Universidade Tecnologica Federal do ParanaCalculo 4

Setembro de 2015

Lista de exercıcios 1 (Series de Fourier)

1. Calcule a serie de Fourier das seguintes funcoes no intervalo dado e faca um grafico dafuncao a qual a serie converge.

(a) f(x) = x2, se −2 < x < 2.

(b) f(x) = sin(πx), se −1 < x < 1,

(c) f(t) =

{1 + t, se − 1 < t < 01− t, se 0 < t < 1

,

(d) f(x) =

−x, se − 1 < x < 0x, se 0 < x < 11, se 1 < x < 3

, f(x+ 4) = f(x).

2. Sejam f1(x) e f2(x) funcoes definidas por:

f1(x) =

{0, se − π ≤ x < 01, se 0 ≤ x ≤ π

, f2(x) =

{0, se − π ≤ x < 0x, se 0 ≤ x ≤ π.

Estas funcoes podem ser representadas por series de Fourier da seguinte forma:

f1(x) ≈ 1

2+

2

π

∞∑n=1

sin(2n− 1)x

2n− 1, 0 < |x| < π;

f2(x) ≈ π

4− 2

π

∞∑n=1

cos(2n− 1)x

(2n− 1)2−∞∑n=1

(−1)n sinnx

n, −π < x < π.

Sem fazer outras integracoes, determine as series de Fourier das seguintes funcoes:

(a) f3(x) =

{1, se − π ≤ x < 00, se 0 ≤ x ≤ π

,

(b) f4(x) =

{1, se − π ≤ x < 0x, se 0 ≤ x ≤ π

,

(c) f5(x) =

{1, se − π ≤ x < 01 + 2x, se 0 ≤ x ≤ π

,

(d) f6(x) =

{2− 3x, se − π ≤ x < 0x, se 0 ≤ x ≤ π

.

3. Use os resultados dos exercıcios anteriores para determinar o valor das seguintes seriesnumericas.

(a)1

12− 1

22+

1

32− 1

42· · ·+ (−1)n+1

n2+ · · · ,

(b)1

12+

1

32+ · · ·+ 1

(2n− 1)2+ · · ·

(c)1

14+

1

24+ · · ·+ 1

n4+ · · ·

(d) 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·+ (−1)n

(2n− 1)+ · · ·

1

4. Calcule a Serie de Fourier indicada. Desenhe a funcao para a qual a serie converge.

(a) Serie de cossenos de f(x) = 2− x no intervalo 0 < x < 2,

(b) Serie de senos de f(x) = x2 no intervalo 0 < x < L,

(c) Serie de cossenos de f(x) =

{1, se 0 < x < 12, se 1 < x < 2

(d) Serie de cossenos de f(x) =

{x, se 0 < x < π

2

π/2, se π2< x < π

5. Considere a funcao f(x) = x(π − x) no intevalo [0, π].

(a) Mostre que a serie de senos de f e igual a

8

π

∞∑n=1

sin(2n− 1)x

(2n− 1)3

(b) Use a identidade de Parseval para determinar o valor da Serie∑∞

n=11

(2n−1)6

6. Considere an e bn os coeficientes de Fourier de uma funcao f no intervalo (−1, 1).Determine em cada caso uma funcao nao constante tal que:

(a)∑∞

n=1 b2n = 100

(b)a202

+∑∞

n=1 a2n = 100

7. Determine os termos cn da serie de Fourier complexa das seguintes funcoes

(a) f(x) =

{0, se − π ≤ x < 01, se 0 ≤ x ≤ π.

(b) f(x) =

{x, se − 1 ≤ x < 00, se 0 ≤ x ≤ 1.

8. Considere a seguinte equacao diferencial parcial.

∂u

∂t=∂2u

∂x2+ u; com

{u(x, 0) = f(x), 0 < x < 1 (condicao inicial)u(0, t) = u(1, t) = 0 (condicoes de contorno)

(1)

(a) Mostre que as funcoes da forma un(x, t) = sin(nπx)e(1−n2π2)t com n = 0, 1, 2, . . .

satisfazem a equacao diferencial e as condicoes de contorno.

(b) Considerando que solucao geral de (1) e dada por

u(x, t) =∞∑n=1

cn sin(nπx)e(1−n2π2)t (2)

determine a solucao particular que satisfaz as condicoes inicial u(x, 0) = f(x) paraas seguintes funcoes f(x):

i. f(x) = 3 sin(2πx)− 7 sin(4πx)

ii. f(x) = 1

iii. f(x) = x

iv. f(x) = x− x2

2

Atividade Pratica Supervisionada:

9. Para cada uma das seguintes afirmacoes determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa.Se for verdadeira explique por que. Se for falsa de um contraexemplo para a afirmacao.

(a) Existe uma unica funcao f tal que a serie de Fourier de f converge a −√

10 emx = 0.

(b) Se todos os coeficientes de Fourier de f sao iguas a uma constante k, entao afuncao f e constante igual a k.

(c) Se duas funcoes definidas no mesmo intervalo tem os mesmos coeficientes de Fou-rier entao as funcoes sao exatamente iguais.

(d) Se f e g sao funcoes pares tais que f(x) ≤ g(x) entao os coeficientes de Fourier def sao sempre menores o iguas que os correspondentes coeficientes de Fourier de g.

(e) Existe uma funcao periodica tal que a0 = a1 = a2 = a3 = · · · = a10000 = 0 e an > 0para todo n > 10000.

(f) Se uma funcao f tem todos seus coeficientes bn iguais a zero, entao a derivada f ′

da funcao tem pelo menos um coeficiente an diferente de zero.

3