Cálculo

Um curso elementar

Pedro Frejlich

Copyright c© 2017 Pedro Frejlich

NOTAS DE AULA DO CURSO DE CÁLCULO

PROFESSOR.UFRGS.BR/FREJLICH

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First printing, March 2013

Sumário

I Part Um. Preliminares

1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 “Para todo”, “para algum” 7

1.2 Subconjuntos 8

1.3 Condicoes 8

1.4 Uniões, interseccoes, complementos 9

2 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Parte Dois. Cálculo em uma variável real

4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1 O-cálculo 22

6 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.1 Exercícios 36

III Parte Três. Cálculo em várias variáveis reais

10 Subvariedades de Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10.1 Teorema da Funcao Implicita 4110.2 Multiplicadores de Lagrange 4110.3 Curvas 4110.3.1 A integral de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.3.2 A integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva . . . . . . . . 4210.3.3 A integral de linha de uma 1-forma ao longo de uma curva . . . . . . . . . . . . . . 42

10.4 Integração 4410.4.1 Mudanca de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

IV Referências

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

I

1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 “Para todo”, “para algum”1.2 Subconjuntos1.3 Condicoes1.4 Uniões, interseccoes, complementos

2 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Part Um. Preliminares

1. Conjuntos

A noção de conjunto é uma que é difícil definir. Para nossos propósitos neste curso, nos bastará aseguinte formulação naïve de conjuntos: um conjunto X consiste de uma coleção de elementos.Escrevemos

x ∈ X

para dizer “x é um elemento do conjunto X”. Conjuntos são completamente determinados por seuselementos:

Axioma 1 (Axioma da Extensão). Dois conjuntos são iguais se eles têm os mesmos elementos.

Em particular, o conjunto sem nenhum elemento será chamado de conjunto vazio, e denotadopor ∅.

Exemplo 1.1 Considere o conjunto de números naturais:

N := 1,2,3, ..

1.1 “Para todo”, “para algum”

As frases “para todo” e “para algum” ocorrem com suficiente frequencia para que convenhaintroduzir símbolos para as denotar. Assim escrevemos

∀ x ∈ X := para todo elemento x em X ,

∃ x ∈ X := para algum elemento x em X , existe um elemento x em X .

Um ponto crucial do uso dessa linguagem é que o segnificado de frases com “para todo” e“para algum” dependem da ordem dessas locucoes.

8 Capítulo 1. Conjuntos

Exemplo 1.2 A frase “para todo número natural x, existe número natural y ∈ N, tal que x> y”,

∀ x ∈ N, ∃ y ∈ N : x> y

é verdadeira. Porém, a frase “existe um número natural x, tal que, para todo número natural y ∈ N,temos que x> y”,

∃ x ∈ N, ∀ y ∈ N : x> y

é falsa.

1.2 Subconjuntos

Se X é um conjunto, dizemos que Y é um subconjunto de X se todo elemento x de X é tambémum elemento de Y , em cujo caso escrevemos

Y ⊂ X , ou também X ⊃ Y.

Exemplo 1.3 ∅ é um subconjunto de qualquer conjunto – incluindo o conjunto vazio ele mesmo! Pois como ∅ nao contém nenhum elemento, a frase “todo elemento x de ∅ também pertence a X”é verdadeira, qualquer que sea o conjunto X .

Exemplo 1.4 O subconjunto Y = x ∈ N | ∀ y ∈ N, x < y de N é vazio, enquanto Z = x ∈N | ∃ y ∈ N, x < y coincide com N (veja também o Exemplo 1.2).

1.3 Condicoes

Uma maneira de construir subconjuntos de um conjunto X é através de condições que os elementosque constituem o subconjunto deve satisfazer. Uma condição P(x) é simplesmente uma sentençaque envolve x ∈ X , sem que intervenham nela “para todo x” ou “existe x”, e que é ou verdadeira oufalsa para cada x ∈ X .

Exemplo 1.5 Considere o conjunto de números naturais:

N := 0,1,2,3, ..

Então

P(x) = x é um número par

é uma condição em X , mas

Q(x) = todo x é par, R(x) = existe um x par

não são condições.

Axioma 2 (Axioma da Especificação). Para cada conjunto X e condição P(x), existe um subcon-junto Y ⊂ X cujos ellementos são exatamente os elementos de X que cumprem P.

Note que todo subconjunto Y ⊂ X é especificado por alguma propriedade – por exemplo, apropriedade tautológica

P(x) = x é um elemento de Y.

1.4 Uniões, interseccoes, complementos 9

1.4 Uniões, interseccoes, complementosSe P(x) e Q(x) são condições em X , entao:

• P∧Q (lê-se “P e Q“) é a condição

(P∧Q)(x) = P(x) e também Q(x);

• P∨Q (lê-se “P ou Q“) é a condição

(P∨Q)(x) = P(x) ou então Q(x);

• ¬P (lê-se “não P“) é a condição

(¬P)(x) = P(x) não vale

sao também condições. Se Y,Z ⊂ X sao os subconjuntos determinados, respectivamente,pelas condições P e Q,

Y = x ∈ X | P(x), Z = x ∈ X | Q(x),

entao definimos os subconjuntos

Y ∩Z := x ∈ X | (P∧Q)(x) ”intersecção de Y e Z“

Y ∪Z := x ∈ X | (P∨Q)(x) ”uniao de Y e Z”

XY := x ∈ X | (¬P)(x) “completamento de Y em X”.

Exercício 1.1 Mostre que, para todo conjunto X e subconjuntos Y,Z ⊂ X , temos

1. Y ∩Z ⊂ Y

2. Y ⊂ Y ∪Z

3. Y ∩ (XY ) =∅

4. Y ∪ (XY ) = X .

2. Relações

3. Funções

Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é uma regra que atribui a cada x ∈ X um únicoelemento f (x) em Y . Denotamos uma tal função por

f : X −→ Y, x 7→ f (x).

Uma função se diz:

injetiva se cada valor y ∈ Y é atingido por no máximo um ponto de X :

f (x) = f (x′) =⇒ x = x′;

sobrejetiva se todo valor y ∈ Y é atingido por pelo menos um ponto de X :

∃ x ∈ X , f (x) = y;

bijeção se f é injetiva e sobrejetiva;

invertível se existe função g : Y → X tal que

f (g(y)) = y, g( f (x)) = x.

Exercício 3.1 Seja X um conjunto e Z2 = 0,1. Considere uma função f : X → Z2, e defina

Z( f )⊂ X , Z( f ) := x ∈ X | f (x) = 0.

Mostre que f 7→ Z( f ) estabelece uma bijeção entre o conjunto Sets(X ,Z2) de funções f : X→Z2e o conjunto P(X) de subconjuntos Y de X .

§5. Uma outra estrutura gramatical freqüente em matemática são implicacoes: se P e Q sãocondicoes em X , então P =⇒ Q (lê-se Q se P) significa que qualquer x que satisfaça P satisfaztambém Q. Quando P =⇒ Q e Q =⇒ P, dizemos que P vale se e só se Q vale.

14 Capítulo 3. Funções

Exercício 3.2 Sejam Y,Z ⊂ X subconjuntos definidos por condicoes P(x) e Q(x), respectiva-mente. Mostre que:

1. Y ⊂ Z é o mesmo que dizer que P =⇒ Q;

2. Y = Z é o mesmo que dizer que P⇐⇒ Q.

§6. Se X é um conjunto, denotamos por P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntosde X :

P(X) := Y | Y é subconjunto de X.

Exemplo 3.1 Seja X o conjunto X = a,b,c Entao

P(X) = ∅,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c.

§7. Um dos usos de conjuntos é o de indexar objetos. Se I é um conjunto, e para cada i ∈ Iatribuímos um subconjunto Yi ⊂ X , podemos definir unioes e interseccoes arbitrárias: se I é umconjunto, e para cada i ∈ I atribuímos um subconjunto Yi ⊂ X , entao também⋂

i∈I

Yi := x ∈ X | Pi(x) para todo i ∈ I⋃i∈I

Yi := x ∈ X | Pi(x) para algum i ∈ I

sao subconjuntos.Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é uma regra que atribui a cada x ∈ X um único

elemento f (x) em Y . Denotamos uma tal função por

f : X −→ Y, x 7→ f (x).

Uma função se diz:

injetiva se cada valor y ∈ Y é atingido por no máximo um ponto de X :

f (x) = f (x′) =⇒ x = x′;

sobrejetiva se todo valor y ∈ Y é atingido por pelo menos um ponto de X :

∃ x ∈ X , f (x) = y;

bijeção se f é injetiva e sobrejetiva;

invertível se existe função g : Y → X tal que

f (g(y)) = y, g( f (x)) = x.

Exemplo 3.2 As funções f : R→ R dadas por f (x) = x e f (x) = x3 são bijeções. A funçãof : R→ R dada por f (x) = x2 não é injetiva ou sobrejetiva.

15

R Seja f : X → Y uma função, e

im( f )⊂ Y, im( f ) = f (x) | x ∈ X

sua imagem. Então f pode ser decomposta como a composição de uma função sobrejetiva Fseguida por uma função injetiva i:

X F−→ im( f ) i−→ Y, F(x) = f (y), i(y) = y.

Exercício 3.3 Sejam X ,Y conjuntos. Mostre que as seguintes afirmações sobre uma funçãof : X → Y são equivalentes:

(i) f é bijeção;

(ii) f é invertível.

Exercício 3.4 Seja Sets(X ,Y ) o conjunto de funções f : X → Y , e

XprX←− X×Y

prYY Y, prX(x,y) = x, prY (x,y) = y

as projeções canônicas. Seja também

PX(X×Y ) = Z ⊂ X×Y | prX |Z : Z→ X é bijeção

Mostre que

Γ : Sets(X ,Y )−→PX(X×Y ),

Γ( f ) = (x, f (x)) | x ∈ X

está bem-definida e é uma bijeção.

O Exercício 3.4 nos permite identificar funções com seus gráficos.

II

4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1 O-cálculo

6 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8 Teorema Fundamental do Cálculo . . . 33

9 Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.1 Exercícios

Parte Dois. Cálculo em umavariável real

4. Continuidade

Intuitivamente, uma função f : X → Y é contínua se f (x) está próximo de f (x0) se x está próximoo bastante de x0. Para tanto, é necessário ter à disposição uma noção apropriada de ’proximidade’.

Concentremo-nos no caso f : R→ R; aqui a noção intuitiva de continuidade é formulada emtermos de gráficos: uma função é contínua se seu gráfico pode ser desenhado sem que nuncatenhamos de levantar o lápis do papel.

Exemplo 4.1 Considere

f ,g : R−→ R, f (x) = x2, g(x) =

−1 se x < 0;+1 se x> 0.

Então f é contínua mas g não.

Para x ∈ R e ε > 0, defina

Bε(x) := x′ ∈ R | − ε < x′− x < ε

Definição 4.0.1 Uma função f : R→ R é contínua em x0 ∈ R se, para todo ε > 0, existeδ > 0 tal que

Bδ (x0)⊂ f−1(Bε( f (x0))).

f é dita contínua se é contínua em todo ponto x0 ∈ R.

Exercício 4.1 Mostre que a função f do Exemplo 4.1 é contínua, e que g é contínua em x0 se esó se x0 6= 0.

20 Capítulo 4. Continuidade

Exercício 4.2 Considere a função

f (x) =

0 se x ∈ RQ;1 se x ∈Q.

que corresponde a Q⊂R segundo o Exercício 3.1. Existe algum x0 ∈R em que f seja contínua?

Exercício 4.3 Se f : X → Y é contínua em x0, e g : Y → é contínua em f (x0), mostre que g fé contínua em x0

Vamos fazer uso do seguinte fato:

Fato 1 Se f : X → R é contínua, e a,b ∈ R são tais que [a,b]⊂ X , então existem c,d ∈ R tais que

f ([a,b]) = [c,d].

Observe que o Fato 1 não diz que fa,b= c,d, como mostra o seguinte

Exemplo 4.2 Se f (x) = x, então f [0,1] = [0,1]. Se f (x) = x2, então f [−1,1] = [0,1]; note quef (−1) 6= 0 6= f (1)

Note que o Fato implica que toda função f : [a,b]→ R atinge máximo e mínimo:

c = minx∈[a,b]

f (x), d = maxx∈[a,b]

f (x)

Pode-se argumentar diretamente (como em Apostol, cf. vol. 2, Thm. 9.8) que uma funcaocontinua em um intervalo fechado assume supremo e infimo.

5. Limites

Seja X ⊂ R um subconjunto. Uma função x : N→ X é chamada seqüência em X , e denotada(xn)⊂ X .

Uma seqüência em X (xn)⊂ X converge a x0 ∈ R se para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que

n > N =⇒ xn ∈ Bε(x0).

Se (xn) converge a algum x0 ∈ R, chamamos (xn) de convergente, e escrevemos xn→ x0. Se (xn)não converge a nanhum x0 ∈ R, chamamos (xn) de divergente.

Exercício 5.1 Mostre que se xn =1n , então xn→ 0.

Exercício 5.2 Mostre que se xn = (−1)n, então (xn) é divergente.

Se (xn) ⊂ X é seqüência, uma subseqüência (x′n) ⊂ X é uma seqüência da forma x′n = xλ (n),onde λ é uma função estritamente crescente:

λ : N−→ N, i < j =⇒ λ (i)< λ ( j).

Exemplo 5.1 yn = 2n e zn = 2n−1 são subseqüências de xn = n.

Exercício 5.3 Suponha que (x′n)⊂ X é subseqüência de uma seqüência convergente (xn)⊂ X .Mostre que (x′n) é convergente.

Dê exemplo de (xn)⊂ X divergente que possui subseqüências convergentes.

Exercício 5.4 Uma seqüência (xn)⊂ X é dita de Cauchy se, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que

n,m > N =⇒ |xn− xm|< ε.

22 Capítulo 5. Limites

Mostre que uma seqüência (xn)⊂ R é convergente se e só se é de Cauchy.

Exemplo 5.2 Seja (xn) ⊂ R seqüência, e f : R→ R uma função. Então ( f (xn)) ⊂ R é umaseqüência.

Teorema 5.0.1 Para uma função f : R→ R e x0 ∈ R, são equivalentes:

(i) f é contínua em x0;

(ii) se xn→ x0, então f (xn)→ f (x0).

Demonstração. (i)⇒ (ii): Seja f contínua em x0, e considere uma seqüência (xn) convergindo ax0. Queremos mostrar que a seqüência ( f (xn)) onverge a f (x0). Seja ε > 0; como f contínua emx0, existe N ∈ N tal que

Bδ (x0)⊂ f−1Bε( f (x0)),

onde Br(y) := z | |z− y|< r. Por outro lado, como xn→ x0, existe N ∈ N tal que

n > N =⇒ xn ∈ Bδ (x0).

Portanto

n > N =⇒ f (xn) ∈ Bε( f (x0)),

o que mostra que f (xn)→ f (x0).(ii)⇒ (i): Mostremos que negar (i) implica negar (ii). Se f não é contínua em x0, então existe

ε > 0 tal que, para todo δ > 0, temos

Bδ (x0) f−1Bε( f (x0)) 6=∅.

Vamos agora construir uma seqüência (xn) que converge a x0, mas cuja seqüência associada ( f (xn))não converge a f (x0).

Escolha xn ∈ B1/n(x0) f−1Bε( f (x0)); então como 1n → 0, temos que xn→ x0; porém, f (xn) /∈

Bε( f (x0)) para cada n, e portanto ( f (xn)) não converge a f (x0).

Exercício 5.5 Use o Teorema 5.0.1 para mostrar que a função g do Exemplo 4.1 não é contínuaem x = 0.

CONVENÇÃO : Se f : X → R é uma função, escrevemos

limx→x0

f (x) = a ∈ R

para dizer que, para toda seqüência (xn)⊂ X que converge a x0, a seqüência ( f (xn))⊂R converge a a.

5.1 O-cálculoÉ muitas vezes conveniente ter uma linguagem para expressar certos comportamentos de funções.Para isso, introduzimos dois conjuntos de funções:

O ⊂L ⊂ Sets(R,R).

5.1 O-cálculo 23

L denota funções Lipschitz em zero:

L := l | ∃C,δ > 0 : |t|< δ ⇒ |l(t)|<C|t|,

enquanto L denota funções infinitesimais:

O :=

o(t) : o(0) = 0, limt→0

|o(t)||t|

= 0.

Decida quais das funções f abaixo estão em O ou L :

1. f (x) =√|x|

2. f (x) = x

3. f (x) = x2.

Lema 1 1. O e L são subespaços vetoriais de Sets(R,R);

2. O ⊂L ;

3. Se f é contínua em zero e l ∈L , então f l ∈ O

4. Se o ∈ O e f é limitada ao redor de zero, então f o ∈ O;

5. Se o1,o2 ∈ O , então o1 o2 ∈ O;

6. Se f é linear, então f ∈L ;

7. Se f é linear, então f ∈ O se e só se f = 0.

Demonstração. ??

6. Diferenciabilidade

Uma função f : R→ R é diferenciável em x0 ∈ R se

F : Rx0 −→ R, F(x) =f (x)− f (x0)

x− x0

tem limite em x0, em cujo caso escrevemos

d fdx

(x0) = f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0.

Exercício 6.1 Uma função f : R→ R é diferenciável em x0 se e só se existe a ∈ R tal que afunção g(t) definida por

g(t) := f (x0 + t)− f (x0)−at

pertence a O , em cujo caso a = f ′(x0).

Exercício 6.2 Se f : R→ R é diferenciável em x0 ∈ R, então f é contínua em x0.

Exercício 6.3 Se f ,g : R→ R são diferenciáveis em x0 ∈ R, então f g é diferenciável em x0, e

( f g)′(x0) = f ′(x0)g(x0)+ f (x0)g′(x0)

Exercício 6.4 Se f :R→R é diferenciável em x0 ∈R e g :R→R é diferenciável em f (x0)∈R,então g f é diferenciável em x0, e

(g f )′(x0) = g′( f (x0))g′(x0).

26 Capítulo 6. Diferenciabilidade

Lema 2 — Rolle. Se f : [a,b]→ R é contínua, e f ′(x) existe para cada x ∈ (a,b), então

f (a) = f (b) =⇒ ∃ c ∈ (a,b), f ′(c) = 0.

Demonstração. Pelo Fato 1, f atinge máximo em algum ponto x0 ∈ [a,b]. Se x0 = a, entãof (a) = f (b) implica que f (x) é constante em x ∈ [a,b], e portanto podemos supor que f atinge seumáximo em algum ponto c de (a,b).

Como f (c) > f (c− t), para cada t tal que c− t ∈ [a,b], temos que f ′(c) > 0. Como f (c) >f (c+ t), temos que f ′(c)6 0. Portanto f ′(c) = 0.

Corolário 6.0.1 — Teorema do Valor Médio. Se f : [a,b]→R é contínua, e f ′(x) existe paracada x ∈ (a,b), então existe c ∈ (a,b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b−a

Demonstração. Considere

F : R−→ R, F(x) := f (x)− ( f (a)+λ (x−a)), λ :=f (b)− f (a)

b−a.

Então F satisfaz as hipóteses do Lemma 2, e portanto existe c ∈ (a,b) com F ′(c) = 0, i.e., f ′(c) =f (b)− f (a)

b−a .

Corolário 6.0.2 Se f : [a,b]→ R é contínua, e f ′(x) existe e f ′(x) = 0 para cada x ∈ (a,b),então f é constante: f (x) = f (a).

Demonstração. Note que uma função f : [a,b]→ R é constante se e só se o conjunto

Ω( f )⊂ (a,b), Ω( f ) := x ∈ [a,b] | f (x) 6= f (a)

é o conjunto vazio.Suponha que exista f contínua com f ′ = 0 que não seja constante, e escolha x ∈Ω( f ). Então

f (x)− f (a)x−a 6= 0. Por outro lado, aplicando o Corolário 6.0.1 à função f |[a,x], temos que existe c∈ (a,x)

tal que

f ′(c) =f (x)− f (a)

x−a.

Por hipótese sobre f , temos que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b); em particular, temos que f ′(c) = 0,o que implica que f (x) = f (a) pela fórmula acima, e portanto x /∈Ω( f ). A contradição mostra queΩ =∅, e portanto que f é constante.

Exercício 6.5 Calcule as derivadas das funções abaixo:

(a) f (x) = xex cos(x)

(b) f (x) = sin(ex+1)2x2

(c) f (x) = x1+x2

(d) f (x) = log(1+ x4).

27

Exercício 6.6 Seja f : [a,b]→ R uma função continua e diferenciavel em (a,b). Dizemos quex ∈ (a,b) é um ponto crítico de f se f ′(x) = 0. Se x é ponto crítico de f , então y := f (x) é ditovalor crítico.

Calcule o conjunto Crit( f ) dos pontos críticos das funções abaixo:

(a) f (x) = x3−6x2 +9x+15

(b) f (x) = cos(x)

(c) f (x) = x1+x2

7. Integração

Seja [a,b] um intervalo finito. Uma partição de [a,b] é um conjunto t0, ..., tn ∈ [a,b], tal que

a = t0 6 t1 6 · · ·6 tn = b.

Definição 7.0.1 — Linear por partes. Uma função continua f : [a,b]→ R é dita linear porpartes se existe partição a = t0 < t1 < · · · < tN = b, tal que cada f |[ti,ti+1] é afim, i.e., existeci ∈ R tal que

f |[ti,ti+1 = f (ti)+ ci(t− ti).

Denotamos por PL([a,b],R)⊂C([a,b],R) o subconjunto de funções linear por partes.

Lema 3 — Norma do supremo. A norma

| f | := supt∈[a,b]

| f (t)|.

faz de C([a,b],R) um espaco métrico completo, e PL([a,b],R) é um seu subespaco denso.

Lema 4 — Integral de Riemann PL. O mapa linear∫ b

adx : PL([a,b],R)−→ R,

∫ b

af (x)dx =

N

∑i=1

12( f (ti−1)+ f (ti))(ti− ti−1) (7.1)

satisfaz:

(i)∫ b

a f (x)dx =(c b−a

2 +d)(b−a) if f (x) = cx+d;

(ii) se f ,g são não-negativas, então

f (x)6 g(x) =⇒∫ b

af (x)dx6

∫ b

ag(x)dx,

f (x)< g(x) =⇒∫ b

af (x)dx <

∫ b

ag(x)dx;

30 Capítulo 7. Integração

(iii)∫ b

a é uniformemente continua para a topologia induzida;

(iv)∫ b

a f (x)dx =∫ c

a f (x)dx+∫ b

c f (x)dx para todo c ∈ [a,b];

(v) Se h : R→ R é um difeomorfismo afim, então1∫ b

af (h(x))h′(x)dx =

∫ h(b)

h(a)f (y)dy.

Demonstração. (i) Óbvio da definição.

(ii) Note que existe uma partição a = t0 < t1 < · · ·< tN = b em que

f |[ti,ti+1 = f (ti)+ ci(t− ti), g|[ti,ti+1 = g(ti)+di(t− ti)

A hipótese f 6 g se traduz em f (ti)6 g(yi) e ci 6 di para todo i, donde segue (7.1) que∫ b

af (x)dx6

∫ b

ag(x)dx,

e de modo análogo com < ao invés de 6.

(iii) Sea f ∈ PL([a,b],R) e ε > 0. Então para todo g ∈ PL([a,b],R) com | f −g|< ε

(b−a) , tem-se

pello item (ii) |∫ b

a f (x)dx−∫ b

a g(x)dx|< ε .

(iv) Claro da definição.

(v) Se λ = 0, então o lado esquerdo se anula, e também o lado direito, já qque∫

µ

µ= 0. Portanto

supomos que λ 6= 0, em cujo caso h : [a,b]→ [h(a),h(b)] é um difeomorfismo. Portanto sef |[ti,ti+1] = f (ti)+ ci(t− ti) para uma partição h(a) = t0 < t1 < · · ·< tN = h(b), consideramosa partição a = s0 < s1 < · · ·sN = b, onde si = h−1(ti), em h∗( f ) se expressa como

h∗( f )|[si,si+1] = ciλ +di, di = (ciµ + f (ti)).

Então para cada i,∫ si+1

si

λh∗( f )(x)dx = λ

∫ si+1

si

h∗( f )(x)dx = λ

(cλ

a+b2

+(cµ +d))(b−a) =

=

(c

h(a)+h(b)2

+d)(h(b)−h(a)) =

∫ ti+1

tif (x)dx.

e pelo item (iv) concluímos a demonstração.

Lema 5 Seja (X ,d) um espaco métrico e Y ⊂ X um subespaco denso.

a) Uma função contínua f : X → R é determinada pelos seus valores em Y :

f1, f2 ∈C(X ,R), f1|Y = f2|Y =⇒ f1 = f2.

b) Se f : Y → R é uniformemente contínua, i.e.,

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀y ∈ Y, Bδ (y)⊂ f−1(Bε( f (y)),

então existe uma única extensão contínua

f ∈C(X ,R), f |Y = f .

1Se a > b, definimos∫ b

a f (x)dx como sendo −∫ a

b f (x)dx.

31

Corolário 7.0.3 — Integral de Riemann. Existe uma única extensão contínua de∫ b

a dx a umafunção linear em C([a,b],R), com a propriedade de que, para uma função não negativa f ,∫ b

a f (x)dx = 0 implica a = b ou f = 0.

8. Teorema Fundamental do Cálculo

Teorema 8.0.4 — Fundamental Theorem of Calculus. Seja f : [a,b]→ R contínua. Entãoa função F : [a,b]−→ R dada por F(x) :=

∫ xa f (y)dy é de classe C1, e F ′(x) = f (x). Se f é de

classe C1, então

f (x) = f (a)+∫ x

af ′(y)dy. (8.1)

Demonstração. Note que, para x ∈ [a,b] e ε > 0 com x+ ε ∈ [a,b], tem-se

F(x+ ε)−F(x) =∫ x+ε

xf (y)dy.

Considere o diffeomorfism afim h(y) = εy+ x. Então por (v) no Lema 4 temos∫ x+ε

xf (y)dy =

∫ 1

0εh∗( f )(y)dy = ε

∫ 1

0f (εy+ x)dy.

Isso mostra que

F(x+ ε)−F(x) = ε

∫ 1

0f (εy+ x)dy

e portanto F é contínua em x. Na verdade, a equação acima mostra que

F ′(x) = limε→0

∫ 1

0f (εy+ x)dy =

∫ 1

0f (x)dy = f (x)

pela continuidade da integral.Se f é de classe C1, então

f (x+ ε)− f (x) = ε

∫ 1

0f ′(x+ ε)dy

34 Capítulo 8. Teorema Fundamental do Cálculo

mostra que f ′ = 0 identicamente, e portanto f é constante pelo Corolário 6.0.2. Aplicando isso aomapa de classe C1 g(x) := f (x)− f (a)−

∫ xa f ′(y)dy, concluímos que

f (x) = f (a)+∫ x

af ′(y)dy.

Teorema 8.0.5 — Fórmula de Mudança de Variáveis. Se h : [a,b]→ R é diferenciável,então para toda função contínua f (x), temos que∫ b

af (h(x))h′(x)dx =

∫ h(b)

h(a)f (x)dx.

Demonstração. Defina

G(x) :=∫ x

h(a)f (y)dy.

Então G é de classe C1, e portanto também F1(x) := G(h(x)) é de classe C1. Pela Regra da Cadeiae pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que

F ′1(x) = G′(h(x))h′(x) = f (h(x))h′(x).

Por outro lado, novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a função F2(x) :=∫ x

a f (h(y))h′(y)dysatisfaz também

F ′2(x) = f (h(x))h′(x);

portanto

F(x) := F1(x)−F2(x)

é de classe C1, e

F(a) = 0, F ′(x) = 0, x ∈ (a,b).

Portanto segue do Corolário 6.0.2 que F(x) é identicamente zero.

Exemplo 8.1 Considere a função f : [0,1]→ R, f (x) = x2. Então∫ 1

0 f (x)dx = 13 . Considere

h : [0, π

2 ]→ [0,1], h(x) = sin(t). Então∫ π

2

0f (h(t))h′(t)dt =

∫ π

2

0(sin(t))2 cos(t)dt.

Como ddt (sin(t))3 = 3(sin(t))2 cos(t), temos que∫ π

2

0f (h(t))h′(t)dt =

(sin(t))3

3|

π

20 =

13,

e portanto∫ h( π

2 )

h(0f (x)dx =

∫ π

2

0f (h(t))h′(t)dt.

Considere por outro lado k : [0, π

2 ]→ [0,1], k(x) = cos(t). Então∫ π

2

0f (k(t))k′(t)dt =−

∫ π

2

0(cos(t))2 sin(t)dt =

(cos(t))3

3|

π

20 =−1

3.

Portanto∫ k( π

2 )

k(0)f (x)dx =

∫ 0

1f (x)dx =−

∫ 1

0f (x)dx =

∫ π

2

0f (k(t))k′(t)dt.

Note que nem h nem k são difeomorfismos, e h′(t)> 0> k′(x).

9. Polinômio de Taylor

Se f : [a,b]→ R é uma função k vezes diferenciavel, existe uma função

Pk : [a,b]×R−→ R, Pk(x; t) :=k

∑i=0

f (i)(x)t i

i!,

Note que, para cada x fixo, Pk(x; ·) é um polinômio em t de grau até k, e chamado de polinômio deTaylor de f de ordem k em x.

Dizemos que um polinômio p(t) é uma aproximação de f de ordem k em x se

limt→0

f (x+ t)− p(t)tk = 0.

Exercício 9.1 Seja f : [a,b]→R é uma função k vezes diferenciavel. Mostre que se p(t) é umaaproximação de f de ordem k em x, então p(t) = Pk(x; t).

Teorema 9.0.6 — Teorema de Taylor. Seja f : [a,b]→ R é uma função (k+1) vezes diferen-ciavel. Então podemos escrever

f (x+ t) = Pk(x; t)+Rk(x; t),

onde o ’resto’ Rk(x; t) é da forma

Rk(x; t) :=∫ t

xf (k+1)(s)

(t− s)k

k!ds.

Demonstração. Passo 1. Fixe (x, t)∈ [a,b]×R, e seja k> 0. Defina a função g(s) := f (k+1)(s) (t−s)k+1

(k+1)! ,e observe que

g(t)−g(x) =− f (k+1)(x)(t− x)k+1

(k+1)!.

36 Capítulo 9. Polinômio de Taylor

Por outro lado, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,

g(t)−g(x) =∫ t

xg′(s)ds =

∫ t

x

(f (k+2)(s)

(t− s)k+1

(k+1)!− f (k+1)(s)

(t− s)k

k!

)ds

= Rk+1(x; t)−Rk(x; t),

e portanto

Rk(x; t) = f (k+1)(x)(t− x)k+1

(k+1)!+Rk+1(x; t).

Passo 2. Note que, para k = 0, a afirmação contida no teorema se reduz ao Teorema Fundamentaldo Cálculo:

f (x+ t)−P0(x; t) = f (x+ t)− f (x) =∫ t

xf ′(s)ds = R0(x; t).

Suponha que, para algum l < k, tenhamos mostrado que

f (x+ t) = Pl(x; t)+Rl(x; t).

Então, pelo Passo 1,

f (x+ t) = Pl+1(x; t)− f (k+1)(x)(t− x)k+1

(k+1)!+Rl(x; t) = Pl+1(x; t)+Rl+1(x; t).

Portanto uma indução finita conclui a demonstração.

9.1 Exercícios1. Um espaço métrico (X ,d) consiste de um conujnto X , munido de uma função distância:

d : X×X −→ R,

satisfazendo:

(a) d(x,x) = 0 para todo x ∈ X ;

(b) d(x,y = d,x para todos x,y ∈ X ;

(c) d(x,z)6 d(x,y)+d(y,z) para todos x,y,z ∈ X .

Num espaco métrico (X ,d), podemos definir a bola aberta Bε(x0) de raio ε > 0 ao redor deum ponto x0 ∈ X :

Bε(x0) := x ∈ X | d(x0,x)< ε

a) Mostre que (R,d) é um espaco métrico, onde d(x,y) := |x− y|, e reescreva as em termosde bolas abertas as definições de

i) uma função f : R→ R ser contínua em x0 ∈ R;ii) uma sequencia (xn)⊂ R ser de Cauchy;

iii) uma sequencia (xn)⊂ R convergir a x0.

b) Formule as definições de :

i) uma função f : (X ,d)→ (X ′,d′) ser contínua em x0 ∈ X ;ii) uma sequencia (xn)⊂ (X ,d) ser de Cauchy;

9.1 Exercícios 37

iii) uma sequencia (xn)⊂ (X ,d) convergir a x0,

onde (X ,d) e (X ′,d) denotam dois espacos métricos.

c) Um subconjunto U de um espaco métrico (X ,d) se diz aberto se U contém uma bolaaberta ao redor de cada um de seus pontos. Mostre que uniões arbitrárias de conjuntosabertos são abertos, assim como intersecções finitas. Conclua que, se Y é qualquersubconjunto, seu interior

int(Y ) :=⋃U ⊂ X |U ⊂ Y, U aberto

é o maior subconjunto aberto de X contido em Y . Mostre também que f : (X ,d)→ (X ′,d′)é contínua se e só se, para cada aberto U ′ ⊂ (X ′,d′), f−1(U ′) é aberto em (X ,d).

d) Todo subconjunto Y de um espaco métrico (X ,d) se torna um espaco métrico sob arestrição dY := d|Y×Y da função distância de X , e a inclusao i : (Y,dY )→ (X ,d) é contínua.

e) Um subconjunto F de um espaco métrico (X ,d) se diz fechado se U := XF é aberto em(X ,d). Mostre que, para um subconjunto F de um espaco métrico, as seguintes condiçõessao equivalentes:

i) se (xn)⊂ F é uma sequencia, e (xn) converge a algum x0 ∈ X , então x0 ∈ F ;ii) F é fechado.

Mostre também que intersecções arbitrárias de conjuntos fechados sao fechadas, assimcomo unioes finitas. Conclua que, se Y é qualquer subconjunto de X , seu fecho

Y :=⋂F ⊂ X | F ⊃ Y, F fechado

é o menor subconjunto fechado de X que contém Y .

f) Um subconjunto Y ⊂ (X ,d) é denso se Y = X .Mostre que se Y ⊂ (X ,d) é denso se e sóse todo ponto de X é limite de uma sequencia em Y . Mostre também que, se Y ⊂ (X ,d) édenso e f ,g(X ,d)→ (X ′,d′) são contínuas, e f |Y = g|Y , entao f = g.

g) Um mapa contínuo f (X ,d)→ (X ′,d′) se diz uniformemente contínuo se, para cadaε > 0, existe δ > 0, tal que, para todo x ∈ X ,

Bδ (x)⊂ f−1Bε( f (x)).

Mostre que, se Y ⊂ (X ,d) é denso e f : (Y,d)→ (X ′,d′) é uniformemente contínuo, entaoexiste F : (X ,d)→ X ′,d′) contínuo, com F |= f .são contínuas, e f |Y = g|Y , entao f = g.

h) Um espaco métrico (X ,d) é completo se toda sequencia de Cauchy (xn)⊂ X convergeem X .Seja (X ,d) um espaco métrico. Defina X ⊂ Sets(N,X) o conjunto de sequencias Cauchyem X :

X = (xn) | (xn) é Cauchy,

e considere a relação R⊂ X× X , onde

(xn)R(yx) ⇐⇒ limn→∞

d(xn,yn) = 0.

i) Mostre que R é uma relação de euivalencia ∼.

38 Capítulo 9. Polinômio de Taylor

ii) Mostre que a função d : X× X → R definida por

d([(xn)], [(yn)]) := limn→∞

d(xn,yn)

define em X := X/R uma estrutura de espaco métrico.iii) Mostre que (X , d) é um espaco métrico completo.iv) Mostre que a inclusao canônica

i : X −→ X , i(x) := [(xn)], xn = x, ∀ n> 0

é uma isometria:

d(x,y) = d((i(x), i(y)), ∀ x,y ∈ X ,

e em particular é contínua.v) Mostre que i(X)⊂ (X , d) é um subespaco denso. Mostre também que, se (X ′,d′) é

um espaco métrico completo, e j : (X ,d)→ (X ′,d′) é uma isometria em que j(X) édenso, entao existe uma única isometria ψ : (X , d) ∼−→ (X ′,d′) tal que ψ i = j.

III

10 Subvariedades de Rm . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.1 Teorema da Funcao Implicita10.2 Multiplicadores de Lagrange10.3 Curvas10.4 Integração

Parte Três. Cálculo em váriasvariáveis reais

10. Subvariedades de Rm

10.1 Teorema da Funcao Implicita

10.2 Multiplicadores de Lagrange

10.3 CurvasUma curva c : [a,b]→ Rm,

c(t) = (c1(t), ...,cm(t)), ci : [a,b]−→ R.

é contínua (resp., diferenciável) exatamente quando cada ci é contínua (resp., diferenciável).Quando c é diferenciável em t0, denotamos por c′(t0) a derivada Dc(t0):

c′(t0) = limt→0

c(t0 + t)− c(t0)t

= (c′1(t0), ...,c′m(t0)).

Se h : [a′,b]→ [a,b] é um difeomorfismo, dizemos que a curva γ(t) := c(h(t)) é uma repara-metrização de c. Uma reparametrização é dita orientada se h′(t)> 0 para todo t.

A Integral de Riemann tem três extensões imediatas a curvas em Rm, que descrevemos a seguir.

10.3.1 A integral de curvasDefinimos∫ t

ac(s)ds :=

(∫ t

ac1(s)ds, ...,

∫ t

acm(s)ds

).

Lema 6 Para toda curva contínua c ∈C0([a,b],Rm), a curva Γ(t) := c(a)+∫ t

a c(s)ds é de classeC1, e Γ′(t) = c(t). Se c é de classe C1, então

c(t) = c(a)+∫ t

ac′(s)ds.

Demonstração. Imediato do Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema 8.0.4).

42 Capítulo 10. Subvariedades de Rm

Proposição 10.3.1 Seja f ∈C1(Rm,Rn). Então para todos x,y ∈ Rm, temos que

f (x+ y) = f (x)+∫ 1

0Dy f (x+ ty)dt.

Demonstração. Considere a curva c ∈ C1([0,1],Rn) dada por c(t) = f (x+ ty). Pela Regra daCadeia, temos que c′(t) = dx+ty f (y) = Dy f (x+ ty). Portanto pelo Lema 6 segue que

f (x+ y) = c(1) = c(0)+∫ 1

0c′(t)dt = f (x)+

∫ 1

0Dy f (x+ ty)dt.

10.3.2 A integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curvaDefina o mapa∫

ds : C1([a,b],Rm)×C0(Rm,Rn)−→ Rn,

(c, f ) 7→∫

cf ds :=

∫ b

af (c(s))||c′(s)||ds.

Chamamos∫

c f ds da integral de linha de f ao longo de c. Em particular, a integral de linha dafunção f = 1 é chamada de comprimento l(c) de c ∈C1([a,b],Rm):

l(c) =∫ b

a||c′(t)||dt.

Proposição 10.3.2 A integral de linha é invariante por reparametrizações: dadas (c, f )∈C1([a,b],Rm)×C0(Rm,Rn) e um difeomorfismo h : [a′,b′] ∼−→ [a,b], temos que∫

cf ds =

∫ch

f ds.

Demonstração. Observe que∫c

f ds =∫ b

af (c(s))||c′(s)||ds;

tomando a mudança de variáveis s = h(t),∫ b

af (c(s))||c′(s)||ds =

∫ b

af (c(h(t)))||c′(h(t))h′(t)||dt =

∫ch

f ds.

Corolário 10.3.3 Uma curva c ∈C1([a,b],Rm) tem o mesmo comprimento que qualquer umade suas reparametrizações.

Portanto o comprimento l(c) de uma tal curva só depende de sua imagem c([a,b]⊂ Rm.Uma curva é dita regular se c′(t) 6= 0 para todo t.

10.3.3 A integral de linha de uma 1-forma ao longo de uma curvaUma 1-forma θ ∈Ω1(Rm) é uma expressao da forma

θ =m

∑i=1

θidxi,

10.3 Curvas 43

onde cada θi : Rm→ R é uma funcao contínua.Toda funcao continuamente diferenciável f : Rm→ R dá origem a uma 1-forma, a saber, sua

diferencial:

d f =m

∑i=1

∂ f∂xi

dxi.

Uma 1-forma é dita exata se ela é a diferencial de uma funcao.Se c : [a,b]→ Rm é uma curva diferenciável, e θ ∈Ω1(Rm), entao definimos a integral de θ ao

longo de c por∫cθ =

∫ b

aθc(t)(c

′(t))dt.

Note que se c é diferenciável por partes, i.e., se existe particao a = t0 < t1 < .. . < tN = b, e c édiferenciável em cada [ti, ti+1], entao podemos definir∫

cθ := ∑

∫c|[ti,ti+1]

θ .

Proposição 10.3.4 Para uma 1-forma θ em Rm, as seguintes afimacoes sao equivalentes:

i) θ = d f para uma funcao f ;

ii) para cada curva diferenciável por partes c : [a,b]→ Rm, o valor de∫

c θ só depende de c(a) ec(b).

Demonstração. Se θ = d f e c : [a,b]→ Rm é uma curva diferenciável, entao∫cθ =

∫cd f =

∫ b

adc(t) f (c′(t))dt =

∫ b

a

ddt

f (c(t))dt = f (c(t))|ba.

Portanto i) implical ii).Por outro lado, suponho que valha ii). Entao defina a funcao

f : Rm −→ R, f (x) :=∫

cθ ,

onde c denota qualquer curva suave c : [a,b]→Rm tal que c(a) = 0 e c(b) = x. Note que a condicaoii) diz que f está de fato bem-definida.

Afirmamos que f é diferenciável, e que d f = θ . Com efeito, sejam x,y ∈ Rm, e ε ∈ [0,1].Considere as curvas

c0(t) = tx, c1(t) = x+ tεy.

Entao

c : [0,2]−→ Rm, c(t) :=

tx ift ∈ [0,1];x+ tεy ift ∈ [1,2]

é diferenciável por partes, e portanto

f (x+ εy) =∫

cθ =

∫c0

θ +∫

c1

θ = f (x)+∫

c1

θ .

Disso concluímos que

f (x+ εy)− f (x)ε

=∫ 1

0θx+tεy(y)dt,

e portanto

limε→0

f (x+ εy)− f (x)ε

= limε→0

∫ 1

0θx+tεy(y)dt =

∫ 1

0θx(y)dt = θx(y).

44 Capítulo 10. Subvariedades de Rm

10.4 IntegraçãoSeja := [a1,b1]× . . .× [am,bm], e f :→ R. Definimos

∫ f (x1, ...,xm)dx1 . . .dxm pela integral

iterada∫

f (x1, ...,xm)dx1 . . .dxm :=∫ b1

a1

(. . .

(∫ bm

am

f (x1, ...,xm)dxm

). . .

)dx1 (10.1)

Lema 7 A integral (10.1) não depende da ordem; i.e., se σ : 1, ...,m ∼−→1, ...,m é uma bijecao,entao ∫ b1

a1

(. . .

(∫ bm

am

f (x1, ...,xm)dxm

). . .

)dx1 =

=∫ bσ(1)

aσ(1)

(. . .

(∫ bσ(m)

aσ(m)

f (x1, ...,xm)dxσ(m)

). . .

)dxσ(1)

Demonstração. Basta mostrar que

F(x1,x2) :=∫ x1

a1

(∫ x2

a2

f (y1,y2)dy2

)dy1

G(x1,x2) :=∫ x2

a2

(∫ x1

a1

f (y1,y2)dy1

)dy2

sao a mesma funcao.

Suponha agora que Σ⊂ Rm é um subconjunto, defindo por

Σ =

a1 6 x1 6 b1

a2(x1)6 x2 6 b2(x1)

a3(x1,x2)6 x3 6 b3(x1,x2)...am(x1, ...,xm−1)6 xm 6 bm(x1, ...,xm−1)

Entao definimos∫Σ

f (x1, ...,xm)) :=∫ b1

a1

(∫ b2(x1)

a2(x1). . .

(∫ bm(x1,...,xm−1)

am(x1,...,xm−1)f (x1, ...,xm)dxm

). . .

)dx1

Exemplo 10.1 Considere os subconjuntos

Σ = 06 x1 6 1, 06 x2 6 x21, Σ

′ = 06 x1 6 1, 06 x2 6√

x1

Entao ∫Σ

dx2dx1 =∫ 1

0

∫ x21

0dx2dx1 =

∫ 1

0x2|

x21

0 dx1 =∫ 1

0x2

1dx1 =13

x31|10 =

13

enquanto∫Σ′

dx2dx1 =∫ 1

0

∫ √x1

0dx2dx1 =

∫ 1

0x2|√

x10 dx1 =

∫ 1

0

√x1dx1

Usando que

ddx

(x√

x) =32√

x =⇒∫ √

xdx =23

x√

x,

temos que∫Σ′

dx2dx1 =23

x1√

x1|10 =23

10.4 Integração 45

10.4.1 Mudanca de variáveisIntroduzimos uma nova estrutura algébrica, o produto exterior ∧, dado em termos de uma base pelarelacao:

α ∧α = 0, α ∈Ω1(Rm).

Note que disso segue que α ∧β =−β ∧α:

0 = (α +β )∧ (α +β ) = α ∧α +α ∧β +β ∧α +β ∧β = α ∧β +β ∧α.

Exemplo 10.2 Considere as 1-formas α,β ∈Ω1(R2):

α = x1dx1 + x2dx2, β = x2dx1− x1dx2.

Entao

α ∧β = (x1dx1 + x2dx2)∧ (x2dx1− x1dx2) =

= x1x2dx1∧dx1− x21dx1∧dx2 + x2

2dx2∧dx1− x1x2dx2∧dx2 =

=−(x21 + x2

2)dx1∧dx2

Vamos considerar agora uma versão com sinais da integral:∫Σ

dx1∧ . . .∧dxi∧dxi+1∧ . . .∧dxm =−∫

Σ

dx1∧ . . .∧dxi+1∧dxi∧ . . .∧dxm.

onde ∫Σ

dx1∧ . . .∧dxi∧dxi+1∧ . . .∧dxm :=∫ bm

am

. . .∫ b1

a1

f (x1, ...,xm)dx1 . . .dx1

Considere uma k-forma ω ∈Ωk(Rn)

ω = ∑I

ωIdxi1 ∧dxi2 ∧ . . .∧dxik , I = i1 < i2 < .. . < ik

Dado mapa f : Rm→ Rn, f = ( f1, ..., fn), definimos f ∗(ω) ∈Ωk(Rn) por

f ∗(ω) = ∑I

ωId fi1 ∧d fi2 ∧ . . .∧d fik

Exemplo 10.3 Considere o mapa de coordenadas polares

f : [0,∞)× [0,2π]−→ R2, f (r,θ) := (r cosθ ,r sinθ).

Entao

d f1 = d(r cosθ) = cosθdr− r sinθdθ ,

d f2 = d(r sinθ) = sinθdr+ r cosθdθ .

Portanto

d f1∧d f2 = (cosθdr− r sinθdθ)∧ (sinθdr+ r cosθdθ) = rdr∧dθ

Portanto

f ∗(dx1∧dx2) = rdr∧dθ .

Note que, se Σ = x21 + x2

2 6 R2, então Σ = f (), onde = [0,R]× [0,2π], e portanto∫Σ

dx1∧dx2 =∫

rdr∧dθ =∫ 2π

0

∫ R

0rdr∧dθ =

∫ 2π

0

r2

2|R0 dθ = πR2.

46 Capítulo 10. Subvariedades de Rm

Exemplo 10.4 Considere o cilindro sólido

Σ = x21 + x2

2 6 a2, 06 x2 6 b

Para calcular∫Σ

g(x1,x2,x3)dx1∧dxx2∧dx3, g(x1,x2,x3) := x21 + x2

2 + x23

consideramos o mapa de coordenadas cilíndricas

f : [0,∞)× [0,2π]×R−→ R3, f (r,θ ,z) := (r cosθ ,r sinθ ,z).

Entao

f ∗(g) = r2 + z2

d f1 = d(r cosθ) = cosθdr− r sinθdθ ,

d f2 = d(r sinθ) = sinθdr+ r cosθdθ

d f3 = dz

Portanto

d f1∧d f2∧dz = rdr∧dθ ∧dz

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f ∗(gdx1∧dx2∧dx3) = (r2 + z2)(rdr∧dθ ∧dz).

Note que Σ = f (), onde = [0,a]× [0,2π]× [0,b], e portanto∫Σ

gdx1∧dx2∧dx3 =∫(r3 + rz2)dr∧dθ ∧dz =

=∫ b

0

∫ 2π

0

∫ a

0(r3 + rz2)dr∧dθ ∧dz =

∫ b

0

∫ 2π

0(r4

4+

12

r2z2)|a0dθ ∧dz =

=∫ b

0

∫ 2π

0(a4

4+

a2

2z2)dθ ∧dz =

∫ b

0(a4π

2+a2

πz2)dz =

= (a4π

2z+a2

πz3

3)|b0 =

12

a4πb+

13

a2b3π

Exemplo 10.5 Considere a esfera

Σ = x21 + x2

2 + x23 = R2

Para calcular∫

Σω , onde

ω := (x1dx2∧dx3 + x2dx3∧dx1 + x3dx1∧dx2) ∈Ω2(R3),

consideramos o mapa de coordenadas esféricas

f : [0,∞)× [0,π]× [0,2π]−→ R3, f (r,θ ,φ) := (r sinθ cosφ ,r sinθ sinφ ,r cosθ).

10.4 Integração 47

Entao

f ∗(x1) = r sinθ cosφ

f ∗(x2) = r sinθ sinφ

f ∗(x3) = r cosθ

d f1 = d(r sinθ cosφ) = sinθ cosφdr+ r cosθ cosφdθ − r sinθ sinφdφ

d f2 = d(r sinθ sinφ) = sinθ sinφdr+ r cosθ sinφdθ + r sinθ cosφdφ

d f3 = d(r cosθ) = cosθdr− r sinθdθ .

Portanto

f ∗(x1dx2∧dx3) = (r sinθ cosφ)(sinθ sinφdr+ r cosθ sinφdθ + r sinθ cosφdφ)∧∧(cosθdr− r sinθdθ)

f ∗(x2dx3∧dx1) = (r sinθ sinφ)(cosθdr− r sinθdθ)∧∧(sinθ cosφdr+ r cosθ cosφdθ − r sinθ sinφdφ)

f ∗(x2dx3∧dx1) = (r cosθ)(sinθ cosφdr+ r cosθ cosφdθ − r sinθ sinφdφ)∧∧(sinθ sinφdr+ r cosθ sinφdθ + r sinθ cosφdφ)

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IV

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Referências

Bibliography

Bibliografia

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[2] P. Bamberg, S. Sternberg, A Course in Mathematics for Students of Physics: Volumes 1 & 2,Course in Mathematics for Students of Physics (Book 1), Cambridge University Press (1991)

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[7] J. Stewart, Cáculo Volumes 1 & 2, Cengage Learning, 2013

[8] G. Thomas, M. Weir, J. Hass, Cálculo Volumes 1 e 2, Pearson, 12. edição (2012)