calculo diferencial y integral de medina

8/15/2019 Calculo Diferencial y Integral de Medina

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MATRICES

\.AxlI!

,NTEGRALlng, Washington Medina M.Sc.


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral lng. M.Sc. Washington Medina G.

PRESENTACION

La presente obra está estructurada para ser base de consulta de/os cursos de Cálculo Diferencial e lntegralgue se impaften en ,asFacultades de lngeniería, pañicularmente, para la Facultad delngeniería en srbfemas de la Universidad Técnica de Ambato,tomando como referencia Ios contenidos programáticos deconformidad al Pensum de esfudrbs.La intención de su contenido va dirigida al hecho de que, srn serrigurosa a caer en la modalidad exagerada de la teorizaciónexcesiva, facilite el acceso agradablemente práctico que permitaal estudiante vencer el temor tradicional gue causa este tipo deasignaturas.Se desanotla la obra con un ligero y práctiio recorrido de ta teoríade matrices, determinantes y sus drVersas fórmas de cálculo, paraconcluir con la solución de sísfemas de ecuaciones /lneales y susdiferentes casos.En lo referente al Cálculo Diferencial lntegral, se óusca dar unenfoque que perm¡ta comprender el surgimienfo de esfas teorías ysus diyersas aplicaciones a casos prácticos, planteando /as yíasde solución.Como puede percibirse, no se busca exponer novedades, cambioso modificaciones a tada una historia científica, sino, dotar de undocumento que facilite al estudiante una seguimiento de /oscontenidos por el a aprehender; y, disponga a la mano de unaherramienta de consulta para su presente y futuro reco¡rido por lacarrera u n iversitaria.

ELAUTOR


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 2 lng. M.Sc. Washington Medina G.con rEfvroos

MATRICES1. Matrices 6

Matriz cuadrada, igualdad de matrices, matriz nula,2. Mat¡ices especíales 7

Matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz inversa,matriz traspuesta, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matrizcanjugada, matriz hermítica y antihermítica.3. Casos páltibutates dé matrices cuadradas I4. Operaciones con matrices I

Suma algebraica de matrices, muttiplicación de matrices...,---; 5. Matriz equlvalente 11

Transformacrbnes elementales de linea13. Matríz inversa

Cálculo de la matriz inversa.7. Determinañtes 14

Re§ resentación, determi n antes de seg ndo orden, determ i nantesde tercer orden8. Propiedadéé de los determinantes 159 . Métodos de cátcuto de determinantes de orden n 17

UeIoAo de /os cofactores, cofactor, método de variante decofáctores, método de /os elementos de la diagonal, método.:1, pivotar.10. Sísúema5 de ecuaclones lineales 25

Ecuaciones lineales11. Sislemas de ecuaciones lrneales de n ecuaciones con n incógitas 26

Srbfema no homogéneo de ecuaciones, srsfema homogéneo deecuaciones12. Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas 28

Slsfemas redu ndantes, slsfemas defecfuosos13. Métodos de solución de sísfemas de ecuacíones lineales 31


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral lng. M.Sc. Washington Medina G.

Matriz ampliada (método de Gauss), método de Crammer, métodode la matriz inversa, método de Gauss-Jordan o eliminacióngausslana,CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL74. Teoría de límites

lnte¡valos, Función de una variable15. Límites y continuidad76. Teoremas sobre límites17. Límites laterales18. Límites infinitos y timites al infinito19. Límttes partículares20. Formas de levantar la indetermínacíón

Cálculo de límites con cambio de variable21. Límites que no exísúen22. Continuidad y díscontinuidad de una funcí6n23. Variación

I ntroducción, comparación de incremenfos, incrementos24. El problema de la tangente25. El problema de ta vetocídad26. Derivación

i:] 27. Regla de derívación28. Principales regla de derivación29. Fórmulas de de¡ivación de las principalesfunciones30. Derivación de funciones compuesfas31. Derivadas de funciones no explicitas

Derivación de funciones inversas, derivada de funcionesimplicitas, derivadas logarítmicas, derivada de funcionesp aramétricag derfuadas sucesrvas.

S2.lnterpretacíón física de la segunda derívada

36

383940403742

424344

464718495o505152

54


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646565


33. Ejercicios generales de derivación31. La diferencial35. Apliqaciones de derivación36. Construcción de gráficas de funciones con sus punfos característicos

Crecimiento y decrecimiento de una función, máximos y mínimosde una función, definición de máximos y mínimos, puntos deinflexión, dirección de la concavidad, asínfofas, asíntota oblicua,asíntota horizontal, asíntota vertical, puntos de cruce con el eje x,procedimiento para gráficas.S7.Aplicaciones de la derivada a problemas de optimización38. Velocidad y aceleración39. Teoremas del vator medio

Teorema de Lagrange, Teorema de Rolle, Teorema de Cauchy:l ,l40. Aplicación de détlVációtt al cálculo de límites (Reyla de L'Hopital)

4T.lntegración;

42. Ffllmulüs de inte§lación43. Técnicas, métodos o artilicios de intégración

Método de sustitución, sustituciones trigonométricas, integraciónpor partes, integrales de la forma ax2 + bx + c, aplicación de lateorfa de las fracciones racionales, función racional entera,integración de funciones irracionales, intégración de diferencialesbinomias, integración de funciones trigonométricas.44. Constante de integración45. lntegral indefínida

4.7 Aplícaciones de la intégral48 Areas en coordenadas polares19 Longitud de arco de una curua50 Centros de gravedad51 Areas laterales o superficies de revoluciónd2Volúmenes de sófídos de revolución

545657

57

67686870

4,j77798081

8283858788


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral lng. M.§c. Washington Medina G.

53. I ntegral es m ú ltipl es54. Volúmenes en el espacio55. Ejercicios de aplicación56. Ecuación diferencial57. Aplicaciones a las ecuacíones diferenciales58. Tipos de una ecuación59. Orden de una ecuación diferencial60. Grado de una ecuación61. Solución de una ecuación díferencial62. Solucíón general y partícular de las ec. Diferencíales63. Ecuaciones diferencíales de primer orden y primer gradoecuaciones con variables separadas, ecuaciones homogéneas,ecuacianes diferenciales /¡neales, ecuaciones diferenciales exacfasfactores integrantes, determinación de factores integirantes; ft'aerlcionesque pueden reducirse a la forma lineal.61. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.64. Ecuaciones díferencíales lineales homogéneas deOrden superior con coeficienúes consúanfes65. Ecuaciones diferenclales lineales no homogéneas deOrden supertor con coefícienúes corsúanúes66. Sísfemas de ecuacrbnes diferenciales lineales

h om ogéneos con coeficientes consúanfes67. La transformada de Laplace.69. Definición de transformada de Laplace70. Transformadas de funciones elementales71. Derivadas de transformqdas.: ..72. Transformadas de deriuadas73.T ran sform adas i nversas74. Aplícación de transformadas a problemas de valores íniciates75. Funciones periódicas, Funcíón Gamma, ConvolucíónTS.Teorema de ta tardanza, Series de FourierüL E1'ercíc ios generales

909191989898999999100101

112

114

114

119126126128128

129130131131132134


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denom i n a triang ular inferior.I an Qtz ?ts ár¿ \I O dzz azs Qz¿ Iloodssás¿lLo o o ,*_)


2. MATRICES ESPEC'ATESMatriz triangular superíor e inferior.- Una matriz cuadrada A cuyos elementos ag- 0 parai>j se llama triangular superior, una matriz cuadrada A cuyos elementos aq= 0 para i


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral lng. M.Sc. Washington Medina G.Propiedades.-1.-r¡rA¡ = ¡2.-r(k*A) = k*rA3.-r(A+B) =rA +rBa -r¡e+q =rg *r¡Natriz simétrica y antisimétrica o hemisímét¡ica.- lJna matriz cuadrada es simétricacuando'A=A, es antisimétrica o hemisimétrica cuandorA --ASe aplícan las siguientes propiedadesl. SiA es simétrica, entonces K*A = K*rAEjemplo 6: Verificar si 3*A = 3*rASiendo: (t 2 3)e=lz 4 -s Ils -5 6 ISolución: \ )2.- Si A es una matriz cuadrada de.orden n, la matriz A +rA es simétrica.A+rA=r(A+rA)Ejemplo 7:

Porlotanto A + rA ='(A *'A)Matriz conjugada.- srbndo a y b números reales, y, i = JT,h expresión z = a + bi,representa a un número complejo.Si una matriz esfá representada por números comptejos, la matriz conjugada se obtiene atreemplazar ipor -i.A la matriz conjugada se la identifica con Á.

Ar= ft, i -fl ,*= G iz,,} ,,o=6 ,i,,eLs -s

))v.]..

fi2s)A- h 4 -slU-5 6)=G i-:]^=Gi *]. Gi í] = E i,,il

.:,. f2 4 6-'l,(e+rA)= la I -1olL6 -10 12)


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral

Ejemplo 8:Encontrar la matriz conjugada de A, siendo A:

lng. M.Sc. Washington Medina G.

+C= (A+B)k

§= V,, ,.rl;l( 1-4iTA=[

O

t;'

Matriz hermítica y antihermítica.- Una matriz cuadrada A es hermítica o autoadjuntacuando la transpuesfa de la conjugada es igual a A.'(A)=eUna matriz cuadrada A es antihermítica cuando la transpuesta de la conjugada es -A-''(A ) =-AMatriz ottogonal.- Una matriz cuadrada es oñogonal cuando:A*rA= I3. CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS..Matrices Permutables y No Permutables.-

Si; A * B = B * A son matrices permutables o conmutativasSr: A * B = -B * A son matrices no permutaóleso anticonmutativas.Matriz ldempotente.- Cuando A2 = AMatriz Periódica.-Cuando Ak*1 = A siendo k = número entero y positivo, ltamado período dela matriz cuadrada.Matriz Nilpotente.- Cuando Ap = 0 siendo p = número entero y positivo, Ítamado índice dela matriz Nilpotente.Matriz tnvotutiva.- Cuando A2 = I4. OPERACIOA'ES CON MATRICES.-Suma algebraica de matríces.-La suma o diferencia de matrices es posrb/e realizarlasiempre y cuando las matrices que interuengan tengan el mismo orden. cij = s¡ * bü

brr')bnIbrz ) p,) +B)Gr)( a,,A- |u"L ,,,(",, c,, )Ic, czz IL"r, cr, ) rrrr)

(A+B)kA+kB

atzázzáu =l*,:b,,

c-PROPIEDADES..1.- conmutativa2.- asociativa3.- siendo k un escalar4.- existe una matriz d talque

A+B=B+AA+(B+C)=k(A+B) =A+D = B


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Matrices y Cálo:lo Diferencial e ¡ntegral

Multipl i cacion de m atrices.-Multiplicacion de un escalar por una matriz.-

Sea:( átt átz 'l

A- Lr¡ dzz )

10 lng. M.Sc. Washington Medina G.

y k es un escalar:k*A =

ejemplo 9: multiplicar 3 por la matr¡z indicada:

Multiplicacion de dos matrices.-Para multiplicar dos mafnbes, su condición fundamenfal es de que el número de /ascolumnas de la primera matriz sea igual al número de fitas de la segunda matriz , elresultado tendrá por lo tanto como orden mxn donde:m = número de filas de la primera matizn = número de columnas de la segunda matrizejemplos: Asrz* Buz = Cyz

Asra* Bart = CsrtAmxp"Bpxn = CmxnPara multiplicar dos matrices A, I se muttiplica cada elemento de ta fita de la primera matrizpor su conespondienfe de la columna de la segunda matriz, la suma de /os productosparciales será elelemento de la matriz resultante C.

lfz:, fz::)A=ln 2 6 ?)

3*A = hz 6 tB 21). ::r il

\11

( átt atzl ( bn br, ór¡'l ( attbtt+ btzbx dttbtz + íttzbzz e11b1s +...1L a1 a22)* lb21 b22 órrJ =L dxbtt + ázzbx dztbn+ ezzbzz a21brr+...)

; aflb¡2 ; ailbil;dizb¡z ;a¡zb¡s I; albP ; a¡sb¡s )

( anbt¡I a¡zbt¡I a¡sbt¡(2x3)

A*B =


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 11 lng. M.Sc. Washington Medina G.Ejemplo 10: multiplicar la matriz A con la matriz B siendo:(, sl (, 2 ,-)A - [z -6)¡zrz) '= L á ó :1)

A"B= 2*2 + 5*0'7*2+¡_6)*0;

(2x3)

2*7+5*(-1)7*7+5*¡-11

(28 + s*s;[r=. ( 6). 5;f"4--s 14 s)*)"*"*B =

Propiedades.- Suponiendo que A, B, C son matrices del mismo orden respecto de la sumay producto, se tiene:1.- A(B+C) =2.- A( BC )Sin embargo:

AB + AC Distributiva( AB )C AsociativaB t BA generalmenteAB = Q implicanecesariamentequeA=0óB=0AB = AC . implica necesariamente que B = C5. Matriz equivalente.-Dos matrices se drben equivalentes fila (cotumna), si la matriz A se altera mediante unasucesión de transformaciones elementales de filas (cotumnas).A É B (Matriz A es equívalente a ta matriz B).Los cambios o transformaciones elementales apticados a un sistema de ecuacioneslineales, no alteran /as so/uciones.Tran sformacíones elementales de linea.-son /as operaciones con matrices que no modifican a la matriz originat.Se pueden realizar las srgubafes operaciones:1.- Permutar o cambiar filas.(Permutar o cambiar columnas).2.- Multiplicar Cada elemento de una fila por un escalar no nulo.(Multiplicar cada elemento de una columna por un escalar no nulo).3--La suma de /os elementos de una fila o columna con los correspondientes de fita ocolumna multiplicado por un escalar.Las transformaciones elementales según sea e/ caso se denominan:- Transformaciones Hementales de Fita.


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Matrices y Cálculo Diferenciale integrat 12 lng. M.Sc. Washington Medina G.- Transformac¡ones Elementales de Columna.

lVo es conveniente MEZCLAR las transformaciones de fitascon las de columnasEjemplo 11:1.- Dada una matriz A, transformarla en una matriz triangular superior y diagonat.

'f= li 23)5 6l78)

Ejercicios:1.4 1. Transformar la matriz A en matriz triangular superior y matriz triangutar inferior6 1 -3 -3)

f= lo 1 2. 1llz 1 o ".s1kol,2. Transformarla matriz indicada en matriz triangular superior(t 2s)lz 4 s Il7 1o It' ")

i 4,,,G

ft,i,)0,,[ ?A(t2a)ls --3 -jr-rn,i N,,,A i t

q

2 3')(-5)-3 -olle)2 i}-ur-3 -olta)

ll i il'' tlll i'il*' üG 1,tr,, G

(t olo 1Lo o(, o ,)lo t zlLo o -l tz¡


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\ .:.:.)

Matrices y Cálculo Diferenciale integral 13 lng. M.Sc. Washington Medina G.Obtener la matriz triangular superior, triangular inferior y diagonalde /as srgur'enfes matrices:

6. Matriz ínversaSean A Y.p.los-matrices cuadradas de orden n de forma que A*B = *A = I de cumptirseesta condiciÓn: B es la matriz inversa de A y reciprocamente A es la inversa de B; es decir:B=A'i ^ A-B-iNo todas las matices tienen inversas, la condición necesaria y suficiente para que unamatriz cuadrada posea inversa es gue sea regular (Determinante * 0). En'et capituto dedeterminanfes se analizara gue es una matriz regular con más profundidád.Calculo de la matriz inversa.-Para calcular una matriz inversa se escnbe la matriz amptiada o aumentada y con la ayudade las transformaciones de fila se debe obtener la siguiente equivalencia:(A.l J - [ |. BJ (Bserá tamatriz inversadeA.)Para comprobar que la matriz inversa esia bien catculada, se deóe realizar ta siguienteoperación: A*A-t = A*B = IEjemplo 12:

7/2 11 t5/2-1 -sl -t1/2 -t l-Sns -sl-s13 -7-42-3210 -10

s) 3,ií;l 4) 0,:;:, l' fiii) s z t o I I I 1 1 1-ot7o-1 o) E;0,0,?) \'-)

f, 2 3n 111/2 o 0 olr-a(,¿)(1 2 s/2 1t1/2U ?'?,:4'{ I i s,) ,)'¿ ?,i izl'.tft 2 y2 11 1/2 0,",.0 ;h ft olo 1 -1 -sl-1 o 1 ole4etlo 1lo o 1/2 -tl-y2 1 o ol I lo oV -3 B tot-2 o o il- Lo os/2 o -2o)-.' ft o o la-t o 1 ol1 I lo I o _7-3 2 o ol(1)(-7/2)(.01 0 o 1 _2-s o 3 y' t L, o o s

1/2 0 0 0)(-3)o t o o l-Jo o 1 o Io o o r)1000\(1/2)(1 23/21o I o ol ls 6 s 2o o 1 ol lz s 2 -so o o r) (f s t4 14f2432ls 6 s 2lz s 2 -3trs1414

0010

oo)o olt olo t-)01o0-2

103o)olo).{z)

-2 ó)1 0lool3 r)orct(t o 7/2 11lo 1 -1 -slo o 1 -2V o 5-s


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 14

lilng. M.Sc. Washington Medina G.

0 a 18 113 -T -21 0 -71-4 2 I0 1 -2 l-3 2 O'0 0 1 12 -2 3/5.23 29 -&t/510 -12 26/51 -2 A/52 -2 3/5

i_i .? q(i i, il3-1,(t o ol0 1 0l0 0 IL00o

Ejercicios de lnversa de Matrices.-'tio e n ftko001

7. DETERMINAÍVTESEs un número real asrciado a una matriz cuadrada, o es e/ número representativo de unamatriz.Represenúacián.- SíA es una matriz cuadráda, eldeterminante dé Ase representa por:Det.A Ó A Ó ADeterminanúes de segundo orden.- tJn determinante de segundo orden se represen ta así:

H cálculo de esfe determinanfe se /o define así:?oDeterminantes de orden J ( tercer orden).-así:

o, = l,Í,' :r) = ( ott áreltu, ar,)ofb2- á2*b1

Az= 3x6- 7x4 = 18 - 28 = -10

Az=Ejemplo 13:lt tl6J

Una determinante de orden 3 se represenfa


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Elcálculo se lo define así:1.- lncrementando dos mlumnas ( I y 2 )i;lbr)

lng. M.Sc. Washington Medina G.5

( an an dts dttar, -)I a, ar, áp á27 á22 |L asr A¡e á3s d31 á3j )

o,=fl', Z', ;l = Vf, Z';: ;;]r' ?3c1 átc2 Q2cs oe

(r, btAr= | a2 bz\a, bs

Ejemplo 14:I (t 2 r-)l¿ 3 2l[s 7 a)(s21s¿t= 14 3 2 4L57-35A=-27+20+29-15-42+24A= -12

A3 = atbzca +brczas + ua2b3 - asbzct - b*zat - csazbt2.- lncrementandodos filas.- bajo similar procedimiento, elresultado será el mismo.

,

8. PROPIEDADES DE LOS DETERMINA'VIESEs conveniente aplicar algunas propiedades dedeterminanfes de otden n, esfas son;En una matriz cuadrada.-

Ios determinantes para calcularl.- S, los elementos de dos filas o dos columnas son iguates o proporcionales, eldeterminante es igual a cero. l-a b 'r'cl¿=l m n p I = A=0l_a b cl2.- Si los elementos de una fila o de una columna son rguales a cero, el determinanfe esb c-lo o | =n pJ A=0

cero: faz=l oL,"


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 16 lng. M.Sc. Washington Medina G.3.- Si /as filas de un determinanfe se cambian por las columnas conespondientes, el valordel determinante no se altera (el determinante de una matriz es igual al de sutraspuesta):fa,bn| ", brl = e1b2 - d2b1LJ

fa, az 1Lh, br) = d1b2-o2b14.- Si se intercambian dos filas o dos columnas de una matriz, el determinante cambia designo (un cambio de signo por elintercambio de dos f/as o dos columnas )

5-- S, a los elementos de una fila o columna se /es multiplica por una constante k, el[s 'z l [¿ i i]determinante queda muÍtiplicado por dicha constante.I ka, kb, Il-a, b, J = k a1b2- kazbt - k(agrazb) = fotn"Lr, y,7k puede sertambién un factor común de los de una fila o columna6.- Si cada elemento de una fila (o columna) es igual a la suma de dos cantidades, el

determinante puede escnb¡ise como la suma de dos determinantes.l:,.r';,) = lo;,7.- Sicada elemento de cualquierfila (o columna ) de una matriz se multiplica por un númerok y el resultado se suma (ó se resta) al elemento conespondiente de otra fila ( ocolumna ), el valor del determinanfe no se altera.(nbc)ld e rl o,.=

[o n ,):Eiemplo 15. Comprobar en los siguientes ejercicios las propiedades indicadas:

r,7 .lr t:7lz i rl=fi z i]_ o*t ¡a¡n i+kc ) L, hPropiedad 1.-A- [: t) A=3x4-3x4=0


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 17 lng, M.Sc. Washington Medina G.Propiedad 2.-[= foL,Propiedad 3.-r=f¿[a

3l,rrrr)1

?l=ú5-l7Jn5l9J 9x6-10=443l=[? 3]+t";l

= 27 - 5+ 27 - 5= 27 + 27 - 10 = 44

A=0

A=28-4O=

A=28-40=

A= -12A=40-28= 12

Propiedad 4.-f¿Lar8L¿Propiedad 6.-t2

[- s+¡L t*tPropiedad 7.-.lú n) =[1 e¡ 44-42=2-28+30=2

( se da elcambio de signo)

En este caso, se mult¡pl¡có a laprimea fila por -3 y se resto ala segunda fila

g. METoDos DE cÁLcUI:Q DE DETERMINAII,TES DE C,RDEN nComo pudo verse, ta resotución de determtinantes de segundo y tercer orden se la realizadirectamente con diagonales, para determinantes mayores de orden 3, se aplica lossrgurenfes métodos:1.- Método de tos cofactores2.- Método de variante de cofactores3.- Método'de los elementosl de la diagonal4.- Método PivotalNOTA.- Esfos son aplicables a cualquier arden (lncluido 2 y 3)


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 18 lng. M.Sc. Washington Medina G.Método de los cofactores.- Esfe método utiliza los menores complementarios, donde'eldeterminanfe es e/ resultado de la suma de /os cofactores.

Menores complementarios.-El menor complementario de un elemento aijes el determinante resultante de eliminar las fila i yla columna jdelelemento escogido.Ejemplo 16: Calcular el menor complementario M32 de la siguiente matriz:

¡r; coractor - ';,':;::,:i:::i::,::;:i:iáy;::,3'{iÍil,Y¿3:;:,!"'"' comptementarioCÜ =(-1)¡*i*MiEjemplo 17:Calcular los cofactores de /os ejercicios anteriores:M3z= 17 Crr= (-1)3+2 * 17 = (-1)S * lT = -17Msz= 4 Q = (1)3+2 * 4 = (1)5* 4= _4lJna vez identificados los meno res complementarios y los cofactores, el determinante vienedefinido por: A=É or*c,j=r

n*.,,i a =L,=rau* ?l)


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Matrices y Cátculo Diferencial e integral 19

C3a = (-l)34

lng. M.Sc- Washington Medina G.

=-($7)=l= ($-5) = 4

=-(21-10)=-11

= -15

Ejemplo 18.Catcylareldeterminante-delassrgurbnfesmatrices:l-s 2 11I ¿ 3 2lLs r sJEscogemos la fila 2:341 c2¡=(1)2*1 fz ilt 3J lt 3Jb11P-J c22*(-i)2*2 [; 3]

*f c6=(1)xs[; N' Czt * On* Czz + €lze' Czs1+3* 4-2* 1121013 1 o Io 2 2l1 3 3J

I par tener más ceros:M ca3={.1)3*" I i,il=*Gif00

A = a3/# a n:csz + a ocr?Ác*


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Matrie¿s y Cálculo Diferenciale integral

A=2',(21)+2*15 *44=-12lng. M.Sc. Washington Medina G.

Método de variante de cofactores.- Cuando elteorema se aplica a determinantes de ordenelevado, el desanollo completo requiere de una grancantidad de operaciones aritméticas, enfonces esconveniente utilizando las propiedades ya indicadas(especialmente la propiedad 7) transformar a ceros lamayor cantidad de elemenfos de la columna o filaescogrda y aplicar el método de /os cofactores,

Ejercicios. Catcular tos determinanfes de las siguíentes matrfcess). ft 3 2f tqf l 1 o t1VtI) lzrii) - 0 4=-56ejemplo 20 :h;iA [;;iil l:,^iillz ? ', z!.ut V ', ', ',)", p i ', 3][-s 2 rl l-s 2 11ca=(1)8

[t,

AA=7*

[; 2 á]2011 o I2 o_lli 3 111.(1) l2La z o) La*';) A=a31 *C31 = 1'(-1)t*' ,l =-124

EJERC'C'O§.-I 1).t,Método de los elementos de la diagonal.- Transformando la matriz triangular superior,triangular inferior o diagonal, el determinante

[;

11 I 0 11lo 1 4 t Ilz 3 1 4l[o 2 o z)t, 11I s) 12).


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 21 lng. M.Sc. Washingrton Medina G.se calcula multiplicando los elementos de ladiagonalde la matriz equivalente.

A = att * azz * d3g.-............................* annEjemplo 21: 1641 6lZ ?)

ltLs

f t 1lz 4l¿ 1lz4triangular superior.

a 1(.2)(-t)(-z)6lfreH I,-fComo matrizft 1 1lz 4 Il¿ 1 2lz42

1 6l4 2T It tt Io -rn _l

Itlt6t-llo 1 4 2r10216P2osft 1lo 1olo o[o o

Método pivotalDada una matriz:

f ar, átz| ,r, Qzz'lII ilnt dnzIL

ft 1 1 6 Ilz', ', :, lo[o 2 o s ]ri I 1 6 II o 1427 I'lz: "':'F

h1162163 21520s11614270 7480I59 l*'u,li

A4=(1 *7*7.-29)(-l)A4 = +29Ejemplo 22. Con matriz diagonal, dernostrar que transformando a matriz diagonal la matrizindicada, eldeterminante es -12

ote...............................áná23...¡.1,-...... .................á¡

Qñ...............................4M

Esta puede disminuir su orden con el siguiente procedimiento:Siendo el Pivate elelemento 2t{

l-s 2 tAI ¿ 3 2lLs t s)


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Mafices y CálaIo Diferencial e integral

(a,,)*"

lng. M.Sc. Wash¡ngton Medina G.

l?tt €lrl"' dztl0tt áuf "' o3a

átt ofiQzt ozt€tt 9n€|il lss

dtzdzzátzdsz

6l r"'

E

Ejercicios, calcular el determinante

€ts I latt8ñ I l"'

it t?it t;131 12

aplicando el método piwtat

Au€nláttQnlátz I,*l

101I o I2 2l3 3lEjemplo 23.-13 211 sl0 0lt I

\ l.

ftljj il".'ú c l,, :l =o,ostft:s tlj5 nl)='"' fúI (7)" Itlf-.7.J

i)''li i i I13).'f t 3lo 7lz I

313034

ZI

1t

3t3t'z11

1(3)*'

= -12


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Cuando una matriz esté afectada W una factor amún, se debe entenderque este pertenw a cada uno de los etementos, lo que implica que al calcular eldeterminante, cada fila ó alumna tendrá su factor amún, pr lo que el cálculo deldeterminante implicará también el facfq smún elevado a n donde n es el número deejemplo.

slrendo .

23

;ll determinante será^ =ll)' * (-2\\ 20/

Calcular eldeterminante por fodos los métodos:15).

16). Calcular el determinante por cualquier métdo:

I,rrlAplicación de determinantes al cálculo de la inversa (utilizando la matriz adjunta).S.e recomrbnda el siguiente procedimiento. Calculamos eldeterminante L,. Calculamos la matriz de los menores complementarios), Calculamos la matriz de /os cofactores. Calculamos la matriz adjunta (transponiendo la matriz de los nfactores). Calculamos la matriz inversa considerando que

matriz adjunta

111o olf t s s 2l+ 2 1 Il0 0 3 0It 4 2 oIt I 1 1lz 4 3 2L

1o-30212 -2 0 1 -111 o o o 3lo 2 I -1 4l-1-102o_l21-1 5-I4 5 2 4l5 I 2 6l-2 4 -2 1)

I.


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Maúices,y Gálcrdo Dibnencidr iartegral

Ejemplo 24. Calcular la inversa de

Solución:Date¡minante = -2

Matrlüde Jo.s merry.e s wnpWpntarhs *f-'. .:;l .- - ' ,

Matriz de los oof-acforcs

-)Matriz adjunta

lnvers

Calcular la i¡yelsa utilizando la matríz adjunta.

?ot l:,[z

lqg. M.S, Washingto{r ü¡tedina G.

li t..:23)3 4l43)fi í ilV 2,3rLl12Vi

la) f I 3 :"'lL, n s)'s, 11, i i ,,-lt, -s -1, .,,:)', ;'"1-1 r)


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Matrices y Cálorlo Diferencial e integral 25 lng. M.Sc. Washington Medina G.1 O.S ISTÉ,MAS DE ECUAC'O'VES LIN EALES

El estudio del álgebra de matrices nos lleva a buscar fas soluciones de un sistema de mecuaciones con n incógnifas sea esfe de m x n donde :m=nm> nm< nRecordando que una ecuación es un igualdad entre dos expresiones, y que esta puedetransformarse en una identidad para cieftos yalores particulares asrgnados a las variables,se drbe que todo número que satisface a una ecuacón es raíz o solución.Ejempto 25: x' - 5x + 4 = 0 (para expticarlas rarbes o soluciones exclusivamente)Se cumple la igualdad para X = 1X=4Por lo tanto la ecuación se transforma en una identidad:

X=1 t 1-S+4=0X=4 + 16-20+4=0Srbndo las solucion"" 3= {1,4}Ecuaciones líneales.- tJna ecuación lineat es una ecuación cotn variable de primer grado.Esde laforma ax + b= 0 Donde a * 0Consideremos et siguienfe sisfema de ecuaciones:ottxt+ ooXz* cloXt* """""oux,=btdlztXt* AzzXz* OztXt* """""AznX^= bzClztXr* azzXz* azzXz* """""C|*Xn= b,OntXt* A,zXz* An Xr* .....-.-.'QnoXn= bnA esfe srstema puede expresarse matricialmente así:

Att Clo On"":,""'Au Xr b,Clzt Clzz Orr"""'"iLzn Xz b,Clnt Clnz O,2"""""O* Xo b^

Y en forma simplificada:A* X = B A = CoeficientesB = lncognitasC = Términos lndependientes


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 26 lng. M.Sc. Washington Medina G.Donde: e=( aü)X = ( xr, x2, \, x........ x¡ )B = ( br, bz, bs, b-....... bn )

11. Sistemas de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incognitas ( n x n ).-Tipos y metodos de solucion.-Una de las aplicaciones para resolver los srsfemas de ecuaciones es la regla de KRAMER;que haciendo uso de los determinantes permite elcálculo de las incqnitas así:A, A, A,f,=? xr=ff x,=T SiemPreYcuandoa*oA = Determinante de /os coeficientes A ó determinatnte delsisfemaA j =Determinante en el que la columna j correspondiente a los coeficienfes de la incógnita

Xj se la reemplaza por la columna de /os términos independientes.Pero, dependiendo del valor del determinante de los coeficienfes se presentan /os srgurbnfescasos.'1.- S¡ A * 0, elsrsfema tiene una solución única, y se dice que elsr'sfema es compatible.2.-Si A=0yporlomenosunAi*0elsrsfemanotienesoluciónysellamaincompatible3.- S¡A= 0y Ai= 0 para fodos/os valoresde ihaydosposibilidades:3.1.- Que el sistema sea incompatible3.2.- Que tenga un número infinito de soluciones (cuando tiene un n(tmero infinito deso/ucrbnes se denomina dependiente o indeterminado)4.- Si A = At = Az = As...".....-....= An, e/ slsfema puede o no ser compatible (puede o no tenersolución)Sistema no homogéneo de ecuaciones.-Un srsfema Ax = B. Es no homogéneo siy so/o si B * 0Un sistema no homogeneo de ecuaciones tiene solución (tnica si y solo si A * 0, es decirque A sea una matriz regular.

-',',, Sisúema homogeneo de ecuaciones.- lJn sistema de ecuaciones Ax = 8. Es homogeneo sifodos /os términos independienfes son iguales a cero ( B = 0 )En este caso, slbmpre /r = Az= As..............= An= 0lJn sistema homogetneo dé"ecuac¡ones lineales de n ecuaciones con n incógnitas tienesolución trivial cuando A *0, es decir sus so/ucrbnes son todas iguales a cero y es la únicasoluciónXt = Xz - Xs. ........ ..................= Xn = 0Un sistema homogeneo de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas tienesolución distinta de la trivialsi y so/o si A = 0" El tener solución distinta de la trivial inplica tener infinitas soluciones "


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Matrices y Cálanlo Diferenciale integral

Ejemplo 26:Resolver el g.sfema homogeneo.-2x+3y- z=0x- y-32=0*+3Y+ z=0

27 lng. M.Sc. Washingúon Medina G.

-3-4+3

A= 1*(-1)a 12 -12 => A= A=> IIE^IE SO¿UCIOTVES Dí§IWTAS DE LA TRMAL


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 28 lng. M.Sc. Washington Medina G.Para z=4x=9 = $-12+4=0 O=0y=-4Ejemplo 27 :x- y +22=02x-2y+42=03x-3y+62=0

Como en los fres casos A= 0 (pues las ecuaciones son equ¡valentes), se podrá resolverdespejando x en función de y e z y damos valsres arbitra¡iosx=y_22=> Pafa y=1, Z=2, X=-3Paray=2, z=0, x= 2

' /:'jEjercicio:Resolver el siguiente s,lsfepa de eanaciones:21) 3X+4Y-Z+W=03X+4Y_Z+W=0.X+2Y-Z =QX + Y +Z + W = 012. Sistema de m ecuaciones clon n incognitasSísfemas redundantes.- ( m > n ) Se los conoce así a Ios sr.súemas que tienen mayorn(tmero de ecuaciones gue de incqnitas.

ftr2')A=lZ 2 4l =O(doscolumnasiguates)Ls 3 6)anái'sis con /as ecuaciones I y 2x-y=-22 ¿!= ft -fl2x-2y=47 L2 -4 =-l+l=Qanátisis con las ecuaciones 1 v 3x-y=-22 ¿!= lí -rl3x-3y=-62 \3 -3) =Q

anát'sis con las ecuaciones 2 y 32x - 2y = -47 7t= (Z 2l3x-3y=-67 L3 'il =Q


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 29 lng. M.Sc. Washington Medina G.Su solución se la encuentra una vez que se comprueóa, si la solución sarlsface a las m - necuaciones resfanfes, entonces el sistema es compatible, caso contrario es incompatible.teorema.- Una condición necesaria para que un sisfema lineal no homogeneo redundantede m ecuaciones con m -1 incognifas sea compatible es que el determinante de orden mformado con los coeficientes y los términos independienfe sea igual a cero.Eldeterminante así calculado se llama determinante eliminante.Ejemplo2S . - Reso/yer el sisfema;

A=

A=1Sil = 0 => ES COMPATIBLETomo las ecuaciones ( I y 2 ).

*:a:li5x+2y=11lZ i ii)= lz i ';i i fl[s 2 11) Lá 2 11 s 2r65 + 220 + 68 - 255 - 110 - 88 = O

5x+4y=172x+3y=11 x=1=> Y=3

.1,''':tt

Para que sea compatible se comprueba en la tercera.5*1+2*3=11

11 = 11 => SI ES COMPATIBLEEiemplo 29. Calcular el valor de k para el cual el siguiente srsfema redundante tenga únicasotución, y hallar la solución del sistema.2x+Y+z=kx-Y-22=-23x'Y+z=2kx+2y+Z=1Para que sea compatible debe cumplirse que eldeterminante eliminante sea cero.

|--@T)(-? r2 1 'l'.1 krI t 1 2 2I = oL;',ifl(o 3 5 4.¿ (t 5It t 2 2l t.H)'.|, ,Lg ', I 3*J " E 3 i,4

l


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Matrices y Cálculo Diferencial e integrat 30 lng. M.Sc. washington Medina G.(3 5 4+k)-3. 1 2 7 6+2kl[t 1 1 )-3*7*(-1)o(2 l+klLs 4+2k )

A = -3 (8+4k-*Sk) = -3 (3-k) - 3 (?k) = gE3Comprobación resolviendo el sisfema: 2x+y+z=3x-y-22=-23x-Y+z=6x+2y+z=7Por ser un srsfema redundante, resolvamos oon /as tres primeras ecuacrbnes:A=-11.j:, 4=-11 x= 1Az= 11 y=-1As=-22 Z= 2Reemplazando en la ecuación restante:I - 2 (1) + 2 = 1 :, 1 = 1 (concluimos que para k=3,e/srsfema tiene sotución)SÍsfe¡nas defecfuosos (m < n).- Son aquellosen /os cuales el número dE ecuaciones esmenor que el número de inúgnitas.

Esfos sisfema§ poseen infinito número de sotuciones. En general, en un sr.sfema defectuosoes posible despejar y determinar m incógnitas y asignar valores arbitrarios a esas n - mresfanfes.Ejemplo 30: Reso/ver elsiguiente srbfema de ecuacionesX1 + X2+ x3=4*:i 2Xi + 5X2 - 2X3 = 3

Primera forma.- (Por sustitución)Dpspejo X2 de 1) XZ = i','Xt - X3Reemplazo en 2) :2X1 +5(4-Xi-X3)-2X3=32Xl+20-5X1 -5X3-2X3=3-3X1 -7X3=-17 17 - 7x3X1 = 3Una vez despejado, asumo un resultado general para X3:

;t-2)(-3) 021+k-3* 0 5 4+2k111


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l=At=

.r1 az =

Matrices y Cálanlo Diferenciale integral 31 lng. M.Sc. Washington Medina G.

Xt=at7 t7r,=T -Ta54Xz=-1+1aSegunda Forma .- (Por determinantes)X1 + X2 = 4 - X3 Se consrdera como x3 oomo término independiente2X1 +5X2 =3+2X3

1 1l2 5l =5-2=3(*0)4-X3 1l3+2X3 5 I = 20-5X3- 3-2X3 = 17-7X31 4-X3 I2 3+2X31 =3+2X3-8+2X3 =-5+4X3

Xt=at7 t7Xt= . --o¡354Xz=-i * -o¡313. Métodos de soluciónde sísfemas de ecüacíones líneales.Mafiiz amplíada (metodo de gauss)Se lo conoce también como rnétodo de eliminación parcialde Gauss, cons,.sfe en formar lamatriz ampliada con los coeficientes y los términos independientes.

i.,;.,i $riangular superior de preferencia).Por último, por eliminación calculamos /as rniognifas.

:: ,.Este método es aplicable a sr.sfemas de m ecuaciones con n incógnitas, así.Expre,sando el sr.sfema de ecuaciones en forma maticial, en una matriz ampliada,tendríamos:

(ar, Ztz dts| "r, €tzz á,zsLar, lsz Qeabr')brlb')


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 32 lng. M.Sc. Washington Medina G.matriz equivalente (utilizando transformaciones de fila)

&& && && &&&& && &&&& &&&&

EJEMPLO 31: resolver elsr.sfema 2x1 + 3x2 - 6x3 = -1

&&&&&&&&

tils, -)1-10105

-3xi-2x2 - X3= -63xl -4x2 - 5x3= -§2 s -ol -11-H)3 2 tl ol I -)3 -4 -sl -61 -2 3 -ol -tl1-1 tltl3 -4 -sl -ol

$={ 1 ,1, 1}

2 s -ol -tl-3 -2 -tl -ol.Ct)3 -4 -sl -ol

ii,ál ,ilff'',ll-2ol -1-1 tl tlo 5 -zol -tsl -)o -1 -261 -ztl-¡-r¡1-1 tl tlo 1 261 ztlo o -tsol -tsoli¡r--l

Ejercicios.Resolver los siguientes sisfemas redundantes de ecuaciones, aplicando transformacionesde fila:22) 2X+Y+Z = 3 23) X+2Y+Z=2X-Y-22 =-/ 3X+Y-22=l3X- Y+Z =§ 4X-3Y-Z =J

X+?Y+Z = I 2X+4Y+22=4Ejemplo 32. Resolver elsiguiente srsfema de ecuaciones (defectuoso)X+2Y-32-4W=6X+3Y+ Z-2W=42X+5Y-22-5W=101 2 -3 -¿l 6i-lo t 4 zl -zl.H) Cz).o 1 4 3l -21-) 1 2 -3 -¿l olo t 4 2l-2lloootlol

tol3l

10-11 00142o001

1o -11 -sl loli.o 1 4 zl -2llo o o tl olq)W=0Y+42+2W=-2Y+42=-l

1-1 tl 7o 5 -zol -tso t zalzt

si Z=A + Y=-2-4a


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 33 lng. M.Sc. Washington Medina G.X-112=10+X=10+llaMétodo de CrammerSe lo aplica en sisfernas homogéneos y no homogéneos de m ecuaciones con n incógnitas.Para este método se debe recordar que:- Si A *0 elsisfema tiene solución única- Si A = 0 y por lo menos un ai *0 ei sistema es incompatible- Si A = At = A2 = ¿!, =.....-......An = 0, el sLsúema puede sar compatible o indeterminado.r\1",, ?tz ,,, l [rr ] l o, Il;',', i) ,'*ll*z l= loz IL;;; ;; ;;UVá ) L o, JCalculamos los e,onespondientes determinantes.

( att ztz ars )^ { zzt zzz azsIL ,r, osz ass )( b, Ztz ars )A, I bz dzz ?zs IL O, ?sz ase )( an bt arg ''l

^, ) zzt bz zze IL ,r, bs ass )(

",,?tz b, IA, I zzt zzz bz IL ,r, zsz b, )

A, A, A,Xt=T Xr= L"" X,= L';t) Método de solución de sísfemas de ecuaciones co¿ apticación de la matrlz inversa. .!,

A*X=B.1. .:,.x=!

AX=A-t*BDonde A'' es ta matriz inversa de A. Se debe recordar gue para que una matriz tengainversa, A *0 (matriz regular).


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 34 lng. M.Sc. Washington Medina G.Ejercicio 33:2x+3y+ z=9x+2y+32=63x+ y+22=6

231 (1 -52')¿t= 1 2 3 ¡1 =(1/18) lt I -Sl3 I 2 t5 7 1)(t -s ze)x = (1/18) lt 1 -5 6 | $,={21/18, ss/18, 1/6}[s 7 I 6)Método de Gauss-Jordan o eliminación gaussianaEste método es de mayor utilidad pues en base a transformaciones (re@mendable de fila),se lleva a una matriz equivalente de tipo escalonada, de elementos unüarios en la diagonal.

'--:r Ejemplo 34. Resolver el siguiente srbfema:3X+2Y+Z-2W=42X-Y+22-5W=154Y+2Y-W=13X-22-4W=1Ejercicios. resofverfos srgurbnfes ejercicios por los métodos indicados.24) Por CrammerXl+X2+X3+X4=0Xl +X2+X3 _X4=4 S=ll,_2,2,_2]Y1 +X2-X3+X4=-4Xl-X2+X3+X4=2

,:. 25) Por Gauss - Jordan.-j,' 2X+ Y- Z+ W=4X+2Y+22-3W=63X _ Y- /+Ql,\/;,=g S=fl,-2,3,_lj2X+3Y+Z+4W=:5,.26) Usando la inversa:2X1 +4X2+3X3+2X4=23X1+6X2+ 5X3 +2X4-32X1 +5X2+2X3 -3X4=5 3={-41 ,17,4,2}4Xl + 5X2 +14X3 + 14X4 = 227) Comprobar si el srsfema siguiente tiene solución:


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X-3Y+22=42X+Y-32=-24X-5Y+Z=54X-2Y+62=82X-Y+32=52X-Y+32-42X-3Y+42=OX+Y -22=03X+2Y-32=0

X-3y+22=42x+y-32=-24x-5Y+z=52X+Y-22=4X-2Y+Z=-25X-5Y+Z=-2

Matrices y Cálculo Dtbrencial e integral 35 lng. M.Sc. Washington Medina G.

28) Comprobar siel srsfema tiene solución y resolver

29) Resolver

30) Reso/ve r el siguiente srsfemaX+3Y-22=02X-4Y+Z=0X+Y-Z =Q31) Hallar el valor de K Para el cual el g.sfema tiene solucién disfinfas a la t¡ivial. (Rsp = -112X+KY+Z+W = Q3X +(lGl)Y-22-W = 0x-2Y+42+2W = Q2X+Y+Z+2W =Q32) Determinar si el s.sfema es compatible

33) Determinar si e/ sr.sfema es compatible y resolver

34) Resolver el sistema de ecuaciones,XÍ+x2-2x3+x4+3x5=1

2x1-x2 + 2x3 +'2x4+6x5= 23x1 + 2x2 - 4x3 - 3x4 - 9x5 =335) ResolverérsisfemaX1+2x2+x3Sxl + x2-2x34x1-3x2-x32x1+4x2+2x3

=l=l=J={


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 36 lng. M.Sc. Washingüon Medina G.14. TEORIA DE LIMITES.-Variables y constantes.-Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar en un problema diversos valores,generalmenfe se /o designan por las últimas letras del alfabeto, o por las letras del alfabetogriego así; w,x,y,z, , , , etc.Las consfa ntes pueden ser numéricas o absolutas, cuando conservan el mismo valor enfodos /os problemas así; e, -7 , 2, 2, etc.y, constantes o aleatorias cuando mantienen un valor ftjo para un problema en pañicular,como por ejemplo: la aceleración de la gravedad, el módulo de elasticidad, etc. Se /orepresenta generalmente por las primeras letras del alfabeto así;

a , b, c, d, e, g, E, etc..=./. lntervalos.-

Se llama intervalo al conjunto de todos /os yalores numéricos de X, comprendidos entre 2números arbitrarios a y b.

Siet intervato no consideÁ los extremo.s, es un intervato abieño.lnterualo:Ja,b[; a


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Matrices y Cálado Diferencial e integral 37 lng. M.Sc. Washingúon Medina G.

y=5x+2f(x)=$¡¡+2 xv5,2v ar¡able indepen d ie ntevariable dependientecon§fanfes

forma tabular

fotma grffica

Las funciones pueden ser confínuas @mo por ejempto Y. = *, que cotresponden a unaparábola, en la cual el valor de X puede tomar cualquier valor numérico así;

Los valores que puede tomar x se denominan Dodf/iNIO de la funciónDf= (- a, + a)

Los mlores de la funciüt flx) se denominan CODONINiO o reoonfolo de la función

,J

Y=x2

f '.:-:.' )-::'/

x Y-2 4-1 I0 01 I2 4

Qf = (-a+ t)


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Matriees y Cálculo Diferencial e integral lng. M.Sc. Washington Medina G.

Las funciones también pueden ser D¡scont¡nuas, por ejemplo Y = 2 / x , que corresponde auna hipérbola cuadrada en la cual el valor de X no puede tomar el valor igual a cero, todavez que la división para 0 no esfá definida así;

-1-2a (no está definido2IDominio de la función ( en eleje x)Df=(n,0) (0,+a)Cadominio de la función (en el eje y)Cf =(-a,0),t(0,+a¡

15. Limites y continuidadLímites: Cuando se habla de la velocidad límite, el llmite de la resistencia, el estirar unresorte hasfa su límite, nos lleva a pensar que el límite es una medida que a vecespuede no ser alcanzable y otras puede ser superable.Analizaremos la siguiente función: y = 2x + 3 ó f(x)=)1¡+3Si esfablecemos una tabla para conocer el compoñamiento de t(x) cuando x tiende a cero(xo =0 valor escogido al azar para fines explicativos) se oóserya que para valores de x, tantomayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3, por tanto decimos gue el límite def(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3, para el efecto hemos utilizado valores € menoresy mayores al valor xo escogido para el análisis.

xo-€ xo xo+€f(x)+e = f(k) = s = f(k)- f(x\

38

-2-1012

X F(x)-0.5 2-0.1 2.8-0.01 2.98-0.041 2.9980.000 3.0000.001 2.998o.01 2.980.1 2.80.5 4


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 39 lng. M.Sc. Washington Medina G.Sí (x) = 2x + 3 ljgf (x) =ZEn los límites queda excluida la división para 0, por no estar definida, así:

f(x)= ,*'-' -r--5-r+6Reemplazando x=3, se obtiene 0 / 0 que es una indeterminaciónSolución:

lx+3)(x-3) x+3t(x)= =-=ó(-r+3)(x-2) x-216. Teoremas sobre limites.-En el cálculo de límites se aplicarán /os srgturbnfes feoremas, donde u, v, w, son funcionesde una variable x y c es una constante:a) Límite de un polinomio.Sif(x) es un polinomio, su límite se calcula por sustitución directa.tjy"f(x)= f(c)b) Límite de una consfanfe. Siendo f(x) = K,tjglf @) = r,c) Limite de una suma algebraicaEl límite de la suma algebraica de funciones es rgrual a la suma de sus límiteslim (u+v+w) = lim u + lim v + lim wd) Límite delproducto de funcionesEl límite del producto de funciones es igual al producto de sus llmites

:...:. lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim we) Limite de una constante por una funciónlim (c*v) = c * lim v, Alcance: lim (v+c) = lim v + c

f) Límite det cociente Ae Aá§ funcdnest¡m! ='# . queda excluida la divisién para cerox+0 s lirlUlim9 = :.c queda excluida la división para cerox+o y liol,g) Límite de la PatenciaEl límite de la función elevada a un exponente n es igual al límite de la función'todo" elevado a la n.


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Por eiempto, ,j¡:=l= o

Pero, en el ejemplo anterior puede observarsefunción se acerca a cero, de lo que, en resumen:Iim f$\ = a límites inf inito sX -+Crlimf@) = L lím¡res al tnf initoX-rta19. Límites particulares.-


FORMA ABREVIADA

x0.10.010.0010.00010

Y10140100010000€

'..'.1 Son cr'ertos límites útiles para hallar el limite del cociente de 2 polinomios, cuando la variablesea infinita o cero.En tos siguientes límites x es la variáble independiente y c una constante diferente de cero(0).

que cuando x tiende al infinito, la

FORMA DE LIMITE,-cllm* = dr-+0 ¡lim9 = Ax+a xIr*cx=ü,-xllm- = dr-ra c

Conceptos de apoyocuondo Ol g 1> A'=olndetemtinacfones; Cúando no es factible realizar una operación convencional, se diceque existe una indeterminación, prduciéndose los stgur'enfes casos.'

10G*c0'aa*ao/0a/a0na *a6 -C

c-=d09=oac*d=dd-=a

'.::.:. i;:.1


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Matrices y Cálatlo Dfferencial e integral

2. Catcutar siguiente et tímite: l¡m L-r-r-t ¡ g I43 lng. M.Sc. Washington Medina G.

Como ta función Y = 1 / (X +1) tiende a valores diferentes segÚn seZ|;:,f,§:":?:,,fr?¿':,'Xi:?:!'o

se acerque a cero por ta derecha'3. Analizar et límite de :l¡mLx+0 y¿

Como la función I =lx2 tiende a valores diferentes segÚn seacerque a cero por la izquierda o por la derecha, enfonces este límiteno existe o podríamos asumir que:lim\ = qx-f) ¡'

Eiercicios sobre limitest.2.3.4-5.6.7.8.

9.10.

,- x'-xltm ^r+0 ¡r .- ¡,. x' -7 x+lohtn ^x+o yL -x-2,. sen .r - sen 5um-¡+5 ¡-5fi*(3* t\',-o\4 - x/ v, ./2ttjyl*sen2x).. x-5llfn ^x+s f -)J,. Jl+x-2um-¡+0 X.. Jt+ * -ztm _¡+3 X -3. vi-tlfll-x+r {/¡ 4 [.. l-J"rs,llm¡-¡+0 X'

3x/ I \,*rt:*li)t¡^( t \',-"\r+3,/

11.12.

::' .

lim¡ -r4lim¡+3lim¡-rllimf14limx+a

xz +2x+li 1x-tx'-3x7 4x+gx3 -3x+2x'-4x+3(x +2)2

x2 +l(3x+t¡'z(3x-1)2xa +4

13.14.15.16.17.18.

19.24.

.. 3¡-1hfll-,-, ¡ -5-rl ¡

. ttr+lltm-t-+o .¡g+1.. sen4xltm-r-+0 5X22. Continuidad y dicontinuidad de una función.lJna función f(x) es continua si cumple Ias srguienfes cond¡ciones:


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral lng. M.Sc. Washington Medina G.

1. f (c) está definido2. tjyif@ existe3. rjylf@= f(c)lJna función f(x) es discontinua en el punto xo, quer pertenece al campo de existencia dedicha función o que es punto frontera de dicho campo, sl en esfe punto no se verifica lacondición de continuidad de ta función, fal es e/ caso de la función 1/(x-1) que no estádefinida en x=l.23. Variación.-lntroducción. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar. El problema fundamental delcálculo diferenciales el esfablecer con toda precisión una medida de esfa variaciÓn. Laivestigación de problemas de este tipo llevó a Nev,tton al descubrimiento de los principiosfundamentales del Cálcuto lnfinitesimal, constituyéndose esfe en el instrumento científicomás poderoso del matemático moderno.El incremento Ai de una variable que pasa de un valor numérico a ofro es la diferencia quese obtiene restando el valor inicial del valor final. El incremento de la variable x se /arepresenta con el signo b< que se lee delta x, el incremento Ay si en y = f (x) la variableindependiente x toma un incremento Ay, entonces Ay iniciará el incrementocorrespondiente de la función f (x).Ejemplo 35:Sea y = x , calcular el incremento Ay para, x=5, y=5, Ax = 1, Ax = 5 , Ax = 10yily=x+AxAY= x+Ax-YconAx=1 Ay*5+1-5-1con Ax= 5 Ay= $+5- 5 = 5con Ax=10 Ay=5+10-5=10Comparación de incrementos.-Considerando ta función y = f , si a la variabte x le incrementamos valores pequeños Ax,se concluye que la función f (x) se altera en un incremento Ay, por lo tanto si vamos a darvalores a Ax, es factiblg calcular Ay de acuerdo al siguiente análrsrs:Si : y = yz cabular Ay a;l:incrementar Ax en la función planteada

y+^y=(x+Ax)2Ay= zxAx+Ax2Si y = x2 +4x - 2, calcular Ay al incrementar Ax en la función planteaday + Ay = (x+Ax)2 + 4(x+Ax) - 2y + Ay = f * 2xAx + tf + 4x +4Ax -2Ay = 2x Ax +Ax2 + 4Ax

44

-:l.-_¿


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 45 lng. M.Sc. Washington Medina G.lncrementos: Delanálisís anterior sobre comparaciÓn de incrementos, se oÓserua que elincremento de una variabte que pasa de un punto a otro es la diferencia entre el valor final yelvalor inicial, así:

Es factibte encontrar la razón Ay/Ax , así como et valor límite al cual se acercaría cuandoAx tienda a cero, así:y = x2 > fl =2x+ px liry(Zx+ fi) =2x PX F+1)y=x2 +4x-2 > Ay=X Ax+Ax2 +4Ax> 4=Z** P+4fi ,iyr(r*+ P+4)=2x+4En ta siguiente tabta tomamos para análisis et eiempto y = x2 de donde Ay / Ax = 2x + Axsí x = 4, eltímite de ta función f(x) = srrá 8, obseruemos elcompodamiento de la razónAx / Ay cuando Ax -» 0 y el incremenfo es decreciente

Xo xf Ax yo yf Ay451162599462163620104 4.8 0.8 16 2 3.04 7.04 8.84 4.6 0.6 16 21.16 5.16 8.64 4.5 0.5 16 20.25 4.25 8.54 4.1 0.1 16 16.81 0.81 8t.1

Bajo este criterio et anátisis indicado nos lleva a concluir que podemos hacer que el valor dela razón Ax . / Ay sea tan próximo a I como deseemos, con solo tomar a Ax losuficiente mente peq ue ño.Etdesanotlo delcálculo infinitesimal surgió de 4 problemas básicos:El problema de la tangenteEl problema de la velocidad y aceleraciónEt problema de máximos y mínimosEl problema del área.

frlrf(x'l =t

(xr,Yl


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.:l

Matrices y Cálodo Dlbrenciale integral 46 lng. M.Sc. Washington Medina G.

21. El problema de la tangente:Cuando se hable de la recta tangente a una curua en un punto, en un círculo se interpretaríacomo la peryendicular al radio, así:

pero en cuyas más variables, el problema de definir la tangente se torna difícil, eiemplo:

Conceptualmente, el problema de haltar ta tangente en un punto se reduce a hallar lapendiente de la cu¡va en dicho punto:

Se enfiende que (Y+¿Y¡ =f(x+Áx)Considerando que una recta secanfe pase por los puntos (x, f(x)) y ((x+Ax), (x+Ax))La línea secanúe tiene como pendiente: frsec = Ay/ Ax

((x+Ax), f(x+


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rTrsec = f(x+Ail)-f(x)AX

p,s= ily,m*= *!rÍ9#9Ejempto 36. Encuentre la pendiente de la tangente a la curua Y = x2 en cualquier punto de lacurua, y la inclinaciÓn cuando x = 1.

47

m= lim(x+ Lx)2 -x2 - ,'*Ax+0 A,^r+0

xz +ZxLx + Lx2 - x' ,. ZxLx+ Lxz- lim- - -2xAr+0 AX.{com1 m=tagQ=2*7=2g=arctg2=63.40

25. El problema de la velocidad.El movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una velocidad promediogue puede calcularse como la razón entre la distancia reconida y el tiempo utilizado,entendiéndose gue, si gl espacrb recorrido depende del tiempo utilizado, s = f(t).,: ,.Pero, si registraríaffios con un velocímetro verlamos que en el reconido se marcÓvelocidades diferentes (que no es precr'samente la velocidad media), en forma más precisa,si un objeto es dejado caer libremente, mientras mas tiempo transcurre incrementa suvelocidad.De to explicado, se puede deducir que la velocidad promedio o velocidad media escalculable así:

Sj se desea obtener mayor aproximación a la tangente de un punto, se tendrá que aproximara cero elincremento Ax:

((x+dx), f(x+

De to expuesto, tomando los concepfos de tímites se define que la PENDIENTE DE LATANGENTE ES Et LIMITE DE LAS RECTAS SECAilTES CUANDO b( TIENDE A CERO.


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Matrices y Cálc,ulo Diferencial e integral lng. M.Sc. Washington Medina G.

A ta derivada se la puede representar med¡ante símbolos, como: dy / dx ; y' ; f ' (x)Ejemptos: Derivar las squienfes funciones aplicando el criterio de incrementos:37) Y=4x-3y+Ay=4(x+Ax)-3AY= 4(x+Ax)-3-YAY= 4(x+ Ax)'3-Hx-3)Ay= 4x+4Áx-3-4x+3aY= 4ÁxaY= 4ÁxAY/dx= 4

Y'= lim(aqlax) = 43S) Y=3x2-2x+5

y+Ay = 3 ( x + Ax)' - 2 (x+ax) + 5Ay = 3 ( x + lx )2 - 2 (x+tx) + 5 - YA y = 3 ¡ * + 2x4x +¿x2) - 2 (x+Ax) + 5 - pf - 2x +5)Áy = 3*' + 6xux + 3^f - 2x - 2!x + 5 - 3i + 2x - 5Ay= 3Ax2+6xAx-2AxAy/Ax = slx +6x-2y' = lim (Ay/ax) = 6x - 2Ax >0

27. Reglas de de¡ivacíón.-lJna vez aprcndido el concepto de derivada, para resolver derivadas de cieña compleiidades conyenrbnte ayudamos de reglas pre-establecidas deducidas del análr.sis indicado,aplicando simitar criterio de conformidad a cada caso, como en la siguiente explicación:Deduzcamos una fórmula para derivar y -- x

49

:-1,.1

Y+ LY =.r*AxN=x+Lr-y'LY =, +Ax-x9=t =rConcluimos que la derÍvadade x es igual a t fi{i =tl¡mN

^¡-+0 Af:. á i

_ 1 _ ..,

El proceso para deducir la fümula de derivación de la función sen x sería:


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Matrices y Cálorlo Diferencial e integral 50 lng. M.Sc. Washington Medina G.-), = senxY+LY=sen(x+Ax)Ay =sen(¡+Ax)-senxa, = 2"oJ'* &*')r"nl'* *-') = z*J., *4r)r"nAr-J ----t 2 [ \ 2 i \ 2) 2. z/im(cos¡cor* -r"nrr"n4I)* /im sen§,. Ly Á"+o' 2 2 ' a'+o 2*AG=

Ar,'-§ = fimcosx+ t¡*n", zIi,!!i t* a¡+o ar+o Ar2Avlim? = cosr>-n' ¡¡ag l\f

Concluimos que la derivada delsen x es igual a:d;(senr) = cosx

En esfa forma, se puede crear una sene de fórmulas de derívación para una aplicaciÓndirecta paftiendo de fas princípales reglas.de derivación, pudiendo resumirse en las másfundamentales o más utilizadas que son /as stgutbnfes:

28. Principales rcglas de de¡ivación:

29. Fórmulas de derivación de las principales funciones:


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á(*r r) = "o, *

; (c rBI = -c selc 'r(1Íd, t I-IarCSen xl'--dx, , ,lr_ *,

Matrices y Cálotlo Dibrencial e integral 5't lng. M.§c. Washhgton Medina G.d[ "\ n-lAW l=nx

x),)=)=

(t,(,r(c

90stg¡rx

tg

ddxddxddx

sec-.r-c§ec

,Se{.-c

s€n,7 N,

:.-:/

d (*cos¡)=-¿dtc' ' ,lr- *' \_,ft@"*d=#ftb**r)=-#{@nsu*)=--+--&\"'----'-' *rl*'={(or"cur)=--+R x,lx" _t*ro', - s'tna ft


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 52 lng. M.Sc. Washington Medina G'Esta forma de derivación es conocida como la regta de la cadena y es aplicable a cualquiernúmero de funciones denvables,ejemplo 39): derivar Y = (x2 + 2)2

y'= 2$2 + 2f(É + 4'Y'= 4(x2 + 2)

31. Derivadas de funciones no explícitas'Detivación de funciones inversas-'En ta resolución de derivadas algunos ejercicios se presenfarán de la forma X = f (y),considerando a y como variable indepeñdiente, en esfe caso f (x), t (y) son funciones. inyersas y x' (deiivada de x) podrá calcularse de la siguiente forma:, :,]:], si y=f(x) = +=+-x clx/./dv

,1Concluimos que: Xr= -y"eiemplo 40) Catcutar x' de la siguiente funciÓn: Y = xz + 4x - 5y'=2x+4 = r'=J;2x+4eiemPto 41) Catcular x'de: / = Sen x

-/'= COS-tr - f'= 1it'i cosfderivada de funciones lmplícitas.'8i ta dependencia entre'ix'," y, viene dada por la función f(x, y) = 0, es decir en formaimplícita, ta derivada con respecto a x puede calcularse en la forma convencional y luegodespejar y':Ejemplo 42): Derivar la siguiente funciÓn con respecto a la variable x.

a,rz +2f y-y'x=02ax + 2(3x2 y + xt y') - (7 yu y' * + Y' ) = 0,,,-2ax+6x'Y-Y't 7 yux -zxt


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 53 lng. M.Sc. Washington Medina G.Derivadas logarítmicas.-Es la simple aplicaciónde los conepfos togarítmicos para facilitar la derivaciÓn, tomando encuenta que en algunos casos será necesario recordar ta relación entre logaritmos vulgares ylogaritmos naturales, relación que viene expresada por:

log,x =WEjemplo 43) Derivar la función:

'(x+l)2(x-2)5v-- (x+3)ln y = 21vr1*+ 1) + 5 ln(x - 2) - ln(r + 3)y'251-=-T-y x+l x-2 x+3

_2 5 I!'=x -+- -'x+[ x-2 x+3'Derivadas de tu nclones paramétricas.-tJna función paramética se la identifica cuando tas variabtes x, y dependen de otroparámetro (t).Para su derivación, se deóe rem¡dar el siguiente anáhsis:

dyx=f(t) y=f(t) = Ü-=+dx drcaejempto 44) derivar la función paramétrica indicada con respecto a la vaiable x:

.Y=r+senfx=t2, !"= l+cosf:: -, l+cot= Y'.=----2tx'r=2t

Derivadas sucé§ívas (o de o¡den supertofl .-Las derivadas de orden superior son los gue se obtienen derivando una función variasveces.


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 54 lng. M.Sc. Washington Medina G.

Ejempto 4í):Obtener la tercera derivada de la funciÓn:!=x5-x'+x'-ll'= 5xa -3x2 +2xl"=2Ax3 -6x+2Y"'= 60x -6Para identificar las derivadas superiores se puede optar por las srguienÚes formas:y(n, .f(^r(r\ #

32.lnterpretación frsica de la segunda derivada:Reardando et análisis de la vetocidad instantánea (razÓn de cambio del espacio conrespecto altiempo), ta primera derivada de la vetocidad no es más que la razÓn de cambiode'ta velocidad con respecto at tiempo, a esfe resultado se o conoce como aceleración:

si: u =4dtdv ,*,, dzso=a=\at= dr,33. Ejerciciós generales de de¡ivación:Derivar las siguientes funciones:

'--.',:.i

2t.22.23.24.25.26.27.28.'29.30.

!=x3-3x+1tr 5 a3v=-x-x -5x2! =3xa -7xt + Jlmxn +tü^1_.3-*x'* "xx'(ln 2)' 4/!=J¡/s **-t

2+x ::"V=-' 2-xxz +2x+l

31. y =arctgx-areclgxsen .r - cos xtagx-,v=J*+ *" lnr/=e'(5'+1)

.y = logx*(arcsenx)y = (x')*y=sen(ln(r'z-r+1))4Y= q'! = 4**'!=1n6"*Ñ.»

33.34.35.36.37.38.39.40.


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 55 lng. M.Sc. Washington Medina G.

41 .42.43.4445.46.47.48.

49.

cos(ln x)t-1- r--ly =4x'-'Jl* JF

xj/ = afCCOS Lx'-l./ = ln( nJ(' + ra^)!=tag(-+r'+ ,)xx'

-a x,/! = 5 /ú¡y=(x+1)(x+5Xx-3)32' + e-'v--' (x +7)sen xJx+5' (*'+ 4X4x' + 4

l_.3y--+x'*--;xx-y = (ln 2)' + xhzr---'-----'---:f=41+.r+r'y=32'+e-'2+ xr, --

v* ¿-xú,/ 1./&

-y=senf.f=cosf

Y=JV*ty = ^[¡' -1x! =xz + x'Y'

xY = afCCOS-' x'-lx2 +2ry = ln(¡/)xnye =e'/=cos'(¡+y)y =(x+ y\x- y){x-3)/ = co{a+r)x=sen(a-f)x+yt-¿*ffi'/=sen¡+cos/. **Ji*r'U=lll:" x-"Jx'-a'

63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.

::.t- Ia.t -,

.' :'. I

50. y=sen r'51 . Y ='41colcular yó,

I52. v=lx-x5-3¡3'253. ./=sen x+orctagx54. !=xz* " -ax -l

74. , = lr- yt -3x3"275. Y=sen(I+arctagx\76. y=y2* "'=ax -Icalcular y'77 . .Y =sen2 x78. y=(ln2)'+xb279. y=[***;80. y=32'+e-'calculmy"gl. v=2+x' 2-x.l82. t - t'+lx=t2+l83. y = (sen.r)'84 )V =4'85. y=+x'

55.56.57.58.59.calcular60. .1v--6l . ' t'+lx = t2 +lv=Jt"nr62. x = ltagl


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Matrices y Cálorlo Diferencial e integral 56 lng. M.Sc. Washington Medina G.31. Difercncial.La difercncial primera de una función {=f¡¡¡ no es mas que el incrementto Ay, es decir: elprdudo de su derivda po la difercncial de la variaMe indopendiente x.Una de sus rnayores qp/rbacones es el cáAx¡lo aproximado, crlrno por ejemplo:46) Suponiendo queno se d'spone de calculadon, calcular por aproximaciones la J4.6analizamos en el hecho de que síendo y = Jl , si x cambia de 4 a 4.6, y varía deJ[ + dy ,entonces:

'\=-/,"

Ytj

*=** =) x=4 &=0.6Idv=-:-:0.6=0.15- 2"14por lo taflto:

J¿.0 =2+0.15

=2.15


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 59 lng. M.Sc. Washington Medina G.lndependientemente de /os extremos del interuato I A, B] , los puntos máximos o mínimosestán ubicados en aquellos puntos donde f '(x) = 0 o no esta definida, es decir, donde lapendiente es horizontal, concluyéndose que:

f(x) es máximo si f ' (x) = 0 o nó esta definida y f ' (x) cambiasu srgno de + a --.f(x) es mínima si f ' (x) = 0 o nó esta definida y f ' (x) cambiasu srgno de - a +.

Los punfos donde se ubican los punfos máximos y mínimos se denominan pIJNTOScR rrcos.Definición de máximos y mínimos.aplicando b prtmera derivada.-1. Calculamos la primera derivada.2. lgualamos a cero la primera derivada y encontramos /as raíces reales o soluciones.3. Ubicamos /os punfos críticos.4. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayoresal punto crítico y concluimos si es máximo o mínimo.NOTA: Según lo sugiere GranVille, "se debe inctuir también como valores crífrbos /osvalores de x para los cuafes f ' (x) se vuelve infinita, o lo que es /o mjsmo, los valores de xgue safr.sfacen la ecuación l/f '(x) = Q".Aplicando la segunda derivada.1.- Calculatmos /a segun da derivada.2.- Definimos los puntos críticos ( f '(x1 = g 13.- En la segunda derivada reemptazamó.s /os valores obfenrdos de los puntos críticos yaplicamos el siguiente análisis:

f"(Pc)


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 60 lng. M.Sc. Washington Medina G.Dirección de la concavidad.Se drbe que la gráfica de una función derivable Y = f(x) es cóncava hacia abajo en elinterualo (a,b), si el arco de la curva esfá gfuado debajo de la tangente trazada en cualquierpunto del interualo (a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba.

Definición de puntos de inflexión y a concavidades:1. Calculamos F"(x)2. lgualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión3. ldentificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión4. Comprobamos sÍ e/ punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x)cambia de signo (camhia el sentido de la concavidad), tenemos un punto deinflexión.5. Para determinar la dirección de la concavidad , se aplica el siguiente criterio:Si F" (x) > 0 = La curva es cóncava hacia anibaSiF' (x) < 0 + La curua es cóncava hacia abajoAsíntotas.-Son recfas que permiten graficar con mayor facilidad una función, con la particularidad deque ningún punto de la función cruza por dicha recta o asíntota.Asíntota Oblicua.-Se puede calcular de dos formas:1 Siendo la .función y = X y el grado del numerador es mayor en un grado atenominardor, ó igual que el del denominado,; se puede realizar la divisióncorrespondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división.N residuo-=coclenle+ - D

Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 61 lng. M.Sc. Washington Medina G.La asíntota estará representada por el cociente (Y=cociente) (como se indica en elejemplo 46).2. Cuando la función no presenta la característica det numeral 1, recordando que la

ecuación de la recta es y = ax + b, se puede calcular los coeficienbs A, b, "n base ala resolución de /os siguientes límites (como se indica en el eiemplo 47):a=¡¡*f(x) b=timff(x)-a*xl para asíntota oblicua derechax++a x Í+aa = ¡¡* f (x) b = fimlf @)* a* x] para asíntota oblicua izquierdax-+-d x x+d

Asíntota horizontal.Se ta define una vez calculados los coeficientes a, b, si el coeficiente O es igual a ceroentonces ta asíntota horizontal será:Y=b NOTA: si existe asíntotaoblicua, no existeasíntota horizontalAsíntota vertical.La asíntota verticalse /a representa como tjyif @ = d, ha de entenderse que cuando xtiende a un valor c la función tiende al infinito, se produce siempre y cuando la función tengaen el denominador la variable x, por lo tanta la asíntota vertical se podrá calcular igualando acero el denominador y despejando la variable.Puntos de cruce con el eje x.Para definir /os punfos de cruce, será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ósoluciones.Procedimíento para graficar funciones utilizando los punúos caracterísücos:1. Calcular la primera y segunda derivadas2. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas3, Elaborar un cuadro qué contenga /os interualos creados y permita definir /os punfosmáximos, mínimos, inflexión, interualos decrecimiento, decrecimiento y concavidades4. Definir las asínfotas5. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f$)6. Graficar la función.Ejemplo 46)Graficar ta función indicada utilizando los puntos característicos. y = x3 +-2x-+lx -l


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Maúices y Cáleulo Diferencial e integral 63 lngi M.Sc. Washingüon Medina G.4. Definición de asínfofasAslntota vertical: iguatamos el denominador a ero: x = I es ta asíntota verticatAsfntota oblicua: dividimos el numerador para el denominador:

x3 +2x+l ^ 2V =-

=.tr+J+-' x'-l x-l@mo ta asíntota obticua viene representada por el coc'rente, tl = X + 3 es ta aslntotaoblicua5. Defrniciónde punfos de cruce con el eje xv=o (¡+t)2-o = x=-l" x-l


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 64 lng. M.Sc. washington Medina G.Ejempto 47) Definir la asíntota derecha de la función y = {i - +Asíntota vefticalrío exr'sfe por no haber denominador con variables{7=a= limf@) = r.*^i*'-4 = lr*T = -[l =,x-+aXrlaXxlaI\X'

x^[i-q** -4b = tim(y-m) = limgff -a-¡) = (Jx, 4-x)* {r; -3 1r = #-)a x-+a

Asíntota oblicua derecho'. y=a)c+á * !=x37. Aplicaciones de la derlvada a prcblemas de optimización.

vi Como una.aplicación práctica de la teorla de máximos y mínimos, se sugr'ere para lasolución dibujar el esquema det probtema, escribir ta fórmuta gue se va a maximizar ominimizar y aplicar los cñterios conocrUos para definir los punfos máximos y mínimos.Ejemplo 48) Se de,sea construir un cenamiento atrededor de dos tenenos adyascentesrectangulares cuya área fofal es de 600 metros cuadrados, calcular las dimensiones de /ostenenos para las cuales la longitud de cenamienfo sea mlnima.

Area = 600600 =2xy -+ y=300/xi'\-/;' Afea = 2xyLongitud = L "l:=4x+3y r:"L = 4x + 3"300/x -- 4x + 9gg¡*!-'=4-900/fL'= 04f-9oO=Ox= 15mtY= 20mt

X

X

Y Y v


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 65 lng. M.Sc. Washington Medina G.

38. Velocidad y aceleración.Recordando que el movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene unavelocidad promedio que puede calcularse así:

AsVe*= NSi deseamos conocer la velrcidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuandomas corto sea el tiempo, mas nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto:

v = velocidad itatantaneav = il%ve*,= ,JXf

Recordando et anátisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio conrespecfo altiempo), la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambiode la velocidad con respecto al tiempo, a esfe resultado se lo conoce como aceleración:si: , =Qdtdv .ds. dzsA = - - (-)'- =dt 'dt' dt'

ejemplo 49)Siendo la ecuación del movimiento rectitineo s= 7f - 3t, calcular el espacio reconido, lavelocidad y la aceleración en el instante t = 5s = 7*52 -3* 5 =150m, = ú =r4t -3= 14*5 -3 = 67m/ segdt. o =* =l4mlsegzdt

39. Teoremas del Valor medioTeorema de Rolle. Se refiere al hecho de que si una función continua, en el intervalo A,Bse anula en sus extremos, y en dicho interualo exlsfe en cada punto una derivada, existe porlo menos un punto en donde dicha derivada es cero."f(a)=f(b)f'(") = o


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 66 lng. M.Sc. Washington Medina G.ejemplo 51)Verificar que la función y = f - 3x cumple tas condiciones del teorema de Rotte para elinterualo {0,31 y encontrar los valores correspondientes.La función es derivable y, f(0) = f(3) = 0.f'(*) =2x *32x-3=0 :+ x=Teorema de Lagrange: Se refere al hecho de que si la gráfica de una función continuatiene una tangente inclinada en un punto C del interualo A,B , entonces por to menos hay unpunto C cuya tangente eis paralela a la secante A,B.

Ejemplo 50)Dada la función y = f - 3x2 - x +1 calcular los puntos donde se cumple elteorema detvalormedio en el intervalo {0,11yt =3xz -6x-lf(l)-f(0) =-2*r =_r1-0 1-1 =3x2 -6x-l + 3c2 -6c-l = -1 = g=0 cz=2

32

!.{l

Tqrema de Cauchy. Se refiere at hecho de que si dos funciones f(x), g(x) son continuas entodo el inte¡valo (A,B) y'la derivada de la función g(x) no se anula denlro del interualo, paraalgún valor del. interualo se cumple:

f (b) - -f (a'l _ f'(c)g'(c)(b)- s@)


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:i:,1

Matrices y Cálculo Diferencial e integral 67 lng. M.Sc. Washington Medina G.40. Aplicación de derivación al cálculo de límites indeterminados(Regla de L'hopital)Anteriormente se analizaron algunas formas indeterminadas fales como 0/0, da, a - a, asícomo las sugerenclas para levantar dichas indeterminacrbnes indicadas en el numeral 20(pág 37) y encontrar la conecta solución, a continuación y, con los conocimientos dederivación estudiaremos la técnica planteada por L'hopital para la solución de límitesindeterminados con la aplicación de la derivada, de acuerdo al siguiente teorema:

"Cuando f\4- rArpt" alguna forma de indeterminación 0/0 ó da,s(r)enfonces.. ¡¡*f9,=¡¡*f',\*! supuesúo gue esfe timite exista (ó ques(x) g'(x)sea infinlto)

Recomendaciones:. Cuando se presenfe la forma indeterminada 0*a * recomienda reescribir el límite en laforma 0/0 ó a/a. Cuando se presenfe la forma indeterminada 1", do, Ú, se recomienda utilizar conceptoslogarítmicos en combinación con el teorema de L'hopital.. Se debe reconocer también como indeterminaciones algunos casos como:

d+d1a- d- d,-+- aü -+00-o -+ aEjemplo 53)catcular e! tímite de senx --tagxx'(senx -ra8r){ _ cox -sec' x(r'){ 3xz(cox - sec2 x){ _ * senx - 2sec2 xtagx(3r'){ 6x(-senx -2secz xtagx){ _ -cosx -2sec2 x +Zsecz xtag2x _ _l(6x){,,o62


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 68 lng. M.Sc. Washington Medina G.GALCUTO INTEGRAL

41. INTEGRACION. Muchas de las apl¡caciones de cálculo están relac¡onadas con elproblema inverso así:La inversa de ta multipticación es la división, la inversa de ta potencia la radicación, etc.lntegrar una función es buscar una función original o función primitiva a paftir de unaderivada propuesta. La integración es la inversa de la derivaciÓn.Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma "deformado", esfe signo fue laprimera representación de la suma.b,= T O,A

'-=r,') [dt = Pd"------+diftrencialy = [y'dx+C

El cátculo integrat podríamos expresarlo como:'Dado eldiferencial de una función hallar su función original"La función gue se obtiene se denomina lnteqratde la expresión diferencial dada.El procedimiento para hallar dicha integral se denomina lntegración.Y=x3)yl=3x2 dy=3fdxI3x' dx = x'

..-,! 42. FORMULAS DE TNTEGRACTONPrevio a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constantepuede escribirse delante del signo de integración asl también, la integral de una sumaalgebraica es igual a la misma suma algebraica de sus férmrnos./adx = a/dx/(du +dv +dw). ftu +/av +ldwFórmul as elementales de íntegración1. ftv=x+cDemostracióny=x+cdY/dx = 1dY=dx


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral

/ay =ft axY=frx+C2. If Av - f*l /n +1y= f*, /n+1 + Cdy / dv = (n+1) fY(n+t¡dY/dv=tldY = fdv3. .fry/v=lnv+CY=lnv+CY'= 1 /vIdY=/avlv4. Ian dv = (av)/ln a + C5. Ie'dv=e'+C6. .{senvdv=-cosv+C7. .{Cos vdv=senv+C8. ISec2vdv= tagv+Q9. fCsévdv=-Ctgv+Cl0.IsecvTgvDv=Secv+C1 1. ICsec v Ctg vdv = -Csec v + c12. ÍTg v dv =-Lncos y + C = Lnsec y + C13.Íctgvdv=LnSeny+C14. ISec v dv = I n (Sec v + Tg v ) + C15. /Csc v dv = ln (Csc v - Ctg v ) + Crc.[-!-=l arcTg' +v'v+a- a an.t+-=|rn\!*,LS.l-!-=J-6osu ¡g-o -v za o-v


:..tl ,o.ffi=uo*JlT,-)*cn. [",[d * v' av = i,A-, * { *"s"n**,zz. fi7-xa'd, = ;J7 t o' * {rno *.!7 x * ¡ * c

NOTA. Si blbn es cie¡to que toda función es factiblede deriva¡la, no toda integración puede ser resueltadirectamente. Para cuando se presenfe esfos casos,su solución reouiere de métodos aoroxit


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Mafices y Cálculo Diferenciale integral 70 lng. M.Sc. Washington Medina G.ejemplo 54[xax=xr*'/l+l+C= xz l2+cejemplo 55[tti -sx*ttx)dx4[ ,ldx-s! xdx+ [ at *:3f l3-5x212+1nx+C=x3 -5x212+hx+c$. TÉCNICAS, ÚITÉTODOS O ARNFrcrcS DE INTEGRACIÓ¡,T:Método de sustituclón. Cuando no se puede aplicar directamente la fÓrmula deintegración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan.>l.r encontrar su solución'Ejempto 56)["a*\"-,)= "[*t("-*)Proceso de sustitución tt = a * xdu = -dx= -aldu/u= -alnu+C= *aln(a- x)+CEjenplo 57)!e'''d*lx' = -k'*.dtpc2 lxzu =llx = _!e"duduldx = -Ll xt ^, . n:':-) = e' +C*1'.': dx = _du)c2 = er,, +C

$ u stituc i o n e s fi go n om élric a sEs aplicable esta sustltución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada,sugiriendo el reemplazo conespondiente:1. ^{r'-f I x=aSen(t)ó x=a?os(t)2. "t7 -"' -+ x = aSec(f)J. "{7.7 -+ x = aTag(t)


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__Matrices y Cálculo Dihrencial e integral

ejemplo 58)

lng. M.Sc. Washington Medina G.1

cdxl----:- x =tEQ' xix' +l dx = secz &10se,cM0 t----- -+ lcsecQd?tgo rsec'H0

sohrción-+ h(+-!¡*"'J"+1 x'lntqración por partesSi considenamos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dadó por lasiguiente igualdad.

[uav=uv- [vdu(u* v)'= u'v + uv'd(u* v) = vdu +udv[ra":";-[ra,

Dondeu*dv e§ ta integrat ptanteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarsede acuetdo a la facitidad de resolución que pre*nten.el no existir una regla establecida para la determinación de las expresrbnes u,v, esrecornendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar laintegración directa.

ln(csecá -ctg9)


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lxCos3xdx Ir lnxd¡w=3x dw=3&+ Lfo"os*d* u=ln¡ du=*9J xn=w-> du=dw f,y- xdx o=t2dv=caswdw-+ v=senrr 4rnr-Ít.e2 12 x1- r - x'- x'r-r. =-llwsenw-fr"nwdw) Lln*-?*,

= !13rsen 3r + cos 3x) + C9'

Matrices y Cálct¡lo Diferenciale integral 72 lng. M.Sc. Washington Medina G.En algunos casos para llegai a Ia respuesfa será necesario apt¡car varias veces laintegración por paftes.

Ejemplo 59) Ejemplo 60)

INTEGRALES DE A FOROTA A* + 8X + CPara resoÍver la integra{ que presente la forma indicada y siempre y cuando no se puedaaplicar fórmulas de integnción es conveniente transfo¡mar el trinomio de tal forma quepd amo s e x pre sarlo como : f *a'ó a2 tf

'il ejemplo 61)vr'rdxt-J x2 +2x+5completanú el tritomio nos quedaría:¡dx ¡-J1x+l)2 +4

w=x+1dw=dx


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x': A+D=lx': -3A+C*2D=0'--,,i, xi 3A+ B-C + D =0xo: -A=1

Matrices y Cálorlo Diferencial e integral 74 lng. M.Sc. Washington Medina G.A+B+C =QA+38-2C=264= 5l--1.¿= 9 -c=- 16' l0- 15

2x+5 5 9 I=--+-x(x - 2)(r + 3) 6x lO(x - 2) l5(x + 3)Sqgundo caso. Los facto¡es del denomínador son fodos de primer grado y algunos serepiten.

/v - il * ff '+ ff =+..........+ ff '(x-m)" (x-m)" (x-m)"-' (*-m)"-' (x-m)'ejemplo 63)x3+1, A B C D---...-...--------T_-.-.--.-=-T-...-.---.----=Tx(r-l)' x (¡-l)' (¡-l)" (¡-l)xi +l _ A(x-l\3 + Bx+Cx(x-l)+ Dx(¡-l)zr(¡-1)3 r(r-1)3

aplicando el método de coeficientes indeterminadosz


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Matrices y Cálculo Diferencial e ¡ntegral 75 lng. M.Sc. Washington Medina G.'Íercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.

N Ax+B.')x'+ Px+Q x'+ Px+Q

ejemplo 64)2x+5 Ax+B Cx+D=-+-(x2 +6)(x2 +5) xZ +6 *2 +5= (Ax + B)(x2 + 5 ) + x(Cx + D)(x2 + 6)

-- (C + A)x3 + 12 ¡a * D) + x(5A + 6C) + 58 + 6DA=1 B=-5 C=2 D=52+5 -2x-5 2x+5--r(x2 +6)(x2 +5) x2 +6 x2 +5Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repitenN Ax+B Cx+D F,¡c+FI-I-IPara los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulasde reducción, como la siguiente:

l#a r = x*Fl"*. )2" -r I@#T¡7Ejemplo 65). r x2+8x+7 , r x'-8x-7,:,i.,. I6:r--*Vd*= l6-5)T*+zfd*

AB.CD-----.=T-T.--------.....8T-

. (x-5)" x-5 (x+2'¡'" x+2,q= -L.n = 2o .c =!.o = -2049' 343' 49' 3438c dx 20rdx 27e dx 20rdx-- I-a- t-a - l- l-+l J(x-5)' ' 343 Jx -S' 49 J1¡+2)' 343 Jx+2

8 27 20. lx-sl_lñlJ49(x-5) 49(x+2\ 343 lx+21


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 76 lng. M.Sc. Washingiton Medina G.INTEGRACION DE FUNCIOA'ES IRRAC'O'VALESCuando ta integral contiene potencias fraccionarias de /a forma X ó (a + bxf- , donde n es elmínimo común múltiplo de las raíces exisfenfes, es conveniente asumir la siguientesustitución: x={ ó (a+bx) = ¿

INTEGRACION DE DIFERENC'AIES BINOMIASlJna diferenciat de la forma [*^@ + bx')Pdx donde Ít, fr, p son número.s raclonales, sellama diferencial binomia.Para su sotución se plantea fres casos;CASO l. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desanollar elbinomio de Newton oaplicar otra forma conveniente de integraciÓn..'=:'i cASo tt. cuanda * *l ,, igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como unanfracción r/s , se efectúa la sustituciÓn a + bf = fCASO ttt. Cuando m +l *L es iguat a un número entero ó cero, y, p se asuma como unaNSfracción r/s, se efectúa la sustitución a + bf = ff .

''l.'-:l

INTEGRACION DE FUNC'O'VES TR'GONOMETR'CASPara su solución se plantean diyersos casos, en los cuales se utilizan reduccionestrig o n o m é t ric as sencfl/as.'CASO l. lntegrates de /a forma [sen*xCos"xdx- Si m ó n son números impares, enteros, posifivos se sugiere aplicar las entidadestrigonométricasSen2x=1-coszx ó coszx = | - sen'x,y,resolverlaintegralenlasformas óásrbas conocidas.- S, m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar lassrguienfes entidade 9 trigonométricas :::," senrx=!(1_"or2r)2',cos'r=l(,* cos2x)

senxcos.r = I ,"n2,2CASO ll. tntegrate.s de /a forma: [senmxcosmxdx, Jt"n*, senradxDonde m * n, se recomienda el uso de las slguienfes fórmulas: lcosmxcos.ru,dx


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 77 lng. M.Sc. Washington Medina G.

senmxcosrü = ![.*{. + n)x + sen(m - n)*1senmJrsen,4r = |["o.(, - n)x -cos(rn + ,)rlcos,,, cosz?n = |Go.{. - rh +cos(. + r)r)

CAS0 lll. lntegrales de la forma[tg^ xdx, [cE" xdx lsec" xdx, [csec" xdxSe recomienda usar las fórmulas:tgzx=sec2r-1, ctg2 x =csec2x-l

tu. CONSTANTE DE INTEGRACIONEs et valor que atdopta ta constante C para un caso particular de ta variable,geométricamente, permite la graficación de un númerc infinito de curuas (familia de cuwas)de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico.Ejemplo 66)Encontrar la gráfica de la funcit5n cuya pendiente as y'= 2x-3 y pasa por el punto(3,S)t = !r'd.r = !tz*4)e =z[xdx-z[dx! = xz -3x+ccálculo de la constante:S=9-9+c = c=5!=xz-3x+5Ejemplo 67)En cada uno delos siguienfe s ejercicio a), b) hatlar ta ecuación de la curva. Si se tiene comodatos ta pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica:

i¡ a) y'= x ; P(1,1)t= lt'dx y=t+cl=!+C ,=t*L2-22x:l !=l C:;

Función originat: 2y = f + 1


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\..--l.li'::"1

Matsirnsyeáhr¡loDiferemc¡al.e'¡ntegral 78 lng. M.So. Washiirgrton Medina G. .b) y'= xy (3,5) :

dv*=xYdxÍQ=Í*y J¡=34 = r.d* tny ={+cy ' 2'-!=5 qsh5=í+C c=1.6-a C=:2,.922

n2lnv = :--Z.g'-/2

Ejempto 68)En cada puntode cieúawrua f = ffif ,*iáu;* §d; que ta curua pasapu elpunta {l ,O) y, es fangenfe a la rec/ra F, = 5*Sr I i .r

,-;¡ ¡.lf ::: :r -i -\

. c20 10y,= 17ü = y'_-V+cderivamos la recta ! = 5x-6!'= 5como las pendientes son iguales,calculamos c para x=l-10=-T+c + c=151',,= f(-#+l»,,,.e r=f+ rlx+e,,,calculamos c pard .tr = 1, .! =,§0=19+15*1+c =+ c=15I

10= y- -+l5x-25X ,,'') ,'"'; ' :


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;- -' :'/

Matrices y Cálculo Diferenciale integral

4S.INTEGRAL DEFINIDADelteorema " La diferencial de área limitadacoordenada fija y una ordenada variable esdiferencialde Ia abscrsa coffespondiente "¿tt=ydx

obteniéndose':


por una curva cualquiera, el eje de las x, unaigual al producto de la orden variable por el

Si la curua AB es el lugar geométrico de y = f(x), enfonces 6u = y dx.Sr'endo du la diferencial de área entre la curua, al eje de las x y dos coordenadas a, b, comose indica en la siguiente figura:

lntegrando tenemos.

"=[¡{l0a* = F(x)+CPara determinar C, obseruamos que u = 0 cuanda x= aSustituyendo esfos valoreee¡ ,a ecuación anterior se obtiene:

0=F(a) + C; C=-F(a)u =F(x) - F(a)

El área CEFD gue se prde es el valor de u en u = F(x) - F(a) cuando x = b, luego:Area CEFD = F(b) - F(a)


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TEOREMA "La diferenciade los valores ae [ldx para x=a y x=b da et área timitáda por tacurva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b".Esta diferencla se representa por:

b[ra>* ó fua.Que se lee: "La integral desde a hasta b de ydx".La operación se llama operación entre límites.' a es límite inferior y b es limite superior.Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA.TNTEGRAL DEFINIDA.- La integraldefinida es un valor resultante de la suma de valoresinfinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que laintegral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando Ax ) O.'lxna,=ffufu@»**

46. TNTEGRAL IMPROPIA: Se /e da esfa denominación a aquellas tnfegrales cuyos límitesson infinitos, en esfos casos se propone para su solución la aplicación de los conceptos delímites.qbffov, = !!*[r*¡a*

80

t:-":i

Cuando la función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado enfre los límites (lo quepuede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirápara los nuevos límites un valor t menor y mayor al valor donde se produce lodiscontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:

b c-tI¡a»a. = !* ltt-¡dx+tiry "!f @)dx


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Matrices y Cálculo Diferencial e integral 81 lng. M.Sc. Washington Medina G.47. APLICAC'OÍVES DE LA INTEGRALCálculo de áreas:La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la cunla como un método exacto,cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como elde Simpson, de /os trapecios y otros, que no son consrderados en el presente estudio puesse /os puede enfocar en un tratado de Métodos Numérias.Criterios para el cálculo de área bajo la cu¡va1. Et área baio la curva se encuentra aplicando ta fórmula ,e = fldx, (deducida det área

del una franja verticalde base A,, altura V: Ao=4*r, considerando siempre que a


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Matrices y Cálculo Diferenciale integral 82 lng. M.Sc. Washington Medina G.Ejemplo 69Calcutar el área timitada por y = ftg, ubicada en el primer cuadrante, limitado entre x=0 yx=2.Procedimiento:1.- Ubicar la franja de análrsr.s2.- Calcular el área hajo la cu¡va indicada limitada entre los puntos a, b tomando comoreferencia el eje.x

)'\--l,1

A_A_A_

Ire'lp(*),4^A=-¿'9

48. AREAS EN COORDE'VADAS POTARESDeducción de la fórmula de área

tagdo - arcoporco = p* tagd9>-/) como tagd9 x d0, :) arco: p* d0dA= p* de2tpA= L l prae.2;


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" .-:,/

83 lng. M.Sc. Washington Medina G.Ejemplo 70Calcularelárealimitadapor P = a Sen 0+bCos9 entre a=0y §= d2.

n=;-!("*no +bcosol doA = : [b'srn' e + Zabsenuose + b' cos2oPo

o = l*ÍG' u'ht - l\ 1a' bz ¡cos'za e + {*fsrnvw 04d' ' 4, 2it =l "' q'e - o' :u' r"nzo - !cos2o*\L4 8 4

(a2 +b2\II ab abl_=' ' -L---844, (o'+bz)t8

Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicioscomo el que antecede, la gráfica no tiene trascendencia,dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar lagráfrca pues en funciones trigonométricas se puedensuperponer áreas, igual análisis se reamienda para elcálculo de áreas comunes de dosfunciones.Se deja a irtterés del lector esfas observaciones y su

49. LONGITIID DE ARCO DE UNA CIIRVA


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Matrlces y Cálotlo Dibrencial e integral lng, M.§c. Washington Medina G.

.).-?¿ri

*=FCFAs¡v&a" = J[*gft,s=rJG6fhpor analogía:.r=f,.{Wú

. 7:l

Lxz + Ay2

Longitud de arco de curvas en «xltdenadas pofares.' § = f ^t{;G'Í\tÉiemplo 71)Calcular ta longitud del areo de la cu¡va anya ecuacbn es y: x2 + l enfre'/os ffmltesx r = 3

3s = IJt +4xzdx L-s =; [Jt+7*

Szt

§= I ,{1.Úf e

,S =

calculo diferencial y integral de medina

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