cálculo numérico

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UNIVERSIDADE BRAZ CUBASNotas de Aula - CLCULO NUMRICOProf. NicolauContedosIntroduo........................................................................................................................................1Erros e incertezas.............................................................................................................................2Sistemas Lineares de Equaes.......................................................................................................6Classificao de sistemas lineares ..............................................................................................6Soluo do Sistema de Equaes Lineares.................................................................................8Mtodo de Eliminao de Gauss............................................................................................8Mtodos iterativos de resoluo de sistema de equaes lineares............................................10Mtodo de Jacobi:................................................................................................................10Mtodo de Gauss-Seidel.......................................................................................................13Critrio de convergncia para mtodos iterativos.....................................................................13Equaes algbricas e transcendentes ...........................................................................................15Avaliao de polinmios: .........................................................................................................16Mtodo de Horner................................................................................................................16Mtodo de Briot-Ruffini.......................................................................................................16Limites das razes reais.............................................................................................................17Determinao do intervalo onde h razes................................................................................17Determinao de razes pelo mtodo da bisseco...................................................................20Aplicao do mtodo da bisseco para funes transcendentais............................................21Determinao de razes pelo mtodo de Newton-Raphson.......................................................23Interpretao geomtrica...........................................................................................................23Interpolao...................................................................................................................................25Interpolao linear.....................................................................................................................25Interpolao linear por relao de proporcionalidade..........................................................26Interpolao quadrtica.............................................................................................................27Interpolao de Newton............................................................................................................29Definio..............................................................................................................................29Diferenas divididas.............................................................................................................29Interpolao de Lagrange..........................................................................................................31O mtodo dos Mnimos Quadrados...............................................................................................32Regresso Linear.......................................................................................................................32Coeficiente de determinao R2...............................................................................................34Ajuste da curva exponencial.....................................................................................................35Ajuste da curva potencial..........................................................................................................36Integrao Numrica......................................................................................................................38Mtodo dos trapzios................................................................................................................38Estimativa de incertezas no mtodo dos trapzios....................................................................40Mtodo de Simpson...................................................................................................................42Estimativa de incertezas no mtodo de Simpson......................................................................44UNIVERSIDADE BRAZ CUBASNotas de Aula - CLCULO NUMRICOProf. NicolauIntroduoQuandooclculoaplicadonasoluodeproblemasreais(Fisica, engenharia, economia,etc...), emalgummomentonecessrioutilizar nmerosparaseobter arespostadesejada. Emaplicaes de matemtica, o resultado final desejado, de um modo geral, tem que ser quantitativo. Emalgumas circunstncias a substituio de variveis por nmeros ocorre somente no final do clculo,em algumas circunstncias isto ocorre em uma fase bem preliminar. Por clculo numrico se compreende uma srie de procedimentos que utilizamtcnicasnumricasparaarealizaodeclculos.Tomemos a derivao como exemplo: sef(x) = x2, para aobteno da derivada de f(x) no ponto x = 1 podemos utilizar o mtodo analtico ou o mtodo numrico.Mtodo analtico: Aplicando a definio de derivada, dfdx=limh-0f ( x+h)f ( x)h=limh-0( x+h)2x2h=2 x=2 para x = 1.Mtodo numrico: Escolhemosinicialmenteumvalorarbitrariamentepequenodeh(porexemplo,h=0,01)esubstitumos tanto o valor de x = 1 quanto h = 0,01 na definio de derivada. Teremos ento dfdxx=1(1+0,01)2120,01=2,01Verifica-se um diferena de de 0,01 entre os valores calculados analtica e numericamente. Istose deve ao fato de termos utilizado um valor finito de h = 0,01 em vez de h 0.Exerccio 1: Verificar que a diferena entre os valores calculados analtica e numericamente diminui seescolhermos valores menores de h.Mesmo na resoluo analtica da derivada acima, no final, foi substitudo o valor 1 na varivelx. Assim, mesmo quando se utilizam analticos, em algum momento necessrio substituir variveis1por seus valores numricos para a obteno de solues quantitativas de problemas.O clculo numrico a disciplina que estuda mtodos numricos para a soluo de problemasmatemticos. Neste curso ser apresentada uma introduo ao clculo numrico, com especial ateno propagao de erros associada ao mtodo em questo. Sero abordados os tpicos:Erros e incertezas;Soluo de sistemas lineares de equaes;Soluo de equaes algbricas e transcendentes;InterpolaoMtodo dos mnimos quadradosIntegrao numrica.Erros e incertezas.Em um dado processo de obteno de uma soluo quantitativa para um dado problema1, surgeespontaneamente o conceito de Erro.Por erro entendida a diferena entre o valor real de uma dadagrandeza e aquela que obtida. Logo, erro um conceito filosfico: se no conhecemos o valor real deuma dada grandeza, como podemos saber a diferena entre este valor e o o obtido por algum mtodo demedio ou de clculo? Da que modernamente se prefere utilizar o conceito de incerteza. De qualquermaneira, neste curso utilizaremos o termo erro para expressar indistintamente erro ou incerteza, comoutilizado pela maioria da bibliografia de uso didtico no momento.Erro de modelamento: a equao (expresso) matemtica utilizada para expressar algum fenmeno ouprocessotemaproximaes, noodescreveprecisamente. Exemplo: aquedalivredeumobjetoprximo ao solo expressa pela conhecida equao de movimento S = S0+ v0t + gt2/2,onde S aposio do corpo no instante t, S0 a posio do corpo no instante t = 0, v0 a velocidade de corpo noinstante t0 e g a acelerao da gravidade. Esta equao no leva em conta a resistncia do ar, assim,ela precisa ou para pequenas velocidades (ou para um ambiente em vcuo). Conforme a velocidadeaumenta este equao passa a ser cada vez menos precisa. Erro de truncamento e arredondamento: representamos nmeros reais utilizando o sistema decimalou o binrio (utilizado por computadores) de um modo geral. Ao executarmos algumas operaes, oresultado pode necessitar de um nmero muito grande de dgitos (at mesmo um nmero infinito dedgitos, no caso de nmeros irracionais) para ser representado com exatido. O que ocorre na realidade que limitamos o nmero de dgitos de modo que o erro introduzido seja desprezvel para o propsito a1 Este processo pode ser de medio, clculo, estimativa, etc...2que se destinao clculo efetuado. Este procedimento chamado de truncamento. Por exemplo, o tpode ser representado com exatido pela expresso t = P/D onde P e D so o permetro e o dimetro deumcrculo.Noentanto,pum nmero irracional e para ser representado no sistema decimal serianecessrio um nmero infinito de dgitos. Tomando somente os primeiros 9 dgitos pode-se escrevert = 3,14159265. No entanto, para a maior parte das aplicaes o valor de 3,14 preciso o suficiente, ouseja, ovalor dettruncadonacasadacentena. Esteprocedimentointroduznoclculoumaincerteza na casa do milhar. Para amenizar oerrointroduzidopor truncamento, procedimentonormalarredondaronmero. Por exemplo, o valor de t truncado na 4a. casa depois da vrgula fica como 3,1415; no entanto,arredondamos para 3,1416 pois o dgito imediatamente aps o 5 um 9 e certamente 3,1416 maisprximo do valor de t que 3,1415. H discusses quanto a como arredondar de maneira adequada umnmero, neste curso tomaremos um processo simplificado que simplesmente arredonda para baixose o dgito subseqente for4 ou menor e para cima se o dgito subseqente for 5 ou maior.Erroabsoluto: Au=uu0 ondeuovalor obtidopor medioouclculoeu0ovalorconvencionado como correto para a varivel u.Erro relativo: 6u=uu0u0 =Auu0

Notar queou umnmeropuroque pode freqentemente ser apresentadona f