cÁlculo i -...
TRANSCRIPT
CÁLCULO I ANEXO: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1
Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales
José Carlos Bellido Muñoz
Félix Miguel de las Heras García
Julián Herranz Calzada
Antonio Ruíz Perea
Definiciones
Conceptos de trigonometría. Definición.
Los dos triángulos rectángulos ABC y AB’C’, se
dice que son semejantes porque tienen un mismo
ángulo en el vértice A.
2
b B B’
C’ C
A
a c
Por ser semejantes se cumple que las relaciones que existen entre dos
lados cualesquiera de uno de los triángulos son las mismas que las que
hay entre los lados equivalentes del otro triángulo.
Estas relaciones dependen del ángulo , y si éste varía, también varían
las relaciones que se establecen.
Definiciones
3
Las relaciones se pueden definir de la siguiente forma:
CB C'B' a 1 CA csen cosec
c sen CB aCA C'A
BA B'A b 1 BA ccos sec
c cos bCA C'A CA
CB C'B' a 1 CB btg cotg
b tg aBA B'A BA
b B B’
C’ C
A
a c
Una vez definidas esta relaciones básicas pueden establecerse otras
relaciones entre ellas:
Por el Teorema de Pitágoras:
2 2 2 2
BC AB AC y dividiendo toda la ecuación por AC resulta:
Definiciones
4
2 2
2 2BC AB1 sen cos 1
AC AC
BC
BC sen senACPor otro lado tg tgcos cosAB AB
AC
b B
C
A
a c
2 2 2 2
2 22 2 2 2
2 2 2
2
2
Por último si la expresión sen cos 1 se divide por cos o bién por sen
se obtienen las dos siguientes expresiones:
sen cos 1tg 1 sec sec tg 1
cos cos cos
sen
sen
22 2 2 2
2 2
cos 11 cotg cosec cosec cotg 1
sen sen
Definiciones
5
Extensión de las funciones trigonométricas para ángulos A>90º
Consideremos un sistema de coordenadas xy. P es un punto de coordenadas
(x,y) cuya distancia la origen es . Un ángulo A con origen en OX en
sentido contrario a las agujas del reloj se considera positivo. Si en el sentido de
las agujas del reloj se considera negativo.
2 2r x y
y x y x r rsenA cos A tgA= cotgA= secA= cosecA=
r r x y x y
Funciones trigonométricas de un ángulo A de cualquier cuadrante
Signos e intervalos de variación de las
funciones trigonométricas 6
Cuadrante sen A cos A tg A cotg A sec A cosec A
I +
0 a 1
+
1 a 0
+
0 a
+
a 0
+
1 a
+
a 1
II +
1 a 0
-
0 a -1
-
a 0
-
- a 0
-
- a -1
+
1 a
III -
0 a -1
-
-1 a 0
+
0 a
+
a 0
-
-1 a -
-
- a -1
IV -
-1 a 0
+
0 a 1
-
a 0
-
- a 0
+
a 1
-
-1a -
Relaciones entre grados y radianes
7
Se denomina radián a aquel ángulo subtendido
en el centro O de una circunferencia por un arco
MN igual al radio r.
Como 2 radianes = 360º se tiene que:
1 radián = 180º/ = 57,2957795…º
1º = /180 = 0,174532935199…radianes
Los ángulos más usuales en radianes son los siguientes:
Ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 135º 180º 225º 270º 315º
Radianes 0 /6 /4 /3 /2 3/4 5/4 3/2 7/4
Gráficas 8
Gráficas 9
Gráficas 10
Gráficas 11
Gráficas 12
Gráficas 13
Gráficas 14
Gráficas 15
Funciones de ángulos de cualquier
cuadrante reducidos al primero 16
−A
90º A /2 A
180º A /2 A
270º A 3/2 A
K(360º) A 2k A K entero
sen −sen A cos A ∓sen A −cos A ±sen A
Cos cos A ∓sen A −cos A ±sen A cos A
Tg -tg A ∓cotg A ±tg A ∓cotg A ±tg A
Cosec −cosec A sec A ∓cosec A −sec A ±cosec A
Sec sec A ∓cosec A −sec A ±cosec A sec A
Cotg −cotg A ∓tg A ±cotg A ∓tg A ±cotg A
sen( ) sen cos( ) cos tg( ) tg
cosec( ) cosec sec( ) sec cotg( ) cotg
x x x x x x
x x x x x x
Funciones de argumentos negativos
Relaciones entre las funciones de los
ángulos del primer cuadrante 17
sen x = u cos x = u tg x = u cotg x = u sec x = u cosec x = u
sen x u 1/u
cos x u 1/u
tg x u 1/u
cotg x 1/u u
sec x 1/u u
cosec x 1/u u
21 u / u
21 u
2u / 1 u
21 u
2u / 1 u
21 u / u
21/ 1 u
21/ 1 u
21 u
21 u
2u / 1 u
21/ 1 u2u / 1 u
21/ 1 u
21 u / u
21 u / u
2u / u 1
2u 1 / u
2u 1 / u
2u 1
2u 121/ u 1
21/ u 1
2u / u 1
Para los otros cuadrantes úsense los signos apropiados según se indica en la
tabla precedente.
Valores exactos de las funciones
trigonométricas de algunos ángulos 18
Ángulo x
en grados
Ángulo x
en
radianes
sen x
cos x
tg x
cotg x
sec x
cosec x
0 0 0 1 0 1
30 /6 1/2 2
45 /4 1 1
60 /3 1/2 2
90 /2 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1
180 0 -1 0 ∓∞ -1 ∓∞
Para ángulos situados en los otros cuadrantes úsense los signos apropiados
según se indica en la tabla de reducción al primer cuadrante.
33
3 2 33
32
33
3 2 33
22
22
2 2
32
Fórmulas de adición y del ángulo doble
sen( ) sen cos cos sen
cos( ) cos cos sen sen
tg tgtg( )
1 tg tg
cotg cotg 1cotg( )
cotg cotg
x y x y x y
x y x y x y
x yx y
x y
x yx y
x y
19
Fórmulas del ángulo doble
2 2 2 2
2
2
sen 2 2sen cos
cos2 cos sen 2cos 1 1 2sen
2 tg cotg 1tg 2 cotg 2 =
1 tg 2cotg
x x x
x x x x x
x xx x
x x
A partir de estas expresiones
se deducen inmediatamente
las del ángulo doble.
Fórmulas del ángulo mitad
20
1 cossen si I ó II cuadrante, si III ó IV cuadrante
2 2 2 2
1 coscos si I ó IV cuadrante, si II ó III cuadrante
2 2 2 2
1 costg si I ó III cuadrante, s
2 1 cos 2
x x x x
x x x x
x x x
xi II ó IV cuadrante
2
sen 1 cos cosec cotg
1 cos sen
x
x xx x
x x
Fórmulas del ángulo múltiplo
3
3
3
2
3
4 2
3
2 4
sen3 3sen 4sen
cos3 4cos 3cos
3tg tgtg3
1 3tg
sen 4 4cos sen 2sen
cos4 8cos 8cos 1
4 tg 4 tgtg 4
1 6 tg tg
x x x
x x x
x xx
x
x x x x
x x x
x xx
x x
21
Potencias y productos de funciones
trigonométricas
2 2
3 3
4 4
1 1sen 1 cos2 cos 1 cos2
2 2
1 1sen 3sen sen3 cos cos3 3cos
4 4
3 1 1 3 1 1sen cos2 cos4 cos cos2 cos4
8 2 8 8 2 8
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
22
1sen sen cos( ) cos( )
2
1cos cos cos( ) cos( )
2
1sen cos sen( ) sen( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
Suma y diferencia de funciones trigonométricas
1 1sen sen 2sen ( ) cos ( )
2 2
1 1sen sen 2cos ( ) sen ( )
2 2
1 1cos cos 2cos ( ) cos ( )
2 2
1 1cos cos 2sen ( ) sen ( )
2 2
sentg tg
cos cos
sentg tg
cos cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x yx y
x y
x yx y
x y
23
Funciones trigonométricas inversas o
recíprocas 24
Definición
Si 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒚 entonces 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏𝒙, es decir, el ángulo cuyo seno es 𝒙
o el seno inverso de 𝒙 que denominaremos a partir de ahora 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙.
Se trata de una función multiforme de 𝒙 que puede considerarse como
un conjunto de funciones uniformes llamadas ramas.
Las demás funciones trigonométricas inversas, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄𝒙 y 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 también son multiformes.
En ocasiones conviene seleccionar una determinada rama para algún
propósito específico. Tal rama se denomina rama principal y sus
valores se llaman valores principales.
Valores principales de las funciones
trigonométricas inversas 25
Valores principales para 𝑥 ≥ 0 Valores principales para 𝑥 < 0
0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤𝜋
2
0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤𝜋
2
0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 <𝜋
2
0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ≤𝜋
2
0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 <𝜋
2
0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤𝜋
2
−𝜋
2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 < 0
𝜋
2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋
−𝜋
2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 < 0
𝜋
2< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 < 𝜋
𝜋
2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤ 𝜋
−𝜋
2< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 < 0
Relaciones entre las Funciones trigonométricas inversas
arcsen arccos2
arctg arccotg2
arcsec arccosec2
1arccosec arcsen
1arcsec arccos
1arccotg arctg
x x
x x
x x
xx
xx
xx
arcsen( ) arcsen
arccos( ) arccos
arctg = arctg
arccotg( ) arccotg
arccosec ( ) arccosec
arcsec = arcsec
x x
x x
x x
x x
x x
x x
26
En todos los casos se da por
entendido que se trata de
valores principales.
Gráficas de las Funciones trigonométricas
inversas
27
28
Gráficas de las Funciones trigonométricas
inversas