calculo ii - just another weblog · pdf filealgunas sucesiones se pueden definir mediante una...

Universidad Diego Portales CALCULO II

1

Sucesiones


2

Una sucesión se puede definir como una lista de números escritos en orden definido:

El número es el primer término; , el segundo término y en general , es el n-ésimo término . Consideraremos sólo sucesiones infinitas , de modo que cada término tendrá susucesor .

,...,,.........,, 321 naaaa

1a 2ana

na1+na

Observemos que por cada entero positivo , n , hay un número correspondiente , y , por lo tanto , se puede definir una sucesión como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos

na


3

NOTACIÓN: la sucesión { } también se representa por

{ } , o bien

,.....,, 321 aaa

na { } ∞=1nna

Ejemplo1 Algunas sucesiones se pueden definir mediante una fórmula del n-ésimo término . En los ejemplos que siguen presentamos tres descripciones de una sucesión:

++=

+ =,.....

1,....

54,

43,

32,

21

1a

1 n1 n

nn

nn

n

n

( ) ( ) ( )

+−−−

+−=

+−

=,.....

21,....,

74,

53,

42,

31

21a

21 n

1 nn

nn

nn nn

n

n


4

En general , la notación

significa que los términos de la sucesión se pueden acercar a L tanto como se desee, con un valor de n lo bastante grande .

Lalim nn

=∞→

{ }na

DEFINICIÓN: Una sucesión { } tiene el límite L , y se representa

si para toda ε > 0 , hay un entero N correspondiente , tal que

siempre que n > N

Si existe el se dice que la sucesión converge ( o que es convergente). Si no es así , se dice que la sucesión diverge (o que es divergente)

na

∞→→=∞→

n cuando bien o LaLalim nnn

ε<− Lan

Lalim nn

=∞→


5

En ella los términos , se grafican en una recta numérica . No importa cuán pequeño se elija al intervalo ( L - ε ., L + ε ), existe una N tal que todos los términos de la sucesión , desde en adelante , deben estar en ese intervalo.

,..,, 321 aaa

1+Na

Al comparar la definición anterior con la definición de límitesal infinito, se advierte que la única diferencia entre

es que n ha de ser entero Lan =

∞→nlim

Lxf =∞→

)(limx

( )1+Na 2+Na

L- ε L L+ ε


6

Teorema: Si y cuando n es un entero,

entonces

Lxf =∞→

)(limx nanf =)(

Lan =∞→n

lim

En particular cuando r>0,

entonces cuando r>0,

01limx

=∞→ rx

01limn

=∞→ rn

DEFINICIÓN: significa que para todo número positivo M , hay un entero N tal que

> M cuando n > N

∞=∞→

nanlim

na


7

OBS: Si , la sucesión { } es divergente , aunque en una forma especial . Se dice que { } diverge a .

∞=∞→

nanlim na

na ∞

Algebra de límites para sucesionesSi y son sucesiones convergentes y si c es una constante

( )

( )

cc

bb

a

ba

baba

acca

baba

baba

lim

limlimlim

lim

limlimlimlimlim

limlimlimlimlimlim

n

nnn

n

nn

n

n

n

nn

nn

nnn

nn

nn

nn

nn

nnn

nn

nn

nnn

=

≠=

⋅=

=

−=−

+=+

∞→

∞→∞→

∞→

∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

0 si

)(

{ }na { }nb


8

Ejercicio: Determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen

nn a

nna

nna

nna nnnn

ln 11

1314

513

2

2

2

2

=+−=

+−=

+−=

Teorema del Sandwich para sucesionesSi para y si

entonces

nnn cba ≤≤ 0nn ≥ Lca nn ==∞→∞→ nn

limlim

Lbn =∞→n

lim

Teorema

Si entonces 0limn

=∞→ na 0lim

n=

∞→ na

Ejercicio: Demuestre el teorema


9

Ejercicio: Determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen

( ) ( ) ( ) ( )nnan

aana nn

n

nnn

n −+−=−=−== − 21 1 1 2 n

¿Para qué valores de rconverge la sucesión ?{ } nr

La sucesión es convergente si -1<r≤1, y divergente para los demás valores de r

{ } nr

=<<

=∞→ 1r si 1

1r1- si 0limn

nr


10

Ejercicio: Calcule los siguientes límites

( ) ( ) ( ) ( )

( )∑=∞→

−

∞→

∞→

+

+++++

++++

n

j

n

n

jn

n

nnnnnn

12n

12

n

2222

n

1lim

55.......551lim

/....../3/2/1lim


11

Definición: Una sucesión se llama creciente si para toda n≥1 y decreciente si

para toda n≥1 y monótona si es creciente o decreciente

{ }na

1+≤ nn aa 1+≥ nn aa

Ejercicio: Pruebe que las sucesiones son decrecientes

+

+ 1nn ,

7n4 2

{ }

+ 2n2-n , 5 nEjercicio: Pruebe que las sucesiones

son crecientes


12

Definición: Una sucesión está acotada por arriba si existe un número M tal que

Está acotada por abajo si existe un número m tal que

Si está acotada por arriba y por abajo, es una sucesión acotada

{ }na

1n todapara ≥≤ Man

1n todapara ≥≤ nam{ }na

Teorema: Toda sucesión convergente es acotada

Ejercicio : Demuestre el teorema


13

Teorema: Toda sucesión acotada y monótona es convergente

Ejercicio : Demuestre el teorema

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

a) Si es acotada entonces es convergente

b) S existe entonces es convergente

c) Si es acotada entonces

d) La sucesión es acotada

{ }na

na∞→n

lim

0lim 2n=

∞→ nan{ }na

{ }na

( )nn

n

422a n +

−=

V O F


14

Límites Fundamentales

nlim)

IR a alim)

IR k n

knlim)

rlim)

ZZ, q, pn

lim)

IR k nk

lim)

IRk k klim)

nn

nn

n

nn

p/qn

n

n

16

16

0sen5

1r 04

013

012

1

=

∈=

∈=

<=

∈∈=

∈=

∈=

∞→

+

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

( )

IRk sen )11

1r 1

1........110

!1.......

!41

!31

!21110

19

118

32

∈=

<−

=+++++

=

+++++

∈=

+

=

+

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

k nknlim

si r

rrrrlim)

e n

lim)

IR kenklim)

e n

lim)

n

n

n

n

kn

n

n

n


15

Ejercicios: Calcule los siguientes límites si es que existen

( )

nn

nnnlim

n

nn

lim)

nn

n

nlim)

n

nnn

nlim)

n

nn

n

n

!23)4

28113

12

5

32

/1/3sen2cos

41

24

3 3

3

2

4 4

3

+−++

+++

+++

+

+

+

∞→

∞→

∞→

∞→


16

Ejercicio :Determine tal que donde

1lim 1n

<+∞→ n

na

a{ }0-IR ∈x

nnn

nan x!=

Ejercicio :Determine para qué valores deel límite es menor que 1, siendo

{ }0-IR ∈x

n

n

aa 1

nlim +

∞→

nn x

na )1(1

2 +=


17

Series


18

Al sumar los términos de una sucesión infinita , obtenemos una expresión de la forma

(1) que se llama serie infinita o tan sólo serie , y se representa con el símbolo

{ } ∞=1nna

.......321 +++++ naaaa

∑ ∑∞

=1na bien o

nna

¿ tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de términos ?


19

Examinaremos las sumas parciales

43214

3213

212

11

aaaasaaas

aasas

+++=++=

+==

y , en general,∑=

=+++=n

iinn aaaaaS

1321 ....

Estas sumas parciales forman una nueva sucesión , {sn} , que puede tener un límite o no. Si existe el (como número finito ) , entonces , decimos que es la suma de la serie infinita

sslim nn=

∞→

∑ na


20

DEFINICIÓN; Dada una serie Sea sn el símbolo de su n-ésima suma parcial:

....,3211 +++=∑∞

= aaaan n

∑=

==n

iin as

1naaaa ....321 +++

Si la sucesión {sn} es convergente y si existe el como número real, la serie se llama convergente , y se escribe

sslim nn=

∞→

∑ na

saaa n =+++ ........21 o bien ∑∞

==

1in sa

El número s se denomina suma de la serie . Si la serie no converge , es divergente. De lo anterior

∑ ∑∞

= =∞→=

1 1n

n

iinn alima


21

Ejemplo 1: La serie geométrica

∑∞

=

− +++=1

21 .....n

n araraar

converge si y la suma es1 <r

1r 11

1 <−

=∑∞

=

−

raar

n

n

Si la serie geométrica diverge.1>r


22

Ejercicio: Calcula la suma de la serie geométrica

4+ 8/5 + 16/25 +32/125 + .....

Ejercicio: Demuestre que las series

son convergentes y calcule su suma.

∑∞

= +1 )1(1

n nn ∑∞

= −12 141

n n

Ejercicio: Determine si las series convergen o divergen

∑∑∞

=

+−∞

=

+

1

1

0

183

54

n

nn

nn

n

Ejercicio: Demuestre que la serie armónica diverge

∑∞

=++++=

1.......

41

31

2111

n n


23

Teorema Si la serie es convergente , entonces ∑

∞

=1nna 0=

∞→nn

alim

OBS: En general no es cierto el inverso del teorema .

Prueba de la divergencia

Si no existe , o si , la serie divergennalim

∞→0≠

∞→nn

alim ∑∞

=1nna

Ejercicio: Demuestra que la serie diverge.∑∞

= +12

2

567

n nn


24

TEOREMA: Si y son series convergentes , también lo son las series

( donde c es una constante ) , y ,

∑ na ∑ nb

∑ nca ∑ + )( nn ba ∑ − )( nn ba

( )

( )∑ ∑∑

∑ ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+=+

−=−=

1 11

1 1111

)

iii) )

n nn

nnnn

n nn

nnnn

nn

nn

babaii

babaaccai

Ejercicio: Calcule la suma∑∞

=−−

+1

11 32

21

nnn


25

Ejercicios: Determina si las series son convergentes o divergentes. En caso de convergencia , calcula la suma.

∑∞

=

−

1

1

432

n

n 1

1

3 −∞

=∑

− n

n π ∑∞

=121

nne

( )( )∑∞

= ++1

2

213n nnn

( )( )∑∞

= +−1 13231

n nn ∑∞

=

+

1 623

nn

nn

∑∞

=

+1 21n n

n∑∞

=

+1 52ln

n nn

( )( )∑∞

=+−

1))1/(1sen(/1sen

nnn


26

Ejercicio: Calcule los valores de x para los cuales la serie converge.Calcule la suma de la serie para esos valores de x

( )

5

3 3200

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=−

nn

n

n

nn

n

n xxx

∑∞

+= 1Nnn a

∑∞

=1nn a

¿Si se sabe que la serie es convergente, entonces también lo es la serie ?

∑∞

+= 1Nnn a

∑∞

=1nn a

Si, pues un número finito de términos no puede afectar la convergencia de una serie


27

PRUEBA DE LA INTEGRAL:

Sean f una función contínua , positiva y decreciente en [1,∞) y

an = f(n) . Entonces , la serie es convergente sí y sólo sí

converge la integral impropia ; en otras palabras:

a) es convergente , entonces es convergente

b) diverge , entonces es divergente.

∑∞

=1nna

∫∞

1)( dxxf

∫∞

1

)( dxxf ∑∞

=1nna

∫∞

1

)( dxxf ∑∞

=1nna


28

La serie p, , es convergente si

p>1 , y divergente cuando

¿Para qué valores de p es convergente la serie ?

∑∞

=1

1

npn

∑∞

=1

1

npn

1≤p

Ejercicio: Determine si las series convergen o diverge

∑∞

=

−

1

2

n

nne 2

1 11

2 ∑∑∞

=

∞

= + nn

n

nn

n


29

NOTA: Cuando se usa la prueba de la integral no es necesario iniciar la serie o la integral en n=1. Por ejemplo, en la prueba de las series.

( ) ( )∑ ∫∞

=

∞

−4225

1

n n 4 5-x1 usamos

Tampoco es necesario que f siempre sea decreciente. Lo importante es que f sea decreciente cuando x sea mayor que determinado número N. Entonces

∑∑∞

=

∞

= 1nNn

econvergent es a tanto lo pory econvergent es a nn


30

Ejemplo: La serie diverge∑∞

=1

ln

n

n

En efecto, La función f(x)=(lnx)/x es positiva y continua cuando x>1. Además es decreciente para x>e pues

2ln1)´(

xxxf −=

y f ´(x)< 0 cuando ln x >1; esto es, x>e. Ahora podemos usar el criterio de la integral

( ) ∞==

==

∞→∞→∞→

∞

∫∫ 2ln

2lnlnln

1

2

11

tlimxlimxxlimdx

xx

t

t

t

t

t


31

¿Del criterio de la integral, podemosinferir que

?∑ ∫∞

=

∞=

11

nn f(x)dxa

No debemos inferir que la suma de la serie es igual al valor de la integral. Por ejemplo

∑∞

=

=1

2 61

n

n

π 2

mientras que 111 2

=∫∞

x


32

PRUEBA DE COMPARACIÓN: Supongamos queson series de términos positivos

a) Si es convergente y para todo n , entonces también converge.

b) Si es divergente y para todo n , entonces también lo es.

∑ ∑ nby na

∑ nb nb ≤na

∑ na

∑ nb nb ≥na∑ na

Pruebas de comparación

Ejercicio: Determine si las series convergen o diverge

2ln

5236

112 ∑∑

∞

=

∞

= ++ nn nn

nn


33

PRUEBA DE COMPARACIÓN DE LÍMITES Supongamos que son series con términos positivos.

∑ ∑ nby na

a) Si , ambas series convergen o divergen0lim >=∞→

cba

n

n

n

∑=∞→ nby 0lim

n

n

n ba

∑ nab) Si converge, entonces

también

c) Si diverge, entonces también∑∞=∞→ nby lim

n

n

n ba

∑ na


34

Ejercicio: Determine si las series convergen o divergen

!

1 ln3 53

1111∑∑∑∞

=

∞

=

∞

= + nnnn nn

n

43

123

13 210

2

124

23

∑∑∞

=

∞

= −−

++−

nn nnnn

nnnn

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

= +15

13

1 4 ln !

nnnn n

nn

nnn


35

Series AlternantesUna serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos alternativamente

( )

( )

1

1 .... 65-

54

43-

32

21-

1 .... 61-

51

41-

31

21-1

1

1

1

∑

∑

∞

=

∞

=

−

+−=+++

−=+++

n

nn

n

nn

n

Prueba de la serie alternante; Si la serie alternante satisface las condiciones

es convergente

Nota el n-ésimo término de una serie alternante toma la forma( ) ( ) b-a b-a n

nnn

n-n 1bien o 1 1 ==

021 1

=≤

∞→

+

nn

nn

blim) do n para tob ) b


36

Ejemplo: La serie armónica alternante

satisface las desigualdades

01)

11

1) 1

==

<+

<

∞→∞→

+

nlimbb

nn b ba

nn

nn

nlim

porque

( )∑∞

=

−−=−+−+−1

11........51

41

31

211

n

n

n

Así que converge, según la prueba de la serie alternante.

Ejercicio: Compruebe si la serie es convergente o divergente

( ) ( )

( ) ( ) ( ) nπ

nπ

∑∑∑

∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

−−−

−−

113

1

1

14/3

112

1

sen1ln1

!1

cosln11

n

n

n

n

n

nn

nn

n

n

n

nnn

nnn

n


37

Convergencia absoluta

Definición: La serie es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos converge

∑ na

∑ na

Ejemplo: La serie

es absolutamente convergente porque

es una serie p convergente (p=3/2>1)

Si es una serie de términospositivos, entonces y en este

caso convergencia absolutaes lo mismo que convergencia

∑ na

nn aa =

( )

∑∞

=

−−

12/3

11

n

n

n

∑∞

=12/3

1

n n


38

Definición: Una serie se llama condicionalmente convergente si converge pero no es absolutamente convergente.

∑ na

Ejemplo: La serie armónica alternante converge, pero no es absolutamente pues la serie diverge

( )∑∞

=

−−

1

11

n

n

n

∑∞

=1

1

n n

Teorema: Si una serie es absolutamente convergente, entonces converge.

∑ na

Ejemplo: La serie es absolutamente convergente,y por lo tanto convergente

∑∞

=122sen

n nn


39

¿Qué criterio podemos usarPara determinar si una serie es

absolutamente convergente?

Prueba de la razón

diverge

a s lim o lim Si b)

converge) tanto lo pory ( econvergent nteabsolutame es

a s lim Si a)

1nnn

1nn

nn

n

n

n

nn

n

erielaa

aLa

a

erielaentoncesLa

a

∑

∑

∞

=

+∞→

+∞→

∞

=

+∞→

∞=>=

<=

,,1

,1

11

1


40

Ejercicio: Pruebe la convergencia de las siguientes series

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

! n!

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∞

=

∞

=+

−+∞

=+

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=

++

−−

−+−−

+−−

12

122

11

11

112

1

1

2

11

35)1(

4151

32

10121

!1

22

!3

nn

n

nn

nn

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

nn

nn

)( n!

nnn

nne

n


41

diverge

a s lim si o lim Si b)

converge) tanto lo pory ( econvergent nteabsolutame es

a s lim Si a)

1nnn

1nn

nn

nn

n

nn

n

erielaaLa

erielaentoncesLa

∑

∑

∞

=∞→∞→

∞

=∞→

∞=>=

<=

,,1

,1

Prueba de la raíz

( )( )

( )( )

( )

( )

n 2n

∑∑∑

∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

++−

+

−−

111

112

233212

1

21ln

1

2

n

n

n

nn

n

n

n

n

nn

n

nn

n

nn

nn

narctannn

Ejercicio: Pruebe la convergencia de las siguientes series


42

Series de Potencias

Una serie de potencias es aquella que tiene la forma

....33

2210

0

++++=∑∞

=

xcxcxccxcn

nn

en donde x es una variable y las cn son constanres, llamadas coeficientes de la serie. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de x y diverger ante otros. La suma de la serie es una función

......)( 33

2210 ++++++= n

n xcxcxcxccxf

cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las que converge la serie.


43

Para cn=1 la serie de potencias se transforma en la serie geométrica

xxxxxx n

n

n

−=++++++=∑

∞

= 11.......1 32

0

que converge cuando –1<x<1 y diverge cuando IxI≥1

De una manera más general, una serie de la forma

...)(....)()()()( 33

2210

0

+−++−+−+−+=−∑∞

=

nn

n

nn axcaxcaxcaxccaxc

se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a


44

Ejercicio:¿ Para qué valores de x la serie es convergente?

( )

( )( )

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−−

−

−−

+

11

12

2

011

1112

5)4(

!121

ln

)12(42

15

2

nn

n

n

nn

n

n

n

nn

nn

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

nx

nx

nx

xnn

xxn

nxnx

nx


45

Teorema: Para una serie de potencias dada, sólo hay tres posibilidades

i) La serie sólo converge cuando x=aii) La serie converge para toda x.iii) Hay un número positivo, R, tal que la serie converge

si Ix-aI<R , y diverge si Ix-aI>R

∑∞

=

−0

)(n

nn axc

El número R se denomina radio de convergencia de la serie de potencias. Por convención, el radio de convergencia es R=0 en el caso i) y R=∞ en el caso iii)El intervalo de convergencia de una serie de potencias consta de todos los valores de x para los cuales la serie converge


46

Ejemplos de radios de convergencia e intervalos de convergencia

{ }

[ )

),(- R

4,2,- 1R

0 0R

(-1,1) 1R

iaconvergenc de Intervalo iaconvergenc de Radio Series

∞∞∞=−

=−

=

=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

122

21

0

0

)!(2)1(

)3(

!

nn

nnn

nn

n

n

n

nx

nx

xn

x


47

Ejercicio: Hallar el radio y el intervalo de convergencia de cada una de las series

( )

( ) ( )

( ) x

n∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−+

−−−

+−−−−

−++

+−

111

2113

110

3)4(

1)1(3

)12....(5.3.1)2....(6.4.2

ln)32(1)1(1)12(

)12......(5.3.1)1(1

3)3(2

nn

n

n

nn

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

n

nn

nx

nx

nn

nnx

nx

nx

nnx

nnx

nx


48

Representación de funciones como serie de potencias

¿Cómo representar una función comola suma de una serie de potencias?

Consideremos

1IxI <=++++++=− ∑

∞

=

,.......11

1

0

32

n

nn xxxxxx

La ecuación anterior expresa la función f(x)=1/(1-x) en forma de una suma de una serie de potencias


49

Ejercicio: Deducir una representación en serie de potencias de cada función y determina el intervalo de convergencia

x

xf(x) 9. 43x

2f(x) 8. 3-x

xf(x) 7.

x1x1f(x) 6.

x41f(x) 5.

x1f(x) 4.

4x11f(x) 3.

x1xf(x) 2.

x11f(x)

2

2

2

2

23

16

.1

24

+−=

+==

−+=

+=

+=

+=

−=

+=

x


50

Diferenciación e integración de series de potencias

∑∞

=

−=+−++−+−+−+=0

33

2210 )(...)(....)()()()(

n

nn

nn axcaxcaxcaxcaxccxf

Teorema: Si la serie de potencias tiene el radio de

convergencia R>0, la función f definida por

es diferenciable ( y en consecuencia continua) en el intervalo

(a-R,a+R), y

∑∞

=

−0

)(n

nn axc

∑∫

∑∞

=

+

∞

=

−

+−+=+−+−+−+=

−=+−+−+=

0

13

2

2

1

0

12321

1)(....

3)(

2)()()

)(....)(3)(2)

n

n

n

n

nn

naxcCaxcaxcaxb

axncaxcaxccfa

0c Cf(x)dx

´(x)

Los radios de convergencia de las series de potencias en las ecuaciones a) y b) son R ambos


51

Observación: Las ecuaciones a) y b) se pueden escribir

[ ]

[ ]∑∫∑∫

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−=

−

−=

−

00

00

)()()

)()()

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

dxaxcdxaxcd

axcdxdaxc

dxdc

Nota: Aunque el teorema establece que el radio de convergencia no cambia cuando se diferencia o se integra una serie de potencias, esto no significa que el intervalo de convergencia no se altere. Puede suceder que la serie original converja en un punto extremo, pero la serie diferenciada diverge en ese punto.


52

Ejercicio: La función de Bessel

está definida para toda x. Así según el teorema , J0 es diferenciable para toda x y su derivada se determina por diferenciación término a término

( )( )∑

∞

=

−=0

22

2

0!2

1)(n

n

nn

nxxJ

( )( )

( )( )∑∑

∞

=

−∞

=

−=−=1

22

12

022

2

0!2

21!2

1)´(n

n

nn

nn

nn

nnx

nx

dxdxJ


53

Ejercicio: Encuentre una representación en serie de potencias de cada función y determine el radio de convergencia

( )

f(x) 9. 2x)-(1

xf(x) 8. f(x) 7.

f(x) 6. f(x) 5. f(x) 4.

x)(1

1f(x) 3. f(x) 2. x1

1f(x)

2

2

3

)3ln(11ln

)2()5ln()1ln(

)1ln(.1 2

xxx

xarctanxxx

x

+==

−+=

=−=+=

+=+=

+=


54

Serie de Taylor y de Maclaurin

¿Qué funciones tienen representacióncomo series de potencias?¿cómo podemos deducir esas representaciones?

Supongamos que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias

Raxaxcaxcaxcaxccxf n

n

<−+−++−+−+−+=

...)(....)()()()()1( 3

32

210

Tratemos de hallar cuáles deben ser los coeficientes cnen términos de f


55

Si x=a en la ecuación (1), obtenemos

Derivando la ecuación (1) se tiene

0)( caf =

R a-x <+−++−+−+= − ...)(....)(3)(2)´()2( 12321

nn axncaxcaxccxf

Si sustituimos x=a en la ecuación (2), obtenemos


1)´( caf =

Raxaxncnaxccxf n

n <−+−−++−+= − ...)()1(....)(3.22)´´()3( 232

Si sustituimos x=a en la ecuación (3), obtenemos 22)´´( caf =


56


Raxaxcaxccxf <−+−+−+= ...)(5.4.3)(4.3.23.2)´´´()4( 2

543

Si sustituimos x=a en la ecuación (4), obtenemos

33 !33.2)´´´( ccaf ==

Si continuamos diferenciando y sustituimos x=a , obtenemos

nn cncnaf !......5.4.3.2)(( ==n) Al despejar el n-ésimo coeficiente, cn , de esta ecuación, el resultado es

!)((

naf

ncn) =


57

Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es si

los coeficientes están expresados por la fórmula

Raxcxfn

nn <−=∑

∞

=

a-x 0

)()(

!)((

naf

ncn) =

Luego, si f tiene un desarrollo en serie de potencias en a, ha de ser de la forma

....)()(´´)(´)(

)(!

)()(

32

0

)(

+−+−+−+=

−=∑∞

=

axfaxfaxfaf

axn

afxf n

n

n

3!´´(a) ́

2!(a)

1!(a)


58

La serie de la ecuación anterior se llama serie de Taylor de la función f en a .En el caso especial en que a=0, la serie se transforma en

....´´´)0(

!)0()(

32

0

)(

++++=

=∑∞

=

xfxfxff

xn

fxf n

n

n

3!´´(0) ́

2!(0)

1!(0)

Esta serie se denomina serie de Maclaurin

Ejercicio: Determine la serie de Maclaurin de la función f(x)= ex y su radio de convergencia

calculo ii - just another weblog · pdf filealgunas sucesiones se pueden definir mediante una...

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