cálculo numérico. 2.3 - método do ponto fixo - mpf
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Cálculo Numérico
2.3 - Método do Ponto Fixo - MPF
2.3 - Método do Ponto Fixo - MPF
2.3 - Método do Ponto Fixo - MPF
Problema de determinação de um zero de f(x)f(x)
Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)g(x)
Função de iteração
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Exemplo :Seja a equação xx22 + x – 6 + x – 6 = 0= 0 .
Funções de iteração possíveis:
gg11(x)(x) = 6 - = 6 - xx22
gg22(x)(x) = ±√6 - = ±√6 - xx
gg33(x)(x) = 6/= 6/x – 1x – 1
gg44(x)(x) = 6/(= 6/(x + 1)x + 1)
Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de umamais de uma funçãofunção de iteração g(x)g(x), tal que: f(x) = 0f(x) = 0 x = x = g(x)g(x)
2.3 - Método do Ponto Fixo - MPF
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Exemplo : Seja a seguinte equação xx22 + x – 6 + x – 6 = 0= 0 ::
Não há necessidade de uso de método numérico para a determinação das raízes 11 = -3 = -3 e e 22 = 2 = 2
Utilização desta exemplo para demonstrar a convergência ou divergência numérica e gráfica do processo iterativo
Seja a raiz 22 = 2 = 2 e e gg11 (x) = 6 - x (x) = 6 - x22
Considere-se xx00= 1,5= 1,5 e g(x) g(x) = gg11 (x) (x)
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x1 = g(x0) = 6 – 1,52 = 3,753,75
x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625-8,0625
x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906-59,003906
Conclui-se que {xxkk}} não convergirá para 22 == 2 2
xx44 = g( = g(x3) = ) = 66 – – ((-59,003906-59,003906))22 = = - - 3475,46093475,4609
2.3 - Método do Ponto Fixo - MPFExemplo :Seja a raiz 2 2 = 22 , , x0 = 1,51,5 e g1 (x) = 6 – 6 –
x²x²:
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2.3 - Método do Ponto Fixo - MPF
Exemplo : Análise Gráfica:
{x{xkk} }
y
x2
x1
g(x)g(x)
xx00
y = xy = x
x2
1
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Exemplo : Seja a raiz 22 = 22, g2 (x) = √√6 - x6 - x e x0 = 1,51,5
Conclui-se que {x{xkk}} tende a convergir para tende a convergir para 22 = = 2 2
x1 = g(x0) = √6 - 1,5 = 2,1213203432,121320343 x2 = g(x1) = √6 - 2,121320343 = 1,9694363801,969436380
x3 = g(x2) = √6 -1,969436380 = 2,0076263642,007626364 x4 = g(x3) = √6 - 2,007626364 = 1,9980924991,998092499
x5 = g(x4) = √6 - 1,998092499 = 2,0004768182,000476818
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Exemplo : Análise Gráfica
{x{xkk} } 22 quando kk infinf
2.3 - Método do Ponto Fixo - MPF
g(x)g(x)
x
yy = xy = x
2x1
xx00
x2
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gg11(x)(x) = = xx33 – 1 – 1
gg22(x)(x) = ±√1 + = ±√1 + xx
gg33(x)(x) = 1/= 1/x³ – 1x³ – 1
Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração g(x)g(x), tal que: f(x)f(x) = 00 xx = g(x)g(x)
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Exemplo : Seja a equação xx33 – x – 1 – x – 1 = 0= 0, Tem-se as seguintes funções de iteração possíveis:
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Exemplo : Seja = 1,3249301,324930, g2 (x) = √√1 + x1 + x e x0 = 11
Conclui-se que {x{xkk}} tende a convergir para tende a convergir para == 1,3249301,324930
x1 = g(x0) = √1 + 1 = 1,2599211,259921 x2 = g(x1) = √1 + 1,259921 = 1,3122941,312294
x3 = g(x2) = √1 + 1,312294 = 1,3223541,322354 x4 = g(x3) = √1 + 1,322354 = 1,3242691,324269
x5 = g(x4) = √1 + 1,324269 = 1,3246331,324633
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3
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Exemplo : Análise Gráfica
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y
x
g(x)g(x) y = xy = x
2
x1
xx00
x2x3x4 x5
{x{xkk} } 22 quando k k inf inf
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Critérios de parada Se os valores fossem exatosexatos
f(xf(xkk) = 0) = 0
||xxk k – x– xk-1k-1|| = 0 = 0
Não o sendoNão o sendo ||f(xf(xkk))|| tolerância tolerância
||xxk k – x– xk-1k-1| | tolerância tolerância
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