1. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 26/11/10 22:42 Pgina i CLCULOTrascendentes tempranas

2. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 26/11/10 22:42 Pgina ii 3. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd7/12/10 11:47 Pgina iii CLCULO Trascendentes tempranas Cuarta edicinDennis G. ZillWarren S. Wright Loyola Marymount UniversityLoyola Marymount University Revisin tcnica:Marlene Aguilar balo Linda Margarita Medina HerreraInstituto Tecnolgico y de Estudios SuperioresInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey (ITESM),de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico Campus Ciudad de Mxico Crisanto Castillo CastilloSantiago Neira RosalesInstituto Tecnolgico y de Estudios SuperioresFacultad de Ingeniera Mecnicade Monterrey (ITESM),y Elctrica,Campus Cuernavaca, Mxico Universidad Autnoma de Nuevo Len, Mxico Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Fidel Castro LpezUniversidad Continental de Ciencias e Ingeniera,Escuela Superior de Ingeniera MecnicaHuancayo, Per y Elctrica (ESIME),John Alexander Prez Seplveda Instituto Politcnico Nacional, Mxico Universidad Nacional de Colombia,Roco Cerecero Lpez Medelln, ColombiaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores Jorge Augusto Prez Alczarde Monterrey (ITESM),Universidad Escuela de Administracin de Negocios,Campus Cuernavaca, MxicoUniversidad Sergio Arboleda y Escuela Colombiana de Ingeniera,Bogot, Colombia Ramn Espinosa ArmentaInstituto Tecnolgico Ignacio Ramrez VargasAutnomo de Mxico (ITAM) Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Eugenio L. Fautsch TapiaCampus Hidalgo, MxicoFacultad de Qumica, Hctor Jo Rosas Toledo Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM) Facultad de Ciencias, Jos Job Flores GodoyUniversidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM)Universidad Iberoamericana,Ramiro Saldaa AcostaCiudad de MxicoInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey (ITESM),Enrique Arturo Galvn Flores Campus Laguna, MxicoEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), Tonatihu Valdez Hernndez Instituto Politcnico Nacional, Mxico Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM)Joel Ibarra EscutiaPetr Zhevandrov Instituto Tecnolgico de Toluca, Facultad de Ingeniera, Universidad de la Sabana,Toluca, Mxico Bogot, Colombia MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORKSAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO 4. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd26/11/1022:42Pgina iv Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductores: Hugo Villagmez Velzquez y Gabriel Nagore Czares CLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS Cuarta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. Educacin DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn, C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 13: 978-607-15-0502-6 Translated from the 4th edition of: Calculus. Early transcendentals by Dennis G. Zill and Warren S. Wright. Copyright 2011 by Jones and Bartlett Learning, 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA 01776. All rights reserved. 978-0-7637-5995-7 12345678901098765432101 Impreso en ChinaPrinted in China 5. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd4/11/1009:51Pgina v PrefacioPara el instructorFilosofaLa cuarta edicin de Clculo: trascendentes tempranas constituye una revisin sustancial de laltima edicin. Aunque en esta edicin hay mucho material nuevo, he intentado preservar intac-to mi objetivo original de compilar un texto de clculo que no sea slo una coleccin de defini-ciones y teoremas, habilidades y frmulas para memorizar, as como problemas para resolver,sino un libro que se comunique con sus lectores ms importantes: los estudiantes. Deseo queestos cambios hagan ms relevante e interesante el texto tanto para el estudiante como para elprofesor.Caractersticas de esta edicinSecciones y ejercicios La mayor parte del material se ha actualizado y, en algunos casos, reor-ganizado. Muchas secciones y conjuntos de ejercicios se han reescrito por completo; asimismo,se les han agregado muchos problemas nuevos, en especial aplicaciones, problemas que requie-ren el uso de calculadora y computadora, problemas conceptuales y problemas de proyectos. Ensu mayora, las aplicaciones agregadas pertenecen al mbito de la vida real en el sentido deque se han investigado exhaustivamente usando fuentes originales. Tambin se han agregadoproblemas relacionados con la interpretacin de grficas. Adems, se ha hecho nfasis en las fun-ciones trigonomtricas tanto en los ejemplos como en los conjuntos de ejercicios a lo largo deltexto. En esta edicin hay ms de 7 300 problemas.Como ayuda en la asignacin de problemas, cada conjunto de ejercicios est dividido clara-mente en grupos de problemas identificados con ttulos como Fundamentos, Aplicaciones, Mode-los matemticos, Proyectos, Problemas con calculadora/SAC, etctera. Creo que la mayora delos ttulos son autosuficientes, de modo que los problemas que aparecen bajo el encabezado Pien-se en ello tratan aspectos conceptuales del material cubierto en esa seccin y son idneos comotareas o para discutir en clase. En el texto no se proporciona respuesta alguna para estos proble-mas. Algunos estn identificados como Clsicos matemticos y reflejan el hecho de que hanexistido durante largo tiempo, aparecen en la mayor parte de los textos o presentan algn deta-lle interesante, mientras que otros problemas identificados como Un poco de historia muestranalgn aspecto histrico.El captulo 1 es un repaso de funciones, y siguiendo la moda prevaleciente actual, las fun-ciones se presentan desde los puntos de vista algebraico, grfico, numrico o verbal. De hecho,la ltima seccin del captulo 1 se titula De las palabras a las funciones. Debido a que muchosestudiantes invariablemente encontrarn dificultades para resolver problemas relacionados contasas y optimizacin aplicada, he incluido esta seccin a fin de proporcionar una visin previasobre cmo establecer, o construir, una funcin a partir de una descripcin verbal (donde se haeliminado el contexto del clculo). En efecto, muchos problemas en la seccin 1.7 vuelven a apa-recer en un contexto de clculo en la seccin 4.8.v 6. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina vi vi PrefacioEn este texto las ecuaciones diferenciales aparecen en dos captulos: 8 y 16. Las ecuaciones de primer orden se consideran en el captulo 8 para beneficio de aquellos estudiantes que encuen- tren sus aplicaciones en cursos de fsica e ingeniera. En el captulo 16 se consideran la solucin y las aplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden superior. Por supuesto, los captulos 8 y 16 pueden combinarse y cubrirse como una unidad en cualquier punto del curso, una vez que se haya concluido el captulo 4. En el apndice se proporcionan demostraciones de algunos de los teoremas ms largos. Al final de las secciones correspondientes aparecen esbozos biogrficos de algunos matemticos que han impactado de manera importante el desarrollo del clculo bajo la rbrica de Posdata: Un poco de historia. Caractersticas especiales Cada captulo empieza con su propia tabla de contenido y una intro- duccin al material referido en ese captulo. En la parte final del libro, despus del apndice, el lector encontrar la seccin Frmulas matemticas, que constituye una revisin compacta de conceptos bsicos de lgebra, geometra, trigonometra y clculo: las leyes de los exponentes, frmulas de factorizacin, desarrollos binomiales, tringulo de Pascal, frmulas de geometra, grficas y funciones, funciones trigonomtricas, funciones exponenciales y logartmicas, y fr- mulas de diferenciacin e integracin.La seccin denominada Autoevaluacin, que fue introducida en la ltima edicin, consta de 56 reactivos sobre cuatro amplias reas de preclculo en matemticas. Esta evaluacin intenta alentar a los estudiantes a revisar por s mismos algunos de los temas de prerrequisito esenciales, como valores absolutos, plano cartesiano, ecuaciones de rectas, crculos, etc., que se aplican a lo largo del texto. En la seccin de respuestas se proporcionan las soluciones a todos estos reactivos.Los usuarios de las tres ediciones previas han sido muy receptivos a las Observaciones con las que a menudo termina una seccin. En consecuencia, el nmero de stas ha aumentado y se les ha denominado Notas desde el aula. Se pretende que estas notas sean anlisis informales diri- gidos directamente al estudiante. Estos anlisis varan desde advertencias sobre errores algebrai- cos, de procedimiento y de notacin comunes, pasando por la interpretacin errnea de teoremas y consejos, hasta preguntas que piden al estudiante pensar en el tema y ampliar las ideas recin presentadas.Tambin, a solicitud de los usuarios, se ha incrementado el nmero de notas al margen y anotaciones de orientacin en los ejemplos. Figuras, definiciones, teoremas Debido a la gran cantidad de figuras, definiciones y teoremas que hay en este texto, he cambiado a un sistema de numeracin doble decimal. Por ejemplo, la interpretacin de figura 1.2.3 es Captulo Seccin del captulo 1 TT1.2.3 d Tercera figura de la seccin 1.2 Considero que este tipo de numeracin facilita encontrar, por ejemplo, un teorema o una figura a la que se hace referencia en una seccin o en un captulo posterior. Adems, para relacionar mejor una figura con el texto, la primera referencia textual a cada figura aparece con el mismo estilo y color de letra que el nmero de la figura. Por ejemplo, la primera referencia a la prime- ra figura en la seccin 7.5 se proporciona como FIGURA 7.5.1, y todas las referencias subsecuentes se escriben en el estilo tradicional de la figura 7.5.1. Tambin, en esta edicin cada figura en el texto presenta un breve subttulo explicatorio. Materiales de apoyo Esta obra cuenta con interesantes complementos para fortalecer los procesos de enseanza-apren- dizaje y su evaluacin, y se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin respecto de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. Para el estudiante Usted se ha matriculado en uno de los cursos ms interesantes de matemticas. Hace muchos aos, cuando yo era estudiante de Clculo I, me sorprendieron el poder y la belleza del material. Era distinto de cualquier tipo de matemticas que hubiera estudiado hasta ese momento. Era 7. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd4/11/10 09:51 Pgina viiPrefacio viidivertido, emocionante y constitua un desafo. Despus de ensear matemticas universitariaspor muchos aos, he conocido infinidad de tipos de estudiante, desde el genio incipiente queinvent su propio clculo hasta estudiantes que luchaban por dominar la mecnica ms elemen-tal del tema. A lo largo de estos aos tambin he sido testigo de un fenmeno triste: algunos estu-diantes fracasan en clculo no porque encuentren que el tema es imposible, sino porque tienenhabilidades deficientes de lgebra y un conocimiento inadecuado del trabajo en trigonometra.El clculo construye de inmediato sobre su conocimiento y habilidades previos, donde haymucho terreno nuevo por cubrir. En consecuencia, hay muy poco tiempo para repasar las basesen el planteamiento formal del aula. As, quienes enseamos clculo debemos asumir que ustedpuede factorizar, simplificar y resolver ecuaciones, resolver desigualdades, manejar valoresabsolutos, usar una calculadora, aplicar las leyes de los exponentes, encontrar ecuaciones de rec-tas, graficar puntos, trazar grficas elementales y aplicar importantes identidades logartmicas ytrigonomtricas, la habilidad de hacer lgebra y trigonometra, trabajar con exponentes y loga-ritmos, as como trazar a mano, con rapidez y precisin, grficas bsicas que son claves paratener xito en un curso de clculo. En la pgina xvii encontrar la seccin Autoevaluacin, que contiene 56 preguntas. Estaprueba es una oportunidad para que usted verifique sus conocimientos acerca de algunos temasque se tratan en este texto. Reljese, tome su tiempo, lea y trabaje cada pregunta, y luego compa-re sus respuestas con las que se proporcionan en la pgina RES-1. Sin tomar en cuenta su califi-cacin, lo alentamos a que revise material de preclculo en algn texto acerca de la materia. Unas palabras para los estudiantes que han cursado clculo en preparatoria: por favor, noasuman que pueden lograrlo con un esfuerzo mnimo porque identifican algunos de los temas enclculo diferencial e integral. Un sentimiento de familiaridad con el tema combinado con unaactitud de complacencia a menudo es la razn del fracaso de algunos estudiantes. Aprender matemticas no es como aprender a andar en bicicleta: en que una vez que seaprende, la habilidad permanece para siempre. Las matemticas son ms como aprender otroidioma o tocar un instrumento musical: requiere tiempo, esfuerzo y mucha prctica para desarro-llar y mantener la habilidad. Aun los msicos experimentados continan practicando escalas fun-damentales. Por lo anterior, usted, el estudiante, slo puede aprender matemticas (es decir,hacer que se le pegue) mediante el trabajo arduo de hacer matemticas. Aunque he intentadohacer ms claros para el lector la mayora de los detalles en la solucin de un ejemplo, inevita-blemente usted tiene que completar los pasos faltantes. No puede leer un texto de este tipo comosi fuese una novela; debe abrirse camino a lo largo de l con lpiz y papel en mano. En conclusin, le deseo la mejor de las suertes en este curso.AgradecimientosCompilar un libro de texto de esta complejidad es una tarea monumental. Adems de los auto-res, mucha gente invirti tiempo y energa en el proyecto. En primer lugar, me gustara expresarmi aprecio para los equipos editorial, de produccin y mercadotecnia de Jones y Bartlett, y a lossiguientes revisores de esta edicin y las ediciones previas, quienes contribuyeron con numero-sas sugerencias, crticas vlidas e incluso ocasionalmente con algunas palabras de apoyo:Scott Wilde, Baylor University Joseph Egar, Cleveland State UniversitySalvatore Anastasio, SUNY, New Paltz Patrick J. Enright, Arapahoe Community CollegeThomas Bengston, Penn State University, Delaware CountyPeter Frisk, Rock Valley CollegeSteven Blasberg, West Valley College Shirley Goldman, University of California at DavisRobert Brooks, University of UtahJoan Golliday, Santa Fe Community CollegeDietrich Burbulla, University of Toronto David Green, Jr., GMI Engineering & Management InstituteDavid Burton, Chabot College Harvey Greenwald, California Polytechnic State UniversityMaurice Chabot, University of Southern Maine Walter Gruber, Mercy College of DetroitH. Edward Donley, Indiana University of Pennsylvania Dave Hallenbeck, University of DelawareJohn W. Dulin, GMI Engineering & Management InstituteNoel Harbetson, California State University at FresnoArthur Dull, Diablo Valley College Bernard Harvey, California State University, Long BeachHugh Easler, College of William and Mary Christopher E. Hee, Eastern Michigan UniversityJane Edgar, Brevard Community CollegeJean Holton, Tidewater Community College 8. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/1009:51Pgina viii viii Prefacio Rahim G. Karimpour, Southern Illinois University Susan Prazak, College of Charleston Martin Kotler, Pace University James J. Reynolds, Pennsylvania State University, Beaver Carlon A. Krantz, Kean College of New JerseyCampus George Kung, University of Wisconsin at Stevens PointSusan Richman, Penn State University, Harrisburg John C. Lawlor, University of VermontRodd Ross, University of Toronto Timothy Loughlin, New York Institute of Technology Donald E. Rossi, De Anza College Antonio Magliaro, Southern Connecticut Slate UniversityLillian Seese, St. Louis Community College at Meramec Walter Fred Martens, University of Alabama atDonald Sherbert, University of IllinoisBirminghamNedra Shunk, Santa Clara University William E. Mastrocola, Colgate UniversityPhil R. Smith, American River College Jill McKenney, Lane Community CollegeJoseph Stemple, CUNY Queens College Edward T. Migliore, Monterey Peninsula College Margaret Suchow, Adirondack Community College Carolyn Narasimhan, DePaul UniversityJohn Suvak, Memorial University of Newfoundland Harold Olson, Diablo Valley CollegeGeorge Szoke, University of Akron Gene Ortner, Michigan Technological University Hubert Walczak, College of St. Thomas Aubrey Owen, Community College of Denver Richard Werner, Santa Rosa Junior College Marvin C. Papenfuss, Loras College Loyd V. Wilcox, Golden West College Don Poulson, Mesa Community CollegeJack Wilson, University of North Carolina, AshevilleTambin me gustara extender un agradecimiento extraespecial para las siguientes personas: Jeff Dodd, Jacksonville State University, por el proyecto del problema 37 de los ejerci- cios 8.3. John David Dionisio, Loyola Marymount University, y Brian y Melanie Fulton, High Point University, por proporcionar las soluciones de problemas y ejercicios. Roger Cooke, University of Vermont, y Fred S. Roberts, Rutgers University, por haber dedicado tiempo de sus ocupados programas y contribuido con los excelentes ensayos de clculo. Carol Wright, por su ayuda en las etapas finales de preparacin del manuscrito de ste y otros textos. David Pallai, distribuidor, y Tim Anderson, editor, por soportar toda la liberacin verbal de mis frustraciones. Jennifer Bagdigian, gerente de produccin, por coordinar amablemente las fases de pro- duccin y por su paciencia para aguantar mis cambios de carcter sin fin, y a Irving Drooyan y Charles Carico, por iniciar todo.Incluso con toda la ayuda mencionada, la precisin de cada letra, palabra, smbolo, ecuacin yfigura contenidos en este producto final es responsabilidad del autor. Estar muy agradecido decontar con el aviso de cualquier error o errores tipogrficos que llamen la atencin. Las correc-ciones pueden enviarse a pablo_roig@mcgraw-hill.comEn conclusin, doy la bienvenida a Warren Scott Wright, mi colega desde hace mucho tiempo enLoyola Marymount University, y autor de muchos de los suplementos que acompaan mis tex-tos, como coautor de este texto.Dennis G. ZillWarren S. Wright 9. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina ixContenido Prefacio v Autoevaluacin xvii Ensayo: La historia del clculo xxi1 Funciones 11.1Funciones y grficas 21.2Combinacin de funciones101.3Funciones polinomiales y racionales 201.4Funciones trascendentes 301.5Funciones inversas 371.6Funciones exponencial y logartmica 481.7De las palabras a las funciones 55 Revisin del captulo 1 612 Lmite de una funcin 672.1Lmites: un enfoque informal 682.2Teoremas sobre lmites 742.3Continuidad 812.4Lmites trigonomtricos 882.5Lmites que involucran el infinito 942.6Lmites: un enfoque formal 1032.7El problema de la recta tangente 110 Revisin del captulo 2 118ix 10. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina x x Contenido3 La derivada 1213.1La derivada 1223.2Reglas de potencias y sumas 1303.3Reglas de productos y cocientes 1383.4Funciones trigonomtricas 1443.5Regla de la cadena 1493.6Diferenciacin implcita 1563.7Derivadas de funciones inversas 1623.8Funciones exponenciales1673.9Funciones logartmicas 1723.10 Funciones hiperblicas 178 Revisin del captulo 3 1864 Aplicaciones de la derivada 1914.1Movimiento rectilneo 1924.2Razones de cambio relacionadas 1964.3Extremos de funciones 2044.4Teorema del valor medio 2104.5Otro repaso a los lmites: regla de LHpital 2164.6Grficas y la primera derivada 2244.7Grficas y la segunda derivada 2304.8Optimizacin 2354.9Linealizacin y diferenciales 2474.10 Mtodo de Newton 254 Revisin del captulo 4 2605 Integrales 2675.1La integral indefinida 2685.2Integracin por sustitucin u 2765.3El problema de rea 286 11. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xiContenido xi 5.4La integral definida 295 5.5Teorema fundamental del clculo 305Revisin del captulo 5 3166Aplicaciones de la integral 321 6.1Otro repaso al movimiento rectilneo 322 6.2Otro repaso al rea 325 6.3Volmenes de slidos: mtodo de rebanadas 333 6.4Volmenes de slidos: el mtodo de los cascarones 340 6.5Longitud de una grfica 345 6.6rea de una superficie de revolucin 348 6.7Valor medio (promedio) de una funcin 351 6.8Trabajo 355 6.9Presin y fuerza del fluido 362 6.10 Centros de masa y centroides 367Revisin del captulo 6 3737Tcnicas de integracin379 7.1Integracin: tres recursos 380 7.2Integracin por sustitucin 382 7.3Integracin por partes 386 7.4Potencias de funciones trigonomtricas 393 7.5Sustituciones trigonomtricas 399 7.6Fracciones parciales 406 7.7Integrales impropias 415 7.8Integracin aproximada 423Revisin del captulo 7 4338Ecuaciones diferenciales de primer orden 439 8.1Ecuaciones separables 440 12. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xii xii Contenido8.2Ecuaciones lineales 4458.3Modelos matemticos 4508.4Curvas solucin sin solucin 4598.5Mtodo de Euler 468 Revisin del captulo 8 4719 Sucesiones y series 4759.1Sucesiones 4769.2Sucesiones montonas 4859.3Series 4909.4Prueba de la integral 5019.5Pruebas de comparacin 5049.6Pruebas de las proporciones y de la raz 5099.7Series alternantes 5129.8Series de potencias 5199.9Representacin de funciones mediante series de potencias 5239.10 Serie de Taylor 5299.11 Serie del binomio 540 Revisin del captulo 9 544 10 Cnicas y coordenadas polares 54710.1 Secciones cnicas 54810.2 Ecuaciones paramtricas 56010.3 Clculo y ecuaciones paramtricas 56810.4 Sistema de coordenadas polares 57310.5 Grficas de ecuaciones polares 57610.6 Clculo en coordenadas polares 58510.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 592 Revisin del captulo 10 597 13. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xiii Contenido xiii 11Vectores y espacio tridimensional 601 11.1 Vectores en el espacio bidimensional 602 11.2 Espacio tridimensional y vectores 608 11.3 Producto punto 614 11.4 Producto cruz 622 11.5 Rectas en el espacio tridimensional 629 11.6 Planos 634 11.7 Cilindros y esferas 640 11.8 Superficies cudricas 643Revisin del captulo 11 650 12Funciones de valores vectoriales 655 12.1 Funciones vectoriales 656 12.2 Clculo de funciones vectoriales 661 12.3 Movimiento sobre una curva 668 12.4 Curvatura y aceleracin 673Revisin del captulo 12 679 13Derivadas parciales 681 13.1 Funciones de varias variables 682 13.2 Lmites y continuidad 688 13.3 Derivadas parciales 695 13.4 Linealizacin y diferenciales 703 13.5 Regla de la cadena 711 13.6 Derivada direccional 718 13.7 Planos tangentes y rectas normales 724 13.8 Extremos de funciones multivariables 728 13.9 Mtodo de mnimos cuadrados 735 13.10 Multiplicadores de Lagrange 737Revisin del captulo 13 744 14. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xiv xiv Contenido14Integrales mltiples 74914.1 La integral doble 75014.2 Integrales iteradas 75314.3 Evaluacin de integrales dobles 75714.4 Centro de masa y momentos 76414.5 Integrales dobles en coordenadas polares 76814.6 rea de la superficie 77314.7 La integral triple 77614.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 78314.9 Cambio de variables en integrales mltiples 790 Revisin del captulo 14 79615Clculo integral vectorial 80115.1 Integrales de lnea 80215.2 Integrales de lnea de campos vectoriales 80815.3 Independencia de la trayectoria 81515.4 Teorema de Green 82415.5 Superficies paramtricas y reas 83015.6 Integrales de superficie 83915.7 Rotacional y divergencia 84515.8 Teorema de Stokes 85115.9 Teorema de la divergencia 856 Revisin del captulo 15 86316Ecuaciones diferencialesde orden superior 86716.1 Ecuaciones exactas de primer orden 86816.2 Ecuaciones lineales homogneas87216.3 Ecuaciones lineales no homogneas87816.4 Modelos matemticos 883 15. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xvContenido xv16.5 Soluciones en series de potencias 891 Revisin del captulo 16 895 Apndice AP-1 Demostraciones de teoremas seleccionados AP-1 Frmulas matemticas FM-1 Repaso de lgebra FM-1 Frmulas de geometra FM-2 Grficas y funciones FM-4 Revisin de trigonometra FM-5 Funciones exponencial y logartmica FM-7 Diferenciacin FM-8 Frmulas de integracin FM-9 Respuestas de la autoevaluacin RES-1 Respuestas de los problemas impares seleccionados RES-2 ndice analtico ND-1 Crditos de fotografas C-1 16. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xvi 17. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/1009:52 Pgina xviiAutoevaluacinLas respuestas a todas las preguntas estn en la pgina RES-1. 1. (Falso/verdadero) 2a2 b2 a b. __________Como preparacin para el clculo Matemticas bsicas 2. (Falso/verdadero) Para a 7 0, (a4>3)3>4 a. __________1 3. (Falso/verdadero) Para x 0, x3>2 2>3 . __________ x 2n1 4. (Falso/verdadero) n n . __________ 4 2 5. (Llene el espacio en blanco) En el desarrollo de (1 - 2x)3, el coeficiente de x2 es __________. 6. Sin usar calculadora, evale (27)5>3. 7. Escriba lo siguiente como una expresin sin exponentes negativos:1 x 2 (x 2 4)1>22x 2x2x 2 4. d) x 1x 1 12 8. Complete el trinomio cuadrado: 2x2 + 6x + 5. 9. Resuelva las ecuaciones:11a) x 2 7xb) x 2 2x 5 c) 0 2x 1x10. Factorice completamente:a) 10x 2 13x 3b) x 4 2x 3 15x 2c) x 3 27d) x 4 1612. (Falso/verdadero) 2(9)2 9. __________ Nmeros reales11. (Falso/verdadero) Si a 6 b, entonces a2 6 b2. __________a13. (Falso/verdadero) Si a 6 0, entonces6 0. __________ a14. (Llene el espacio en blanco) Si 03x 0 18, entonces x = __________ o x = _______.15. (Llene el espacio en blanco) Si a 5 es un nmero negativo, entonces a 5 __________. e) 116f ) 1216. Cules de los siguientes nmeros son racionales?a) 0.25b) 8.131313 p c) p15 1322d)12 7 1g) 0 h) 9 i) 1 2 2j) k)l)2 1117. Relacione el intervalo dado con la desigualdad idnea.i) (2, 4]ii) [2, 4)iii) (2, 4)iv) [2, 4]a) 0x 3 0 6 1 b) 0x 3 0 1c) 0 x 2 6 2d) 1 6 x 1 318. Exprese el intervalo (-2, 2) comoa) una desigualdad y b) una desigualdad que implique valores absolutos.19. Trace la grfica de ( q , 1] [3, q ) en la recta numrica.xvii 18. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52Pgina xviii xviii Autoevaluacin 20. Encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la desigualdad 0 3x 1 0 7 7. Escriba su solucin usando notacin de intervalos. 21. Resuelva la desigualdad x 2 2x 15 y escriba su solucin usando notacin de intervalos.6 22. Resuelva la desigualdad x 3 y escriba su solucin usando notacin de intervalos.x2 Plano cartesiano 23. (Llene el espacio en blanco) Si (a, b) es un punto en el tercer cuadrante, entonces (-a, b) es un punto en el __________ cuadrante. 24. (Llene el espacio en blanco) El punto medio del segmento de recta desde P1(2, -5) hasta P2(8, -9) es __________. 25. (Llene el espacio en blanco) Si (-2, 6) es el punto medio del segmento de recta desde P1(x1, 3) hasta P2(8, y2), entonces x1 =__________ y y2 = __________. 26. (Llene los espacios en blanco) El punto (1, 5) est en una grfica. Proporcione las coorde- nadas de otro punto de la grfica si la grfica es: a) simtrica con respecto al eje x. __________ b) simtrica con respecto al eje y. __________ c) simtrica con respecto al origen. __________ 27. (Llene los espacios en blanco) Las intersecciones x y y de la grfica de 0y 0 2x 4 son, punto a (1, 3) es 126. respectivamente, __________ y __________. 28. En cules cuadrantes del plano cartesiano es negativo el cociente xy? 29. La coordenada y de un punto es 2. Encuentre la coordenada x del punto si la distancia del 30. Encuentre una ecuacin del crculo para el cual (-3, -4) y (3, 4) son los puntos extremos de un dimetro. 31. Si los puntos P1, P2 y P3 son colineales como se muestra en la FIGURA A.1, encuentre una ecuacin que relacione las distancias d(P1, P2), d(P2, P3), y d(P1, P3).P3 P2 P1 FIGURA A.1 Grfica para el problema 31 y 32. Cul de las siguientes ecuaciones describe mejor el crculo de la FIGURA A.2? Los smbolos a, b, c, d y e representan constantes diferentes de cero. a) ax 2 by2 cx dy e 0 b) ax 2 ay2 cx dy e 0 c) ax 2 ay2 cx dy 0 d) ax 2 ay2 c 0 x e) ax 2 ay2 cx e 0 FIGURA A.2 Grfica para el problema 32Rectas 33. (Falso/verdadero) Las rectas 2x + 3y = 5 y -2x + 3y = 1 son perpendiculares. __________ 34. (Llene el espacio en blanco) Las rectas 6x + 2y = 1 y kx 9y = 5 son paralelas si k = __________. 35. (Llene el espacio en blanco) Una recta con intercepcin x (- 4, 0) e interseccin y (0, 32) tiene pendiente __________. 36. (Llene los espacios en blanco) La pendiente y las intersecciones x y y de la recta 2x - 3y + 18 = 0 son, respectivamente, __________, __________, y __________. 37. (Llene el espacio en blanco) Una ecuacin de la recta con pendiente -5 e interseccin y (0, 3) es __________. 38. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (3, -8) y es paralela a la recta 2x - y = -7. 19. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd4/11/1009:52 Pgina xix Autoevaluacin xix39. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-3, 4) y (6, 1).40. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto de interseccin delas grficas de x + y = 1 y 2x - y = 7.41. Una recta tangente a un crculo en un punto P del crculo es una recta que pasa por P y esperpendicular a la recta que pasa por P y el centro del crculo. Encuentre la ecuacin de larecta tangente L indicada en la FIGURA A.3.(x 3)2 (y 4)2 4 yLPx4 FIGURA A.3 Grfica para el problema 4142. Relacione la ecuacin dada con la grfica idnea en la FIGURA A.4.i) xy10 ii)xy0iii) x 1 0iv) y 1 0v) 10x y 10 0 vi) 10x y 10 0vii) x 10y 10 0viii) x 10y 10 0a)yb) y c) y22 2x xx2 22d)ye) y f) y22 2x xx2 22g)yh) y22x x2 2FIGURA A.4 Grficas para el problema 42 Trigonometra43. (Falso/verdadero) 1 sec 2 u tan 2 u. __________44. (Falso/verdadero) sen(2t) = 2 sen t. __________45. (Llene el espacio en blanco) El ngulo 240 grados es equivalente a ___________ radianes.46. (Llene el espacio en blanco) El ngulo p>12 radianes es equivalente a ___________ grados.47. (Llene el espacio en blanco) Si tan t = 0.23, tan (t p) __________.48. Encuentre cos t si sen t = 1 y el lado terminal del ngulo t est en el segundo cuadrante. 349. Encuentre los valores de las seis funciones trigonomtricas del ngulo u dado en la FIGURA A.5.5 34FIGURA A.5 Tringulopara el problema 49 20. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xx xx Autoevaluacin 50. Exprese las longitudes b y c de la FIGURA A.6 en trminos del ngulo u.c b 10FIGURA A.6 Tringulopara el problema 50 Logaritmos 51. Exprese el smbolo k en la declaracin exponencial e(0.1)k 5 como un logaritmo. 52. Exprese la declaracin logartmica log64 4 = 1 como una declaracin exponencial equivalente.3 53. Exprese log b 5 3 log b 10 log b 40 como un logaritmo simple.log 10 13 54. Use una calculadora para evaluar . log 10 3 55. (Llene el espacio en blanco) b3logb10 __________. 56. (Falso/verdadero) (log b x)(log b y) log b(ylog b x). __________ 21. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd4/11/10 09:52 Pgina xxi EnsayoLa historia del clculoPor Roger CookeUniversity of VermontSuele considerarse que el clculo es una creacin de los matemticos europeos del siglo XVII,cuyo trabajo ms importante fue realizado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1711). Esta percepcin tradicional en general es correcta. No obstante, cualquierteora a gran escala es un mosaico cuyas baldosas fueron colocadas a lo largo de mucho tiempo;y en cualquier teora viviente las baldosas continan colocndose de manera continua. La decla-racin ms poderosa que los historiadores se arriesgan a hacer es que un patrn se hizo eviden- Isaac Newtonte en cierto momento y lugar. Es el caso del clculo. Podemos afirmar con cierta confianza quelos primeros trabajos del tema aparecieron en el siglo XVII y que el patrn se aclar mucho msgracias al trabajo de Newton y Leibniz. Sin embargo, muchos de los principios esenciales delclculo se descubrieron desde mucho antes, en la poca de Arqumedes (287-211 a.C.), y algu-nos de esos mismos descubrimientos se lograron de manera independiente en China y en Japn.Adems, si se escudria con ms profundidad en los problemas y mtodos del clculo, uno pron-to se encuentra en la persecucin de problemas que conducen a las reas modernas de la teorade funciones analticas, geometra diferencial y funciones de una variable real. Para cambiar lametfora del arte al transporte, podemos pensar que el clculo es una gran estacin de ferroca-rril, donde los pasajeros que llegan de muchos sitios diferentes estn juntos durante un tiempobreve antes de embarcarse hacia destinos diversos. En este ensayo tratamos de mirar en ambasdirecciones desde esta estacin, hacia los puntos de origen y los destinos. Empecemos con ladescripcin de la estacin. Gottfried LeibnizQu es el clculo? El clculo suele dividirse en dos partes, denominadas clculo diferencialy clculo integral. El clculo diferencial investiga las propiedades de las razones de cambio com-parativas de variables que estn vinculadas por medio de ecuaciones. Por ejemplo, un resultadofundamental del clculo diferencial es que si y = xn, entonces la razn de cambio de y con res-pecto a x es nxn-1. Resulta que cuando se usa la intuicin para pensar en ciertos fenmenosmovimiento de los cuerpos, cambios en la temperatura, crecimiento de poblaciones y muchosotros, se llega a postular ciertas relaciones entre estas variables y sus razones de cambio. Estasrelaciones se escriben en una forma conocida como ecuaciones diferenciales. As, el objetivoprincipal de estudiar clculo diferencial consiste en comprender qu son las razones de cambioy cmo escribir ecuaciones diferenciales. El clculo integral proporciona mtodos para recupe-rar las variables originales conociendo sus razones de cambio. La tcnica para hacer esto sedenomina integracin, y el objetivo fundamental del estudio del clculo integral es aprender aresolver las ecuaciones diferenciales proporcionadas por el clculo diferencial. A menudo estos objetivos estn encubiertos en libros de clculo, donde el clculo diferen-cial se utiliza para encontrar los valores mximo y mnimo de ciertas variables, y el clculo inte-gral se usa para calcular longitudes, reas y volmenes. Hay dos razones para recalcar estas apli-caciones en un libro de texto. Primero, la utilizacin completa del clculo usando ecuacionesdiferenciales implica una teora ms bien complicada que debe presentarse de manera gradual;entre tanto, al estudiante debe ensersele algn uso de las tcnicas que se proponen. Segundo,xxi 22. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxii xxii Ensayo estos problemas fueron la fuente de las ideas que condujeron al clculo; los usos que ahora hace- mos del tema slo se presentaron despus del descubrimiento de aqul. Al describir los problemas que llevaron al clculo y los problemas que pueden resolverse usando clculo, an no se han indicado las tcnicas fundamentales que hacen de esta disciplina una herramienta de anlisis mucho ms poderosa que el lgebra y la geometra. Estas tcnicas implican el uso de lo que alguna vez se denomin anlisis infinitesimal. Todas las construcciones y las frmulas de la geometra y el lgebra de preparatoria poseen un carcter finito. Por ejemplo, para construir la tangente de un crculo o para bisecar un ngulo se realiza un nmero finito de operaciones con regla y comps. Aunque Euclides saba considerablemente ms geometra que la que se ensea en cursos actuales modernos de preparatoria, l tambin se autoconfin esencial- mente a procesos finitos. Slo en el contexto limitado de la teora de las proporciones permiti la presencia de lo infinito en su geometra, y aun as est rodeado por tanto cuidado lgico que las demostraciones implicadas son extraordinariamente pesadas y difciles de leer. Lo mismo ocurre en lgebra: para resolver una ecuacin polinomial se lleva a cabo un nmero finito de operacio- nes de suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de raz. Cuando las ecuaciones pueden resolverse, la solucin se expresa como una frmula finita que implica coeficientes. Sin embargo, estas tcnicas finitas cuentan con un rango limitado de aplicabilidad. No es posible encontrar las reas de la mayora de las figuras curvas mediante un nmero finito de ope- raciones con regla y comps, y tampoco resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que cinco usando un nmero finito de operaciones algebraicas. Lo que se quera era escapar de las limitaciones de los mtodos finitos, y esto condujo a la creacin del clculo. Ahora considera- remos algunos de los primeros intentos por desarrollar tcnicas para manipular los problemas ms difciles de la geometra, luego de lo cual trataremos de resumir el proceso mediante el que se tra- baj el clculo, y finalmente exhibiremos algo de los frutos que ha producido. Las fuentes geomtricas del clculo Uno de los problemas ms antiguos en matemticas es la cuadratura del crculo; es decir, construir un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado. Como se sabe, este problema no puede resolverse con regla y comps. Sin embargo, Arqumedes descubri que si es posible trazar una espiral, empezando en el centro de un crculo que hace exactamente una revolucin antes de llegar al crculo, entonces la tangente a esa espiral, en su punto de interseccin con el crculo, forma la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuya rea es exactamente igual al crculo (vea la figura 1). Entonces, si es posible trazar esta espiral y su tan- gente, tambin lo es cuadrar el crculo. Arqumedes, no obstante, guard silencio sobre cmo podra trazarse esta tangente.Observamos que uno de los problemas clsicos en matemticas puede resolverse slo si es posible trazar cierta curva y su tangente. Este problema, y otros parecidos, originaron que el pro- blema puramente matemtico de encontrar la tangente a una curva se volviera importante. Este problema constituye la fuente ms importante del clculo diferencial. El truco infinitesimal Espiral Tangente Crculo FIGURA 1 La espiral de Arqumedes. La tangente al final de la primera vuelta de la espiral y los dos ejes forman un tringulo con rea igual a la del crculo centrado en el origen y que pasa por el punto de la tangente 23. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/1009:52Pgina xxiii Ensayo xxiiique permite la solucin del problema es considerar la tangente como la recta determinada pordos puntos en la curva infinitamente prximos entre s. Otra forma de decir lo mismo es queuna pieza infinitamente corta de la curva es recta. El problema es que resulta difcil ser preci-so sobre los significados de las frases infinitamente prximos e infinitamente cortos. Poco avance se logr en este problema hasta la invencin de la geometra analtica en elsiglo XVII por Pierre de Fermat (1601-1665) y Ren Descartes (1596-1650). Una vez que se pudorepresentar una curva por medio de una ecuacin, fue posible afirmar con ms confianza lo quese entenda por puntos infinitamente prximos, al menos para ecuaciones polinomiales comoy = x2. Con simbolismo algebraico para representar puntos en la curva, era posible considerardos puntos sobre la curva con coordenadas x0 y x1, de modo que x1 x0 es la distancia entre lascoordenadas x. Cuando la ecuacin de la curva se escriba en cada uno de estos puntos y una delas dos ecuaciones se restaba de la otra, un lado de la ecuacin resultante contena el factor x1 x0, que entonces poda eliminarse por divisin. Por lo tanto, si y0 x 2 y y1 x 2, entonces01y1 y0 2 2y1 - y0 = x1 - x0 = (x1 - x0) = (x1 + x0), de modo que x1 x0. Cuando (x1 = x0),x1 x0 y1 y0se concluye que (y1 = y0), y la expresincarece de sentido. Sin embargo, la expresin x1 x0x1 + x0 tiene el valor perfectamente definido 2x0. Entonces, es posible considerar a 2x0 como larazn de la diferencia infinitamente pequea en y; es decir, y1 - y0 a la diferencia infinitamentepequea en x; es decir, x1 - x0, cuando el punto (x1, y1) est infinitamente cerca del punto (y1,y0) sobre la curva y = x2. Como aprender al estudiar clculo, esta razn proporciona suficienteinformacin para trazar la recta tangente a la curva y = x2. Excepto por pequeos cambios en la notacin, el razonamiento anterior es exactamente laforma en que Fermat encontr la tangente a una parbola. Sin embargo, estaba abierta a unaobjecin lgica: en un momento, ambos lados de la ecuacin se dividen entre x1 - x0, entoncesen un paso posterior decidimos que x1 - x0 = 0. Puesto que la divisin entre cero es una opera-cin ilegal, parece que estamos tratando de comernos nuestro pastel y no hacerlo; es decir, no sepueden hacer ambas cosas. Tuvo que pasar algn tiempo para responder de manera convincentea esta objecin. Hemos visto que Arqumedes no pudo resolver el problema fundamental del clculo dife-rencial: trazar la tangente a una curva. Sin embargo, Arqumedes pudo resolver algunos de losproblemas fundamentales del clculo integral. De hecho, encontr el volumen de una esferamediante un sistema extremadamente ingenioso: consider un cilindro que contena un cono yuna esfera e imagin cortar esta figura en una infinidad de rebanadas delgadas. Al suponer lasreas de estas secciones del cono, la esfera y el cilindro, pudo demostrar cmo el cilindro equi-librara al cono y a la esfera si las figuras se colocan en los platos opuestos de una balanza. Esteequilibrio proporcion una relacin entre las figuras, y como Arqumedes ya conoca los vol-menes del cono y del cilindro, entonces pudo calcular el volumen de la esfera. Este razonamiento ilustra la segunda tcnica infinitesimal que se encuentra en los funda-mentos del clculo: un volumen puede considerarse como una pila de figuras planas, y un reapuede considerarse como una pila de segmentos de rectas, en el sentido de que si cada seccinhorizontal de una regin es igual a la misma seccin horizontal de otra regin, entonces las dosregiones son iguales. Durante el Renacimiento europeo este principio se volvi de uso muycomn bajo el nombre de mtodo de los indivisibles para encontrar las reas y los volmenes demuchas figuras. Hoy en da se denomina principio de Cavalieri en honor de BonaventuraCavalieri (1598-1647), quien lo us para demostrar muchas de las frmulas elementales queahora forman parte del clculo integral. El principio de Cavalieri tambin fue descubierto enotras tierras donde jams lleg la obra de Euclides. Por ejemplo, los matemticos chinos delsiglo V Zu Chongzhi y su hijo Zu Geng hallaron el volumen de una esfera usando una tcnicabastante parecida al mtodo de Arqumedes. As, encontramos matemticos que anticiparon el clculo integral usando mtodos infinite-simales para encontrar reas y volmenes en una etapa muy temprana de la geometra, tanto enla Grecia como la China antiguas. As ocurre con el mtodo infinitesimal para trazar tangentes;no obstante, este mtodo para encontrar reas y volmenes estaba sujeto a objeciones. Por ejem-plo, el volumen de cada seccin plana de una figura es cero; cmo es posible reunir una colec-cin de ceros para obtener algo que no es cero? Adems, por qu el mtodo no funciona en unadimensin? Considere las secciones de un tringulo rectngulo paralelas a uno de sus catetos. 24. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxiv xxiv Ensayo Cada seccin corta a la hipotenusa y al otro cateto en figuras congruentes; a saber, en un punto a cada uno. Sin embargo, la hipotenusa y el otro cateto no miden lo mismo. Objeciones como sta eran preocupantes. Los resultados obtenidos con estos mtodos fueron espectaculares. No obstante, los matemticos prefirieron aceptarlos como un acto de fe, seguir usndolos e intentar construir sus fundamentos ms tarde, justo como en un rbol cuando la raz y las ramas crecen al mismo tiempo. La invencin del clculo A mediados del siglo XVII se conocan muchas de las tcnicas y hechos elementales del clculo, incluso mtodos para encontrar las tangentes de curvas simples y frmulas de reas acotadas por estas curvas. En otras palabras, muchas de las frmulas que usted encontrar en los primeros captulos de cualquier libro de texto de clculo ya eran conoci- das antes de que Newton y Leibniz iniciaran su obra. Lo que faltaba hasta fines del siglo XVII era tomar conciencia de que estos dos tipos de problemas estn relacionados entre s.Para ver cmo se descubri la relacin, es necesario abundar ms en las tangentes. Ya men- cionamos que para trazar una tangente a una curva en un punto dado se requiere saber cmo encontrar un segundo punto en la recta. En la etapa inicial de la geometra analtica este segun- do punto sola tomarse como el punto en que la tangente corta al eje x. La proyeccin sobre el eje x de la porcin de la tangente entre el punto de tangencia y la interseccin con el eje x se denominaba subtangente. En el estudio de las tangentes surgi un problema muy natural: recons- truir una curva, dada la longitud de su subtangente en cualquier punto. Por medio del estudio de este problema fue posible percibir que las ordenadas de cualquier curva son proporcionales al rea bajo una segunda curva cuyas ordenadas son las longitudes de las subtangentes a la curva original. El resultado es el teorema fundamental del clculo. El honor de haber reconocido de manera explcita esta relacin pertenece a Isaac Barrow (1630-1677), quien lo indic en un libro denominado Lectiones Geometricae en 1670. Barrow plante varios teoremas semejantes al teo- rema fundamental del clculo. Uno de ellos es el siguiente: Si se traza una curva de modo que la razn de su ordenada a su subtangente [esta razn es precisamente lo que ahora se denomi- na derivada] es proporcional a la ordenada de una segunda curva, entonces el rea bajo la segunda curva es proporcional a la ordenada de la primera.Estas relaciones proporcionaron un principio unificado para el gran nmero de resultados particulares sobre tangentes y reas que se haban encontrado con el mtodo de indivisibles a principios del siglo XVII: para encontrar el rea bajo una curva haba que hallar una segunda curva para la cual la razn de la ordenada a la subtangente sea igual a la ordenada de la curva dada. As, la ordenada de esa segunda curva proporciona el rea bajo la primera curva.En este punto el clculo estaba preparado para surgir. Slo requera de alguien que pro- porcionara mtodos sistemticos para el clculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e in- vertiera ese proceso para encontrar reas. Es el trabajo realizado por Newton y Leibniz. Estos dos gigantes de la creatividad matemtica siguieron senderos bastante distintos en sus descubri- mientos.El mtodo de Newton era algebraico y desarroll el problema de encontrar un mtodo efi- ciente para extraer las races de un nmero. Aunque apenas empez a estudiar lgebra en 1662, ya alrededor de 1665 las reflexiones de Newton sobre el problema de extraer races lo conduje- ron al descubrimiento de la serie infinita que actualmente se denomina teorema del binomio; es decir, la relacin r(r 1) 2 r(r 1)(r 2) 3(1 x)r 1 rx x r p 21.2.3 Al combinar el teorema del binomio con tcnicas infinitesimales, Newton pudo deducir las frmulas bsicas del clculo diferencial e integral. Crucial en el enfoque de Newton fue el uso de series infinitas para expresar las variables en cuestin, y el problema fundamental que Newton no resolvi fue establecer que tales series podan manipularse justo como sumas finitas. Por tanto, en un sentido Newton llev al infinito desde una entrada a su madriguera slo para encon- trar que una cara estaba frente a la otra.A partir de la consideracin de las variables como cantidades fsicas que cambian su valor con el tiempo, Newton invent nombres para las variables y sus razones de cambio que refleja- ban esta intuicin. Segn Newton, un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; su fluxin (x) es su razn de flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada. Newton expuso 25. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52Pgina xxv Ensayo xxvsus resultados en 1671 en un tratado denominado Fluxions escrito en latn, pero su obra no fuepublicada sino hasta que apareci una versin en ingls en 1736. (La versin original en latnfue publicada por primera vez en 1742.) A pesar de la notacin y de sus razonamientos que parecen insuficientes y rudimentarios hoyen da, el tremendo poder del clculo brilla a travs del mtodo de las fluxiones de Newton en lasolucin de problemas tan difciles como encontrar la longitud de arco de una curva. Se pensa-ba que esta rectificacin de una curva era imposible, pero Newton demostr que era posibleencontrar un nmero finito de curvas cuya longitud poda expresarse en trminos finitos. El mtodo de Newton para el clculo era algebraico, como hemos visto, y hered el teore-ma fundamental de Barrow. Por otro lado, Leibniz trabaj el resultado fundamental desde 1670,y su enfoque era diferente al de Newton. Se considera a Leibniz como el pionero de la lgicasimblica, y su opinin acerca de la importancia de la buena notacin simblica era muchomejor que la de Newton. Invent la notacin dx y dy que sigue en uso. Para l, dx era una abre-viacin de diferencia en x, y representaba la diferencia entre dos valores infinitamente prxi-mos de x. En otras palabras, expresaba exactamente lo que tenamos en mente hace poco cuan-do consideramos el cambio infinitamente pequeo x1 x0. Leibniz consideraba que dx era unnmero infinitesimal, diferente de cero, pero tan pequeo que ninguno de sus mltiplos podaexceder cualquier nmero ordinario. Al ser diferente de cero, poda servir como denominador enuna fraccin, y as dy/dx era el cociente de dos cantidades infinitamente pequeas. De esta formaesperaba superar las objeciones al nuevo mtodo establecido para encontrar tangentes. Leibniz tambin realiz una aportacin fundamental en la tcnica controvertida de encon-trar reas al sumar secciones. En lugar de considerar el rea [por ejemplo, el rea bajo una curvay = f (x)] como una coleccin de segmentos de recta, la consideraba como la suma de las reasde rectngulos infinitamente delgados de altura y = f (x) y base infinitesimal dx. Por tanto, ladiferencia entre el rea hasta el punto x + dx y el rea hasta el punto x era la diferencia infinite-simal en rea dA = f (x) dx, y el rea total se encontraba sumando estas diferencias infinitesima-les en rea. Leibniz invent la S alargada (el signo integral ) que hoy en da se usa universal-mente para expresar este proceso de suma. As expresaba el rea bajo la curva y = f (x) comoA = dA = f (x) dx, y cada parte de este smbolo expresaba una idea geomtrica simple y clara. Con la notacin de Leibniz, el teorema fundamental del clculo de Barrow simplementeindica que el par de ecuaciones A f(x) dx, dA f (x) dxson equivalentes. Debido a lo que acaba de plantearse, esta equivalencia es casi evidente. Tanto Newton como Leibniz lograron grandes avances en matemticas, y cada uno poseebastante crdito por ello. Resulta lamentable que la estrecha coincidencia de su obra haya con-ducido a una enconada discusin sobre la prioridad entre sus seguidores. Algunas partes del clculo, que implican series infinitas, fueron inventadas en India duran-te los siglos XIV y XV. Jyesthadeva, matemtico indio de fines del siglo XV, proporcion la serie sen u sen3 u sen 5 upR urQ cos u3 cos3 u 5 cos5 upara la longitud de un arco de crculo, demostr este resultado y de manera explcita plante que estaserie converge slo si u no es mayor que 45. Si se escribe u = arctan x y se usa el hecho de quesen u = tan u = x, esta serie se convierte en la serie normal para arctan x.cos u De modo independiente, otras series fueron desarrolladas en Japn casi al mismo tiempo queen Europa. El matemtico japons Katahiro Takebe (1664-1739) encontr un desarrollo en serieequivalente a la serie para el cuadrado de la funcin arcsen. l consider el cuadrado de la mitadd h 2de arco a la altura h en un crculo de dimetro d; esto result ser la funcin f (h) = Q arcsen R .2 dTakebe careca de notacin para el trmino general de una serie, aunque descubri patrones enlos coeficientes al calcular geomtricamente la funcin en el valor particular de h = 0.000001,d = 10 hasta un valor muy grande de cifras decimales ms de 50, y luego al usar esta pre-cisin extraordinaria para refinar la aproximacin al sumar sucesivamente trminos correctivos. 26. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxvi xxvi Ensayo Al proceder de esta manera pudo discernir un patrn en las aproximaciones sucesivas, a partir de lo cual, por extrapolacin, pudo plantear el trmino general de la serie:Q R d q22n1(n!)2 h n f (h) dh c 1 an1 (2n 2)! dDespus de Newton y de Leibniz quedaba el problema de dar contenido al esqueleto inven- tado por estos dos genios. La mayor parte de su obra fue completada por matemticos de la Europa continental, en especial por el crculo creado por los matemticos suizos James Bernoulli (1655-1705) y John Bernoulli (1667-1748), as como el estudiante de este ltimo, el marqus de LHpital (1661-1704). stos y otros matemticos trabajaron las conocidas frmulas para las derivadas e integrales de funciones elementales que an se encuentran en libros de texto actua- les. Las tcnicas esenciales de clculo eran conocidas a principios del siglo XVIII, y un libro de texto del siglo XVIII como la Introduccin al anlisis del infinito, de Euler (1748), en caso de haber estado traducida al espaol se vera bastante como un libro de texto moderno. El legado del clculo Una vez que hemos abordado las fuentes del clculo y el procedimiento con el que fue elaborado, a continuacin analizaremos brevemente los resultados que produjo.El clculo obtuvo una cantidad impresionante de triunfos en sus dos primeros siglos. Result que docenas de fenmenos fsicos previamente oscuros que implican calor, fluidez, mecnica celeste, elasticidad, luz, electricidad y magnetismo posean propiedades mensurables cuyas relaciones podan describirse como ecuaciones diferenciales. La fsica se comprometi para siempre en hablar el lenguaje del clculo.Sin embargo, de ninguna manera fueron resueltos todos los problemas surgidos de la fsica. Por ejemplo, no era posible encontrar, en trminos de funciones elementales conocidas, el rea bajo una curva cuya ecuacin implicaba la raz cuadrada de un polinomio cbico. Estas integra- les surgieron a menudo tanto en geometra como en fsica, y llegaron a conocerse como integra- les elpticas porque el problema de encontrar la longitud slo poda comprenderse cuando la variable real x se sustituye por una variable compleja z = x + iy. El replanteamiento del clculo en trminos de variables complejas condujo a mucho descubrimientos fascinantes, que termina- ron por ser codificados como una nueva rama de las matemticas denominada teora de funcio- nes analticas.La definicin idnea de integracin sigui siendo un problema durante algn tiempo. Como consecuencia del uso de procesos infinitesimales para encontrar reas y volmenes surgieron las integrales. Deba la integral definirse como una suma de diferencias infinitesimales o como la inversa de la diferenciacin? Qu funciones podan integrarse? En el siglo XIX se propusie- ron muchas definiciones de la integral, y la elaboracin de estas ideas llev al tema conocido actualmente como anlisis real.Mientras las aplicaciones del clculo han continuado cosechando cada vez ms triunfos en un flujo interminable durante los ltimos trescientos aos, sus fundamentos permanecieron en un estado insatisfactorio durante la primera mitad de este periodo. El origen de la dificultad era el significado que haba de asociarse a la dx de Leibniz. Qu era esta cantidad? Cmo poda no ser positiva ni cero? De ser cero, no poda usarse como denominador; de ser positiva, entonces las ecuaciones en que apareca no eran realmente ecuaciones. Leibniz consideraba que los infi- nitesimales eran entes verdaderos, que las reas y los volmenes podan sintetizarse al sumar sus secciones, como haban hecho Zu Chongzhi, Arqumedes y otros. Newton tena menos con- fianza acerca de la validez de los mtodos infinitesimales, e intent justificar sus razonamientos en formas que pudiesen cumplir las normas del rigor euclideano. En su Principia Mathematica escribi: Estos lemas tienen el cometido de evitar el tedio de deducir ad absurdum demostraciones impl- citas, segn el mtodo de los gemetras de la antigedad. Las demostraciones son ms breves segn el mtodo de indivisibles, pero debido a que la hiptesis de indivisibles parece ser algo ms dura y, en consecuencia, ese mtodo se acepta como menos geomtrico, en lugar de ello elijo reducir las demostraciones de las siguientes proposiciones a las sumas y razones primera y lti- ma de cantidades que desaparecen; es decir, a los lmites de estas sumas y razones... En conse- cuencia, si en lo sucesivo debo considerar que las cantidades estn formadas de partculas, o debo usar pocas lneas curvas por las [rectas] idneas, no debe interpretarse que estoy queriendo decir cantidades indivisibles, sino cantidades divisibles que desaparecen. . . 27. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52Pgina xxviiEnsayo xxvii. . . En cuanto a estas ltimas razones con las que desaparecen las cantidades, no son en verdadlas razones de cantidades ltimas, sino lmites hacia los cuales las razones de cantidades decre-cientes sin lmite siempre convergen; y a los que tienden de manera ms prxima que con cual-quier diferencia dada, aunque nunca van ms all, ni en el efecto alcanzado, hasta que las canti-dades disminuyen in infinitum. En este pasaje Newton afirma que la falta de rigor implicado en el uso de razonamientosinfinitesimales puede compensarse con el uso de lmites. Sin embargo, su planteamiento de esteconcepto en el pasaje citado no es tan claro como uno deseara. Esta falta de claridad condujo alfilsofo Berkeley a referirse desdeosamente a los fluxiones como fantasmas de cantidades.Sin embargo, los avances alcanzados en fsica usando clculo fueron tan sobresalientes quedurante ms de un siglo nadie se preocup en proporcionar el rigor al que aluda Newton (y losfsicos siguen sin preocuparse al respecto!). Una presentacin completamente rigurosa y siste-mtica del clculo lleg slo hasta el siglo XIX. Segn la obra de Augustin-Louis Cauchy (1789-1856) y Karl Weierstrass (1815-1896), lapercepcin era que los infinitesimales eran meramente de naturaleza heurstica y que los estu-diantes estaban sujetos a un riguroso enfoque epsilon-delta de los lmites. De manera sorpren-dente, en el siglo XX Abraham Robinson (1918-1974) demostr que es posible desarrollar unmodelo lgicamente consistente de los nmeros reales en el que hay infinitesimales verdaderos,como crea Leibniz. Sin embargo, parece que este nuevo enfoque, denominado anlisis noestndar, no ha sustituido a la presentacin tradicional actual del clculo.Ejercicios1. El tipo de espiral considerada por Arqumedes ahora se denomina as en su honor. Una espi- ral de Arqumedes es el lugar geomtrico de un punto que se mueve a velocidad constante a lo largo de un rayo que gira con velocidad angular constante alrededor de un punto fijo. Si la velocidad lineal a lo largo del rayo (la componente radial de su velocidad) es y, el punto est a una distancia yt del centro de rotacin (suponiendo que es donde empieza) en el instante t. Suponga que la velocidad angular de rotacin del rayo es v (radianes por uni- dad de tiempo). Dados un crculo de radio R y una velocidad radial de y, cul debe ser v para que la espiral llegue al crculo al final de su primera vuelta? Res. A 2py B REl punto tendr una velocidad circunferencial rv = yt v. Segn un principio enunciado en la Mecnica de Aristteles, la velocidad real de la partcula est dirigida a lo largo de la diagonal de un paralelogramo (en este caso un rectngulo) cuyos lados son las componen- tes. Use este principio para mostrar cmo construir la tangente a la espiral (que es la recta que contiene a la diagonal de este rectngulo). Compruebe que los lados de este rectngulo guardan la relacin 1 : 2p. Observe la figura 1.2. La figura 2 ilustra cmo Arqumedes encontr la relacin entre los volmenes de la esfera, el cono y el cilindro. El dimetro AB est duplicado, haciendo BC = AB. Cuando esta figu- ra se hace girar alrededor de esta recta, el crculo genera una esfera, el tringulo DBG gene- ra un cono y el rectngulo DEFG genera un cilindro. Demuestre los hechos siguientes: a) Si B se usa como fulcro, el cilindro tiene como centro de gravedad el centro K del crcu- lo y, en consecuencia, todo puede concentrarse ah sin cambiar la torsin alrededor de B. b) Cada seccin del cilindro perpendicular a la recta AB, permaneciendo en su posicin actual, equilibrara exactamente la misma seccin del cono ms la seccin de la esfera si stos dos se desplazaran al punto C. c) Por tanto, el cilindro concentrado en K equilibrara al cono y a la esfera que se concen- tran en C. d) En consecuencia, el cilindro es igual al doble de la suma del cono y la esfera. e) Puesto que se sabe que el cono es un tercio del cilindro, se concluye que la esfera debe ser un sexto de ste. f ) Que el volumen del cilindro es 8pr2. 28. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/1009:52Pgina xxviii xxviii Ensayo D E B A C K G F FIGURA 2 Seccin de la esfera, el cono y el cilindro de Arqumedes 3. El mtodo con el que Zu Chongzhi y Zu Geng encontraron el volumen de la esfera es elsiguiente: imagine que la esfera es una pelota fuertemente adherida dentro de la interseccinde dos cilindros que forma ngulos rectos entre s. Luego, el slido formado por la intersec-cin de los dos cilindros (denominado paraguas doble en chino) y que contiene la pelota seajusta perfectamente dentro de un cubo cuya arista es igual al dimetro de la esfera.A partir de esta descripcin, trace una seccin de la esfera dentro del paraguas dobleformado por los ejes de los dos cilindros y a una distancia h debajo de este pleno. Comprue-be los hechos siguientes:a) Si el radio de la esfera es r, el dimetro de su seccin circular es 22r 2 h2.b) Por tanto, el rea del cuadrado formado por esta seccin del paraguas doble es 4(r2 h2),de modo que el rea entre la seccin del cubo y la seccin del paraguas doble es 4r 2 4(r 2 h2) 4h2.c) La seccin correspondiente de una pirmide cuya base es la parte inferior de un cubo ycuyo vrtice est en el centro de la esfera (o del cubo) tambin tiene un rea de 4h2. Portanto, el volumen entre el paraguas doble y el cubo es exactamente el volumen de estapirmide ms su imagen especular arriba del plano central. Concluya que la regin entreel paraguas doble y el cubo es un tercio del cubo.d) En consecuencia, el paraguas doble ocupa dos tercios del volumen del cubo; es decir, suvolumen es 16r 3. 3e) Cada seccin circular de la esfera est inscrita en la seccin cuadrada correspondientedel paraguas doble. Por tanto, la seccin circular es p de la seccin del paraguas doble. 4f) En consecuencia, el volumen de la esfera es p del volumen del paraguas doble; es decir, 44 33 pr . 4. Proporcione un razonamiento infinitesimal de que el rea de la esfera es tres veces suvolumen dividido entre su radio, al suponer que la esfera es una coleccin de pirmidesinfinitamente delgadas donde todos los vrtices se encuentren adheridos al origen. [Suge-rencia: parta del hecho de que el volumen de una pirmide es un tercio del rea de su basemultiplicada por su altura. Arqumedes afirmaba que ste es el razonamiento que lo condu-jo al descubrimiento del rea de la esfera.] 29. 01Zill001-029.qxd 20/10/1009:41Pgina 1 Captulo 1Funcionesy (x3, (x3))(x1, (x1))(x2, (x2)) (x1)(x3)(x2) xx1 x2 x3En este captulo Ha escuchado frases como el xito est un funcin del trabajo arduo yla demanda est un funcin del precio? La palabra funcin se usa a menudo para sugeriruna relacin o una dependencia de una cantidad con respecto a otra. Como tal vez sepa, enmatemticas el concepto de una funcin posee una interpretacin similar pero ligeramentems especializada.El clculo trata, en esencia, sobre funciones. As, resulta conveniente empezar su estudio conun captulo dedicado a un repaso de este importante concepto.1.1 Funciones y grficas1.2 Combinacin de funciones1.3 Funciones polinomiales y racionales1.4 Funciones trascendentes1.5 Funciones inversas1.6 Funciones exponencial y logartmica1.7 De las palabras a las funcionesRevisin del captulo 1 1 30. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 2 2CAPTULO 1 Funciones1.1Funciones y grficasIntroduccin Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta fcilestablecer una regla de correspondencia que asocie, o apareje, a los miembros o elementos de unconjunto con los elementos de otro conjunto. Por ejemplo, para cada nmero de seguridad socialhay una persona; para cada libro corresponde por lo menos un autor; para cada estado hay ungobernador, etctera. En matemticas estamos interesados en un tipo especial de corresponden-cia: una correspondencia con valor nico denominada funcin.Definicin 1.1.1 FuncinUna funcin de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que asignaa cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y. X YTerminologa Una funcin suele denotarse por una letra como f, g o h. Entonces podemosx (x)representar una funcin f de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notacin f : X S Y. Dominio RangoEl conjunto X se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes y en el conjun-to Y se denomina rango de la funcin. El nico elemento y en el rango que corresponde a un ele- FIGURA 1.1.1 Dominio y rangomento x selecto en el dominio X se denomina valor de la funcin en x, o imagen de x, y se escri- de una funcin f be f(x). Esta expresin se lee f de x o f en x, y se escribe y f(x). Algunas veces tambinconviene denotar una funcin por y y(x). Observe en la FIGURA 1.1.1 que el rango de f no nece-sariamente debe ser todo el conjunto Y. A muchos profesores les agrada llamar a un elemento xen el dominio entrada de la funcin, y al elemento correspondiente f(x) en el rango salida de lafuncin. Puesto que el valor de y depende de la eleccin de x, y se denomina variable depen-diente; x se denomina variable independiente. A partir de este momento consideraremos quelos conjuntos X y Y constan de nmeros reales; as, la funcin f se denomina funcin con valorreal de una sola variable real. En todos los anlisis y ejercicios de este texto, las funciones se representan de varias formas: analtica, es decir, por medio de una frmula como f(x) x2; verbal, es decir, mediante una descripcin con palabras; numrica, es decir, mediante una tabla de valores numricos; y visual, es decir, con una grfica.Los valores de f en x 5 y x 17 se obtienen al sustituir x, a la vez, por los nmeros5 y 17.EJEMPLO 1 Funcin elevar al cuadrado f( 17) (17)2 7.La regla para elevar al cuadrado un nmero real est dada por la ecuacin f(x) x2 o y x2.f(5) (5)2 25 yEJEMPLO 2Correspondencia estudiante y escritorioUna correspondencia natural ocurre entre un conjunto de 20 estudiantes y un conjunto de, porejemplo, 25 escritorios en un saln de clases cuando cada estudiante escoge y se sienta en unescritorio diferente. Si el conjunto de 20 estudiantes es el conjunto X y el conjunto de 25 escri-torios es el conjunto Y, entonces esta correspondencia es una funcin del conjunto X al con-junto Y, en el supuesto de que ningn estudiante se sienta en dos escritorios al mismo tiempo.El conjunto de 20 escritorios ocupados realmente por los estudiantes constituye el rango de lafuncin.Algunas veces, para destacar el argumento, escribiremos una funcin representada por unafrmula usando parntesis en lugar del smbolo x. Por ejemplo, al escribir la funcin elevar al Correspondencia estudiante/escri-cuadrado f(x) x2 como toriof ( ) ( )2. (1) Consulte la seccin Pginas de Entonces, para evaluar (1) en, por ejemplo, 3 h, donde h representa un nmero real, escri- recursos, al final del libro, para bimos 3 h entre parntesis y realizamos las operaciones algebraicas correspondientes: tener un repaso del desarrollo del binomio. f (3 h)(3h)2 9 6hh 2. 31. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 3 1.1 Funciones y grficas 3 Si una funcin f est definida por medio de una frmula o ecuacin, entonces por lo regu-lar el dominio de y f(x) no se plantea explcitamente. Por lo general es posible deducir eldominio de y f(x) ya sea a partir de la estructura de la ecuacin o del contexto del pro-blema.EJEMPLO 3Dominio y rangoEn el ejemplo 1, puesto que cualquier nmero real x puede elevarse al cuadrado y el resultadox2 es otro nmero real, f(x) x2 es una funcin de R en R; es decir, f : R S R. En otras pala-bras, el dominio de f es el conjunto R de nmeros reales. Al usar notacin de intervalos, eldominio tambin puede escribirse como (q, q). Debido a que x 2 0 para todo nmero realx, es fcil ver que el rango de f es el conjunto de nmeros reales no negativos o [0, q). Dominio de una funcin Como ya se mencion, el dominio de una funcin y f(x) que estdefinido por una frmula no suele especificarse. A menos que se indique o implique lo contra-rio, se entiende que El dominio de una funcin f es el mayor subconjunto del conjunto de nmeros realespara los que f(x) es un nmero real.Este conjunto a veces se refiere como dominio implcito o dominio natural de la funcin.Por ejemplo, no es posible calcular f(0) para la funcin recproca f(x) 1x puesto que 10no es un nmero real. En este caso se dice que f est indefinida en x 0. Puesto que todoles sin los nmeros 2 y 2. La funcin raz cuadrada h(x) 1x no est definida en x = -1nmero real diferente de cero tiene un recproco, el dominio de f(x) 1x es el conjuntoporque 11 no es un nmero real. Para que h(x) 1x est definida en el sistema de nme-de nmeros reales excepto cero. Por el mismo razonamiento, la funcin g(x) 1(x2 4) noest definida en x 2 ni en x 2, de modo que su dominio es el conjunto de nmeros rea-ros reales, debe pedirse que el radicando, en este caso simplemente x, sea no negativo. A par-tir de la desigualdad x 0 observamos que el dominio de la funcin h es el intervalo [0, q).El dominio de la funcin constante f(x) 1 es el conjunto de nmeros reales (q, q) yDetermine el dominio y el rango de f (x) 4 1x 3.su rango es el conjunto que consta slo del nmero 1.obtiene x 3, de modo que el dominio de f es [3, q). Luego, como el smbolo 1 denotaEJEMPLO 4 Dominio y rangola raz cuadrada no negativa de un nmero, 1x 3 0 para x 3 y en consecuencia4 1x 3 4. El menor valor de f(x) ocurre en x 3 y es f(3) 4 10 4. Adems,Solucin El radicando x 3 debe ser no negativo. Al resolver la desigualdad x 3 0 sedebido a que x 3 y 1x 3 aumentan cuando x crece, se concluye que y 4. Por consi-guiente, el rango de f es [4, q).a) f (x) 2x 2 2x 15EJEMPLO 5 Dominios de dos funcionesDetermine el dominio de5x b) g(x) . x 2 3x 4Solucina) Como en el ejemplo 4, la expresin dentro del radical el radicando debe ser nonegativa; es decir, el dominio de f es el conjunto de nmeros reales x para los cualesx 2 2x 15 0 o (x 3)(x 5) 0. El conjunto solucin de la desigualdadEn preclculo se suelen resolver( q , 5] [3, q ) es tambin el dominio de f.desigualdades cuadrticas como(x 3)(x 5) 0 utilizandob) Una funcin que est dada por una expresin fraccionaria no est definida en los valo-una tabla de signos.res x para los cuales el denominador es igual a 0. Puesto que el denominador de g(x)se factoriza como x 2 3x 4 (x 1)(x 4), vemos que (x 1)(x 4) 0para x 1 y x 4. stos son los nicos nmeros para los cuales g no est defi-nida. Por tanto, el dominio de la funcin g es el conjunto de nmeros reales, a excep-cin de x = -1 y x 4. 32. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 4 4 CAPTULO 1 Funciones Al usar notacin de intervalos, el dominio de g en el inciso b) del ejemplo 5 puede escri-birse como (q, 1) (1, 4) (4, q). Como alternativa para esta desgarbada unin deintervalos ajenos, este dominio tambin puede escribirse usando notacin de construccinde conjuntos {x 0 x 1 y x 4}. y Grficas En campos como ciencia, ingeniera y negocios, a menudo se usa una funcin para(x3, (x3)) describir los fenmenos. A fin de interpretar y utilizar datos, es til representar estos datos en (x1, (x1))forma de grfica. En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, la grfica de una (x2, (x2))funcin f es la grfica del conjunto de pares ordenados (x, f(x)), donde x est en el dominio de f.(x1)(x3)En el plano xy, un par ordenado (x, f(x)) es un punto, de modo que la grfica de una funcin es (x2)un conjunto de puntos. Si una funcin se define por medio de una ecuacin y f(x), entonces x1 x2 x3x la grfica de f es la grfica de la ecuacin. Para obtener los puntos sobre la grfica de una ecua- FIGURA 1.1.2 Puntos sobre la cin y f(x), escogemos prudentemente nmeros x1, x2, x3, . . . en su dominio, calculamos grfica de una ecuacin y f (x)f (x1), f (x2), f (x3), . . . , trazamos los puntos correspondientes (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), (x3, f (x3)), . . . ,y luego unimos estos puntos con una curva suave (en caso de ser posible). Vea la FIGURA 1.1.2. Noolvide que un valor de x es una distancia dirigida desde el eje y, y un valor funcional f(x) es una distancia dirigida desde el eje x. A continuacin se hacen algunos comentarios sobre las figuras en este texto. Con pocasexcepciones, suele ser imposible representar la grfica completa de una funcin, por lo que amenudo slo se muestran las caractersticas ms importantes de la grfica. En la FIGURA 1.1.3a)observe que la grfica se dirige hacia abajo en sus lados izquierdo y derecho. A menos que seindique lo contrario, puede asumirse que no hay sorpresas mayores ms all de lo que se hamostrado y que la grfica contina simplemente de la manera indicada. La grfica en la figura1.1.3a) indica el denominado comportamiento extremo o comportamiento global de la fun-cin. Si una grfica termina ya sea en su extremo derecho o izquierdo, este hecho se indicapor medio de un punto cuando es necesario. Para representar el hecho de que el punto extremoest incluido en la grfica se usa un punto slido, y para indicar que el punto extremo no estincluido en la grfica se usa un punto vaco. Prueba de la recta vertical A partir de la definicin de una funcin se sabe que para toda xen el dominio de f corresponde un solo valor f(x) en el rango. Esto significa que una recta verti-cal que corta la grfica de una funcin y f(x) (esto equivale a escoger una x) puede cortar a lagrfica de una funcin en cuanto mucho un punto. A la inversa, si toda recta vertical que cortela grfica de una ecuacin lo hace en cuanto mucho un punto, entonces la grfica es la grficade una funcin. La ltima declaracin se denomina prueba de la recta vertical para una fun-cin. Por otra parte, si alguna recta vertical corta la grfica de una ecuacin ms de una vez,entonces la grfica no es la grfica de una funcin. Vea las figuras 1.1.3a)-c). Cuando una rectavertical corta una grfica en varios puntos, el mismo nmero x corresponde a diferentes valoresde y, en contradiccin con la definicin de funcin.y y y x xxyd Rango y (x)de a) Funcin b) No es una funcinc) No es una funcin FIGURA 1.1.3 Prueba de la recta verticalcx ab DominioSi se cuenta con una grfica exacta de una funcin y f(x), a menudo es posible ver elde dominio y el rango de f. En la FIGURA 1.1.4 suponga que la curva azul es la grfica entera, o FIGURA 1.1.4 Dominio y rango completa, de alguna funcin f. As, el dominio de f es el intervalo [a, b] sobre el eje x, y el interpretados grficamente rango es el intervalo [c, d] sobre el eje y. 33. 01Zill001-029.qxd 23/9/1010:14Pgina 5A partir de la grfica de f(x) 4 1x 3 dada en la FIGURA 1.1.5, podemos ver que el domi- 1.1 Funciones y grficas 5EJEMPLO 6 Otra perspectiva del ejemplo 4 yy4 x3 El rangonio y el rango de f son, respectivamente, [3, q) y [4, q). Esto concuerda con los resultadosde del ejemplo 4. es [4, ) (3, 4) Intersecciones Para graficar una funcin definida por una ecuacin y f(x), una buena ideasuele ser determinar primero si la grfica de f tiene intersecciones. Recuerde que todos los pun-xtos sobre el eje y son de la forma (0, y). Entonces, si 0 es el dominio de una funcin f, la inter- El dominio deseccin y es el punto sobre el eje y cuya coordenada y es f(0); en otras palabras, (0, f(0)). Vea la es [3, )FIGURA 1.1.6a). De manera semejante, todos los puntos sobre el eje x tienen la forma (x, 0). EstoFIGURA 1.1.5 Grfica de la fun-significa que para encontrar las intersecciones x de la grfica de y f(x), se determinan los valo- cin f en el ejemplo 6res de x que hacen y 0. Es decir, es necesario resolver la ecuacin f(x) 0 para x. Un nme-ro c para el que f(c) 0 se denomina cero de la funcin f o raz (o solucin) de la ecuacin f(x) 0. Los ceros reales de una funcin f son las coordenadas x de las intersecciones x de la grfi-ca de f. En la figura 1.1.6b) se ha ilustrado una funcin que tiene tres ceros x1, x2 y x3 porquef(x1) 0, f(x2) 0 y f (x3) 0. Las tres intersecciones x correspondientes son los puntos (x1, 0),(x2, 0) y (x3, 0). Por supuesto, la grfica de la funcin puede no tener intersecciones. Este hechose ilustra en la figura 1.1.5.yy yy (x) y (x)y (x)(0, (0))(0, (0)) x x x(x1, 0)(x2, 0) (x3, 0) (x1, 0) (x2, 0)a) Interseccin yb) Tres intersecciones xc) Una interseccin y, dos intersecciones xFIGURA 1.1.6 Intersecciones de la grfica de una funcin f Una grfica no necesariamente tiene que cruzar un eje de coordenadas en una intersec-cin; una grfica puede simplemente tocar, o ser tangente, a un eje. En la figura 1.1.6c), lagrfica de y f(x) es tangente al eje x en (x1, 0).EJEMPLO 7InterseccionesEncuentre, de ser posible, las intersecciones x y y de la funcin dada. x 2 2x 3 a) f(x) x 2 2x 2 b) f(x) xSolucina) Puesto que 0 est en el dominio de f, f(0) 2 y as la interseccin y es el puntomula general para polinomios cuadrticos para obtener x 1 13. Las intersec-(0, 2). Para obtener las intersecciones x, es necesario determinar si f tiene ceros rea-ciones x son los puntos (1 13, 0) y (1 13 , 0).les, es decir, soluciones reales de la ecuacin f(x) 0. Puesto que el miembroizquierdo de la ecuacin x 2 2x 2 0 no tiene factores evidentes, se usa la fr-b) Debido a que 0 no est en el dominio de f, la grfica de f no posee interseccin y.Ahora, puesto que f es una expresin fraccionaria, la nica forma en que es posibleque f(x) 0 es que el numerador sea igual a cero y el denominador sea diferente decero al evaluar la funcin en el mismo nmero. Al factorizar el miembro izquierdode x 2 2x 3 0 se obtiene (x 1)(x 3) 0. En consecuencia, los ceros def son los nmeros 1 y 3. Las intersecciones x son los puntos (1, 0) y (3, 0).Funciones definidas por partes Una funcin f puede implicar dos o ms expresiones ofrmulas, cada una definida en partes distintas sobre el dominio de f. Una funcin definida deesta manera se denomina funcin definida por partes. Por ejemplo,f (x) ex 2, x 6 0x 1, x 0 34. 01Zill001-029.qxd 23/9/1010:14 Pgina 6 6 CAPTULO 1 Funcionesno son dos funciones, sino una sola funcin donde la regla de correspondencia est dada endos partes. En este caso, una parte se usa para los nmeros reales negativos (x < 0) y la otraparte para los nmeros reales no negativos (x 0); el dominio de f es la unin de los inter-valos ( q , 0) [0, q ) ( q , q ). Por ejemplo, puesto que -4 < 0, la regla indica que seeleve al cuadrado el nmero: f(-4) = (-4)2 = 16; por otra parte, puesto que 6 0 se suma 1al nmero: f(6) = 6 + 1 = 7.EJEMPLO 8Grfica de una funcin definida por partesConsidere la funcin definida por partes 1,x 6 0 yf(x) 0, x 0(2) x 1, x 7 0. y x 1, x 0 Aunque el dominio de f consta de todos los nmeros reales (-q, q), cada parte de la fun-cin est definida sobre una parte diferente de su dominio. Se grafican xy 0, x 0 la recta horizontal y 1 para x < 0,y 1, x 0 el punto (0, 0) para x 0 y la recta y x 1 para x 0. FIGURA 1.1.7 Grfica de unaesta ecuacin se resuelve para y en trminos de x, se obtiene y 29 x 2. Debido a la con- funcin definida por partes en elLa grfica se proporciona en la FIGURA 1.1.7. ejemplo 8vencin del valor nico del signo 1 , ambas ecuaciones y 29 x 2 y y 29 x 2 defi-Semicrculos Como se muestra en la figura 1.1.3b), un crculo no es la grfica de una fun-cin. En realidad, una ecuacin como x 2 y 2 9 define (por lo menos) dos funciones de x. Sicrculo inferior. Con base en las grficas mostradas en la FIGURA 1.1.8, el dominio de y 29 x 2nen funciones. La primera ecuacin define un semicrculo superior, y la segunda un semi-es [-3, 3] y el rango es [0, 3]; el dominio y el rango de y 29 x 2 son [-3, 3] y [-3, 0],respectivamente. y y 9 x2yy 9 x2 x yy x, x 0y x, x 0xa) Semicrculo superior b) Semicrculo inferiorFIGURA 1.1.8 Estos semicrculos son grficas de funciones x a) Funcin valor absoluto La funcin f (x) x , denominada funcin valor absoluto, aparece ya menudo en el anlisis de captulos ulteriores. El dominio de f es el conjunto de todos los nme- yxros reales (q, q) y su rango es [0, q). En otras palabras, para cualquier nmero real x, losvalores de la funcin f(x) son no negativos. Por ejemplo,f(3) 0 3 0 3, f(0) 0 0 0 0, f a b ` ` a b .1 1 1 12 2 2 2 xPor definicin del valor absoluto de x, observamos que f es una funcin definida por partes opedazos, que consta de dos partes x, si x 6 0 f(x) 0 x0e(3)x,si x 0. Esta porcin de y x se refleja en el eje x Su grfica, mostrada en la FIGURA 1.1.9a), consta de dos semirrectas perpendiculares. Puesto queb)f (x) 0 para toda x, otra forma de graficar (3) consiste en simplemente trazar la recta y x FIGURA 1.1.9 Funcin valor y luego reflejar en el eje x esa porcin de la recta que est abajo del eje x. Vea la figura absoluto (3) 1.1.9b). 35. 01Zill001-029.qxd 23/9/1010:14Pgina 7 1.1 Funciones y grficas 7Funcin entero mayor A continuacin se considerar una funcin f definida por partes deno-minada funcin entero mayor. Esta funcin, que tiene muchas notaciones, se denotar aqu porf(x) :x; y est definida por la regla La funcin entero mayor tambinse escribe como f (x) x . :x; n, donde n es un entero que satisface nx 6 n1.(4)La expresin (4), traducida a lenguaje coloquial, significa lo siguiente: El valor funcional f(x) es el entero mayor n que es menor o igual a x.Por ejemplo,f( 1.5)2, f (0.4) 0, f (p)3, f (5) 5,y as en lo sucesivo. El dominio de f es el conjunto de nmeros reales y consta de la uninde una infinidad de intervalos ajenos; en otras palabras, f(x) :x; es una funcin definida porpartes dada por yy x4o 3 2, 2 x 6 1f(x) :x ; f 0,2 1, 1 x 6 010x 6 1(5)1,1x 6 2 2 1 12 3 4 5 x2,2x 6 3oEl rango de f es el conjunto de enteros. La porcin de la grfica de f sobre el intervalo cerrado FIGURA 1.1.10 Funcin mayor[2, 5] se proporciona en la FIGURA 1.1.10. entero En informtica la funcin entero mayor se conoce como funcin redondeo hacia el ente-ro inferior anterior. Una funcin relacionada denominada funcin redondeo hacia el enterosuperior siguiente* g(x) f (4) y f (7)> f (5).2d) Simplifique f (n 3)>f (n). 52. Otra funcin de un entero positivo n proporciona la suma de los n primeros enteros positivos al cuadrado:4224 x 1S(n) n(n 1)(2n 1). 26 a) Encuentre el valor de la suma 4 12 22 . . . 992 1002. b) Encuentre n tal que 300 6 S(n) 6 400. [Sugeren-FIGURA 1.1.20 Grfica para el problema 46 cia: Use calculadora.] 38. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14Pgina 10 10CAPTULO 1 FuncionesPiense en ello57. En la pgina 7 se vio que la funcin redondeo hacia elentero superior siguiente g(x) 2 4.EJEMPLO 2Suma, diferencias, producto y cocienteConsidere las funciones polinomiales f(x) x2 4x y g(x) x2 9.a) Con base en los numerales (2)-(4) de la definicin 1.2.1 es posible producir tres nue- vas funciones polinomiales: (fg)(x) f(x) g(x) (x 2 4x) (x 2 9) 2x 2 4x 9, (fg)(x) f(x) g(x) (x 2 4x)(x 2 9) 4x 9,( fg)(x) f(x)g(x) (x 2 4x)(x 2 9) x 4 4x 3 9x 2 36x.b) Finalmente, con base en el numeral (5) de la definicin 1.2.1,f f (x)x24x a b(x) .g g(x) x29 Observe en el ejemplo 2, puesto que g(3) 0 y g(3) 0, que el dominio del cociente(fg)(x) es (q, q) con x 3 y x 3 excluidos; en otras palabras, el dominio de (fg)(x)es la unin de tres intervalos: ( q , 3) (3, 3) (3, q ).Funciones racionales La funcin en el inciso b) del ejemplo 2 es un caso de funciones racio-nales. En general, una funcin racional y f(x) es una funcin de la formap(x) Las funciones polinomiales y f(x) , (7) racionales se analizarn con ms q(x) detalle en la seccin 1.3. donde p y q son funciones polinomiales. Por ejemplo, las funcionespolinomio Tx x3 x 7 1 y,y , y ,x 5 2 x3 x cpolinomio 41. 01Zill001-029.qxd 23/9/1010:14 Pgina 131.2 Combinacin de funciones 13son funciones racionales. La funcin 1x d no es un polinomio y x2 1no es una funcin racional.Composicin de funciones Otro mtodo para combinar las funciones f y g se denomina com-posicin de funciones. Para ilustrar la idea, se supondr que para una x dada en el dominio deg el valor funcional g(x) es un nmero en el dominio de la funcin f. Esto significa que es posi-ble evaluar f en g(x); en otras palabras, f(g(x)). Por ejemplo, suponga f(x) x2 y g(x) x 2.Entonces, para x 1, g(1) 3, y como 3 es el dominio de f, es posible escribir f(g(1)) f(3) 32 9. En efecto, para estas dos funciones particulares resulta que es posible evaluar f en cual-quier valor funcional g(x); es decir,f(g(x)) f(x 2) (x 2)2.A continuacin se define la funcin resultante, denominada composicin de f y g. Definicin 1.2.2 Composicin de funciones Si f y g son dos funciones, la composicin de f y g, denotada por f g, es la funcin definida por( f g)(x) f(g(x)).(8) La composicin de g y f, denotada por g f, es la funcin definida por (g f )(x) g( f(x)).(9)EJEMPLO 3 Dos composicionesSi f(x) x 3x y g(x) 2x 2 1, encuentre 2 a) ( f g)(x) y b) (g f )(x).Solucina) Para hacer nfasis se sustituye x por el conjunto de parntesis ( ) y f se escribe en laforma f(x) ( )2 3( ). Entonces, para evaluar ( f g)(x), cada conjunto de parn-tesis se llena con g(x). Se encuentra (f g)(x)f(g(x)) f(2x 2 1) (2x 2 1) 2 3(2x 2 1) 4x 4 4x 2 1 3 . 2x 2 3.1 4x 4 10x 2 4.b) En este caso, g se escribe en la forma g(x) 2( )2 1. As, (g f )(x) g( f(x))g(x 2 3x) 2(x 2 3x) 2 1 2(x 4 6x 3 9x 2)1 2x 4 12x 3 18x 2 1. Los incisos a) y b) del ejemplo 3 ilustran que la composicin de funciones no es conmu-tativa. Es decir, en generalExprese F(x) 26x 3 8 como la composicin de dos funciones f y g.f gg f.EJEMPLO 4 Escritura de una funcin como una composicinSolucin Si f y g se definen como f(x) 1x y g(x)6x 38, entoncesF(x)( f g)(x)f(g(x)) f(6x 38)26x 3 8. 42. 01Zill001-029.qxd 23/9/1010:14 Pgina 14 nen por f(x) 16x 8 y g(x) x3, observe entonces que ( f g)(x) f(x 3) 26x 3 8. 14CAPTULO 1 Funciones g(x) debe estar en el dominio de f. Por ejemplo, el dominio de f(x) 1x es [0, q) y el domi- Hay otras dos soluciones para el ejemplo 4. Por ejemplo, si las funciones f y g se defi-Dominio de una composicin Para evaluar la composicin ( f g)(x) f(g(x)) el nmero f(g(x)) 1g(x) 1x 2 es [2, q), que slo es una porcin del dominio original (q, q) nio de g(x) = x - 2 es el conjunto de nmeros reales (-q, q). Observe que no es posible evaluar f(g(1)) porque g(1) 1 y 1 no est en el dominio de f. Para poder sustituir g(x) en f(x), g(x) debe satisfacer la desigualdad que define al dominio de f, a saber: g(x) 0. Esta ltima desigualdad es la misma que x 2 0 o x 2. El dominio de la composicin de g. En general, el dominio de la composicin f g es el conjunto de nmeros x en el domi- nio de g tales que g(x) est en el dominio de f.Para una constante c 0, las funciones definidas por y f(x) c y y f(x) c son la suma y la diferencia de la funcin f(x) y la funcin constante g(x) c. La funcin y cf(x) es el producto de f(x) y la funcin constante g(x) c. Las funciones definidas por y f(x c), y f(x c) y y f(cx) son las composiciones de f(x) con las funciones polinomiales g(x) x c, g(x) x c y g(x) cx, respectivamente. Como veremos dentro de poco, la gr- fica de cada una de stas no es una transformacin rgida ni una transformacin no rgida de la grfica de y f(x). Transformaciones rgidas Una transformacin rgida de una grfica es una transformacin que cambia slo la posicin de la grfica en el plano xy, pero no su forma. Para la grfica de una funcin y f(x) se analizan cuatro tipos de desplazamientos o traslaciones. Traslaciones Suponga que y f(x) es una funcin y c es una constante positiva. Entonces la grfica de y f(x) ces la grfica de f desplazada verticalmente hacia arriba c unidades, y f(x) ces la grfica de f desplazada verticalmente hacia abajo c unidades,y y f (x c) es la grfica de f desplazada horizontalmente hacia la izquierda cy (x)unidades, y f(x c)es la grfica de f desplazada horizontalmente hacia la derecha c unidades. x FIGURA 1.2.2 Grfica de y f (x)Considere la grfica de una funcin y f(x) dada en la FIGURA 1.2.2. Desplazamientos ver- tical y horizontal de esta grfica son las grficas en rojo en los incisos a)-d) de la FIGURA 1.2.3. Si (x, y) es un punto sobre la grfica de y f(x) y la grfica de f est desplazada, por ejem-(x, y c) plo, hacia arriba por c > 0 unidades, entonces (x, y c) es un punto sobre la nueva grfica.y y (x) ccEn general, las coordenadas x no cambian como resultado de un desplazamiento vertical. Vea las figuras 1.2.3a) y 1.2.3b). En forma semejante, en un desplazamiento horizontal las coor-y (x)(x, y) x denadas y de puntos sobre la grfica desplazada son las mismas que sobre la grfica original. Vea las figuras 1.2.3c) y 1.2.3d).a) Desplazamiento vertical hacia arribay y y(x, y)y (x c) y (x)y (x) y (xc)y (x) cx (x, y) (x c, y)c(x, y) c (x c, y) y (x) c (x, y c)xxb) Desplazamiento vertical hacia abajo c) Desplazamiento horizontald) Desplazamiento horizontalhacia la izquierdahacia la derecha FIGURA 1.2.3 Desplazamientos vertical y horizontal de y f(x) por una cantidad c 0EJEMPLO 5Grficas desplazadas Las grficas de y = x2 + 1, y = x2 - 1, y = (x + 1)2 y y (x 1) 2 se obtienen a partir de la grfica de f (x) x 2 en la FIGURA 1.2.4a) al desplazar esta grfica, a la vez, 1 unidad hacia arriba (figura 1.2.4b)), 1 unidad hacia abajo (figura 1.2.4c)), 1 unidad hacia la izquierda (figura 1.2.4d)) y 1 unidad hacia la derecha (figura 1.2.4e)). 43. 01Zill001-029.qxd23/9/1010:14Pgina 151.2 Combinacin de funciones 1