desarrollo del barómetro. También comprobó que el flujo de un líquido por una abertura es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, resultado es conocido ahora como el teorema de Torricelli. Estudió también la trayectoria de los proyectiles y su único trabajo publicado, Opera Geométrica (1644), incluye importantes tópicos sobre esta materia. Fue un experto en la construcción de telescopios. En realidad ganó mucho dinero con su destreza en este trabajo.

La expresión (2) proporciona únicamente la velocidad teórica, ya que se desprecian las pérdidas entre los dos puntos. El cociente entre la velocidad real, vR, y la teórica, v, recibe el nombre de coeficiente de velocidad Cv, es decir:

Rv

vCv

= (3)

y por lo tanto:

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 63 2 2R vv C gH= (4)

La descarga real, Q, del orificio es el producto de la velocidad real en la vena contracta por el área del chorro. El cociente entre el área del chorro en la vena contracta, A2, y el área del orificio, Ao, se llama coeficiente de contracción Cc:

2c

o

ACA

= (5)

de modo que el área en la vena contracta es c oC A y por tanto, la descarga real es: 2v c oQ C C A gH= (6)

Es habitual combinar los dos coeficientes anteriores en uno solo denominado coeficiente de descarga CD: D v cC C C= (7) de modo que la descarga real o caudal viene dada por: 2D oQ C A gH= (8)

Las pérdidas entre los puntos 1 y 2 no admiten un cálculo analítico, por lo que el coeficiente de velocidad Cv debe ser determinado experimentalmente. El proceso de obtención experimental de Cv, puede realizarse por medio de dos métodos diferentes:

a) Medición directa de la velocidad real vR. La determinación de vR se realiza colocando un tubo de pitot en la vena contracta.

b) Método de la trayectoria. Si se mide la posición de un punto corriente abajo sobre la trayectoria de un chorro libre desde la vena contracta (Figura 2), es posible calcular la velocidad real vR. Si se desprecia la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad no cambia y por tanto una posición de coordenada x a lo largo del chorro (como el punto 3) verificará: Rv t x= , donde t es el tiempo requerido por una partícula de fluido para viajar desde la vena contracta hasta el punto 3. Durante ese tiempo cada partícula habrá descendido una cierta distancia y bajo la acción de la gravedad; como la componente vertical de la velocidad inicial (en la vena contracta) es nula, se verificará que

2 2y gt= . Si se elimina el tiempo t en estas dos expresiones, se obtiene:

2 /R

xvy g

= (9)

64 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Finalmente a partir de vR, es posible determinar el coeficiente de velocidad a partir de la ecuación (3).

Al igual que ocurre con el coeficiente de velocidad, en general no se puede calcular analíticamente la magnitud de la contracción, Cc, y es necesario recurrir nuevamente a métodos experimentales. El procedimiento en este caso consiste en la medición directa del diámetro del chorro empleando para ello calibradores externos.

Finalmente, una vez determinados los coeficientes de velocidad y de

contracción, el coeficiente de descarga se determina aplicando la ecuación (7).

La ecuación (8) es válida para cualquier tipo de orificio o boquilla, variando únicamente en cada caso los valores de los coeficientes de velocidad, de contracción y de descarga. En la Figura 4 se presentan los valores experimentales de estos coeficientes obtenidos para tres tipos de boquilla de sección circular.

a) Boquilla cónica: b) Boquilla de Borda: c) Boquilla de trompeta:

Cv = 0.45 a 0.50 Cv = 0.98 Cv = 0.98 Cc = 1.0 Cc = 0.52 Cc = 1.0

CD = 0.45 a 0.50 CD = 0.51 CD = 0.98

Figura 4. Valores habituales de los coeficientes de velocidad, contracción y derrame para tres tipos de boquillas de sección circular

En la Figura 4, la llamada boquilla de Borda está formada por un tubo que penetra en el depósito y tiene aristas vivas. La boquilla de trompeta tiene un coeficiente de descarga más favorable que la boquilla de tobera cónica, debido a su forma más

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 65 bien fuselada, que ha eliminado las pérdidas de forma, quedando únicamente las de superficie. De cualquier modo, téngase en cuenta que los valores de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga que aparecen en la Figura 4, son solo orientativos y deben usarse con precaución, puesto que dependen de las dimensiones particulares de cada boquilla. Los coeficientes para cualquier boquilla deben obtenerse in situ mediante medidas experimentales.

La pérdida de carga en el flujo en un orificio puede determinarse aplicando la

ecuación de energía con un término de pérdidas, hp, para la distancia entre los puntos 1 y 2 (Figura 2):

2 21 1 2 2

1 22 2R R

pv p v pz z h

g g g gρ ρ+ + = + + + (10)

Considerando despreciable la velocidad en la superficie libre del fluido, sustituyendo el valor de la velocidad real en el punto 2 (ecuación 4) y tomando la presión atmosférica local como presión de referencia y la cota geométrica del punto 2 como referencia de elevación, a partir de la ecuación (10) se obtiene que las pérdidas de carga son: ( )21p vh H C= − (11) 5.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN

La práctica se lleva a cabo en el banco de pruebas del laboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo cuya fotografía se muestra en la Figura 5. Consta de un depósito de planta rectangular abierto a la atmósfera por su parte superior, y en una de sus paredes está situado el orificio donde se insertarán los distintos tipos de boquillas, así como un tubo piezométrico con escala graduada en mm que permite determinar la altura de agua en el interior del mismo. Respecto a esta escala el centro del orificio se encuentra en la cota 94 mm, que habrá que restar de la altura del agua en el depósito para obtener el desnivel entre ambos. En la Figura 6 se presentan detalles de estos dos elementos.

Durante el ensayo se tiene un chorro de agua continuo por el orificio. El agua

vertida es recogida en un tanque inferior, y desde ahí es nuevamente enviada al depósito superior (el del orificio) mediante una pequeña bomba centrífuga. Este depósito superior dispone internamente de un rebosadero, de modo que el nivel de la superficie libre permanezca constante y lo mismo ocurra con el caudal vertido. La altura del rebosadero es modificable, de modo que se puede variar a voluntad el caudal de agua derramado.

66 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Figura 5. Fotografía general del banco de pruebas

Figura 6. Izquierda: posición del orificio de descarga, con compás de medida. Derecha: tubo piezométrico para la medida del nivel de agua en el depósito.

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 67

Tabla I. Diámetros de las boquillas empleadas.

Esquema Nombre Diámetro

Boquilla de Borda 9.6 mm

Boquilla de tobera cónica 10 mm

Boquilla de tobera de trompeta 9.6 mm

Para la práctica se dispone de tres tipos diferentes de boquillas,

correspondientes a las representadas en la Figura 4. El diámetro del orificio de cada una de estas boquillas se indica en la Tabla I.

Con vistas a determinar el coeficiente de contracción del chorro correspondiente a cada una de las tres boquillas anteriores, será necesario determinar el diámetro de la vena contracta o simplemente diámetro contracto. Para ello, a la salida del orificio practicado en la pared del depósito, se dispone de un compás de puntas y un calibre, como puede apreciarse en la fotografía de la izquierda de la Figura 6. De este modo, conocido el diámetro del orificio de cada boquilla y el diámetro de la vena contracta del correspondiente chorro, queda determinado en cada caso el coeficiente de contracción.

A partir de la medida de la altura de agua en el depósito, se puede determinar la velocidad teórica del fluido en el orificio mediante la aplicación del teorema de Torricelli (ecuación 2). La determinación de la velocidad real del fluido en el orificio, se realiza mediante el método de la trayectoria por aplicación de la ecuación (9). Para poder obtener la velocidad a partir de esta ecuación, es necesario medir las distancias horizontal, x, y vertical, y, correspondientes a la trayectoria del chorro (véase la Figura 2). La Figura 7 muestra el sistema disponible para la determinación de estas coordenadas.

68 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Figura 7. Detalle del sistema de determinación de las coordenadas del chorro.

Como puede observarse en la Figura 7, para cada posición horizontal se tiene

una varilla que puede deslizarse hacia abajo hasta que intersecte la trayectoria del chorro que sale del depósito. De este modo, una vez que se establece un punto de corte sobre la trayectoria, se pueden medir las coordenadas vertical y horizontal con la simple utilización de un metro. Así es posible calcular la velocidad real del chorro y mediante la aplicación de la ecuación (3), previa obtención de la velocidad teórica por el teorema de Torricelli, el correspondiente coeficiente de velocidad.

Así pues, en este punto se dispone ya para cada boquilla de sus

correspondientes coeficientes de velocidad y de contracción, con lo que es posible calcular el coeficiente de descarga (ecuación 7) y el caudal de la descarga (ecuación 8). No obstante, para poder verificar la exactitud de los caudales experimentales obtenidos a partir de los coeficientes de velocidad y contracción, se dispone también de un método volumétrico de medida del caudal real que circula por la instalación. Para ello el canal de desagüe que recoge el caudal derramado por el orificio termina vertiendo el agua sobre un pequeño tanque o cubeta de planta rectangular (de 300 mm × 450 mm), con salida bloqueable mediante una válvula (Figura 8). Conectado al fondo de la cubeta, hay un tubo piezométrico exterior, de modo que con una escala milimetrada se puede obtener la altura de agua en la cubeta (Figura 9).

Conocido el área horizontal de la cubeta, basta observar la evolución de la

altura de agua en la cubeta a lo largo del tiempo, con ayuda de un cronómetro, para determinar el caudal: /RQ volumen tiempo= .

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 69

Figura 8. Detalle de las cubetas para medida del volumen de agua, con orificio

de toma de presión al fondo

Figura 9. Tubo piezométrico y escala para medida del nivel de agua en cubeta

Finalmente, en la práctica se dispone también de un medidor Venturi, que se habrá que calibrar para la obtención de su coeficiente de derrame. Los detalles de calibración de un Venturi han sido desarrollados en la práctica número 2 de “Medida del Caudal”. Este Venturi tiene dos tomas de presión (a la entrada y en la garganta) con mangueras conectadas a un manómetro diferencial para determinar la diferencia de

70 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS presión entre ambos puntos, como puede apreciarse en la Figura 10. El diámetro de entrada al Venturi es 31.8 mm y el de la garganta es 15.9 mm.

Figura 10. Detalle del Venturi y del manómetro diferencial

5.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL

El objetivo de esta práctica consiste en estudiar la descarga de agua desde un depósito, variando la forma y el tamaño de los orificios de salida. 5.3.1. Determinación de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga

Se desea determinar experimentalmente el valor de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga para cada una de las boquillas a través de las cuales se produce la descarga de fluido del depósito. Colocando una de las boquillas en el orificio practicado en la pared del depósito, se mide la altura de agua, H, en el interior del mismo, con respecto a la altura del orificio (94 mm sobre la escala empleada). Esta altura de agua se mantiene constante durante cada ensayo, mediante un rebosadero interno (de altura ajustable) del tanque de descarga.

Para determinar el coeficiente de contracción de la boquilla, Cc, es necesario

medir el diámetro contracto del chorro de agua que sale a través de ella, mediante el calibre y el compás colocados a tales efectos a la salida del orificio. Una vez obtenido este diámetro, el coeficiente de contracción se obtiene a partir de la ecuación (5).

5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 71

El coeficiente de velocidad, Cv, se determinará mediante el método de la trayectoria. A partir de la altura de agua en el depósito y mediante la ecuación (2), puede determinarse la velocidad teórica de la vena contracta. A continuación es necesario establecer un punto de la trayectoria del chorro de agua que sale por el orificio, empleando para ello el sistema de varillas de que se dispone en el dispositivo experimental. Una vez determinado un punto de la trayectoria, se miden las coordenadas vertical y horizontal que le corresponden. Dichas coordenadas permiten calcular la velocidad real de la vena contracta mediante la aplicación de la ecuación (9). Finalmente, el coeficiente de velocidad se obtiene a partir de la expresión (3).

El coeficiente de descarga de la boquilla, CD, se obtiene a partir del producto de

los valores del coeficiente de contracción y del coeficiente de velocidad (ecuación 7). Sin embargo, este coeficiente de descarga puede obtenerse también como el cociente entre el valor del caudal real, que se mide directamente mediante el método volumétrico descrito en el apartado anterior y el valor del caudal teórico de la descarga, dado por: 2t oQ A gH= (12)

De este modo, el coeficiente de descarga viene dado por:

RD

t

QCQ

= (13)

Debe realizarse una comparación del valor del coeficiente de descarga obtenido

por ambos métodos, así como del caudal real medido directamente y del obtenido a partir de la ecuación (8) (en esta ecuación el coeficiente de descarga que se emplea es el obtenido como el producto del coeficiente de contracción y del coeficiente de velocidad). El procedimiento se repite para las otras dos boquillas.

El proceso que acaba de describirse, debe repetirse para otro valor de la altura

de agua en el depósito, H, y los resultados se expondrán en forma de tabla en el informe de la práctica. 5.3.2. Calibración del Venturi

El objeto de este apartado consiste en realizar una calibración del Venturi, es decir, en la obtención del coeficiente de derrame del mismo. Para ello será necesario medir el caudal, mediante el método volumétrico, y la diferencia de presiones entre la entrada y la garganta del Venturi, mediante el manómetro diferencial. Las fórmulas y el procedimiento necesario para la calibración del Venturi pueden consultarse en el guión

72 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS correspondiente a la práctica de “Medida del Caudal”. Una vez calibrado el Venturi, puede emplearse el mismo como caudalímetro.

5.3.3. Efecto del número de Reynolds

Se pretende ahora estudiar la variación del coeficiente de descarga de una boquilla frente al número de Reynolds del flujo. Para ello, se colocará la boquilla de tobera cónica (diámetro del orificio de 10 mm) en el orificio situado en la pared del depósito. Para diferentes alturas de agua en el depósito, por lo menos cinco distintas, se determinará el caudal teórico de la descarga y se medirá el caudal real mediante el Venturi. Comparando ambos caudales se obtendrá el coeficiente de descarga (ecuación 13). El teorema de Torricelli proporciona la velocidad teórica de la vena contracta y con esta velocidad es posible determinar el número de Reynolds del flujo:

2Re v Dν

= (14)

donde v2 es la velocidad de la vena contracta, D es el diámetro de la boquilla y ν es la viscosidad cinemática del agua.

En el informe se incluirá una representación gráfica de la dependencia del coeficiente de descarga frente al número de Reynolds.