cálculo iii, segundo parcial, turno 2, semestre i08

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 24 de junio de 2008

Tabla de Respuestas

1. (40 puntos) Hallar y(2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicialx = −y + 1,y = x+ 2y,

x(0) = −2,y(0) = 1.

Respuesta:Convertimos el sistema en una ecuacion diferencial ordinaria derivando la segunda ecuacion y rempla-zando x, obtenemos

y = 2y + x,

y = 2y + (−y + 1),y − 2y + y = 1.

Resolvemos la ecuacion (LH) asociada y − 2y + y = 0, a traves del polinomio caracterıstico

p(λ) = λ2 − 2λ+ 1 = (λ− 1)2 ⇒ SF = {et, tet}.

La solucion particular de (L) hallamos por tanteo, y = 1 es la solucion particular obtenida. Por lotanto, la solucion general de la ecuacion diferencial es

y = c1et + c2te

t + 1.

Hallamos los valores de las constantes c1 y c2 remplazando las condiciones iniciales:

y(0) = c1 + 1 = 1⇒ c1 = 0,y(0) = 2y(0) + x(0) = 2− 2 = 0, y(0) = c2 = 0⇒ c2 = 0.

La solucion del problema a valor inicial es y = 1 y por consiguiente

y(2) = 1.

2. (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general de la familia de curvas, talesque la porcion de la normal limitada por los ejes tiene como punto medio el punto de tangencia.Respuesta:

(x, y)

x 2x

y

2y

Observando el grafico, vemos que la normal forma un trıan-gulo rectangulo de lados 2x y 2y. La pendiente de la tan-gente es 2x

2y , de donde la ecuacion diferencial de la familiade curvas buscada es

y′ =x

y⇒ 1

2y2 =

12x2 + c

La ecuacion general de la familia de curvas buscada esx2 − y2 = c .

3. (30 puntos) Resolviendo, hallar la solucion general de

3x2 dx+ (x3y + y3) dy = 0.

Indicacion.- Intente buscando un factor integrante adecuado.Respuesta:Planteando b = y3 + x3y e b = 3x2, se observa que la ecuacion no admite primitiva:

∂a

∂y= 0,

∂b

∂x= 3x2y.

Seguimos la indicacion buscando un factor integrante µ(y). La condicion de primitiva da

3x2yµ(y) = 3x2µ′(y)⇒ µ′ = yµ⇒ µ = ey2/2.

La primitiva la encontramos por tanteo:

∂f

∂x(x, y) = 3x2ey2/2 ⇒ f(x, y) = x3ey2/2 + c(y),

∂f

∂y(x, y) = x3yey2/2 + c′(y) = y3ey2/2 + x3yey2/2 ⇒ c′(y) = y3ey2/2.

Integramos c′(x):

c(y) =∫y3ey2/2 dy = y2ey2/2 − 2

∫yey2/2 dy = y2ey2/2 − 2ey2/2,

de donde la primitiva buscada es

f(x, y) = ey2/2(x3 + y2 − 2)

y la solucion

ey2/2(x3 + y2 − 2) = c.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Segundo Parcial de Calculo III 1 24 de junio de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. a

2. b

3. c


x(0) = −2,y(0) = 1.

Respuesta:a) y(2) = 1, b) y(2) = 0,c) y(2) = e2 + 2e, d) y(2) = 2e+ 1,e) Ninguna de las anteriores.


a) y = cx, b) x2 − y2 = c,c) x2 + y2 = c, d) xy = c,e) Ninguna de las anteriores.


3x2 dx+ (x3y + y3) dy = 0.

Indicacion.- Intente buscando un factor integrante adecuado.Respuesta:

a) x2 = y4 + cy3, b) y(x3 + cx) = 3,c) ey2/2(x3 + y2 − 2) = c, d) ex2/2(x+ y) = c,e) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1. b

2. c

3. d


x(0) = −2,y(0) = 1.

Respuesta:a) y(2) = 2e+ 1, b) y(2) = 1,c) y(2) = 0, d) y(2) = e2 + 2e,e) Ninguna de las anteriores.


a) xy = c, b) y = cx,c) x2 − y2 = c, d) x2 + y2 = c,e) Ninguna de las anteriores.


3x2 dx+ (x3y + y3) dy = 0.


a) ex2/2(x+ y) = c, b) x2 = y4 + cy3,

c) y(x3 + cx) = 3, d) ey2/2(x3 + y2 − 2) = c,e) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1. c

2. d

3. a


x(0) = −2,y(0) = 1.

Respuesta:a) y(2) = e2 + 2e, b) y(2) = 2e+ 1,c) y(2) = 1, d) y(2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


a) x2 + y2 = c, b) xy = c,c) y = cx, d) x2 − y2 = c,e) Ninguna de las anteriores.


3x2 dx+ (x3y + y3) dy = 0.


a) ey2/2(x3 + y2 − 2) = c, b) ex2/2(x+ y) = c,c) x2 = y4 + cy3, d) y(x3 + cx) = 3,e) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. b


x(0) = −2,y(0) = 1.

Respuesta:a) y(2) = 0, b) y(2) = e2 + 2e,c) y(2) = 2e+ 1, d) y(2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.


a) x2 − y2 = c, b) x2 + y2 = c,c) xy = c, d) y = cx,e) Ninguna de las anteriores.


3x2 dx+ (x3y + y3) dy = 0.


a) y(x3 + cx) = 3, b) ey2/2(x3 + y2 − 2) = c,

c) ex2/2(x+ y) = c, d) x2 = y4 + cy3,e) Ninguna de las anteriores.

cálculo iii, segundo parcial, turno 2, semestre i08

Documents