Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Examen final de Calculo III 1, 2, 3, 4 26 de junio de 2008

Tabla de Respuestas

1. (40 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

(1− x)y′′ + xy′ − y = x2 − 2x

y = x es una solucion no nula de (LH) asociada.Respuesta:Para la ecuacion (LH) asociada

(x− 1)y′′ − xy′ + y = 0,

buscamos una solucion no nula y = c(x)x. Derivamos y remplazamos

y′ = c′x+ c, y′′ = c′′x+ 2c′,(x− 1)(c′′x+ 2c′)− x(c′x+ c) + cx = 0⇒ x(x− 1)c′′ = (x2 − 2x+ 2)c′.

Reducimos el orden, planteando z = y′, obtenemos

z′ =x2 − 2x+ 2x(x− 1)

z, z′ =(

1 +−x+ 2x(x− 1)

)z.

Para obtener la solucion, previamente integramos (−x+ 2)/(x(x− 1)) aplicando fracciones parciales

−x+ 2x(x− 1)

=A

x+

B

x− 1, −x+ 2 = A(x− 1) +Bx,

x = 0⇒ A = −2, x = 1⇒ B = 1,∫−x+ 2x(x− 1)

dx = −2 lnx+ ln(x− 1) = ln(x− 1x2

),

de donde,

z = ex+ln( x−1x2 ) = exx− 1

x2.

Finalmentec =

∫(ex

x− ex

x2) dx =

∫ex

xdx+

ex

x−∫ex

xdx =

ex

x.

La otra solucion no nula linealmente independiente es y = xex/x = ex. Por consiguiente,

SF = {x, ex} de (LH) asociada.

La solucion particular la obtenemos por variacion de constantes; para tal efecto, planteamos y =c1(x)x+ c2(x)ex, lo que conduce al sistema lineal(

x ex

1 ex

)(c′1c′2

)=(

0−x2+2x

x−1

).

Resolvemos el sistema lineal:

c′1 =

∣∣∣∣ 0 ex

−x2+2xx−1 ex

∣∣∣∣∣∣∣∣x ex

1 ex

∣∣∣∣ =x2−2xx−1 ex

(x− 1)ex=x2 − 2x(x− 1)2

= 1− 1(x− 1)2

c′2 =

∣∣∣∣x 01 −x2+2x

x−1

∣∣∣∣(x− 1)ex

= −x(x2 − 2x)(x− 1)2ex

= (−x+x

(x− 1)2)e−x = (−x+

1x− 1

+1

(x− 1)2)e−x

Determinamos los c1 y c2 integrando:

c1 = x+1

x− 1,

c2 =∫

(−x+1

x− 1+

1(x− 1)2

)e−x) dx = xe−x + e−x +∫

e−x

x− 1dx− e−x

x− 1−∫

e−x

x− 1dx

= xe−x − e−x − e−x

x− 1.

Por consiguiente, la solucion particular obtenida es

y = (x+1

x− 1)x+ (xe−x − e−x − e−x

x− 1)ex = x2 + x− 1 +

−x+ 1x− 1

= x2 + 2 + x.

Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion es

y = c1x+ c2ex + x2 − 2.

2. (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion de la trayectoria del punto P arrastradosobre el plano xy mediante una cuerda PT de longitud a, sabiendo que T arranca del origen y se muevea lo largo del eje y positivo y P arranca del punto (a, 0).Respuesta:

a

T

P (x, y)

Observando la figura, se tiene que que el vector −→PT es tan-gente a la trayectoria del movimiento del punto P . Aplican-do el teorema de Pitagoras se tiene

−→PT =

(−x√a2 − x2

),

de donde la ecuacion de la trayectoria es

y′ = −√a2 − x2

x,

ecuacion directamente resoluble por integracion. Integra-mos, planteando x = a cos θ, lo que da

−∫ √

a2 − x2

xdx = a

∫a sin θa cos θ

sin θ dθ = a

∫1

cos θdθ − a

∫cos θ dθ = a ln(sec θ + tan θ)− a sin θ + c

Remplazando, se obtiene

y = a ln

(a+√a2 − x2

x

)−√a2 − x2 + c

La condicion y(a) = 0, da c = 0. Por lo tanto, la ecuacion de la trayectoria es

y = a ln

(a+√a2 − x2

x

)−√a2 − x2.

2

3. (30 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

y′ − xy′ = y′y2ey

Respuesta:Factorizamos la ecuacion

y′(1− x− y2ey) = 0

Por lo tanto,(y′ = 0⇒ y = c) o 1− x− y2ey = 0

de donde, la solucion de la ecuacion esta dada por

y = c o y2ey = 1− x.

3

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Examen final de Calculo III 1 26 de junio de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. a

2. b

3. e

1. (40 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

(1− x)y′′ + xy′ − y = x2 − 2x

y = x es una solucion no nula de (LH) asociada.Respuesta:

a) y = c1x+ c2ex + x2 − 2, b) y = c1x+ c2e

x + x2 lnx,c) y = c1x+ c2x lnx+ x2 − 2x, d) y = c2x+ c2

x + x2 − 2x,e) Ninguna de las anteriores.

2. (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion de la trayectoria del punto P arrastradosobre el plano xy mediante una cuerda PT de longitud a, sabiendo que T arranca del origen y se muevea lo largo del eje y positivo y P arranca del punto (a, 0).Respuesta:

a) y =√a2 − x2, b) y = a ln

(a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2,

c) y = 12a (eax + e−ax), d) y = a

(a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (30 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

y′ − xy′ = y′y2ey

Respuesta:a) 1 = x2(y + cey), b) x = y − 2 + ce−y,c) x = yey + cy, d) xy2 = ey + c,e) Ninguna de las anteriores.

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Examen final de Calculo III 2 26 de junio de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. c

2. d

3. e

1. (40 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

(1− x)y′′ + xy′ − y = x2 − 2x

y = x es una solucion no nula de (LH) asociada.Respuesta:

a) y = c1x+ c2x lnx+ x2 − 2x, b) y = c2x+ c2x + x2 − 2x,

c) y = c1x+ c2ex + x2 − 2, d) y = c1x+ c2e

x + x2 lnx,e) Ninguna de las anteriores.

2. (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion de la trayectoria del punto P arrastradosobre el plano xy mediante una cuerda PT de longitud a, sabiendo que T arranca del origen y se muevea lo largo del eje y positivo y P arranca del punto (a, 0).Respuesta:

a) y = 12a (eax + e−ax), b) y = a

(a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2,

c) y =√a2 − x2, d) y = a ln

(a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (30 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

y′ − xy′ = y′y2ey

Respuesta:a) x = yey + cy, b) xy2 = ey + c,c) 1 = x2(y + cey), d) x = y − 2 + ce−y,e) Ninguna de las anteriores.

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Examen final de Calculo III 3 26 de junio de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. e

1. (40 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

(1− x)y′′ + xy′ − y = x2 − 2x

y = x es una solucion no nula de (LH) asociada.Respuesta:

a) y = c1x+ c2ex + x2 lnx, b) y = c1x+ c2x lnx+ x2 − 2x,

c) y = c2x+ c2x + x2 − 2x, d) y = c1x+ c2e

x + x2 − 2,e) Ninguna de las anteriores.

2. (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion de la trayectoria del punto P arrastradosobre el plano xy mediante una cuerda PT de longitud a, sabiendo que T arranca del origen y se muevea lo largo del eje y positivo y P arranca del punto (a, 0).Respuesta:

a) y = a ln(

a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2, b) y = 1

2a (eax + e−ax),

c) y = a(

a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2, d) y =

√a2 − x2,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (30 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

y′ − xy′ = y′y2ey

Respuesta:a) x = y − 2 + ce−y, b) x = yey + cy,c) xy2 = ey + c, d) 1 = x2(y + cey),e) Ninguna de las anteriores.

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Examen final de Calculo III 4 26 de junio de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. a

2. b

3. e

1. (40 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

(1− x)y′′ + xy′ − y = x2 − 2x

y = x es una solucion no nula de (LH) asociada.Respuesta:

a) y = c1x+ c2ex + x2 − 2, b) y = c1x+ c2e

x + x2 lnx,c) y = c1x+ c2x lnx+ x2 − 2x, d) y = c2x+ c2

x + x2 − 2x,e) Ninguna de las anteriores.

2. (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion de la trayectoria del punto P arrastradosobre el plano xy mediante una cuerda PT de longitud a, sabiendo que T arranca del origen y se muevea lo largo del eje y positivo y P arranca del punto (a, 0).Respuesta:

a) y = a ln(

a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2, b) y = 1

2a (eax + e−ax),

c) y = a(

a+√

a2−x2

x

)−√a2 − x2, d) y =

√a2 − x2,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (30 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

y′ − xy′ = y′y2ey

Respuesta:a) x = yey + cy, b) xy2 = ey + c,c) 1 = x2(y + cey), d) x = y − 2 + ce−y,e) Ninguna de las anteriores.