República Bolivariana de Venezuela.Universidad Nacional Experimental Marítima del Caribe

Coordinación de Ciencias BásicasCátedra: Cálculo V.

Profesor: Román Ramos

Práctica # 2: Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de 1er Orden:

1. Si la población de un país se duplica en 50 años, ¿en cuántos años será el triple suponiendo que la velocidad de aumento se proporcional al número de habitantes?

2. Según la ley de newton de enfriamiento, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30° y la sustancia se enfría de 100 a 70° en 15 minutos, ¿cuándo será 40° la temperatura de la sustancia?

3. Bajo ciertas condiciones la cantidad constante calorías/segundos de calor que pasa a través de una pared está dada por

donde es la conductividad del material, es la

superficie de una cara de la pared perpendicular a la dirección del flujo y es la temperatura a de esa

cara, de forma que disminuye cuando aumenta. Hallar el número de calorías por hora del calor que pasa a través de

de la pared de una habitación frigorífica de 125cm de

espesor y , si la temperatura de la cara interior

es de y la cara exterior es de

4. Un conducto de vapor de 20 cm de diámetro está protegido por un recubrimiento de 6 cm de espesor para el que . Hallar la pérdida de calor por hora a través de una longitud de un metro de la tubería si su superficie está a 30°C. Determine la temperatura a una distancia x>10 cm del centro de la tubería

5. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo. ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 90%?

Cálculo V Tema 2: Ecuaciones Diferenciales de 1er OrdenProf. R. Ramos

6. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70 ºF y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10ºF. Después de medio minuto el termómetro indica 50ºF. ¿Cuál es la lectura cuando min.? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15ºF?

7. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica 55°F; cinco minutos después marca 30°F. ¿Cuál era la temperatura del interior?

8. Muchos creen que el Sudario de Turín, que muestra un negativo de la imagen de un cuerpo de un hombre crucificado, es la mortaja de Jesús de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorgó autorización para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios científicos independientes, que analizaron la tela, llegaron a la conclusión que tiene unos 660 años, edad que coincide con su aparición histórica. Con esta edad, determine qué porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en la tela en 1988

9. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 g de sal y le entran 4lts/min. De solución con 1 g de sal por litro; bien mezclados, de él sale líquido con la misma rapidez.

Calcule la cantidad de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante

Ecuaciones de Bernoulli

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.9.

En las siguientes ecuaciones aplique un cambio de variable conveniente para reducirlas a separación de variables, luego resuélvalas

1. 2. 3.

4. 5. 6.

2

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Anexo

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

Las ecuaciones diferenciales son importantes para quienes no son matemáticos, principalmente por las posibilidades de usarlas para investigar una amplia variedad de problemas en ingeniería, física, biología, química y ciencias sociales. En esta pequeña guía se presentan algunos ejemplos donde se resuelven problemas que surgen con frecuencia en las aplicaciones usando los métodos vistos en el curso.

I. Mezclado de soluciones: Al mezclar dos fluidos a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Por ejemplo, la razón con la que cambia la cantidad de sal en un tanque puede estar dada por la diferencia entre la rapidez con la que entra y la rapidez con la que sale, esto es:

(rapidez con la que entra)-(rapidez con la que sale)

donde representa la cantidad de sal presente en el tanque en el instante t

Ejemplo: Considere un tanque que, en el instante t = 0, contiene 50 Kg. de sal disueltos en 400 litros de agua. Supóngase que entra al tanque agua que contiene 0.025 Kg. de sal por cada litro, a una rapidez de 12 litros/min. y que, a la misma rapidez, está saliendo del tanque la solución bien homogeneizada. Encontrar una expresión para la cantidad de sal, en el tanque, en el instante .

La rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque, en el instante , , debe ser igual a la rapidez con la que la sal entra al tanque, menos la rapidez a la que sale. La rapidez a la que entra es de 0.025kg/lts multiplicado por 12 lts/min. La rapidez a la que sale la sal es ( )Kg./lts, multiplicado por 12 lts/min. De aquí que:

Esta ecuación es lineal y su solución es (comprobar dicha solución)

Si tenemos que , así sustituyendo nos queda que la solución de la ecuación es:

█

II. Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton La formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden

donde es una constante, es la temperatura del objeto y es la temperatura ambiente, o sea, la

temperatura del medo que rodea al objeto.Ejemplo: Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar 90°C si su temperatura aumentó 2°C en un segundo?

La ecuación que modela este problema se puede resolver usando el método de variables separables en

donde =100°C , así tenemos que la solución es:

3

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Ahora el problema tiene como condiciones . De esta manera podemos

determinar y . Sustituyendo tenemos que la solución es:

Ahora el problema pide saber en que instante la barra alcanza los 90°C. Esto es:

Despejando nos queda que la solución es:

█

III. Fechado con radiocarbono: La teoría del fechado con radiocarbono se basa en que el isótopo del carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual a la de la atmósfera. Cuando muere se compara la cantidad proporcional de C-14 presente por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe e la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la antigüedad. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radiactivo es, aproximadamente, de 5600 años. Por este trabajo, Lobby ganó el Premio Nobel de Química en 1960.

Ejemplo: Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-4. Determine la edad del fósil.La ecuación diferencial que modela el problema es:

donde A(t) es la cantidad de C-14 presente en el instante t y la solución de la ecuación es:

Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho de que

Así tenemos que

Por consiguiente

Luego para

█

IV. Crecimiento y decaimiento: El problema de valor inicial

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento o decaimiento o desintegración.

Ejemplo: Un cultivo tiene una cantidad inicial de bacterias. Cuando hora, la cantidad medida de

bacterias es . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad presente en el

momento , calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos.

La ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden que modela este problema es la que se presentó al inicio y que tienen por solución:

4

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Utilizando las condiciones iniciales del problema tenemos que

y

despejando de la ecuación anterior nos queda:

De esta manera la solución particular de la ecuación diferencial es:

Ahora como ya tenemos la ecuación podemos responder en que instante se triplica la población de bacterias, esto es:

Despejando de la ecuación tenemos que

horas

█

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