cálculo numérico – cn prof. lineu mialaret aula 2: somatório e produtório
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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013. Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Somatório e Produtório. Somatório (1). Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 1/30Cálculo Numérico
Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret
Aula 2: Somatório e Produtório
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 2/30Cálculo Numérico
Somatório (1)
Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5:
Usa-se o Somatório para encurtar a escrita de dessa somas de parcelas.
Pode-se pensar nessa soma do seguinte modo: Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor
1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5.
A expressão resultante representa a soma de todos os valores de i. A notação para somatório é dada da seguinte forma:
5
1i
i
54321
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Somatório (2)
Onde: A letra grega ∑ (sigma) representa o somatório; O número 1 é o limite inferior do somatório; O número 5 é o limite superior do somatório; e A variável i é chamada de índice do somatório.
Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior.
Todos os valores do índice do somatório são somados, de forma que:
15543215
1
i
i
5
1i
i
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Somatório (3)
Exemplo 1:
Exercício 1: Qual o valor de
?8
1
i
i
?18
1
i
i
63213
1
i
i
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Somatório (4)
Nos exemplos apresentados, a expressão após o símbolo de somatório é o símbolo i, denominado de índice do somatório.Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão
e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão.
Exemplo 2:
Exercício 2: Qual o valor de
55)()()()()( 222225
1
2
54321i
i
?7
1
3 i
i
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Somatório (5)
Para se simbolizar somatórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação a seguir:
Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e nem a expressão após o símbolo do somatório; e
A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, variando do limite inferior até o superior, como se segue,
Há alguns casos especiais a serem considerados com relação ao valor de :
q
piia
ia
ia
qppp aaaa ...21
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Somatório (6)
Caso 1:
Aqui a expressão após o sinal de somatório é a constante
0, que tem o valor 0 independente do valor do índice do somatório. A soma de qualquer quantidade de números iguais a 0 é 0.
Exemplo 3:
00
q
pi
00000005
1
i
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Somatório (7)
Caso 2:
Aqui a expressão após o símbolo de somatório é uma constante, e o somatório diz que tem que se somar n cópias de uma constante, o que é igual ao valor cn.
Exemplo 4:
nccn
i
1
51111115
1
i
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Somatório (8)
Caso 3:
Aqui, nesse somatório, o limite superior é menor que o
limite inferior; e a interpretação usual de somatório não se aplica; mas se convenciona que esse somatório é igual a 0.
Exemplo 5:
0
1
0i
ia
0
1
02i
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Somatório (9)
O índice de somatório é uma variável muda, isto é, ela simplesmente marca o lugar do número que está sendo alterado e pode-se usar qualquer outra variável sem mudar o valor do somatório.
Exemplo 6:
3
1
3
1
6ji
ji
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Somatório (10)
Pode-se mudar os limites em um somatório, o que é permitido desde que o valor do somatório permaneça o mesmo.
Exemplo 7:
Já que ambos os somatórios tem o valor 1 + 2 + 3 = 6.
2
0
)(
3
1
1ii
ii
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Somatório (11)
Há algumas propriedades para somatórios. Propriedade 1:
Propriedade 2:
q
pi
q
pi
q
piibiaibia )()()(
q
pi
q
pi
q
piibiaibia )()()(
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Somatório (12)
Propriedade 3:
Onde c é uma constante.
q
pi
q
piiacica )()(
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Somatório (13)
Prova da Propriedade 1:
Notar que,
ap + bp + ap+1 + bp+1 + ... + aq + bq =
ap + ap+1 + ... + aq + bp + bp+1 + ... + bq
q
pi
q
pi
q
piibiaibia )()()(
termos em aitermos em bi
q
piia )(
q
piib )(
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Somatório (14)
Exercício 3: Provar a Propriedade 2.
q
pi
q
pi
q
piibiaibia )()()(
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Somatório (15)
Exercício 4: Provar a Propriedade 3.
Onde c é uma constante.
q
pi
q
piiacica )()(
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Somatório (16)
Exercício 5: Seja a soma dos valores de transações de cartões de credito apresentadas a seguir, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Colocar essa soma em formato de somatório.
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Somatório (17)
Pode-se ter somatórios duplos (ou triplos, etc.). Exemplo 8:
Exercício 6: Expandir o somatório acima.
n
jij
m
ia
11
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Somatório (18)
Exercício 6: Expandir o somatório abaixo.
Solução:
n
jij
m
ia
11
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Produtório (1)
Seja a seguinte multiplicação de inteiros de 1 a 5:
Usa-se o Produtório para encurtar a escrita de dessa multiplicação de parcelas.
Pode-se pensar nessa multiplicação do seguinte modo:Suponha que se tenha alguma quantidade i, que
inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5.
A expressão acima é o resultado da multiplicação de todos os valores de i.
A notação para produtório é dada da seguinte forma:
5
1i
i
12054321
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Produtório (2)
Onde:A letra grega ∏ (pi) representa o produtório;O número 1 é o limite inferior do produtório;O número 5 é o limite superior do produtório; e
A variável i é chamada de índice do produtório. Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior
e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior.
Todos os valores do índice do produtório são multiplicados, de forma que:
120543215
1
i
i
5
1i
i
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Produtório (3)
Exemplo 8:
Exercício 7: Qual o valor de
?8
1
i
i
?18
1
i
i
63213
1
i
i
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Produtório (4)
Nos exemplos e exercícios apresentados, a expressão após o símbolo de produtório é o símbolo i, o denominado índice do produtório.Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão
e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão.
Exemplo 9:
Exercício 8: Qual o valor de
55)5()4()3()2()1( 222225
1
2 i
i
?5
1
3 i
i
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Produtório (5)
Para se simbolizar produtórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação:
Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e a expressão após o símbolo do produtório; e
A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, do limite inferior até o superior, como se segue,
Há algumas propriedades de produtórios para serem consideradas a seguir.
ia
q
piia
qppp aaaa ...21
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Produtório (11)
Propriedade 1:
Exemplo 10:
!...43211
nnan
ii
24!443214
1
i
ia
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Produtório (12)
Propriedade 2:
Exemplo 11:
16222222 44
1
i
nn
i
cc 1
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Produtório (13)
Propriedade 3:
Exemplo 12:Para
)(...)()()( 3211
cacacacaca n
n
ii
60)23()22()21()23()22()21(23
1
i
ia
2;3;2;1 321 caaa iii
usando-se a soma
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Produtório (14)
Propriedade 4:
Exemplo 13: Para
n
ii
nn
ii acca
11
48)321(2)23()22()21(2 33
1
i
ia
2;3;2;1 321 caaa iii
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Produtório (15)
Propriedade 5:
Exemplo 14:Para
n
iinn
n
ii aaaaaaaa
12121
1
log)log(...)log()log()...log()log(
;6;4;2 321 iii aaa
68,178,060,030,0log)6log()4log()2log()2log()log(3
1
3
1
i
ii
i aa 64
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Produtório (16)
Exercício 9: Verificar se é verdadeira a equação abaixo.
n
ii
n
ii
n
iii baba
111