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Cálculo Numérico Cynthia de O. Lage Ferreira e Afonso Paiva
ICMC-USP http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/cynthia/ e http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/apneto/
Informações sobre o Curso � Site do curso
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/apneto/cursos/2017/sme0104/
Horário das aulas
TURMA A TURMA B
3a-feira 8h10 às 9h50, sala 5-101 3a-feira 10h10 às 11h50, sala 5-103
5a-feira 10h10 às 11h50, sala 5-101 5a-feira 8h10 às 9h50, sala 5-103
� Atendimento
Agendamento via e-mail ([email protected] e [email protected]), sala 3-135
� Estagiária PAE
Rafael Nakanishi - horário a definir
Camila Lages – horário a definir
Objetivos da Disciplina � Apresentar diversos métodos matemáticos para a resolução
de problemas matemáticos, destacando
ü a diferença em relação às soluções analíticas
ü as situações em que eles devem ser aplicados
ü suas vantagens e limitações
� Melhorar a “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático
� Apresentar ao aluno maneiras práticas de desenvolver e utilizar métodos numéricos na calculadora e no computador
� Desenvolver a capacidade do aluno de aprender outros métodos numéricos por conta própria
Ementa � Introdução aos Algoritmos
– noções básicas de ponto flutuante
– programação em MATLAB /OCTAVE
� Solução de Sistemas Lineares: Métodos Diretos
– decomposição LU, eliminação de Gauss e Cholesky
� Solução de Sistemas Lineares: Métodos Iterativos
– métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente
� Autovalores e Autovetores
– decomposição QR, método das potências, Jacobi, Francis
� Solução de Equações e Sistemas Não Lineares
– métodos da bissecção, secante, iterativo linear e Newton
Ementa (continuação) � Método dos Mínimos Quadrados
– caso contínuo e discreto
� Interpolação Polinomial
– interpolação de Lagrange e Newton
� Integração Numérica
– fórmulas de Newton-Cotes e Gauss
� Solução de Numérica de EDO’s
– método de Euler
– método previsor-corretor
– método de Runge-Kutta
Avaliação e Média Final � 4 provas
P1: 28/03 P3: 25/05
P2: 02/05 P4: 27/06
� Prova SUB: (solicitação via recuperação do aprendizado)
� REC: 11/07
� Média Final
MF = (P1+P2+P3+P4)/4
Considerações Importantes � Atrasos de no máximo 10 minutos
� Fiquem atentos ao número de faltas
� Proibido o uso de celular durante as aulas e nas provas
� Trazer calculadora para as provas, exceto calculadoras do tipo HP-48G ou semalhantes
Organização do Estudo � Cronograma das aulas (Parte 1 – Profa Cynthia)
Aula Data Tópicos
1 07/03 Apresentação do curso/Noções básicas de ponto flutuante
2 09/03 Revisão álgebra linear/Norma de matriz e vetor
3 14/03 Introdução ao MATLAB I
4 16/03 Introdução ao MATLAB II
5 21/03 Decomposição LU/Eliminação de Gauss
6 23/03 Método de Jacobi/Método de Gauss-Seidel
7 28/03 P1
8 30/03 Método do gradiente
9 04/04 Decomposição QR/ Método de Francis
10 06/04 Método das potências/Pagerank
11 18/04 Método da bissecção
12 20/04 Método do ponto fixo
13 25/04 Método Newton
14 27/04 Método Newton para sistemas
15 02/05 P2
• Cronograma das aulas (Parte 2 – Prof Afonso)
Aula Data Tópicos
16 04/05 Interpolação de Lagrange/Interpolação de Newton
17 09/05 Interpolação de Hermite
18 11/05 Splines
19 16/05 Método dos mínimos quadrados : caso contínuo
20 18/05 Método dos mínimos quadrados : caso discreto I
21 23/05 Método dos mínimos quadrados : caso discreto II
22 25/05 P3
23 30/05 Integração numérica : formas de Newton-Cottes
24 01/06 Quadratura de Gauss
25 06/06 Diferenciação
26 08/06 Solução numérica de EDO I: Taylor
27 13/06 Solução numérica de EDO II: Runge-Kutta
28 20/06 Solução numérica de EDO III: previsor-corretor
29 22/06 Solução numérica de sistemas de EDO’s
30 27/06 P4
Organização do Estudo � Estudo em casa
ü Listas de exercícios
ü Implementação dos métodos no computador. IMPORTANTE !
ü Leitura de bibliografia complementar
Motivação � Google Pagerank (Brin & Page 1998)
ü É um algoritmo utilizado pela ferramenta de busca do Google para posicionar os sites entre os resultados das buscas
ü Ele mede a importância de um site contabilizando a quantidade e qualidade dos links apontando pra ele
Exemplo
• Tornando a matriz A estocástica
• Resolvendo o problema dos "becos sem saída"
• Evitando ciclos no grafo
Método das Potências Dada uma distribuição inicial p(0),
A(k) p(0) à v
O vetor v é chamado vetor estacionário de A
Outras Aplicações � Nas ciências aplicadas, precisamos
frequentemente resolver sistemas da forma
Ax=b
Como resolver este sistema linear ?
Exemplo � Considere uma placa sujeita a diferentes temperaturas
Qual a temperatura no interior da placa depois de atingida a distribuição de equilíbrio ?
25
20
20
30
x1
2x
3x
4x
Contexto Histórico � A análise numérica se tornou uma disciplina
matemática independente apenas no século 20.
� Até o século 19 não havia distinção entre matemática e ciências naturais, incluindo filosofia, física, química, astronomia etc.
� Em 1687, Isaac Newton (1642-1727), propôs o problema abaixo na sua obra Mathematical Principles of Natural Philosophy
“Dado quaisquer número de pontos, encontrar uma linha curva (polinômio) que passe por tais pontos”.
� Este problema, depois de solucionado, foi utilizado por Newton para estudar a localização dos cometas.
Contexto Histórico (continuação)
� Na segunda metade do século 19, métodos numéricos foram desenvolvidos para resolver problemas de astronimia, físca e engenharia.
� A análise numérica moderna começa em torno de 1940 devido à participação de matemáticos, principalmete americanos, alemães e russos na segunda guerra mundial e devido ao desenvolvimento dos primeiros computadores.
Métodos Diretos X Métodos Iterativos
� Considere a equação
3x3 + 4 = 28Iterativo
f (x) = 3x3 − 24a = 0,b = 3,c =1.5f (a) = −24, f (b) = 57, f (c) = −13.85
a =1.5,b = 3,c = 2.25f (c) =10.17...
a =1.5,b = 2.25,c =1.875f (c) = −4.22...
a =1.875,b = 2.25,c = 2.0625f (c) = 2.32...
Direto
3x3 + 4 = 283x3 = 24x3 = 8x = 2
Referências • BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D., Análise Numérica, Cengage Learning, 2008. • QUARTERONI, A.; SALERI, F., Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer,
2006. • CHAPMAN, S. J., Programação em MATLAB para Engenheiros, Cengage Learning, 2011. Sites Interessantes • A história da Análise Numérica e do Cálculo Científico (http://history.siam.org/) • MATLAB (https://www.mathworks.com/) • OCTAVE (http://www.gnu.org/software/octave/) • Numerical Computing with MATLAB by Cleve Moler (https://www.mathworks.com/moler/chapters.html)