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Matemática Financeira Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix Prof Rikey Felix, www.professorrikey.com 1 1 Cálculo Financeiro Comercial e suas aplicações. Método Algébrico Parte 01 Professor Rikey Felix Edição 10/2013

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Matemática Financeira – Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix

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1 1

Cálculo Financeiro

Comercial e suas aplicações.

Método Algébrico

Parte 01

Professor Rikey Felix

Edição 10/2013

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2 2

Matemática Financeira

Introdução a Matemática Financeira Comercial e suas aplicações.

Rikey Paulo Pires Felix,

Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás,

Pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Montes

Belos Goiás, funcionário concursado em exercício do Banco do

Brasil, instrutor do SENAC da unidade Sorriso MT desde 2011.

Objetivos: Conhecer assuntos introdutórios de Matemática

Financeira Comercial, apresentando conceitos teóricos, resolução

de exercícios, bem como suas respectivas aplicações na

contabilidade, administração, com o auxílio da calculadora científica

financeira HP 12C, trazendo uma didática e proposta pedagógica

voltada para um curso profissionalizante preparatório para o

mercado de trabalho.

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Conteúdos abordados:

Radiciação e potenciação

Multiplicação de potência de mesma base

Divisão de potência de mesma base

Potência de potência

Percentagem taxa unitária, fórmula para cálculo percentual

Operação sobre Mercadorias

Vendas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da

venda)

Vendas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da

venda)

Juros simples – Juro, capital e taxa

Regimes de capitalização

Cálculos de Juros simples

Taxas proporcionais

Taxas equivalentes

Juro comercial e juro exato

Montante

Desconto Simples

Títulos de crédito

Desconto comercial, valor do desconto comercial, valor atual, taxa

de juro efetiva

Equivalência de capitais

Desconto racional, valor do desconto racional, valor atual racional

Juros composto,

Cálculo de montante

Determinação do fator de capitalização

Calculadoras científicas, financeiras e logaritmos

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4 4

Cálculo do capital no juro composto

Taxas proporcionais, taxas equivalentes

Taxa nominal

Taxa efetiva

Taxa Real e taxa aparente,

Taxa unificada

Conceito de inflação

Desconto Composto (Comercial e racional)

Capitalização e amortização composta

Renda certa

Empréstimos

Sistema Francês de amortização (Price) e conceitos

Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização

Tabela Price no Excel

Price com prazo de carência

Sistema de Amortização (SAC) e conceitos.

Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização

Tabela SAC no Excel

SAC com prazo de carência.

Uso de calculadora cientifica e financeira HP 12C.

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5 5

1. Potenciação

Imagine a seguinte situação ???360. Para resolvermos este

problema utilizamos o conceito de potenciação, (estudo da potência),

Vejam só:

3x3x3x3x3x3x ... por 60 vezes. A potência indica quantas vezes o

elemento (base) está sendo multiplicado por ele mesmo.

Potencia é a multiplicação de um número “a” a R, por ele mesmo,

quantas vezes estiverem indicando em seu expoente n R.

Calcule as seguintes potências:

a) 211

b) 302,0

c) 00075,0

d) 318,1

2. Potência de potência.

Podemos aplicar uma potência sobre uma potência que já está

estabelecida, neste caso para resolvermos este problema, multiplicamos

os índices das potências, transformando em apenas uma potência.

Vejamos o exemplo

164444 22))2(( x

Calcule as seguintes potências:

a) 103)08,0(

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6 6

b) 42

2

)42

5(

c) XX 123)(

3. Multiplicação de potência de mesma base.

Observe o seguinte caso: 35).()( baba yx

. Para

resolvermos multiplicação de potência de mesma, basta conservamos a

base e somarmos os expoentes. .22.2 4545

4. Estudo de Percentagem

Imagine a seguinte situação. Um vendedor recebeu R$ 4.000,00 de

comissão de uma venda de R$ 210.000,00. Qual foi o percentual para o

vendedor desta venda.

100.

valortotal

alvalorparciPercentual

100.210000

4000Percentual

%90,1Percentual

5. Operações sobre mercadoria.

O que vamos ver neste tópico são problemas de percentagem ligados às

operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a

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7 7

fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços e de venda de

mercadorias.

Legenda:

LLucro

CCusto

PejuízoPr

VVenda

Taxa Unitária do Lucro = i . Sempre utilizar a taxa em unidades decimais.

Por exemplo: 2%, utiliza – se 0,02.

6. Vendas com Lucro sobre o preço de custo

CiLucro .

LCV

CiCV .

CiV ).1(

Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o custo da

mercadoria como equivalente a 100%.

Ex: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o

preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas

mercadorias custaram R$ 500,00

CiV ).1(

500).08,01(V

500).08,1(V

540V

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8 8

7. Vendas com Lucro sobre o preço de Venda

LCV

ViL .

ViCV .

CViV .

Então temos: i

CV

1

Ex: Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar

20% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?

i

CV

1

2,01

480V

600V

Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o valor da

venda como equivalente a 100%.

8. Vendas com Prejuízo sobre o preço de custo.

V=C-P

P=i.C

V=C-P

V=C-i.C

)1( iCV

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9 9

9. Vendas com Prejuizo sobre o preço de venda

V=C-P

P=iV

V=C-P

V=C-iV

V+iV=C

)1( i

CV

10. Abatimentos e aumentos sucessivos.

Legenda:

M – Valor do montante resultante dos aumentos sucessivos.

L – Valor líquido,

N – Valor nominal do título

a – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício

b – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício.

c – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício.

11. Abatimentos sucessivos

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10 10

)1).(1).(1.( cbaNL

Ex: Um trator que custa R$ 200.000,00 é vendido com descontos

sucessivos de 2% e 3 %. Qual o preço líquido final desta máquina?

)97,0).(98,0.(200000L

$190120RL

Aumento sucessivo

)1).(1).(1.( cbaNM

Ex: Um trator que custa R$ 200.000,00 é vendido com acréscimos

sucessivos de 2% e 3 %. Qual o preço líquido final desta máquina?

)03,01).(02,01.(200000M

)03,1).(02,1.(200000M

$210120RM

12. Juro simples e montante

niNJ ..

Legenda

J – juro

N – Valor nominal do título

)03,01).(02,01.(200000L

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i – taxa de juros

n – períodos da aplicação.

Taxa proporcional, modelo simples.

Taxa equivalente, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo

período, produzem o mesmo juro

Em juro simples taxa proporcional = taxa equivalente.

13. Cálculo do Montante (Juros simples)

JCM

niNNM ..

Então temos a seguinte fórmula:

).1.( niNM

Ex:

a) Tomou emprestado a importância de R$ 1200,00, pelo prazo de dois

anos, à taxas de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?

b) Aplicou – se a importância de R$ 3000,00, pelo prazo de três meses,

à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?

c) Um capital de R$ 56800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês,

durante 2,5 meses. Calcule o juro?

d) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre (considerando

juros simples)?

e) A que taxa foi empregado o capital de R$ 12000,00 que, no prazo de

2 anos, rendeu R$ 8400,00 de juro?

f) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$

12800 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896?

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12 12

14. Juro comercial e juro exato

A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano =

360 dias) nos dá o que denominamos juro simples comercial. Entretanto,

podemos obter o juro fazendo uso de número exato de dias do ano (365

dias ou 366, caso o ano seja bissexto. Neste caso o resultado é denomidado

de juro simples exato.

Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do

número de dias. Admitindo que cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo

aproximado, fazendo a contagem no calendário, obtemos o tempo exato.

15. Desconto simples comercial (ou desconto por fora)

1) Desconto comercial (considera – se como referência de cálculo o

valor nominal).

O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois

para períodos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor

nominal do título.

niNDcomercial ..

16. Cálculo do valor atual de um desconto comercial simples

Legenda:

A – Valor atual, valor já com o desconto (valor líquido)

N – Valor do título

D – desconto comercial ( niNDcomercial .. )

n – quantidade de períodos da operação.

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13 13

DNA

inNNA .

)1( inNA

Exercícios

a) Um título de R$ 6000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.

Faltando 45 dias para o vencimento. Calcule o valor do desconto

comercial simples e o valor atual?

b) Uma duplicata de R$ 6900 foi resgatada antes de seu vencimento por

R$ 6072, Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de seu

desconto comercial foi de 4% ao mês?

17. Taxa de juro efetiva simples.

É a taxa que ao capitalizar (simples) o valor atual, obtém – se o valor

nominal. (taxa efetiva representada por .if

).1( niNM

).1( nifAN

Daí temos

nifAAN .. :

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14 14

ANnifA ..

nA

ANif

.

nA

dcomercialif

.

Exemplo de cálculo de taxa efetiva:

a) Um título de R$ 6.000,00 foi descontado a taxa de 2,1% ao mês,

faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto

comercial foi de R$ 189,00, calcule a taxa efetiva.

18. Desconto racional simples (considera – se o valor atual, conhecido

como desconto por dentro)

Na prática, o desconto comercial é mais usado, por referir exatamente ao

valor nominal na base dos cálculos.

Também conhecido por valor (por dentro)

Idéia de raciocínio, A + X/100A = N, Onde o valor inicial corresponde

a 100%

O valor do desconto é menor que o valor do desconto comercial

Pode ser calculado através da fórmula niAdr ..

Esse desconto não é muito usado no dia a dia.

.

A maioria dos exercícios traz em seu contexto o valor nominal, e não o

valor atual, sendo assim, é importante elaborarmos uma outra fórmula

equivalente que utiliza o valor nominal N

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15 15

niAdr ..

nidrNdr .).(

nidrniNdr ....

niNnidrdr ....

niNnidr ..).1(

).1(

..

ni

niNdr

a) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.

Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor descontado

racional, e o valor atual racional

resposta: dr = R$ 183,00

19. Equivalência de capitais (simples)

Usamos o conceito de capital diferido: títulos de crédito com

vencimentos diferentes.

A referência é feita baseado no título, ou valor nominal.

Igualamos os valores atuais das respectivas datas.

Sempre voltamos para uma data igual à zero.

'AA , ).1( niNA niNd ..

a) Quero substituir um título de R$ 5.000, vencível em 3 meses, por

outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem

ser descontados à taxa de 3,5 ao mês, qual o valor nominal comercial

do novo título?

resposta: R$ 6.559,00

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16 16

b) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro

de R$ 12.000 para 60 dias, por outros três títulos, com o mesmo

valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias.

Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto

comercial da transação é de 3% ao mês. resposta: R$ 5.613

20. Juros composto

Chamado de capitalização composta.

niCM )1(

)1(11 iCM

)1(12 iMM

)1(23 iMM

Substituindo de forma regressiva, chegamos à fórmula genérica.

niCM )1(

ni)1( , fator de capitalização.

ni)1( , fator de descapitalização.

É necessária tábua financeira, logaritmo, calculadora científica ou

financeira.

Taxas proporcionais não são equivalentes.

Taxas equivalentes: quando aplicadas a capitais iguais, por prazos

iguais, produzem juros também iguais.

360)1( di12)1( mi

6)1( bi4)1( ti

2)1( si )1( ai

Cálculo do capital inicial da aplicação: Lembrando que ni)1( é o

fator de descapitalização.

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17 17

ni

MC

)1(

21. Taxa nominal

Taxa nominal é quando o período de capitalização não coincide com

aquele a que ela se refere, considera a taxa nominal proporcional na

execução dos cálculos.

a) Qual o montante (composto) de um capital de R$ 5.000, no fim de 2

anos, com juros de 24% ao ano capitalizado trimestralmente?

resposta: R$ 7.969,25

22. Taxa efetiva

Taxa efetiva é a taxa verdadeira da operação.

a) Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a

taxa de 6% é, como vimos anteriormente, representa a taxa nominal. A

taxa efetiva e a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo

fi a taxa efetiva, temos.

2)1( si )1( ai ou seja 2)03.01( )1( ai = 0,06090

b) Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente.

Calcule a taxa efetiva.

resposta:18.81% a.a

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23. Relação entre taxa real, taxa aparente e taxa da inflação.

(taxa unificada)

Considere a seguinte situação:

Jorge aplicou o seu dinheiro no Banco Costa e Silva SA em uma aplicação

que rende 12% ao ano. Nesse mesmo período a inflação foi de exatamente

8%. Qual foi a taxa real de rentabilidade desta aplicação?

Legenda

iA , taxa aparente = 12%

iR , taxa real = ?

iI taxa da inflação = 8%

)1).(1.()1.( iRiICiaC

)1).(1()1( iRiIia

24. Desconto composto comercial

niNA )1(

Legenda:

A – Valor atual (valor já com o desconto

N – Valor do título

i –Taxa aplicada

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19 19

n – Quantidade de períodos.

Esse desconto não muito usado em matemática financeira, pois em

pouco tempo o valor do desconto ultrapassa o valor do título N.

A base de cálculo é o valor nominal do título N.

Mesmo raciocínio do Abatimento sucessivo.

25. Desconto racional composto.

Cálculo do valor atual: Valor atual, em regime de juro composto, de um

capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é

o capital A que colocado a juros compostos a taxa i, produz no fim dos n

períodos o Montante N.

Legenda:

A – Valor atual (valor já com o desconto)

N – Valor do título

i – Taxa aplicada

n – Quantidade de períodos.

NiA n)1.(

ni

NA

)1( ou

niNA )1.(

Lembrando que ni)1( é o fator de descapitalização.

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20 20

a) Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses

antes de seu vencimento. Tendo sido contratado a taxa de 30% ao

ano, capitalizado mensalmente. Qual foi o desconto composto

racional concedido?

26. Equivalência de capitais compostos. (capitais diferidos)

'

)1(

AA

iNA n

Mesmo conceito de equivalência de capitais simples, mas considerando a

descapitalização do valor nominal composta.

a) Um título no valor nominal de R$ 7000,00 com vencimento para 5

meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo

que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor

nominal do novo título? (considerar juros compostos)

b) Um comerciante, devedor de um título de R$ 40.000 para três anos,

deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais e iguais: um

no fim do 1 ano e outro no fim do 2 anos. Sabendo que a taxa é de

40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. (considerar juros

compostos)

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21 21

27. Capitalização e amortização compostas

Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os

meses certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos

comprar um bem qualquer, podemos fazê – lo em prestações, a serem

pagas mensalmente.

Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida

depositando ou pagando certa quantia em épocas distintas.

No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma

amortização.

Rendas: A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas

diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida é

denominada Renda.

As rendas podem ser certas ou aleatórias, periódicas ou não periódicas,

constantes ou variáveis ou diferidas (carência de prazo).

28. Capitalização – POSTECIPADA (final do mês)

a) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês,

durante 5 meses a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da

renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao

mês, capitalizados mensalmente.

Podemos entender que o depósito é realizado no final do mês, sendo que

o último mês não rende juros.

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22 22

niCM )1(

100+

)02,01(100 +

2)02,01(100 +

3)02,01(100 +

4)02,01(100 +

Somatório = R$ 520,40

Considerando o conceito de fórmula Genérica.

121 )1(...)1()1( niTiTiTTSf121 )1...()1()1(1 niiiTSf

Observe que dentro do colchete, temos uma Progressão Geométrica.

11a ,1)1( n

n ia , )1( iq

Fórmula da soma da PG. 1

. 1

q

aqaSPG n

11

1)1.()1( 1

i

iiSPG

n

i

iSPG

n 1)1(

Voltando a expressão anterior abaixo,

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23 23

i

iTSf

n 1)1(Temos a fórmula para a capitalização

postecipada.

O fator também pode ser obtido através de tabelas, tábuas financeiras e

etc.

a) Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5

meses, a quantia de R$ 350,00. Calcule o montante da renda,

sabendo que esta financeira paga juros compostos de 1% ao mês,

capitalizados mensalmente.

b) Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5

meses, a quantia de R$ 500,00. Calcule o montante da renda,

sabendo que esta financeira paga juros compostos de 1,5% ao mês,

capitalizados mensalmente.

29. Capitalização Antecipada (no início do mês)

Podemos entender que o valor é depositado no início do período, sendo que

a última parcela também rende juros.

a) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês,

durante 5 meses a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da

renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao

mês, capitalizados mensalmente.

niCM )1.(

1)02,01(100 +

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24 24

2)02,01(100 +

3)02,01(100 +

4)02,01(100 +

5)02,01(100

Somatório = R$ 530,81

Considerando o conceito de fórmula Genérica.

niTiTiTiTSi )1(...)1()1()1( 21

niiiTSi )1(...)1()1( 2

niiiTTTSi )1(...)1()1( 2

niiiTTSi )1(...)1()1(1 2

Observe que dentro do colchete, temos uma Progressão Geométrica.

11a ,n

n ia )1( , )1( iq

Fórmula da soma da PG. 1

. 1

q

aqaSPG n

11

1)1.()1(

i

iiSPG

n

i

iSPG

n 1)1( 1

Voltando a expressão anterior abaixo,

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25 25

i

iTTSi

n 1)1( 1

Ti

iTSi

n 1)1( 1

a) Qual o montante de uma renda antecipada (no inicio do mês) de 10

termos mensais de R$ 500,00 a taxa de 1,5% ao mês?

30. Amortização composta

Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um

empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga

em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais

incide a mesma taxa.

31. Amortização (postecipada)

Consideremos o seguinte problema:

a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (no

fim do mês) de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de

juros.

O objetivo deste exercício é calcular o valor atual da dívida, ou seja,

saber o preço a vista desta compra.

Lembrando que para trazer cada parcela para a data zero, devemos

aplicar o desconto racional composto em cada uma das parcelas.

niNA )1.(

A fórmula que nos dá o valor atual seria a seguinte:

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26 26

1)02,01(100 +

2)02,01(100 +

3)02,01(100 +

4)02,01(100 +

5)02,01(100 +

Valor atual = R$ 471,34

niTiTiTAf )1(...)1()1( 21

niiiTAf )1(...)1()1( 21

A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de

uma PG, na qual temos:

nia )1(1 ,1)1( ian , )1( iq

Fórmula da soma da PG. 1

. 1

q

aqaSPG n

11

)1()1.()1( 1

i

iiiSPG

n

i

iSPG

n)1(1

Multiplicando toda a expressão por ni)1( para facilitar a visualização

dos termos.

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27 27

n

nn

ii

iiSPG

)1.(

)1.)()1(1(

n

n

ii

iSPG

)1.(

1)1(

Este termo é conhecido como

fator de amortização.

Voltando a expressão anterior,

n

n

ii

iTAf

)1.(

1)1(

a) Qual o valor atual de uma renda anual imediata de 12 termos iguais a

R$ 15.000,00 cada um, à taxa de 6% ao ano?

b) Qual dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$

8.000,00 cada uma, sendo 2% ao mês a taxa de juro?

32. Amortização antecipada

Neste caso, a primeira parcela da amortização é feita no ato do contrato

(data zero). Para exemplificar vamos refazer o exemplo da explicação

anterior considerando o pagamento no ato do contrato.

a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (no

ínicio do mês) de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de

juros.

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28 28

Resolução:

niNA )1.( Ou seja,

100+

1)02,1.(100 +

2)02,1.(100 +

3)02,1.(100 +

4)02,1.(100 =

Valor atual = R$ 480,77

Vamos à fórmula genérica

)1(21 )1(...)1()1( niTiTiTTAi)1(21 )1(...)1()1(1 niiiTAi

A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de

uma PG, na qual temos:

)1(

1 )1( nia , 1na , )1( iq

Fórmula da soma da PG. 1

. 1

q

aqaSPG n

11

)1()1.(1 )1(

i

iiSPG

n

i

iiSPG

n )1()1()1(

Voltando a expressão anterior,

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29 29

i

iiTAi

n )1()1()1(

a) Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos

mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês.

b) Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar,

com 6 pagamentos, uma compra de R$ 6.500, com juro de 2,5% ao

mês.

33. Empréstimos (Sistema Francês de amortização) – Tabela

Price.

O mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com

prestações constantes, periódicas e imediatas. Como essas prestações são

constantes, à medida que vão sendo paga, a dívida diminui e os juros

tornam – se menores, enquanto que as quotas de amortização tornam – se

automaticamente maiores. A tabela price amplamente usado em crédito

veículo, eletrônicos, CDC e etc.

Características:

As prestações são constantes em todos os períodos

A prestação é composta por (Juro + amortização) de forma que

a prestação permaneça constante.

Os juros vão diminuindo ao longo do tempo,

A amortização vai aumentando ao longo do tempo.

No cálculo é utilizada a taxa proporcional.

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30 30

Vamos voltar ao conceito de amortização composta postecipada.

n

n

ii

iTAf

)1.(

1)1(

.Podemos entender que o termo

Af é o valor atual, e ao mesmo tempo o valor a vista 0D

n

n

ii

iTD

)1.(

1)1(0

Isolando o T temos,

34. Esta é a formula para financiamentos gerais, pelo método

PRICE.

1)1(

)1.(0 n

n

i

iiDT

Vamos aos exemplos:

a) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00

para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO

(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcule o

valor da prestação e monte a planilha de amortização.

Utilizando a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da

parcela, R$ 35.027,00

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31 31

TABELA PRICE

PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 R$ 100.000,00

1 R$ 35.027,00 R$ 15.000,00 R$ 20.027,00 R$ 79.973,00

2 R$ 35.027,00 R$ 11.995,95 R$ 23.031,05 R$ 56.941,95

3 R$ 35.027,00 R$ 8.541,29 R$ 26.485,71 R$ 30.456,24

4 R$ 35.027,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$ 2,32

Podemos tirar algumas conclusões escrevendo as fórmulas genéricas:

O valor do juro é 1. kk DiJ

O valor da amortização é kk JTA

O saldo devedor é kkk ADD 1

b) Uma moto Honda custa R$ 6.000,00 à vista. Financiado em

24 parcelas com a taxa de 1,5% a. m. Calcule o valor da

parcela e construa a tabela PRICE correspondente.

TABELA PRICE

PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 R$ 6.000,00

1 R$ 299,55 R$ 90,00 R$ 209,55 R$ 5.790,45

2 R$ 299,55 R$ 86,86 R$ 212,69 R$ 5.577,76

3 R$ 299,55 R$ 83,67 R$ 215,88 R$ 5.361,87

4 R$ 299,55 R$ 80,43 R$ 219,12 R$ 5.142,75

5 R$ 299,55 R$ 77,14 R$ 222,41 R$ 4.920,34

6 R$ 299,55 R$ 73,81 R$ 225,74 R$ 4.694,60

7 R$ 299,55 R$ 70,42 R$ 229,13 R$ 4.465,47

8 R$ 299,55 R$ 66,98 R$ 232,57 R$ 4.232,90

9 R$ 299,55 R$ 63,49 R$ 236,06 R$ 3.996,84

10 R$ 299,55 R$ 59,95 R$ 239,60 R$ 3.757,24

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32 32

11 R$ 299,55 R$ 56,36 R$ 243,19 R$ 3.514,05

12 R$ 299,55 R$ 52,71 R$ 246,84 R$ 3.267,21

13 R$ 299,55 R$ 49,01 R$ 250,54 R$ 3.016,67

14 R$ 299,55 R$ 45,25 R$ 254,30 R$ 2.762,37

15 R$ 299,55 R$ 41,44 R$ 258,11 R$ 2.504,26

16 R$ 299,55 R$ 37,56 R$ 261,99 R$ 2.242,27

17 R$ 299,55 R$ 33,63 R$ 265,92 R$ 1.976,36

18 R$ 299,55 R$ 29,65 R$ 269,90 R$ 1.706,45

19 R$ 299,55 R$ 25,60 R$ 273,95 R$ 1.432,50

20 R$ 299,55 R$ 21,49 R$ 278,06 R$ 1.154,44

21 R$ 299,55 R$ 17,32 R$ 282,23 R$ 872,20

22 R$ 299,55 R$ 13,08 R$ 286,47 R$ 585,74

23 R$ 299,55 R$ 8,79 R$ 290,76 R$ 294,97

24 R$ 299,55 R$ 4,42 R$ 295,13 -R$ 0,15

35. Determinação do saldo devedor (Sistema Price)

Vamos imaginar uma maneira de calcular o saldo devedor após

ma certa quantia sem construir a tabela price e sem calcular

manualmente dos saldos anteriores.

Quando calculamos o 0D, na verdade estamos amortizando

todas as parcelas para a data zero, então com isso estamos

obtendo o saldo devedor que é igual ao valor inicial do

financiamento. Podemos entender que

,1D ,2D ,3D ,knD segue o cálculo do saldo devedor à

medida que vamos quitando as respectivas parcelas.

Então temos.

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33 33

n

n

ii

iTD

)1.(

1)1(0

kn

kn

kii

iTD

)1.(

1)1(

, onde k é quantidade de

parcelas já quitadas (pagas)

a) Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, através do Sistema

Francês de Amortização, em 8 prestações anuais à taxa de 20% ao

ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira parcela.

b) Um banco empresta R$ 200.000,00 para ser pago pelo Sistema

Francês de Amortização em 20 prestações anuais à taxa de 25% ao

ano. Calcule o saldo devedor após o pagamento da décima segunda

prestação.

36. Empréstimos (Sistema Francês de amortização) – Tabela

Price. COM CARÊNCIA.

Um financiamento pode ser oferecido ao mutuário com um

prazo de carência. Quando isso acontece, devemos considerar

três casos:

1) Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da

dívida, não havendo, portanto, amortização desta.

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34 34

2) Durante a carência o mutuário não paga os juros da dívida,

estes serão capitalizados e incorporados à dívida, para

serem amortizados nas prestações.

3) A carência é apenas um incentivo para o mutuário na

negociação, não havendo cobrança por isso. (Não conheço

nenhum caso na prática.

Vamos estudar o primeiro caso (mutuário paga

somente os juros no período da carência).

a) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00

para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO

(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e 2 anos de

carência. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de

amortização.

Utilizando a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da

parcela, R$ 35.027,00

TABELA PRICE ( Com carência)

PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 R$ 100.000,00

1 CARÊNCIA R$ 15.000,00 Carência R$ 100.000,00

2 CARÊNCIA R$ 15.000,00 Carência R$ 100.000,00

3 R$ 35.027,00 R$ 15.000,00 R$ 20.027,00 R$ 79.973,00

4 R$ 35.027,00 R$ 11.995,95 R$ 23.031,05 R$ 56.941,95

5 R$ 35.027,00 R$ 8.541,29 R$ 26.485,71 R$ 30.456,24

6 R$ 35.027,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$ 2,32

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35 35

Vamos estudar o segundo caso (mutuário não

paga nada durante a carência e estes juros

serão capitalizados e incorporados à dívida).

b) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00

para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO

(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e 2 anos de

carência. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de

amortização.

Vamos capitalizar a dívida.

niCM )1(

115000)15,01(100000 1

1M

------------------------------------------------------------------------------

132250)15,01(100000 2

2M

-------------------------------------------------------------------------------

TABELA PRICE COM CARENCIA

PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 R$ 100.000,00

1 R$ 115.000,00

2 R$ 132.250,00

3 R$ 46.322,56 R$ 19.837,50 R$ 26.485,06 R$ 105.764,94

4 R$ 46.322,56 R$ 15.864,74 R$ 30.457,82 R$ 75.307,12

5 R$ 46.322,56 R$ 11.296,07 R$ 35.026,49 R$ 40.280,63

6 R$ 46.322,56 R$ 6.042,09 R$ 40.280,47 R$ 0,16

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36 36

37. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (TABELA SAC)

O Sistema de amortização constante (SAC), também chamado de

sistema hamburguês, foi introduzido no Brasil, a partir de 1971,

pelo sistema financeiro da habitação. O SAC Possui as seguintes

características:

A amortização é constante

O mutuário paga a dívida em prestações periódicas e

imediatas decrescentes, que englobam juros e

amortizações.

Os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a

amortização é constante, então as prestações são

decrescentes.

O valor do juro é 1. kk DiJ

O valor da amortização é n

DA 0

O saldo devedor é kkk ADD 1

a) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser

pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações

anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.

1000000D

4n

aai .%15

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37 37

n

DA 0

=

250004

100000A

TABELA SAC / TAXA 15%

PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 R$ 100.000,00

1 R$ 40.000,00 R$ 15.000,00 R$ 25.000,00 R$ 75.000,00

2 R$ 36.250,00 R$ 11.250,00 R$ 25.000,00 R$ 50.000,00

3 R$ 32.500,00 R$ 7.500,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00

4 R$ 28.750,00 R$ 3.750,00 R$ 25.000,00 R$ 0,00

38. Determinação do saldo devedor.

Por analogia aos modelos apresentados, temos a fórmula genérica

do saldo devedor de um sistema de amortização constante:

AkDDk .0

a) Uma dívida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, através do sistema

de amortização constante, em 12 prestações anuais, à taxa de 20% ao

ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava prestação.

5000012

6000000

n

DA

AkDDk .0

20000050000.86000008D

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38 38

Comprovando o cálculo anterior através da tabela SAC.

TABELA SAC / TAXA 20%

PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 R$ 600.000,00

1 R$ 170.000,00 R$ 120.000,00 R$ 50.000,00 R$ 550.000,00

2 R$ 160.000,00 R$ 110.000,00 R$ 50.000,00 R$ 500.000,00

3 R$ 150.000,00 R$ 100.000,00 R$ 50.000,00 R$ 450.000,00

4 R$ 140.000,00 R$ 90.000,00 R$ 50.000,00 R$ 400.000,00

5 R$ 130.000,00 R$ 80.000,00 R$ 50.000,00 R$ 350.000,00

6 R$ 120.000,00 R$ 70.000,00 R$ 50.000,00 R$ 300.000,00

7 R$ 110.000,00 R$ 60.000,00 R$ 50.000,00 R$ 250.000,00

8 R$ 100.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 200.000,00

9 R$ 90.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 150.000,00

10 R$ 80.000,00 R$ 30.000,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00

11 R$ 70.000,00 R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00

12 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 R$ 0,00

R$ 1.380.000,00 R$ 780.000,00 R$ 600.000,00

39. Sistema de SAC com prazo de carência

Da mesma forma que acontece na tabela price, podemos

considerar três casos.

Quando isso acontece, devemos considerar três casos:

1. Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da

dívida, não havendo, portanto, amortização desta.

2. Durante a carência o mutuário não paga os juros da

dívida, estes serão capitalizados e incorporados à dívida,

para serem amortizados nas prestações.

3. A carência é apenas um incentivo para o mutuário na

negociação, não havendo cobrança por isso. (Não

conheço nenhum caso na prática.

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a) Refaça o exercício anterior atribuindo a carência de dois

anos nos dois casos previstos principais (considerando o

juro e capitalizando e montando um novo capital.

Parte 01

Referências Bibliográficas:

Matemática Comercial e Financeira – Antônio Arnot Crespo

Matemática Financeira com uso do Excel e Hp 12 C – Lúcio Magno

Pires

Matemática Elementar Coleção vol 1 – Gelson Iezzi

Matemática Elementar Coleção vol 2 – Gelson Iezzi

Guia do Usuário Hp 12c – 5º edição – Hp do Brasil.

RIKEY PAULO PIRES FELIX

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