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Universidad Diego Portales CALCULO II

1

Aplicaciones de la Integración


2

El valor medio de una función

En muchas situaciones prácticas, se desea encontrar el valor medio de una función continua sobre un intervalo, como el nivel medio de la polución del aire en un periodo de 24 horas, la velocidad media de un camión en un viaje de 3 horas, la productividad media de un trabajador durante un turno de producción o la presión media de la sangre de un paciente durante una operación.

¿Hay algún número, c, en el cual elvalor de f sea exactamente igualal valor promedio de la función;

esto es, f (c) =f prom?


3

Teorema del Valor Medio para integrales:Si f es continua en [a,b], existe un número c en [a,b] tal que

∫ −=b

aabcfdxxf ))(()(

Para comprender por qué es válida la fórmula del valor medio, dividamos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales de longitud ∆x y tomemos xj como el comienzo del subintervalo j-ésimo.La media numérica de los correspondientes n valores de la función f(x1), f(x2), f(x3),... , f(xn) es

)(1)(.......)()()(1

321∑=

=++++ n

jj

n xfnn

xfxfxfxf


4

Cuando n crece sin límite, esta media aritmética se aproxima con precisión al valor medio de f en el intervalo [a,b]. Es decir,

Para escribir este límite de una suma como una integral definida, obsérvese que si el intervalo [a,b] se divide en n subintervalos iguales de longitud ∆x entonces ∆x=(b-a)/n. Por consiguiente, 1/n= ∆x/(b-a) y así

xxfab

xfab

xxfn

n

jj

n

jj

n

jj ∆

−=

−∆= ∑∑∑

===)(1)()(1

111

[ ] )(11

∑=∞→

=n

jjn

xfn

lim a,b en io de fValor med


5

A partir de la caracterización de la integral definida como el límite de una suma, se concluye que

[ ]

∫

∑

∑

−=

∆−

=

=

=∞→

=∞→

b

a

n

jjn

n

jjn

dxxfab

xxfab

lim

xfn

lim a,b en io de fValor med

)(1

)(1

)(1

1

1


6

Ejercicio:Durante varias semanas el departamento de carreteras ha registrado la velocidad del tráfico que fluye por cierta salida del centro de la ciudad. Los datos indican que entre la 1:00 y las 6:00 p.m de un día de trabajo, la velocidad del tráfico en la salida es aproximadamente S(t)=t3 - 10.5t2+30t+20 millas por hora, donde t es el número de horas después del mediodía. Calcular la velocidad media del tráfico entre la 1:00 y las 6:00 pm.


7

Interpretación geométrica del valor medio

La fórmula de la integral para el valor medio tiene una interesante interpretación geométrica.

∫ −=b

aabcfdxxf ))(()(

Si f(x) es no negativa, la integral es igual al área situada bajo la gráfica de f desde x=a hasta x=b. El producto f( c) (b-a) es el área de un rectángulo cuya base es b-a y cuya altura es el valor medio de f en el intervalo [a,b]


8

Ejercicio:a) Calcule el valor promedio de f en el intervalo dadob) Calcule c tal que fprom=f( c)c) Trace la gráfica de f y un rectángulo cuya área sea igual a la que está bajo la gráfica de f

[ ] [ ][ ] [ ]π,), (xx) f(x) , , x-x) f(x)

,, xx) f(x) ,, -x) f(x)

0sen43042

2013204122

32

==

+−==

Ejercicio: Si f es continua y , demuestre que f alcanza el valor 4, cuando menos una vez, en el intervalo [1,3]

∫ =3

18)( dxxf


9

Ejercicio: Demuestre que la velocidad promedio de un automóvil durante un intervalo [t1, t2] es igual al promedio de sus velocidades en ese período.

Ejercicio: La temperatura, en ºF, de cierta ciudad, t horas después de las 9 a.m, se expresa, aproximadamente, mediante la función

.Calcule la temperatura promedio durante el período de las 9 a.mhasta las 9 p.m

12 sen1450)( ttT π+=


10

A continuación, ejemplificaremos algunas de las aplicaciones de la integral definida empleándola para calcular áreas entre curvas, en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Además calcularemos longitud de arco, área de superficie y volúmenes de sólidos de revolución.


11

Areas entre curvas

Ejercicio: Hallar el área de la región R, en el primer cuadrante, que se encuentra bajo la curva y=1/x y está limitada por esta curva y las rectas y=x, y=0 y x=2

Hasta ahora hemos definido y calculado áreas de regiones que quedan bajo las gráficas de funciones. En esta sección emplearemos integrales para calcular áreas de regiones más generales.

En el ejercicio siguiente, como la región no está limitada por encima por una sola curva, puede descomponerse en dos regiones que sí lo están, y el área de cada una puede calcularse utilizando la fórmula de la integral


12

El área entre dos curvas

En algunos problemas prácticos, quizá sea necesario calcular el área entre dos curvas. Supóngase que f(x) y g(x) son funciones no negativas y que f(x) ≥ g(x) en el intervalo [a,b] como se muestra en la figura.Para hallar el área de la región R se calcula

[ ]∫ ∫∫ −=−=b

a

b

a

b

adxxgxfdxxgdxxfRdeArea )()()()(


13

Puede demostrarse que esta fórmula es válida aun si no se supone que las funciones f y g son no negativas

El área entre dos curvasSi f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [a,b] para f(x) ≥ g(x ), y si R es la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x=a y x=b, entonces

[ ]∫=b

adx g(x)-f(x)R de Area

Ejercicio:Hallar el área de la región limitada por las curvas y=x2+1 y y=2x-2 entre x=-1 y x=2


14

Cuando se nos pide calcular el área entre las curvas y=f(x) y y=g(x) donde f(x) ≥ g(x) para algunos valores de x y g(x) ≥ f(x) para otros, partimos la región dada S en varias regiones, S1 , S2 , S3 ,...., cuyas áreas son A1, A2, A3, ...A continuación definimos el área de la región total S como la suma de las áreas de las regiones más pequeñas.

¿Cómo se calcula el área encerrada por las curvas (figura)? Es decir, ¿ cómo se calcula el área entre dos curvas

cuando no se cumple f(x) ≥ g(x) , para todo x en [a,b]?

S1 S2 S3


15

En vista de que

llegamos a la siguiente ecuación para determinar A

El área entre las curvas y=f(x) y y=g(x) entre x=a y x=b es

∫=b

a dxf(x)-g(x)A

≥−≥−

=−)

)()()()(

f(xndo g(x)f(x) cuag(x)g(x)f(x) cuando xgxf

xgxf

Ejercicio: Calcule el área de la región acotada por las curvas y=senx, y=cosx, x=0, x=π/2


16

Ejercicio: Calcule el área de la región acotada por las curvasi) y=x2, y=x3 ii) y=4x, y=x3+3x2


17

Ejercicio. Trace la región limitada por las curvas dadas y calcule su área

1 ,2 ,ey ,ey 14) 1 x-1, x,5y ,2 y 13)

243y7x 0,y x3y, x12) 0 x,3xy ,1-xy 11)

4 ,71)(xy , xy 10) 2 x1, x,/1y ,/1y 9) ,34y 8) 2/ x,4/ xsenx,y x,y 7)

6 ,0 ,52 ,2xy 6) 1 ,y )53,4xy 4) 013y- x,1y )3

2/ ,y 2) x y , xy )1

x-xxx

2

22

223

2224

22

22

=−=======

=+=+==−==

−=−+======

−=+−==−=====+=+=−=−=

+===+−=

====

xx

xxxxxyxxx

xxxyxyxxxyx

xyx

ππ


18

Ejercicio: Calcule el área de la región acotada por las curvasx=y2, x-2y=3

Notemos que el área encerrada por las curvas es la suma de dos áreas si utilizamos la fórmula ∫=

b

a dxf(x)-g(x)A

Hay un método más fácil de resolver elejercicio anterior. En lugar de considerar

a y como una función de x, sea x una función de y


19

En general, si una región está acotada por curvas cuyas ecuaciones son x=f(y), x=g(y), y=c y y=d, donde f y g son continua y f(y) ≥ g(y) cuando c≤y ≤d, su área será

∫=d

c dyf(y)-g(y)A

Ejercicio; Hallar el área del ejercicio anterior usando la fórmula en términos de y.

Ejercicio: Calcule el área de la regiónacotada por las curvas x=y2, y=x+5, y=2, y= -1


20

Ejercicio. Trace la región limitada por las curvas dadas y calcule su área

76y x,2)-2(y1 xd)

42xy ,0y4x )

1y x,y-1 xb)

0y x,2 x)

2

2

22

2

=+=+

+==+

−==

=+=+

c

ya

Ejercicio. Emplea cálculo integral para determinar el área del triángulo cuyos vértices se mencionan.a) (0,0) , (1,8), (4,3) b) (-2,5), (0,-3), (5,2)

Ejercicio. Evalúa la integral e intérpretala como el área de una región. Esquematiza la región.

dxxdxxa ∫∫ −π

0

2

0

32

π2-senx b) x )


21

Longitud de arco

Para el caso sencillo en que la curva es un segmento finito de línea que une los puntos y su longitud está expresada por la fórmula de la distancia

Supongamos que la curva C se define mediante la ecuación y=f(x), en donde a≤x ≤b. Obtenemos una aproximación poligonal a C tomando una partición, P, de [a,b], determinada por los puntos xi, con

Si el punto está en C, y el polígono cuyos vértices son es una aproximación a C. La longitud de esa aproximación poligonal es

bxxxxa n =<<<<= .....210

)(yi ixf= ),(Pi ii yx0210 ,......,.PP,P ,P

∑=

−

n

iii PP

11

),(P 111 yx ),(P 222 yx

( ) ( )212

21221 yyxxPP −+−=


22

La cual parece mejorar a medida que IIPII 0

Por lo anterior, definiremos la longitud, L, de la curva C, cuyaecuación es y=f(x), y a≤x ≤b , como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscritos ( si es que existeel límite)

Po

1-iP

iPnP

1Py=f(x)

a 1xix

1−ix b

∑=

−→=

n

iiiP

PPlimL1

10


23

La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación anterior, no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que f tenga una derivada continua.

( ) ( )

[ ]

es,esto x)(xyi

);)(x()()(quetal

y xxentre,x,númeroun hay quevemos,,xintervaloelen ,famediovalor delteoremaelaplicar Al

P

,yyi

i*i

'1

*i

'1

i1-i*i1-i

221-i

i

∆=∆

−=−

∆+∆=

−=∆

−−

fxxfxfxf

x

yxPi

yCon

iiii

i

ii

i-1


24

Por consiguiente

Entonces

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )[ ] xf1

x

P

i

2*'

2*'2i

221-i

∆+=

∆+∆=

∆+∆=

i

ii

ii

x

xxf

yxPi

[ ]∑

∑

=→

=−

→

∆+=

=

n

iii

n

iii

xxf

PP

1

2*'

0P

11

0P

)(1

L

lim

lim


25

Reconocemos que esta expresión es igual

de acuerdo con la definición de una integral definida. Esta integral existe porque la función es continuaPor consiguientes hemos demostrado el teorema siguiente

[ ]∫ +b

a

dxxf 2' )(1

[ ]∫ +=b

a

dxxfL 2' )(1

( )[ ]2´1g(x) xf+=

Fórmula de la longitud del arco:Si f`es continua en [a,b], la longitud de la curva y=f(x), a≤x ≤b es


26

Con la notación de Leibniz de derivadas podemos escribir la fórmula de la longitud de arco como

∫

+=b

a

dxdxdyL

2

1

Si la ecuación de una curva es x= g(y) , c� y � d, al intercambiar los papeles de x y y en la fórmula anterior obtendremos la fórmula siguiente, para calcular su longitud:

[ ]∫ ∫

+=+=

b

a

d

c

dydydxdyygL

22

' 1)(1

Ejercicio: Calcula la longitud de arco de la

parábola semicubica y2 = x3 , entre los puntos

(1,1) y (4,8).


27

Ejercicio: Calcula la longitud de arco de la parábola

y2 = x , de (0,0) a (1,1).

( )

2y0 ,4y )3x1 lnx,y e)

1x0 ,ey d)

4x2 ,4

ln2xy c)

3x1 ,21

6xy b)

2x1 ,231 )

2

x

2

3

2/32

≤≤=

≤≤=

≤≤=

≤≤−=

≤≤+=

≤≤+=

xf

xx

xya

Ejercicio: Calcula la longitud de cada una de estas curvas.


28

Area de una superficie de Revolución

Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta

y=x2


29

Si f es positiva y tiene derivada continua, definimos el área superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva y=f(x), a≤x ≤b en torno del eje x como sigue

Con la notación de Leibniz para las derivadas, esta fórmula se transforma en

( ) ( )[ ] dxxfb

a

2´1xf 2πS += ∫

dxdxdyb

a

2

1y 2πS

+= ∫


30

Ejercicio: La curva es un arco del círculoCalcula el área de la superficie generada al rotar

ese arco alrededor del eje x.

1x1- ,4 2 ≤≤−= xy

4y 22 =+x

Si la curva se describe con la ecuación x=g(y), c≤y ≤d, la fórmula se convierte entonces en

dydydxd

c

2

1y 2πS

+= ∫

Ejercicio:Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de la parábola y2=12x entre x=0 y x=3


31

Las dos fórmulas anteriores, se pueden resumir, de manera simbólica, con la notación de longitud de arco, así

∫= yds 2πS

ds∫= x2πS

Cuando la rotación es en torno del eje y, el área de la superficie es

Ejercicio:Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y2+4x=2 lny entre y=1 e y=3


32

En donde podemos utilizar

o bien dxdxdyds

2

1

+= dydydxds

2

1

+=

Estas fórmulas se pueden recordar imaginando que 2πy o 2πx

son la circunferencia de un círculo descrito por el punto (x,y) en la

curva, al girarla en torno del eje xo del eje y, respectivamente


33

a) Rotación en torno del eje x

b) Rotación en torno del eje y

∫= πyds2S

∫= πxds2S


34

Ejercicio: El arco de la parábola y=x2 se hace girar en torno del eje y de (0,0) a (3,9). Calcule el área de la superficie resultante

y=x2

(3,9)


35

Ejercicio:Hallar el área de la superficie de revolución generada al hacer girar en torno al eje y el arco de x= y3 entre y=0 e y=1

Ejercicio:Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar cada una de la curvas siguientes en torno del eje x

Ejercicio:Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar cada una de la curvas siguientes en torno del eje y

10 ,x-1y d) 1/2y0 ,e xc)

1y0 , y-2y xb) 2y1 , )22y

23

≤≤=≤≤=

≤≤=≤≤=

x

xya

3/0 ,cosy f) 0 senx,y e)

41 2

lnx-4

y d) 20 ,y c)

80 4,4xy b) 9x4 , )2

3

2

ππ ≤≤=≤≤=

≤≤=≤≤=

≤≤+=≤≤=

xxx

xxxx

xxya


36

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

Supongamos que x y y se definen en forma de funciones continuas de una tercera variable,t, llamadas parámetro, mediante las ecuaciones

x=f(t) y=g(t)que se denominan ecuaciones paramétricas. Cada valor de t determina un punto (x,y), que podemos graficar en un plano de coordenadas. Al variar t, el punto (x,y)=(f(t), g(t)) cambiade posición y describe una curva, C. Si interpretamos a t como el tiempo y (x,y)= (f(t), g(t)) como la posición de una partícula en el momento t, podemos imaginar que la partícula se mueve a lo largo de la curva C.


37

Ejercicio: Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas x=t2-2t , y=t+1

Ejemplo: ¿Qué curva representan las ecuaciones paramétricas x= cost, y=sent, 0≤ t ≤2 π?

Solución: Podemos suprimir t porque 1sencosx 2222 =+=+ tty

Así el punto (x,y) se mueve en el círculo unitario x2+ y2=1. Cuando t aumenta de 0 a 2 π, el punto (x,y)=(cost,sent) recorre una vez el círculo en dirección contraria a la de las manecillas del reloj

t= π/2

t= 0

Ejercicio: Trace la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x=sent , y=sen2t


38

AreasSabemos que el área bajo una curva y=F(x), de a a b, es

en donde F(x)≥0. Si las ecuaciones paramétricasx=f(t) y y=g(t), α ≤ t ≤ β describen la curva, podremos adaptar la fórmula anterior aplicando la regla de sustitución para integrales definidas como sigue

∫ ∫==b

adttftgydx

β

α)`()(A

∫=b

adxxF )(A

Ejercicio: Calcule el área bajo uno de los arcos de la cicloide

)cos-r(1y )sen( θθθ =−= rx


39

Longitud de arco y área de superficie

Sabemos que si F`es continua, entonces

Vamos a suponer que C también se puede describir con las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t), donde dx/dt = f`(t)>0 .Esto quiere decir que C es recorrida una vez, de izquierda a derecha, a medida que t aumenta desde α hasta β y que f(α )=a , f(β )=b Empleando la regla de sustitución tenemos

∫

+=b

a

dxdxdyL

2

1

βtα ≤≤

dtdtdx

dtdxdtdydx

dxdyL

b

a∫ ∫

+=

+=β

α

22

//11


40

Como dx/dt>0 entonces

dtdtdy

dtdxL ∫

+

=β

α

22

Teorema:Si una curva C se describe con las ecuaciones paramétricas x=f(t), y=g(t), donde f` y g` son continuas en [α, β] y C recorrida una y sólo una vez cuando t aumenta desde αhasta β , la longitud de C es

βtα ≤≤

dtdtdy

dtdxL ∫

+

=β

α

22


41

Ejercicio: Calcule la longitud del círculox=cost y=sent 0 ≤ t ≤ 2π

Ejercicio: Calcule la longitud de cada una de estas curvas

20 , t3y , t3 x)0 ,seney ,cose xd)

10 ,4y t,-e xc) 2/0 ,2cosy ,sen32 xb)

40 , ty , t x)

23

tt

2/t

2

23

≤≤=−=≤≤==

≤≤==≤≤=−=

≤≤==

ttettt

te

ta

t

π

πθθθ


42

Coordenadas Polares

En un sistema de coordenadas rectangulares el par ordenado (a,b) denota el punto con abscisa a y ordenada b. Las coordenadas polares son otra forma de representar puntos.Se comienza en un punto fijo O ( el origen o polo) y una semirrecta dirigida (el eje polar) cuyo extremos es O. Luego se considera cualquier punto P del plano diferente de O. Si r=d(O,P) y θ denota la medida del ángulo determinado por el eje polar y OP, entonces r y θ son las coordenadas polares de P y se usan los símbolos (r, θ) o P(r, θ) para denotar a P

θOPolo Eje polar

P(r, θ)


43

Adoptaremos la convención de que el ángulo es positivo si se mide en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, partiendo del eje polar, y negativo si se toma en la dirección de las manecillas del reloj. Si P=O, entonces r=0 y se dice que (0, θ) representa al polo para cualquier valor de θ.Ampliaremos el significado de las coordenadas polares (r, θ), para abarcar el caso en que r es negativo y convenimos que, los puntos(-r, θ) y (r, θ) están en la misma recta que pasa por O y a la misma distancia, I r I, de O, pero en los lados opuestos de O. Si r>0, el punto (r, θ) está en el mismo cuadrante que θ; si r<0, se encuentra en el cuadrante del lado opuesto al polo. Observarás que (-r, θ) representa al mismo punto que (r, θ+π)

(-r, θ)

(r, θ)θθ+ π


44

Ejemplo: Grafiquemos los puntos cuyas coordenadas polares se dan a continuacióna) (1,5 π/4) b) (2, 3 π) c) (2,-2 π/3) d) ( -3,3 π/4)

5 π/4

(1,5 π/4)

O O(2, 3 π)

(2,-2 π/3)

O-2 π/3

( -3,3 π/4)

3 π/4O


45

En el sistema de coordenadascartesianas, cada punto sólo posee

una representación; pero en elsistema de coordenadas polares,

tiene muchas

El punto (1,5 π/4) se podría expresar en las formas (1,-3 π/4) , (1,13 π/4) o (-1, π/4)Ejercicio. Grafique los puntos anteriores

OBS: Un ángulo 2 π representa una vuelta completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el punto representado por las coordenadas polares (r, θ) también se puede expresar con (r, θ+2n π) y (-r, θ+2(n+1) π) en donde n es cualquier entero.


46

P(r, θ) =P(x,y)

y

xθ

r

En la figura se advierte la relación entre las coordenadas polares y las cartesianas, cuando el polo corresponde al origen y el eje polar coincide con el eje de las x positivas.

rysenθ

rxθ cos ==

Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x,y) y polares (r,θ), entonces, de acuerdo con la figura

senθr y θ cosr x ==

Y así

(1)


47

Aunque hemos deducido las ecuaciones (1) mediante la figura, donde aparece el caso en que r>0 y 0< θ < π/2, las ecuaciones son válidas para toda r y θ.Las ecuaciones (1) permiten establecer las coordenadas cartesianas de un punto, conociendo las coordenadas polares. Para determinar r y θ conociendo x , y usaremos las ecuaciones

xy tanθyxr 222 =+=

Ejemplo: Expresar el punto (2, π/3) en coordenadas cartesianas

3232.

3π2senrsenθy

1212.

3π2cosrcosθx

====

====

Por consiguiente, las coordenadas cartesianas del punto son )3,1(

(2)


48

Ejemplo: Representa en coordenadas polares el punto cuyas coordenadas cartesianas son (1,-1)

1xyanθ

21)(1yxr 2222

−==

=−+=+=

t

En vista de que el punto (1,-1) está en el cuarto cuadrante, podemos elegir θ = - π /4, o bien θ= 7 π /4. Así una de las respuestas posibles es . Otra es )4/,2( π− )4/7 ,2( π

Nota: Las ecuaciones (2) no determinan unívocamente a θpara x, y dadas. Así pues al pasar de coordenadas cartesianas a polares, no basta con calcular r y θ tales que satisfagan las ecuaciones (2). Hay que elegir θ de tal modo que el punto (r, θ ) quede en el cuadrante correcto


49

Una ecuación polar es una ecuación en r y θ . Una soluciónde una ecuación polar es un par ordenado (a,b) que lleva a una igualdad si se sustituye en la ecuación r por a y θ por b. La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de todos los puntos ( en el plano r θ ) que corresponden a soluciones de la ecuación.

Ejercicio: trazar la gráficas de las ecuaciones polares

0a para asen2θr f) 4cosθ2r e) 2cosθ2 r d) 2cosθ2r c) 4senθr b) 3r a)

>=+=+=+===

Ejercicio: Encontrar una ecuación en x,y que tenga la misma gráfica que la ecuación polar r=4sen θ

Ejercicio: Encontrar una ecuación polar para una recta arbitraria


50

Areas y longitudes en coordenadas polares

El área de una región acotada por gráficas de ecuaciones polares se puede calcular usando límites de sumas de áreas de sectores circulares. Sea R una región en el plano r θacotada por las rectas que pasan por O con ecuaciones θ =a y θ =b, donde 0≤a<b ≤2π, y por la gráfica de r=f(θ ), donde f es continua y f(θ )≥0 en [a,b]

θ= θ k

k∆θθ= θ k-1

r=f(θ )

θ= a

θ= b


51

Sea P una partición de [a,b] determinada por

bθ.....θθθa n210 =<<<<=

Y sea para k=1,2,...,n.Las rectas radiales con ecuaciones θ= θ k

dividen R en subregiones en forma de cuña. Si f(uk) es el valor mínimo y f(vk ) es el máximo de f en [θ k , θ k-1] , entonces, como se ilustra en la figura, el área ∆Ak de la k-ésima subregión tiene una valor intermedio entre la de los sectores circulares inscrito y circunscrito, con ángulo central y radios f(uk) y f(vk ) respectivamente.

1-kkk θθ∆θ −=

k∆θ

f(uk)f(vk )


52

Consideremos el siguiente teorema

Si θ es el valor en radianes de una ángulo central de una circunferencia de radio r, entonces el área A del sector circular determinado por θ es θr

21A 2=

Entonces, por el teorema anterior

[ ] [ ] k∆θ)f(v21∆A ∆θ)f(u

21 2

kkk2

k ≤≤

Sumando desde k=1 hasta k=n y usando el hecho de que la suma de las ∆Ak es el área A de R, se obtiene

[ ] [ ] k

n

k

n

k∆θ)f(v

21A ∆θ)f(u

21 2

k1

k2

k1

∑∑==

≤≤


53

Cuando la norma IIPII de la subdivisión tiende a cero, los límites de las sumas tienden a la integral ( )[ ]∫

b

a2 dθθf

21

Teorema:Si f es continua y f(θ) ≥ 0 en [a,b], donde 0≤a<b ≤2π, entonces el área A de la región acotada por las gráficas de r=f(θ), θ=a y θ=b es ( )[ ] ∫∫ == b

a rA dθ21dθθf

21 2b

a2

La integral del teorema se puede interpretar como un límite desumas escribiendo

( )[ ] [ ] θ )f(w 21 dθθf

21

k2

k

n

1k0

b

a2 ∆== ∑∫

=→PlimA

Donde wk es cualquier número en el intervalo [θ k , θ k-1] de [a,b]


54

Ejercicio: Calcular el área de la región delimitada por el cardiode r=2+2cos θ

Ejercicio: Calcular el área encerrada por uno de los cuatro pétalos e la rosa r=cos2 θ

Ejercicio: Trace la curva representada por cada ecuación y calcule el área encerrada

sen3θr 6) senθ-4r 5) sen2θr 4) 4cos2θr 3)

)cosθ-4(1r 2) 5senθr )122

====

==


55

Ejercicio: Calcular el área de la región dentro del círculo r=3sen θ y fuera de la cardiode r=1 +senθ

Teorema: Sean f y g funciones continuas tales que f(θ) ≥g(θ) ≥0 para todo θ en [a,b], donde 0≤a<b ≤2π. Sea R la región acotada por las gráficas de r= f(θ), r=g(θ) θ=a y θ=b. El área A de R es

( )[ ] ( )[ ]{ }dθθgθf21 b

a22

∫ −=A

El hecho de que un solo punto tenga muchasrepresentaciones en coordenadas

polares, en ocasiones dificulta hallartodos los puntos de intersección de dos

curvas expresadas en ecuaciones polares

Ejercicio: Calcular el área de la región dentro de la cardiode r=2+2cos y fuera del circulo r=3


56

Por ejemplo, el círculo y la cardiode tienen tres puntos de intersección; pero al resolver las ecuaciones r=3sen θ y r=1 +senθ encontramos dos de esos puntos (3/2, π/6) y (3/2, 5π/6) . El origen también es un punto de intersección; pero no lo pudimos determinar resolviendo las ecuaciones de las curvas porque el origen no posee una representación única, en coordenadas polares, que satisfaga ambas ecuaciones. Observe que cuando el origen se representa en la forma (0,0) o (0, π), satisface r=3sen θ y por lo tanto, se encuentra en el círculo; cuando se representa con (0, 3π/2) , satisface r=1 +senθ de modo que se halla en la cardiode. Imaginemos dos puntos que se mueven a lo largo de las curvas a medida que el valor del parámetro θ aumenta de 0 a 2 π. En una curva se alcanza el origen cuando θ =0 y θ = π; en la otra, cuando θ =3 π/2. Los puntos no chocan en el origen porque llegan a él en ocasiones distintas, pero de todos modos las curvas se intersectan.


57

Así, para hallar todos los puntos deintersección de dos curvas,

expresadas en ecuaciones polares, se recomienda trazar las gráficas de las dos

Ejercicio: Determine todos los puntos de intersección de las curvas r=cos2 θ y r=1/2

Ejercicio: Calcule el área de la región que está dentro de la primera curva y fuera de la segunda

3cosθr , cosθ1r 6) cosθ1r , 3cosθr 5) cosθ-2r , 3cosθr 4) 2r , 4senθr 3)

1r, senθ1r 2) 3/2r , cosθ1r )1

=+=+======

=−==−=


58

Longitud de arco

Para calcular la longitud de una curva expresada en la ecuación polar ,consideramos que θ es un parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas de la curva en la forma

Al aplicar la regla del producto y diferenciar con respecto a θ,

( ) bθa , θfr ≤≤=

( ) ( )senθθfrsenθy cosθθfrcosθx ====

θθθθ

θθθθ

cosddy cos rsen

ddrrsen

ddr

ddx +=−=

Así que usamos , y tenemos1cos 22 =+ θθ sen


59

θθθθ

θθθθ

222222

cos2cos senrsenddrr

ddr

ddy

ddx +−

=

+

22

2222

cos cos2

rddr

rsenddrrsen

ddr

+

=

+

+

+

θ

θθθθ

θθ

Suponemos que f ´ es continua , de tal manera que podemos escribir la longitud del arco como

θθθ∫

+

=b

a

dddy

ddxL

22


60

Por consiguiente , la longitud de una curva cuya ecuación polar es r = f(θ)=, a � θ � b es

∫

+=b

a

dddrrL θθ

22

Ejercicio:Hallar la longitud de la espiral

Ejercicio:Hallar la longitud de la cardiode

2πθ hasta 0θ desde ,2 === θer

)cos1( θ−= ar


61

Ejercicio: Calcule la longitud de las curvas descritas por estas ecuaciones polares

θπθθπθθπθπθ

πθθ

θ

θ

cos1 r2 0 , 2 0 , r2 0 , 2 r3 0 ,

43 0 , cos5

2

+=≤≤=

≤≤=≤≤=≤≤=

≤≤=

−

r

er

r

πθ 20 ≤≤


62

Aplicaciones de la IntegraciónVolúmenes


63

Volumen

Tenemos una idea intuitiva de qué es el volumen, pero debemos

precisarla aplicando el cálculointegral para llegar a una

definición exacta.

r

En particular, si la base es un círculo con radio r, el cilindro circular tiene volumen V=πr2h.Si la base es un rectángulo de longitud l y anchura w, la caja rectangular de altura h tiene volumen V= lwh

lw

h


64

Sea S cualquier sólido: La intersección de S con un plano es una región plana denominada sección transversal de S. Supongamos que el área de la sección transversal de S en un plano Px, perpendicular al eje x y que pasa por el punto x es A(x), donde a≤x ≤b. El área A(x), varía al mismo tiempo que x aumenta de a a b


65

Nos fijaremos en una partición P del intervalo [a,b] mediante puntos xi, tal que Los planos partirán a S en “rebanadas” más pequeñas. Si elegimos los números dentro de [xi-1, xi]; , podemos aproximar a la i-ésima rebanada, Si mediante un cilindro cuya base tiene el área y la altura

bxxxxa n =<<<<= .....210

*ix

)( *ixA

1−−=∆ iii xxx


66

El volumen de este cilindro es , de modo que unaaproximación a nuestro concepto intuitivo del volumen de la iésima rebanada, Si , es

Al sumar los volúmenes de estas rebanadas obtenemos una aproximación al volumen total.

Esta aproximación parece cada vez mejor conforme llPll 0

Definición del Volumen: Sea S un cuerpo entre los planos Pa y Pb . Si el área transversal de S en el plano Px es A(x), donde A es una función integrable, entonces el volumen de S es

(1)

ii xxA ∆)( *

iii xxASV ∆≈ )()( *

∑=

∆≈n

iii xxAV

1

*)(

∫∑ =∆==→

b

a

n

iiiP

dxxAxxAlimV )()(1

*

0


67

Ejercicio: Demuestre que el volumen de una esfera de radio r es

La esfera mencionada es un ejemplo de un sólido de revolución, porque se obtiene haciendo girar un circulo en torno de uno de sus diámetros.

En general, sea S el cuerpo obtenido girando la región plana R acotada por y=f(x), y=0, x=a, x=b, en torno al eje x


68

En vista que S se obtiene por rotación , una sección transversal que pasa por x y es perpendicular al eje x es un cilindro de radio lyl=lf(x)l , de manera que , el área transversal es:

A(x)= πy2 = π[f(x)]2dx

De este modo, al emplear la fórmula básica del volumen V :

∫b

a

dxxA )(

llegamos a la fórmula del volumen de revolución

[ ]∫=b

a

dxxfV 2)(π

(Método del disco):

(2)


69

Ejercicio: Calcule el volumen del sólido que se obtiene girando la región bajo la curva sobre el eje x, de 0 a 1.xy =


70

OBS:La fórmula (2) sólo se aplica cuando el eje de rotación es el eje x. Si la región limitada por las curvas x=g(y),x=0,y=c,y=d se rota sobre el eje y, el volumen correspondiente de revolución es

¿Qué fórmula debemos usarcuando el eje de rotación es el eje y?

[ ] dyygVd

c

2

)(∫= π


71

Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo generado girando la región limitada por y=x3, y=8, x=0 sobre el eje y

Ejercicio: La región R, acotada por las curvas y=x, y=x2, se gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del cuerpo resultante


72

En general, sea S el cuerpo generado cuando se rota la región limitada por las curvas y=f(x), y=g(x), x=a, x=b donde f(x)≥g(x) sobre el eje x. Entonces el volumen de S es

[ ] [ ] dx )()( 22 xgxfVd

c−= ∫π


73

Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo obtenido girando la región encerrada por y=x, y=x2, respecto a la recta y=2

Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo obtenido girando la región encerrada por y=cosx, y=0, x=0, x=π/2 respecto a la recta y=-1


74

Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo obtenido al girar la región limitada por las curvas alrededor del eje indicado.

-5 xa respecto;x -41)-(y ,63y2x f)

-1y a respecto; 2/,0,0,cosy )

1y a respecto ;2/,0,0y ,cosy d)

7y a respecto ;14)-(xy ,1y- x)

y eje del respecto ;5 x0,y ,1y b)

xeje del respecto ;1 x,1y ,lny )

2

2

===+

=====

=====

=+==

==−=

===

π

π

xxyxe

xxx

c

x

xa


75

Método de los cascarones cilíndricos (anillos)Algunos problemas de cálculo de volumen son muy difíciles de manejar con los métodos de la sección anterior. Existe otro método, llamado método de los cascarones cilíndricos, que es más fácil de aplicar en estos casos

La figura muestra un cascarón cilíndrico con radio r1 , radio exterior r2

y altura h. Calculamos su volumen V1

( del cilindro interior), del volumen V2

( del cilindro exterior)

)(2

r 2

))(()r (r r r

1212

1212

21

22

21

22

12

rrhrhrrrr

hhh

VVV

−+=

+−=−=

−=

−=

π

ππ

ππ


76

)(2

r 2

))(()r (r

r r

1212

1212

21

22

21

22

12

rrhrhrrrr

hhh

VVV

−+=

+−=−=

−=

−=

π

ππ

ππ

Sean (el espesor de la pared del cascarón) y( el radio promedio del cascarón); entonces, esta fórmula para calcular el volumen de un cascarón cilíndrico se transforma en

12 rrr −=∆

rh∆h 2π=V


77

La fórmula anterior se puede recordarcomo V= (perímetro del círculo) ( altura) ( espesor)

Ahora , sea S el cuerpo obtenido haciendo girar, en torno del eje y, la región acotada por y=f(x), y=0, x=a y x=b donde b>a ≥0. Sea P una partición de [a,b] mediante puntos, xi, con a=x0<x1<x2<..... <... xn=b y sea el punto medio de [xi-1, xi]; esto es

)(21

1*

iii xxx += −

*ix


78

Si se gira el rectángulo con base [xi-1, xi] y altura en torno del eje y, el resultado es un cascarón cilíndrico con radio promedio , altura y espesorcon volumen

*ix )( *

ixf

)( *ixf

1−−=∆ iii xxx

ii xV ∆= )f(x x2π *i

*i

Así pues, una aproximación al volumen V de S está expresada por la suma de los volúmenes de esos cascarones:

ii

n

ii

n

ii xxfxVV ∆== ∑∑

==)(2 *

1

*

1π


79

Según la definición de una integral, sabemos que el volumen del cuerpo analizado es

ba0 donde )(2 <≤= ∫ dxxxfV ba π

Ejercicio: Aplique el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas en torno al eje y.

π====

−+=+−=

==

====

====

xxye

xx

xc

a

,0 ,0 ),sen(xy )

66-xy ,106xy d)

2y x,y )

10 x1, x0,y ,1/xy b)

2x1,x0,y ,xy )

2

22

2

2


80

En general si f(x)≥g(x) y 0≤a<b, el volumen del cuerpo generado al girar en torno del eje y la región limitada por las curvas y=f(x) , y g(x) de a a b es

[ ] )()(2 dxxgxfxV ba −= ∫ π

El método de cascarones cilíndricos también nos permite calcular volúmenes de revolución en torno del eje x.

)(2 dyyygV d

c∫= π


81

Ejercicio: Considere cascarones cilíndricos para calcular el volumen del cuerpo generado al girar la región bajo la curva en torno del eje x, de 0 a 1

xy =

Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo generado al hacer girar la región limitada por y=x-x2, y=o, en torno de la recta x=2


82

5y de en torno; 28,4 xf)

-1 xde en torno; )2/sen(,y )

xeje del en torno ;2y ,107xy d)

xeje del en torno ;4/,0,0 x,cos x)

y eje del en torno ;3 x0, x0,y ),x1/(1y b)

y eje del en torno ; 3 x,2 x0,y ,seny )

22

4

2

2

=−=−=

===

−=−+−=

====

===+=

====

yxy

xyxe

xx

yyyc

xa

π

π

π

Ejercicio: Determine una integral para calcular el volumen del cuerpo generado al girar la región limitada por las curvas dadas en torno del eje especificado


83

Ejercicio: Cada una de la integrales siguientes representa al volumen de un cuerpo; descríbelo.

( ) xdxdxx

dydxxxa

∫∫

∫∫

−π

π

ππ

ππ

0

41

0

23

9

0

3/22/

0

x)sen-(4 2 d) x 2 c)

y 2 b) cos 2 )

Ejercicio: Emplea una gráfica para estimar las abscisas de los puntos de intersección de las curvas dadas. A continuación, con los resultados obtenidos estima el volumen del cuerpo generado al girar la región encerrada por esas curvas alrededor del eje y

3442 3 ,xy b) xxy 0,y ) xxyxa −==−+==


84

Integrales Impropias


85

Cuando describimos la integral definida, consideramos una función f definida en un intervalo finito, [a,b] y observamos que si existe la integral, entonces f es una función acotada. En esta sección ampliaremos el concepto de integral definida para abarcar los casos:a) El intervalo es infinitob) f no está acotada. En estas circunstancias, la integral se llama integral impropia

∫b

adxxf )(


86

Definición de una integral impropia de tipo 1Intervalos infinitos

a) Si existe para todo número t ≥ a, entonces

siempre que exista este límite y sea un número finito.

b) Si existe para todo número t≤ b, entonces

siempre que exista este límite y sea un número finito.

∫ta dxxf )(

∫∫ =∞

∞→

taa t

dxxflimdxxf )()(

∫bt dxxf )(

∫∫ =∞− −∞→

bt

b

tdxxflimdxxf )()(


87

Las integrales impropias de a) y b) se llaman convergentes si existe tal límite y divergentes si no existe.

Ejercicio: Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes

0

2

2

1∫∫ ∞−

∞dxedx x

x

2

y=1/x y=e2x


88

C) Si y son convergentes, entonces, por definición

∫∞a dxxf )( ∫ ∞−

a dxxf )(

∫+∫∫ = ∞∞−

∞∞− a

a dxxfdxxfdxxf )()()(

¿Cómo se puede interpretar una integral impropia?

211

∫∫∞

∞− −

∞

∞− ++dx

eedxdx xxxEjercicio: Calcular


89

Cualquiera de las integrales impropias definidas anteriormente, se pueden interpretar como un área, siempre que f sea una función positiva.

Ejemplo: Consideremos la región infinita, S, que está bajo la curva sobre el eje x y a la derecha de x=1 2/1 xy =

2/1 xy =

1 t

Consideremos la zona achurada

txdxtA

tt

x111)(

11 21 −=

−== ∫

11111 2

12

1 =

−==∞→∞→

∞

∫∫ tlimdxlimdx

t

t

t xx


90

Ejercicios: Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes

( )

( )

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

∞∞

∞

∞−

−∞

−

∞−

∞

+

−+

dxedxx

x

dxxx

dxxx

dxxexdxe

dxx

dx

x

e

xx

x

1

ln1 ln

sen

32

1

2

21

0

1

22

2

31


91

Ejercicio: Demuestre que la integral

es convergente si p>1, y divergente si p≤1

∫∞

1

1 dxx p

Ejercicio: Determine los valores de p para los cuales la integral converge

( )∫∞

e p dxxx ln

1


92

Definición de una integral impropia de tipo 2Integrandos discontinuos

a) Si f es continua en [a,b) y discontinua en b,

si este límite es un número finito.

b) Si f es continua en (a,b] y discontinua en a,

si este límite es un número finito.

∫∫ −→=

t

a

b

a btdxxflimdxxf )()(

∫∫ +→=

b

t

b

a atdxxflimdxxf )()(


93

Las integrales impropias de a) y b) se llaman convergentes si existe tal límite y divergentes si no existe.


ln 1

0

6

3 31

∫∫ −xdxxdx

x

1 sec3

0

2/

0 ∫∫ dxxx

dxπ


94

C) Si f tiene una discontinuidad en c, y a<c<b, y si son convergentes tanto como por definición

∫b

cdxxf )( ∫

c

adxxf )(

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

Ejercicio: Determine si las siguientes integrales convergen o divergen

1 3

2 4

2

0 541

∫∫ −−dx

xdx

x


95


∫∫

∫∫

∫∫

−+

−−

−−

4

0 2

4/

0

1

0

1

0

2

0

2

2 2

61

sencos

ln ln

323

11

dxxx

dxx

x

dxxxxdxx

dxx

xdxx

π


96

Una integral impropia puede tener una discontinuidad en el integrando y también un límite de integración infinito. Estas integrales se pueden estudiar expresándolas como sumas de integrales impropias, cada una de las cuales tiene una de las formas definidas anteriormente.

Por ejemplo, como el integrando de es discontinuo en x=0, eligiendo algún número mayor que 0, por ejemplo 1, puede escribirse

∫∫∫∞∞

+=1

1

00

111 dxx

dxx

dxx

∫∞

0

1 dxx

Es posible demostrar que la integral es convergente y la integral es divergente. Por tanto la integral dada es divergente

∫1

0

1 dxx

∫∞

1

1 dxx


97

Ejercicio: Calcule el valor de C para el cual converge la integral

Ejercicio: Determine si la integral converge o diverge

∫∞

+0 )1(1 dx

xx

∫∞

+−

+0 2 131dx

xC

xx

Ejercicio: Calcule los valores de p para los cuales la integral converge

∫1

0ln xdxx p


98

Prueba de comparación para integrales impropias

Teorema de comparación: Sean f y g funciones continuas y f(x) ≥ g(x) ≥ 0 cuando x ≥ a

a) Si es convergente, entonces es convergente.

a) Si es divergente, entonces es divergente.

∫∞

adxxf )( ∫

∞

adxxg )(

∫∞

adxxg )( ∫

∞

adxxf )(

Si fuera muy complejo calcular el valor de la integral impropia

¿Cómo podemos determinar si la integral converge o diverge?

OBS: Existe un teorema similar para las integrales de tipo 2


99

Ejercicio: Aplique el teorema de comparación para determinar si las integrales son convergentes o divergentes

∫∫

∫∫

∫∫

−

∞∞

∞∞

++

+

1

0

2/

1

1 31 2

11 2

2

sen1

1

1 1

1 sen

dxx

edxxx

dxx

dxex

dxx

xdxx

x

x

x

π

Ejercicio: Demuestra que es convergente∫∞

−

0

2dxe x

Ejercicio: Demuestra que es divergente∫∞ −+

1

1 dxxe x

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