cálculo diferencial e integral 1 -...
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2018/Sem_02
NOTAS DE AULA
Cálculo Diferencial e
Integral 1
Limites
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Cálculo 1
Cálculo Diferencial e Integral 1
ii
Índice 2 Limites ...................................................................................................................... 1
2.1 Noção intuitiva de limite ................................................................................... 1 2.2 Definição formal de limite ................................................................................ 2 2.3 Propriedades dos limites ................................................................................... 3 2.4 Limites laterais .................................................................................................. 6
2.5 Limites infinitos ................................................................................................ 7 2.6 Limites no infinito ............................................................................................ 9 2.7 Outros limites notáveis ................................................................................... 14 2.8 Continuidade ................................................................................................... 14 2.9 Exercícios propostos ....................................................................................... 17
Referências Bibliográficas ............................................................................................ 20
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
1
2 Limites
2.1 Noção intuitiva de limite
Considere a função :f , tal que 2)( 2 xxxf .
Nas tabelas abaixo, observa-se que a medida que os valores de x se aproximam de 2
(por valores maiores ou menores que 2), as imagens destes números x tendem para 4. Com
isso dizemos que o limite de 2)( 2 xxxf , quando x tende para 2 é 4.
Simbolicamente temos: 4)2(lim 2
2
xx
x
x )(xf x )(xf
1,0 2,0000000 3,0 8,000000
1,5 2,750000 2,5 5,750000
1,8 3,440000 2,2 4,640000
1,9 3,710000 2,1 4,310000
1,95 3,852500 2,05 4,152500
1,99 3,970100 2,01 4,030100
1,995 3,985025 2,005 4,015025
1,999 3,997001 2,001 4,003001
Figura: O gráfico de uma função 2)( 2 xxxf
Outro caso: Considere a função :f , tal que
1se4
1se,12)(
x
xxxf .
Observe que, )1(43)12(lim)(lim11
fxxfxx
.
Assim, no cálculo de )(lim xfax
, o que interesse é o comportamento da função f quando
x se aproxima de a e não o que ocorre quando ax (pode ocorrer inclusive de f nem ser
definida no ponto a).
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2
Figura: O gráfico de uma função
1se4
1se,12)(
x
xxxf
2.2 Definição formal de limite
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função
definida para }{aIx . Dizemos que o Lxfax
)(lim , se para todo 0 , existe um 0 ,
tal que Lxf )( sempre que ax0 .
Exemplo: Utilizando a definição, prove que 7)54(lim3
xx
.
Resolução:
Figura: O gráfico ilustrando o 7)54(lim3
xx
Devemos achar um 0 , tal que se 7)54(30 xx .
Mas, 341247)54( xxx .
Portanto, queremos que se 3430 xx , isto é,
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3
4330
xx . Isto sugere tomarmos
4
.
Assim, se
7)54(124344
3030 xxxxx .
2.3 Propriedades dos limites
Se c , Lxfax
)(lim , Mxgax
)(lim e *Nn , então:
1) ccax
lim
2) Lcxfcxfcaxax
)(lim)]([lim
3) MLxgfax
))((lim
4) MLxgfax
))((lim
5) MLxgfax
))((lim
6) nn
axLxf
)]([lim
7) M
Lx
g
f
ax
))((lim , se 0M
8) nn
axLxf
)(lim , se 0L
Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos (Indeterminações do tipo: 00 e 0/0 ):
0)(lim
xfax
0)(lim
xgax
?))((lim
xg
f
ax
0)(lim
xfax
0)(lim
xgax
?)]([lim )(
xg
axxf
Teorema: O limite de uma função polinomial 01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxf n
n
n
n
,
quando x tende para a, é o valor numérico de )(xf no ponto a. Isto é, )()(lim afxfax
Exemplos:
1) 2)1(lim1
)1)(1(lim
1
1lim
11
2
1
x
x
xx
x
x
xxx
2) 6)6(lim)6(
lim996
lim9)3(
lim00
2
0
2
0
x
x
xx
x
xx
x
x
xxxx
3)
)39(lim
)39(
)39)(39(lim
39lim
22
2
022
22
02
2
0 xx
x
xx
xx
x
x
xxx
6
1
39
1lim
20
xx
4)
)223)(314)(314(
)314)(223)(223(lim
314
223lim
22 xxx
xxx
x
x
xx
8
9
)223(4
)314(3lim
)223)(2(4
)314)(2(3lim
22
x
x
xx
xx
xx
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4
5) ?153
2lim
32
x
x
x
Lembrar que: 22
332233 )())((
baba
babababababa
Considere 3 53 xa e 1b .
Logo, 153)53(
)2(3
11)53()53(
1)53(153
3232323
3333
xx
x
xx
xxba
Assim, 13
153)53(lim
153)53(
)2(3
2
153
2lim
323
2
323
32
xx
xx
x
x
x
x
xx
6) ?11
lim3
0
x
x
x
Novamente usaremos: 22
332233 )())((
baba
babababababa
Considere 3 1 xa e 1b .
Logo, 11)1(11)1()1(
1)1(11
3232323
3333
xx
x
xx
xxba
Assim, 3
1
11)1(
1lim
11)1(lim
11lim
3230
323
0
3
0
xxx
xx
x
x
x
xxx
7) ?353
142lim
23
23
1
xxx
xxx
x
2)32(
)132(lim
)1)(32(
)1)(132(lim
353
142lim
2
2
12
2
123
23
1
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
8) )(lim1
xfx
, sendo:
1se3
1se1
23
)(
2
x
xx
xx
xf
1)2(lim1
)2)(1(lim
1
23lim)(lim
11
2
11
x
x
xx
x
xxxf
xxxx
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5
9) ?)(senlim0
xx
x )(sen)(x
xfy
1 0)(sen)1
(sen
2
1
0)2(sen)
2
1(sen
3
1
0)3(sen)
3
1(sen
4
1
0)4(sen)
4
1(sen
5
1
0)5(sen)
5
1(sen
6
1
0)6(sen)
6
1(sen
7
1
0)7(sen)
7
1(sen
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2.4 Limites laterais
Considere a função f, cujo gráfico é apresentado na sequência:
Então:
1)(lim1
xfx
3)(lim1
xfx
)1(f não é definido (o número 1 não pertence ao domínio da função f)
)(lim1
xfx
não existe (os limites laterais são diferentes)
2)(lim2
xfx
2)(lim2
xfx
2)(lim2
xfx
1)2( f
Observação: Veja no Anexo 1, as definições formais de limites laterais.
Teorema: Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para
}{aIx . Temos Lxfax
)(lim se, e somente se, existirem )(lim xfax
e )(lim xfax
e forem
ambos iguais a L.
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2.5 Limites infinitos
Considere a função cuja regra é 2
1)(
xxfy
Temos que:
20
1lim
xx e
2
0
1lim
xx, logo
20
1lim
xx
Do mesmo modo, considerando a função cuja regra é 2
1)(
xxfy
Temos que:
20
1lim
xx e
2
0
1lim
xx, logo
20
1lim
xx
Observação: Veja no Anexo 2, as definições formais de limites infinitos.
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Definição: A reta ax é chamada de assíntota vertical da curva )(xfy , se pelo menos
uma das condições seguintes for satisfeitas:
)(lim xfax
;
)(lim xfax
;
)(lim xfax
;
)(lim xfax
;
)(lim xfax
;
)(lim xfax
Teorema: Sejam f e g funções tais que 0)(lim
cxfax
e 0)(lim
xgax
, então:
i) )(
)(lim
xg
xf
ax se 0
)(
)(
xg
xf quando x está próximo de a.
ii) )(
)(lim
xg
xf
ax se 0
)(
)(
xg
xf quando x está próximo de a.
Exemplos:
1)
21 )1(
23lim
x
x
x
2)
22 )2(
1lim
x
x
x
3)
1
12lim
1 x
x
x
4)
1
12lim
1 x
x
x
2.5.1 Propriedades dos limites infinitos
Dados Conclusão
)(lim xfax
)(lim xgax
))((lim xgfax
)(lim xfax
)(lim xgax
))((lim xgfax
)(lim xfax
0)(lim
bxgax
0 se
0 se ))( (lim
b
bxgf
ax
)(lim xfax
0)(lim
bxgax
0 se
0 se ))( (lim
b
bxgf
ax
)(lim xfax
)(lim xgax
))( (lim xgfax
)(lim xfax
)(lim xgax
))( (lim xgfax
)(lim xfax
)(lim xgax
))( (lim xgfax
)(lim xfax
0)(
1lim xfax
)(lim xfax
0)(
1lim xfax
0)(lim
xfax
|)(
1|lim
xfax
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Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos (Indeterminações do tipo: 1e,/ , 0 , 0 ):
)(lim xfax
)(lim xgax
?))((lim
xgfax
)(lim xfax
)(lim xgax
?))((lim
xgfax
)(lim xfax
)(lim xgax
?))((lim
xgfax
)(ou )(lim
xfax
0)(lim
xgax
?))( (lim
xgfax
)(ou )(lim
xfax
)(ou )(lim
xgax
?))((lim
xg
f
ax
)(lim xfax
0)(lim
xgax
?)]([lim )(
xg
axxf
)(lim xfax
0)(lim
xgax
?)]([lim )(
xg
axxf
1)(lim
xfax
)(ou )(lim
xgax
?)]([lim )(
xg
axxf
Observação: Estas proposições continuam válidas se substituirmos o símbolo " " ax por
" " ax ou " " ax .
2.6 Limites no infinito
Considere a função cuja regra é 1
1)(
2
2
x
xxfy
Temos que: 11
1lim
2
2
x
x
x e 1
1
1lim
2
2
x
x
x
Observação: Veja no Anexo 3, as definições formais de limites no infinito.
Teorema: Se n é um número inteiro e positivo, então:
i)
n
xx
lim
ii)
ímparése
paréselim
n
nx n
x
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iii) 01
lim
nx x
iv) 01
lim
nx x
Teorema: Se n
n
n
n xaxaxaxaaxf
1
1
2
2
1
10)( , 0na , é uma função
polinomial, então:
i) n
nxx
xaxf
lim)(lim
ii) n
nxx
xaxf
lim)(lim
Definição: A reta Ly é chamada de assíntota horizontal da curva )(xfy , se:
Lxfx
)(lim ou Lxfx
)(lim .
Exemplos:
1) Seja xxfy arctg)( , então:
2)(lim
xf
x e
2)(lim
xf
x
Logo, as retas 2
y e
2
y são assíntotas horizontais à curva xy arctg .
2) Seja x
xfy1
)( , então:
0)(lim
xfx
, 0)(lim
xfx
,
)(lim0
xfx
,
)(lim0
xfx
Assim, a reta 0x é uma assíntota vertical à curva x
y1
, enquanto a reta 0y é uma
assíntota horizontal à curva x
y1
.
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3) Calcule 145
23lim
2
2
xx
xx
x
Resolução:
5
3
145
213
lim145
23
lim145
23lim
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xxx
Resposta: A reta 5
3y é uma assíntota horizontal à curva
145
232
2
xx
xxy .
4) Ache as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de 53
12)(
2
x
xxfy .
Resolução:
3
2
53
12
lim5
3
12
lim53
12
lim53
12lim
22
22
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx (lembrar que se 0x ,
xx 2).
3
2
53
12
lim5
3
12
lim53
12
lim53
12lim
22
22
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx (lembrar que se
0x , xx 2).
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Logo, 3
2y e
3
2y são assíntotas horizontais da curva.
Ainda,
53
12lim
2
3
5 x
x
x
e
53
12lim
2
3
5 x
x
x
Logo, 3
5x é assíntota vertical da curva.
2.6.1 Propriedades dos limites no infinito.
Dados Conclusão
)(lim
xfx
)(lim
xgx
))((lim
xgfx
)(lim
xfx
)(lim
xgx
))((lim
xgfx
)(lim
xfx
0)(lim
bxgx
0 se
0 se ))( (lim
b
bxgf
x
)(lim
xfx
0)(lim
bxgx
0 se
0 se ))( (lim
b
bxgf
x
)(lim
xfx
)(lim
xgx
))( (lim
xgfx
)(lim
xfx
)(lim
xgx
))( .(lim
xgfx
)(lim
xfx
)(lim
xgx
))( .(lim
xgfx
)(lim
xfx
0)(
1lim
xfx
)(lim
xfx
0)(
1lim
xfx
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0)(lim
xfx
|)(
1|lim
xfx
Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos (Indeterminações do tipo: 1e,/ , 0 , 0 ):
)(lim
xfx
)(lim
xgx
?))((lim
xgfx
)(lim
xfx
)(lim
xgx
?))((lim
xgfx
)(lim
xfx
)(lim
xgx
?))((lim
xgfx
)(ou )(lim
xfx
0)(lim
xgx
?))( (lim
xgfx
)(ou )(lim
xfx
)(ou )(lim
xgx
?))((lim
xg
f
x
)(lim xfx
0)(lim
xgx
?)]([lim )(
xg
axxf
)(lim xfx
0)(lim
xgx
?)]([lim )(
xg
xxf
1)(lim
xfx
)(ou )(lim
xgx
?)]([lim )(
xg
xxf
Observação: Estas proposições continuam válidas se substituirmos o símbolo " " x
por " " x .
2.6.2 Definição do número “e”
Chamamos de número “e” ao limite da função
x
xxf
11)( , quando x tenda para
“mais infinito” ( x ), isto é: ex
x
x
11lim
. Também podemos obter este mesmo
valor através do seguinte limite: ex xx
1
0 1lim
Um valor aproximado para este número irracional e é: 2,7182818284
Exemplos:
1) 22
2
])
11[(lim)
11(lim e
xx
x
x
x
x
2) ?)3
1(lim
x
x x
Fazendo: x
w3
temos que se x então 0w
Assim, 33
1
0
3
0 ])1[(lim)1(lim)
31(lim eww
xw
w
w
w
x
x
3) ?)3
1(lim 2
x
x x
Fazendo: x
w3
temos que se x então 0w
Assim, 66
1
0
)3
(2
0
2
])1[(lim)1(lim)
31(lim
eww
xw
w
w
w
x
x
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4) 2
111lim
1
1
lim1
1
lim)1
1(lim e
e
e
x
e
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
2.7 Outros limites notáveis
2.7.1 Limite trigonométrico fundamental
1sen
lim0
x
x
x
Exemplos:
1) ?2
22senlim
2senlim
0 0
x
x
x
x
xx
Fazendo: yx 2 temos que se 0x então 0y
Assim, 212sen
lim22sen
lim2
22senlim
0 0 0
y
y
y
y
x
x
yyx
2) 5
3
1
1
5
3
5
5sen3
3sen
lim5
3
5
5sen5
3
3sen3
lim5sen
3senlim
0 0 0
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xxx
3)
)cos1(
senlim
)cos1(
cos1lim
)cos1(
)cos1()cos1(lim
cos1lim
2
2
0 2
2
0 20 20 xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx
2
1
2
11
2
1sen lim
cos1
1lim
senlim
2
0 0 2
2
0
x
x
xx
x
xxx
2.7.2 Outro limite importante
ax
a x
xln
1lim
0
Exemplos:
1) 313ln33
)1(lim3
3
)1(3lim
1lim
3
0
3
0
3
0
e
x
e
x
e
x
e x
x
x
x
x
x
2)3
5
ln3
ln5
3
)1(3lim
5
)1(5lim
3
)1(3
5
)1(5
lim1
1
lim1
1lim
3
0
5
0
3
5
0 3
5
0 3
5
0
e
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
e
ex
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
2.8 Continuidade
Se uma função f é definida em um intervalo aberto I e Ia , dizemos que f é
contínua em a, se )()(lim
afxfax
.
Isto significa que:
(i) f está definida no ponto a, isto é existe )(af ;
(ii) existe )(lim
xfax
;
(iii) )()(lim
afxfax
.
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Se uma função f é definida em um intervalo aberto I e Ia , dizemos que f é
descontínua em a, se f não for contínua em a.
Isto significa que:
(i) f está definida no ponto a, isto é existe )(af ;
(ii) não existe )(lim
xfax
ou )()(lim
afxfax
.
Exemplos:
1) 2
2)(
2
x
xxxf
A função f não está definida no ponto 2x .
2)
0se1
0se1
)( 2
x
xxxf
A função f está definida no ponto 0x , porém,
)(lim0
xfx
. Logo, )0()(lim0
fxfx
, isto
é, f é descontínua no ponto 0x .
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3)
2se1
2se2
2
)(
2
x
xx
xx
xf
A função f está definida no ponto 2x , porém, 3)(lim2
xfx
, isto é )2()(lim2
fxfx
, logo, f
é descontínua no ponto 2x .
4) Verifique que a função )(xfy é descontínua nos valores inteiros do domínio.
Observação: )(xfy é chamada de função maior inteiro, isto é, associa a cada valor
de x, o maior inteiro que é menor ou igual a x.
5) Verifique a continuidade da função f no ponto 1x , sendo
1se4
1se12)(
x
xxxf .
(i) 4)1( f ;
(ii) 3)(lim1
xfx
;
(iii) )1()(lim1
fxfx
.
Logo, f é descontínua no ponto 1x .
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6) Verifique a continuidade da função f no ponto 4x , sendo
4se210
4se2
4se103
)(
xx
x
xx
xf .
(i) 2)4( f ;
(ii) 2)(lim4
xfx
;
(iii) )4()(lim4
fxfx
.
Logo, f é contínua no ponto 4x .
7) Determine a para que a função
3se3
3se3
12
)(
xax
xx
x
xf , seja contínua no ponto
3x .
Resolução:
(i) aaf 933)3( ;
(ii) axfx
9)(lim-3
;
2
1
12
1lim
)12)(3(
)12)(12(lim
3
12lim)(lim
3 3 3 3
xxx
xx
x
xxf
xxxx
Logo, para o limite existir devemos ter:
)(lim-3
xfx
)(lim3
xfx
, ou 2
17
2
19 aa
Proposição: Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então:
(i) gf é contínua em a;
(ii) gf é contínua em a;
(iii) gf é contínua em a;
(iv) gf / é contínua em a, desde que 0)( ag .
2.9 Exercícios propostos
1) Sendo f dada por
2se3
2se6
2se23
)(
2 xx
x
xx
xf , construa o gráfico da função f e
determine:
a) )(lim2-
xfx
Resposta: 8
b) )(lim2-
xfx
Resposta: 7
c) )(lim2-
xfx
Resposta: não existe
2) Calcule os seguintes limites:
a) x
x
x
102
104lim
6. Resposta:
2
1
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b) Calcule 1
1lim
3
1
x
x
x. Resposta:
3
1
Lembrar que: 22
332233 )())((
baba
babababababa
3) Calcule o seguinte limite: )43(lim 2 xxxx
Resposta: 2
3
4) Calcule os seguintes limites:
a)2
81lim
x
x x
Resposta: 4e
b)
3
1
4lim
x
x x
x Resposta: 3e
5) Calcule os limites:
a) x
x
x 5sen
5senlim
0 Resposta: 5
b) x
x
x 3
2tglim
0 Resposta:
3
2
6) Sabendo que se 0a , então ax
a x
xln
1lim
0
, calcule
ax
ax
ax
33lim
.
Sugestão: Dividir o numerador e o denominador por a3 .
Resposta: 3ln3 a
7) Determine todas as assíntotas horizontais e verticais das funções cujas regras são:
a) 12
x
xxf . Respostas: Assíntotas verticais: Não existem. Assíntotas
horizontais: 1y e 1y .
b) 72
34 2
x
xxf . Respostas: Assíntota vertical:
2
7x . Assíntotas horizontais: 1y e
1y .
8) Para quais valores da constante c a função f é contínua em , ?
2se
2se2)(
3
2
xcxx
xxcxxf
Resposta: 3
2c
9) Determine a para que as funções abaixo sejam contínuas nos pontos especificados:
a)
0se43
0se22
)(2 xaxx
xx
x
xf no ponto 0x .
Resposta: 4
2a
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b)
0secos
0se2sen
tg
)(
xa
xx
x
xf no ponto 0x .
Resposta: Zkka ,23
c)
4se3
4se4
2
)(
xax
xx
x
xf , no ponto 4x .
Resposta: 4
47a .
10) Construa o gráfico da função f e verifique a continuidade desta função no ponto 2x ,
sendo
2se27
2se1)(
2
xx
xxxf . Resposta: f é contínua em 2x .
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Referências Bibliográficas
1. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. Cálculo A – Funções, limite, derivação e integração.
6.a Edição. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2006.
2. Iezzi, G. e Murakami, C. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 1. 6.a Edição.
São Paulo: Atual Editora, 1985.
3. Iezzi, G. et. al. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 8. 6.a Edição. São Paulo:
Atual Editora, 1985.
4. Lima, E. L. et. al. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. 6.a Edição. Rio de Janeiro:
Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
5. Stewart, J. Cálculo. 6.a Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
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ANEXO 1 – Definições formais de limites laterais
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] ba . O limite de )(xf ,
quando x se aproxima de a pela direita, será L e escrevemos Lxfax
)(lim , se para todo
0 , existir 0 , tal que se ax0 , então Lxf )( , isto é:
))(0/0,0()(lim
LxfaxLxfax
Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] ab . O limite de )(xf ,
quando x se aproxima de a pela esquerda, será L e escrevemos Lxfax
)(lim , se para todo
0 , existir 0 , tal que se 0 ax , então Lxf )( , isto é:
))(0/0,0()(lim
LxfaxLxfax
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ANEXO 2 – Definições formais de limites infinitos
Definição 1: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a, )(xf cresce ilimitadamente, o que é
escrito
)(lim xfax
, se para qualquer 0M , existe 0 , tal que, Mxf )( , sempre que
ax0 .
Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax
Definição 2: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a, )(xf decresce ilimitadamente, o que é
escrito
)(lim xfax
, se para qualquer 0M , existe 0 , tal que, Mxf )( , sempre que
ax0 .
Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax
Definição 3: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores maiores que a, )(xf cresce
ilimitadamente, o que é escrito
)(lim xfax
, se para qualquer 0M , existe 0 , tal
que Mxf )( sempre que ax0 .
Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax
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Definição 4: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores menores que a, )(xf cresce
ilimitadamente, o que é escrito
)(lim xfax
, se para qualquer 0M , existe 0 , tal
que Mxf )( sempre que 0 ax .
Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax
Definição 5: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores maiores que a, )(xf decresce
ilimitadamente, o que é escrito
)(lim xfax
, se para qualquer 0M , existe 0 , tal
que Mxf )( , sempre que ax0 .
Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax
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Definição 6: Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja ainda uma função f definida em
}{aI . Dizemos que quando x se aproxima de a por valores menores que a, )(xf decresce
ilimitadamente, o que é escrito
)(lim xfax
, se para qualquer 0M , existe 0 , tal
que Mxf )( , sempre que 0 ax .
Simbolicamente: ))(0/0,0()(lim MxfaxMxfax
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ANEXO 3 – Definições formais de limites no infinito
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que
quando x cresce ilimitadamente, )(xf se aproxima de L e escrevemos Lxfx
)(lim
, se
para qualquer 0 , ainda que pequeno, existe 0N , tal que Lxf )( sempre que
Nx .
Simbolicamente: ))(/0,0()(lim
LxfNxNLxfx
Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que
quando x decresce ilimitadamente, )(xf se aproxima de L e escrevemos Lxfx
)(lim
, se
para qualquer 0 , ainda que pequeno, existe 0N , tal que Lxf )( sempre que
Nx .
Simbolicamente: ))(/0,0()(lim
LxfNxNLxfx
Definição 3: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que
quando x cresce ilimitadamente, )(xf cresce também ilimitadamente e escrevemos
)(lim
xfx
, se para qualquer 0M , existe 0N , tal que Mxf )( , sempre que
Nx .
Simbolicamente: ))(/0,0()(lim MxfNxNMxfx
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Definição 4: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que
quando x cresce ilimitadamente, )(xf decresce ilimitadamente e escrevemos
)(lim
xfx
, se para qualquer 0M , existe 0N , tal que Mxf )( , sempre que
Nx .
Simbolicamente: ))(/0,0()(lim MxfNxNMxfx
Definição 5: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que
quando x decresce ilimitadamente, )(xf cresce ilimitadamente e escrevemos
)(lim
xfx
, se para qualquer 0M , existe 0N , tal que Mxf )( , sempre que
Nx .
Simbolicamente: ))(/0,0()(lim MxfNxNMxfx
Definição 6: Seja f uma função definida em um intervalo aberto [,] a . Dizemos que
quando x decresce ilimitadamente, )(xf também decresce ilimitadamente e escrevemos
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)(lim
xfx
, se para qualquer 0M , existe 0N , tal que Mxf )( , sempre que
Nx .
Simbolicamente: ))(/0,0()(lim MxfNxNMxfx