calculo vectorial
TRANSCRIPT
-
- 1 -
CAPITULO 4: CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DEmIR EN nIR
En este captulo se estudia la nocin de funcin diferenciable de varias variablesreales. Anlogamente, como en el caso de una variable, se estudia primero losconceptos de lmite y continuidad, recordando previamente nociones de AlgebraLineal, conjuntamente con algunas nociones topolgicas en nIR , con el fin depresentar un lenguaje consistente con las nociones a revisar en este curso decalculo en varias variables.Se presenta tambin el concepto de diferenciabilidad de una funcin, as como losteoremas que permiten operar con funciones diferenciables de varias variablesreales.Se presentan ejemplos y grficas construidas con el Software MAPLE 8 y al final decada tpico, un listado de ejercicios para ser desarrollados por el lector.
4.1 LMITE Y CONTINUIDAD
NOCIONES PREVIAS
El Espacio nIR
IRxxxxXIR inn /),...,,( 21 , es un espacio vectorial sobre IR. ),...,,( 21 nxxxX esun vector de nIR y recibe el nombre de n-upla.
Adicin: nnn IRxIRIR / YXYX ),( es suma de X e Y, donde),...,,( 2211 nn yxyxyxYX .
-
- 2 -
Producto por Escalar: nn IRxIRIR / ),...,,(),( 21 nxxxXX ),,( nIRes un espacio vectorial con vector nulo )0,...,0,0( . Para nn IRxxxX ),...,,( 21 , elopuesto de X, -X, es el vector ),...,,( 21 nxxxX .
Producto Escalar en nIRSi ),...,,( 21 nxxxX , nn IRyyyY ),...,,( 21 . El producto escalar YX (tambindenotado por YX , ) es el nmero real definido por nn yxyxYX ...11
Propiedades del Producto EscalarPara todo nIRZYX ,, IR , ; se tiene:
1 XYYX 2 0 XX3 00 XXX4 )()()( ZXYXZYX
Norma EuclideanaPara nIRX se define 2/1)( XXX , y se llama la NORMA EUCLIDEANA delvector X.
Teorema 1: (Desigualdad de Schwarz)Para todo nn IRIRYX ),( se tiene: YXYX
Ejemplo 1: Sea IRIRf 3: tal que;
)0,0,0(),,(0
)0,0,0(),,()/()cos(),,(222
zyxsizyxsizyxxxyzzyxf
Determine IRk y INn tales que 3IRP : nPkpf )(Solucin: ,3 IRP PPPPxzyxPf 232 //)cos()( .
-
- 3 -
As PPfIRP )(:3 . En efecto, basta entonces tomar k=1 y n=1.PROPIEDADES DE LA NORMA
TEOREMA 2: Cualesquiera que sean p, q nIR , :IR1 0p2 pp 03 pp 4 qpqp
Observaciones: Se puede probar (Ejercicio)a) qpqp b) qpqp
Distancia EuclideanaDEFINICION: Sean ., nIRYX Se llama Distancia Euclideana, d(X,Y), al nmero:
YXYXd ),(
PROPIEDADES DE LA DISTANCIACualesquiera que sean nIRZYX ,, :a) YXYXd 0),(b) 0),(),( XYdYXdc) ),(),(),( YZdZXdYXd (Desigualdad triangular)
Vectores OrtogonalesDEFINICIN: Sean ., nIRYX Se dice que X e Y son Ortogonales si 0YXTeorema 3: (Si n=2 o n=3). Para nIRYX , , )cos( YXYX , donde es elngulo que forman los vectores X e Y.
-
- 4 -
Nociones Topolgicas en nIR
1. Bolas abiertas y Bolas cerradas en nIR
DEFINICIN:
1.1 Sea nIRP 0 y 0r . Se llama Bola Abierta de centro 0P y radio r, al conjuntodenotado por ),( 0 rPB y definido por rPPdIRPrPB n ),(:),( 00 .
1.2 Anlogamente se define por: rPPdIRPrPB n ),(:),( 00 la Bola Cerradade centro 0P y de radio r.
Ejemplos:En IR, rPrPrPB 000 ,),( es la Bola abierta de centro 0P y radio r.
rPrPrPB 000 ,),( es la Bola Cerrada de Centro 0P y radio r.
En 2IR , para ),( 000 yxP ; 2202020 )()(:),(),( ryyxxIRyxrPB es la BolaAbierta de centro 0P y radio r. 2202020 )()(:),(),( ryyxxIRyxrPB es laBola cerrada de centro 0P y radio r.
En 3IR , para ),,( 00,00 zyxP ; 220202020 )()()(:),(),( rzzyyxxIRyxrPB es la Bola Cerrada de Centro 0P y radio r.
2. Conjuntos Cerrados y Conjuntos Abiertos
DEFINICIN:2.1 Sea nIRA se dice que A es ABIERTO si 0, rAp tal que ArpB ),( .2.2 Sea nIRB se dice que B es Cerrado si BIRn es abierto.
Teorema 4: Toda Bola Abierta en nIR es un conjunto abierto.
-
- 5 -
OBERVACIONES: Se puede probar que: La reunin de un nmero cualquiera de conjuntos es un conjunto abierto. La interseccin de un nmero de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La reunin de un nmero finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. La interseccin de un nmero cualesquiera de conjuntos cerrados es un conjunto
cerrado.
Puntos adherentes, puntos de acumulacin, puntos interiores y puntosfrontera de un conjunto.
DEFINICIN: Sea nIRA y nIRP 0
1. Se dice que 0P es un PUNTO ADHERENTE de A, si para toda bola ),( 0 rPB secumple: ArPB ),( 0 .
Notacin: A = conjunto de todos los puntos adherentes de A, A se llama laADHERENCIA de A.
2. Se dice que 0P es un PUNTO DE ACUMULACIN de A si para toda bola),( 0 rPB se cumple: )(),( 00 PArPB
Notacin: A= conjunto de todos los puntos de acumulacin de A.
3. Se dice que 0P es un PUNTO INTERIOR de A si existe 0r tal que:ArPB ),( 0
Notacin: 0A= conjunto de todos los puntos interiores de A.
4. Se dice que 0P es un PUNTO FRONTERA de A si 0P es adherente a A y aAIRn .
Notacin: Fr(A) denota al conjunto de todos los puntos frontera de A.
-
- 6 -
Es claro que: .;;0 AAAAAA
Ejemplo: Si 10:),( 2 yxIRyxA ; entonces 10:),( 2 yxIRyxA ; )0,0(1:),()( 2 yxIRyxAFr y AAA )0,0( .
Conjuntos Acotados, Conjuntos Compactos
DEFINICIN: Sea nIRB , se dice que es ACOTADO si existe IRN tal que:., NPBP
Se dice que B es COMPACTO si B es cerrado y acotado.
Ejemplos:
1. Si 3,1:),,( 223 zyxIRzyxB , es un conjunto compacto, porque escerrado y acotado.
2. Si 1:),,( 223 yxIRzyxC , entonces C no es acotado, luego no escompacto.
3. Si 41:),( 2 yxIRyxD , entonces D no es cerrado, luego no escompacto.
4.1.1 Funciones de en nIR
DEFINICIN: Sea nm IRIRAf : . Si n=1, se dice que f es una FUNCIN REAL(o escalar).Si m=n, diremos que nm IRIRAf : es un CAMPO VECTORIAL en .Si m=1 y A es un intervalo abierto de IR , diremos que f es una CURVAPARAMETRIZADA en nIR .
Se llama GRAFICO de f y se denota por fG al subconjunto de nm IRIR definido por:
-
- 7 -
.)(:),( XfYIRIRYXG nmf Si n=1 y IRa al conjunto aXfIRXaN n )(:)( se llama CONJUNTO DENIVEL de f.Para n=1 y m=1 o 2, fG se puede representar geomtricamente.
Aplicacin 1: Si IRIRf 2: tal que 22),( yxhyxf . Es una funcin cuyasimgenes son valores reales y puede representarse geomtricamente en tresdimensiones, es decir en 3IR . Se define su grfico 222 ),(:),,( IRyxyxhyxG f .
fG se llama paraboloide de revolucin (se obtiene al hacer rotar la curva deecuacin 2xhz , en torno al eje y) . Es una superficie en 3IR y los conjuntos denivel de f son curvas (circunferencias) en 2IR .Para cNhc , . Para )0,0(, cNhc .
Para chyxIRyxNhc c 222 :),(, , son circunferencias de centro (0,0) y deradio ch .En las siguientes figuras se aprecia el paraboloide invertido y a la derecha las curvasde nivel de la funcin.
S M
-
- 8 -
Aplicacin 2:Si IRIRf 2: , tal que yx
yxyxf )sen()sen(),( , es una funcin cuyas imgenes son
valores reales, y su grfico se asemeja a la reaccin de una superficie de agua, enun tiempo despus de recibir el impacto de una gota de agua.
Las imgenes adjuntas nos presentan la grfica de f, en el espacio tridimensional ylas curvas de nivel respectivas. Notamos adems que f no est definida en el punto(0,0), dado que f(0,0) implica la divisin por cero. Por eso que la grfica de lascurvas de nivel presenta un agujero.
Aplicacin 3: Si 2223 ),,(/: zyxzyxgIRIRg . Para 0c , el conjunto cN es lasuperficie de ecuacin cczyxczyx 222222 . cN se llama hiperboloidede una hoja. Despejando z en funcin de x e y, se tiene
cyxzcyxz 22222 . La siguiente superficie es el conjunto de nivel def. La superficie no posee proyecciones en el plano XY para cyx 22 . Al inducirplanos de corte paralelos al plano XY, se generan circunferencias de radio ck 2 .En efecto, ckyxkz 222
S
M
-
- 9 -
Para czczczczyxc 22222 0,0 . cN es una superficie yse llama hiperboloide de dos hojas. En efecto, al despejar z en funcin de x e y se
tiene: cyxz 22 . Se puede apreciar que z existe para cualquier valor de x e y,dado que c es negativo. Es decir al inducir planos de corte paralelos al plano XY,cuando ckz , se generan circunferencias de radio ck 2 .
S P S P
X Y Z( )
-
- 10 -
222222 0,0 zyxzyxc . cN es una superficie y se llama cono.
Aplicacin 4: Sea 2/3220
22)(
4),(/: yxjyixqyxEIRIRE
. Se trata de una
campo vectorial, cuyas imgenes son vectores en 2IR . E es el campo vectorial en elvaco, generado por una carga elctrica de intensidad q y 0 es la permitividad delvaco (propiedad fsica). Se puede demostrar que en las circunferencias concntricas
con centro en (0,0), la magnitud de E es constante. En efecto, a una distancia r delcentro, un punto
2/3
02/322
022222 ),(/),(4)/(4),( yxyx
qyxjyixqEryxPIRyxP
Por lo tanto la magnitud del campo (funcin) vectorial puede expresarse en trminosde la distancia del punto P del plano, donde se evala el campo, al origen (0,0),segn: 2
0
14 rqE , expresin conocida para la intensidad de campo elctrico
generada por una carga elctrica aislada en el vaco a una distancia r del origen.
M N( )
-
- 11 -
Aplicacin 5: Sea ))sen(),(cos()(/: 2 tttRIRIRAR . Se trata de una hlicecircular, al construir fG , se tiene: 20:))sen(),cos(,( 3 tIRtttG f .
DEFINICIN 2: Sea nm IRIRAf : , definimos el dominio de una funcin segn, )(,:)( XfYIRYIRXfDom nm .
Aplicacin: Si ),1(),(/: 2222 yxyxyxfIRIRf , entonces el dominio de fser el conjunto de puntos en 2IR , tales que las imgenes de la primera componentey la segunda componente de f existan; esdecir: xyyxIRyxfDom ,1:),()( 222 . Este conjunto genera una regin enplano cuyos puntos son interior al circulo de radio uno y superior a la recta deecuacin xy , incluida la frontera que tambin pertenece al dominio de la funcin.
4.1.2 LIMITE DE UNA FUNCIN
DEFINICIN: Sean .,,:, 0 nnm IRLAPIRAfIRA Se dice que )(Pf TIENDE AL CUANDO P TIENDE A 0P , con P en A si 0,0 tal que:
.)(,0 0 LPfAPPP Se escribe: LPf )( cuando 0PP
X Y Z( )
-
- 12 -
Notacin: Si LPf )( cuando 0PP , con AP , escribiremos:L
P0Pf P( )lim
DEFINICIN: Caso )1,2( nm . Sea IRIRAf 2: , y IRL . Se diceque ),( yxf tiende a L cuando ),( yx tiende a ),( 00 yx ; con ),( yx en A si 0 , existe
0 tal que: Lyxfyyxx ),()()(0 2020 . Se escribe Lyxf ),(cuando Ayxyx ),(),( 00 .
Ejemplo 1:
4 1( )x y( )3x 2y( )lim
14
Mostremos aplicando la definicin de lmite que este resultado es correcto. Notemosque )1,4(2)1,4(31243)1(2)4(31423 yxyxyxyxyx
22 )1()4(5)1,4(5 yxyx . Ahora bien, 0 , existe 5/ tal que: 5)1,4(5142314),()1,4()1,4(),(0 yxyxyxfyxyx
Pero como se esta considerando un 5/ , entonces se consigue mostrar que14),( yxf . En efecto, al aplicar la definicin de lmite se muestra lo propuesto.
Ejemplo 2: Mostrar que:
0 0( )x y( )x2 sen x2 y2
x2 y2lim
0
En efecto, al evaluar directamente la funcin 22222 )(),( yxyxsenxyxf
en el punto
(0,0), claramente notamos una indefinicin dado que implica la divisin por cero. Sinembargo; al aplicar la definicin de lmite podemos, observemos que:
),(),(1),(
),()(0)(
2222
22
222yxyx
yxyx
yxsenxyxyxsenx
. En efecto, tomando ,
se tiene que 0 , existe , tal que
2222
22222 ),()(0),(0 yxyxyx
yxsenxyxfyx . Por lo tanto
-
- 13 -
el lmite existe y es cero. Por otra parte, al apreciar las grficas de f, una vista desdearriba (en la direccin el eje z), confirma que la funcin en las vecindades de (0,0)est definida; dado que no se presentan hoyos como imgenes del punto (0,0).
S S
Teorema 1: (Unicidad del Lmite) Si 1)( LPf cuando 0PP y 2)( LPf cuando0PP , con AP , entonces 21 LL
Aplicacin: Sea )/(2),( 22 yxxyyxf . Mostrar que el lmite de f no existe, cuando)0,0(),( yx . En efecto, sea )0,0(:),( xyyxA . Entonces tomando el lmite
de f, cuando )0,0(),( yx , pero con Ayx ),( , se tiene:
0 0( )x y( )f x y( )lim
0 0( )x y( )f x x lim
0 0( )x y( )2 x x
x2 2 x2lim
1 2
Este resultado, contradice la unicidad del lmite, dado que depende de la direccin (otrayectoria) con la cual el punto )0,0(),( yx . Por lo tanto el lmite de esta funcinno existe cuando )0,0(),( yx .
Teorema 2: Sean ),...,(,),...,(,,: 110 nnnnm ffFIRllLAPIRIRAF se tiene:L
P0PF P( )lim
P0Pfi P( )lim
li para todo i=1,n
-
- 14 -
Aplicacin: Sea 22: IRIRAG tal que ),)((),( xyxxsenyxG . Por simple inspeccin:
0 0( )x y( )G x y( )lim
0xsen x( )
xlim 0 0( )x y( )x ylim
1 0( )
Por lo tanto, (1,0) es el limite de ),( yxG , cuando )0,0(),( yx .
Teorema 3: Sean IRIRAgIRLAPIRIRf mnnm :,,,: 0 . Si AP ,)()( PgLPf y si :
P0Pg P( )lim
0 entonces
P0Pf P( )lim
L
Aplicacin: Sea IRIRf 3: tal que )/()(),,( 222333 zyxzyxsenzyxf ; setiene:
PPP
PPPP
Pzyx
zyxzyxsenPf 33)()( 2
3
2
333
2
333
222333
Luego, 0)( Pf si )0,0,0(P , dado que 03 P .
LGEBRA DE LOS LMITESTeorema: Sean APIRIRAgf nm 0,:, , si:
P0Pf P( )lim
L1 y P0P
g P( )lim
L2
Entonces:1. 21))(( LLPgf cuando 0PP 2. 1))(( LPf cuando 0PP 3. Si f es real, 21)()( LLPgPf cuando 0PP .
4. Si f y g son reales )1( n y 02 L , entonces:21
)()(
LL
PgPf cuando 0PP
5. Si f es real, 0f y INk
P 0Pk f P( )lim
k L1
-
- 15 -
De este teorema resulta que si f es una funcin polinmica de varias variables,entonces mIRP 0
P 0Pf P( )lim
f P 0
Ejemplo: Si 22),( yxyxyxf , entonces:
x0 y0 x y( ) f xy( )lim x0 y0 x y( ) x2 xy y2lim
x02 x0y0 y02
-
- 16 -
Listado de Ejercicios N 4.1: LmiteI Curvas de Nivel
1. Bosqueje las siguientes superficies usando curvas de nivel:a) 11694
222 zyx b) 499 222 zyx
c) 499 222 zyx d) 023 22 zyx
e) 49422
2 zyx f) 022 zyx
II Topologa2. Represente grficamente los siguientes conjuntos e indique: interior, adherencia,frontera y puntos de acumulacin; diga adems si es un conjunto cerrado o niabierto ni cerrado.
a) 10:),( 2 yxIRyxAb) 1:),,( 223 zxIRzyxBc) 1:),,( 2223 zyxIRzyxCd) 10:),( 222 yxIRyxDe) 10:),( 222 yxIRyxEf) xyxIRyxF 22 :,g) 2:, 22 xxyIRyxGh) 1:,, 3 zyxIRzyxHi) 1,1,1:,, 3 zyxIRzyxIj) 0144:,, 2223 xzyxIRzyxJIII. Lmites
3. Calcule los siguientes lmites, si existen:
-
- 17 -
a) 2232
)0,0(),(lim
yxyyx
yx
b) 422
)0,0(),(lim
yxxy
yx
c) 4423322
234
)0,0(),(lim
yxyyxyx
yx
d) )cos()1,1(),(lim xyeyx
x
e) yxyxyyxx
yx 222
)1,2(),(lim 223
f) 44222222 34
)0,0(),(lim
yxyxyxyx
yx
g) yxxyxyx
yx
323
)0,0(),(lim h) probar que x
yyx )0,0(),(lim no existe.
4. Analice los siguientes lmites.
a) 1)0,0(),(lim
22
22
yxyx
yx b) 2222 11
)0,0(),(lim
yxyx
yx
c) 22)0,0(),(lim
yxxy
yx d) xyxyx cos)0,0(),(
lim 3
e) 2233 )(
)0,0(),(lim
yxyxsen
yx
f) 222222
)()cos(1
)0,0(),(lim
yxyxyx
yx
g) 22333
)1()1(
)1,1(),(lim
yxyxxyx
yx
5. Si ,),()0,0(),(lim Lyxfyx y si existen los dos lmites
),(lim),(lim yxfbyyyxfax demostrar que:
Lyxfaxbyyxfbyax
),(limlim),(limlim
Los dos ltimos lmites se llaman lmites iterados; el ejercicio pone de manifiesto quela existencia del lmite bidimensional y la de los dos unidimensionales implica laexistencia e igualdad de los lmites iterados. (El recproco no siempre es cierto,encuentre un contraejemplo).
-
- 18 -
4.1.3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DEFINICIN: Sea .: 0 mnm IRyPIRIRAf Se dir f es CONTINUA en 0P si:AP 0 y
P 0Pf P( )lim
f P 0
Aplicacin: Sea IRIRf 2: tal que
)0,0(),(0)0,0(),()(),( 22
22
yxsiyxsiyx
yxxyyxf
Evaluando algebraicamente la funcin en el punto )0,0( , se tiene el problema de ladivisin por cero. Sin embargo la funcin define 0)0,0( f y adems, estudiando ellmite de f cuando )0,0(),( yx , se tiene:
0),(),(),()(0)( 22222
2222
yxyxyxyxyxyx
yxyxxy cuando )0,0(),( yx y
segn teorema 3, se tiene claramente que 0),( yxf si )0,0(),( yx . Enconsecuencia, la funcin es continua; es decir:
00( )xy( )fxy( )lim
f00( )
TEOREMA 1: (Composicin de funciones continuas)Sean .:,: , nnm IRBgIRBIRAf Si f es continua en 0P y g es continua en
)( 00 PfQ entonces fg es continua en 0P .
Ejemplo: Sean 22),( yxyxf y la funcin
01
0,)(xsi
xsixsenx
xg
f es continua en )0,0( porque es una funcin polinmica . Adems, g es continua en0)0,0( f , en efecto, fg es continua en )0,0( , es decir:
0 0( )x y( )g f x y( )( )lim
0 0( )x y( )sen x2 y2
x2 y2lim
1
-
- 19 -
S
TEOREMA: (lgebra de las Funciones continuas).
Sean AAPIRIRAgf nm 0,:, , tales que f y g son continuas en 0P . Entonces:1. gf es continua en 0P2. f es continua en 0P3. Si gfn ,1 es continua en 0P .4. Anlogamente, si 0)( 0 Pg la funcin gf / es continua en 0P .
Aplicacin: )/(2),( 22 yxxyyxf es una funcin no continua en el punto)0,0( (Aplicacin teorema 1 de lmite de una funcin). Sin embargo, )0,0(),( yx es
una funcin racional cuyo numerador y denominador son polinomios y continuosrespectivamente, entonces ),( yxf es continuo )0,0(),( yx , es decir:
x 0 y 0 x y( ) f x y( )lim f x 0 y 0
DEFINICIN: Sea nm IRIRAf : y AB , se dice que f es continua sobre B si ellaes continua en todo punto de B.
-
- 20 -
Ejercicio: Sea, 1),( 2222
yxyxyxf si 122 yx y 0),( yxf si 122 yx . Estudiar la
continuidad de f para todo 200 ),( IRyx .
Resolucin: Consideramos los siguientes casos:Caso 1: Si Ayx ),( 00 donde 1:),( 222 yxIRyxA , entonces existe 0r tal que
AIRryxB 200 )),,(( ., de modo talque )),,((),( 00 ryxByx : 1),( 2222
yxyxyxf .
Luego, f restringida al abierto )),,(( 00 ryxB , es el cuociente de dos funciones continuascuyo denominador no se anula en ),( 00 yx , por lo tanto, f es continua en ),( 00 yx .
Caso 2: Si Ayx )( 00 . Sea AyxP ),( 000 . Entonces se tienen los siguientessubcasos:
Caso 2.1: Sea ),(:),( 0002 yxyyIRyxL . Tomando el lmite a lo largo deesta trayectoria por la izquierda se tiene:
x 0 y 0 x y( ) f x y( )lim x 0x f x y 0 lim x 0xx2 y 02
x2 y 02 1lim
Cuando 0xx , (Por la izquierda) 1202 yx . Entonces 1202 yx es siemprenegativo y
120220
2
yxyx .
Caso 2.2: Tomando el lmite, con Lyx ),( , cuando 0xx , 1202 yx y
1202 yx siempre es positivo, y adems
120220
2
yxyx
En resumen, ),( yxf no es continua en A.
-
- 21 -
Podemos apreciar en la imagen, la discontinuidad de f en las vecindades de lospuntos que pertenecen al conjunto A. Cuando ),(),( 00 yxyx , con AyxP ),( 000 ,el limite de f no existe.
FUNCIONES ACOTADAS:
DEFINICIN: Sea IRIRAf m : . Se dice que f es ACOTADA si el conjunto APPfAf :)()( est contenido en un intervalo cerrado de IR o
equivalentemente: 0M tal que MPfAP )(: .
Aplicacin: 2222 )cos(),( yxyxxyyxf
, si )0,0(),( 2 IRyx y 0)0,0( f . Mostremosque f es acotada sobre 2IR . En efecto,
1),(1),(),(
),(1)cos(),( 2
2
22222
yxfyx
yxyxyx
yxyxxyyxf
-
- 22 -
Listado N 4.2: Continuidad de las Funciones de Varias Variables
1. Sea .0)0,0()0,0(,2),( 22 fyyxsiyxxyyxf Demostrar que:
a) Para cada x fija, ),( yxf es una funcin continua de y.b) Para cada y fija, ),( yxf es una funcin continua de x.c) f no es continua en .0,02. Analice la continuidad de f en 2IR donde IRIRf 2: est definida por:
a) 00,0);0,0(,2),( 2233
fyxsiyx
yxyxf
b) 00,0);0,0(,),( 22 fyxsiyxyxyxf
c) 00,0);0,0(,1)(),( 2222
fyxsiyxsenyxyxf
d) 10,;11),( 22222222
yxsiyxfyxsiyxyxyxf
e) 00,0;0,0,),( 22 fyxsiyxxysenyxf
f) 00,0;0,0,, 2222
fyxsiyxyxyxf
g) 0)0,0(;0,0,),( fyxsiyxyxyxf
h)
xysiyyxsixyxf ),(
i) 0)0,0();0,0(,),( 22 fyxsiyxyxyxf
3. Sea IRIRf n : definida por: )0,...,0(,...,......),...,( 122
22
121
1 n
nn
n xxsixxxxxxxxf
y .0)0,...,0( f Determinar si f es o no continua en el origen de .nIR
-
- 23 -
4. Si ),0,0(),( yx consideremos la funcin )./()(),( 2222 yxyxyxf Encontrar ellmite de ),( yxf cuando )0,0(, yx a lo largo de la recta .mxy Es posibledefinir )0,0(f de modo que f sea continua en ?0,0
4.2 FUNCIONES DIFERENCIABLES
4.2.1 FUNCIONES DERIVABLES DE IR EN nIR
DEFINICIN: Sean nIRbaf ,: y bat ,0 . Se dice que f es derivable en 0t siexiste el lmite de h
tfhtf )()( 00 cuando h tiende a cero, y en tal caso este lmite es
un vector de nIR que se denota por )/ 0tf . Es decir:nIRh
tfhtfhtf
)()(0
lim)( 000 .
PROPOSICIN 1: Si nIRbaf ,: , bat ,0 y ),...( 1 nffF , entonces f esderivable en 0t si y solo si cada una de las componentes jf de F es derivable en 0t yen tal caso se tiene: ))(),...,(()( 0010 tftftf n .
Ejemplos:1. Si 2: IRIRf es tal que )),(cos()( ktettf , entonces para todo IRt :
)),(()( ktketsentf 2. Si )),cos/),(()()),(),(cos()(,: 3 ktkt kettsentgetsenttgIRIRg
Interpretacin Cinemtica: Si la curva )(tft representa el movimiento de unapartcula, entonces )( 0tf representa el vector velocidad en el instante 0t . Si f es dosveces derivable; entonces )()()( 00 tftf es el vector aceleracin.
-
- 24 -
PROPOSICIN 2: Si nIRbaf ,: es derivable en 0t , entonces existe una funcinlineal nIRIRL : y una funcin nIRIRJ : definida en una vecindad del 0tal que:(1) h , suficientemente pequeo: ),()()()( 00 hhhLtfhtf y (2)
0h h( )lim
0
OBSERVACIN: La aplicacin lineal L se llama DIFERENCIAL DE f en 0t . L esnica y se denota por )( 0tdfL . Bajo esta forma puede generalizarse el conceptode funcin diferenciable para funciones nm IRIR .
4.2.2 DERIVADAS PARCIALES
DEFINICIN: Sean APIRIRAf m ,: . Se llama DERIVADA PARCIAL de f enel punto P, con respecto a la variable jx , y se denota por )(Px
fJ
, al lmite, si existe,
de:
hxxfxxhxxxf mmjjj ),...,(),...,,,,...,( 1111 cuando 0t , donde ),...,( 1 mxxP ; Es
decir:
hxxfxxhxxxf
hPxf mmjjjj
),...,(),...,,,...,(0
lim)( 1111 .
EJEMPLO 1: Sea 2222 )(),( yx
yxxyyxf , para todo )0,0(),( yx y 0)0,0( f .
Determinar las derivadas parciales de f en 2IR .Solucin:Caso 1 : Para todo )0,0(),( yx , 22
332222 )(),( yx
xyyxyxyxxyyxf
, es una funcin
racional cuyo numerador y denominador son polinomios continuos. Entonces:
-
- 25 -
2225324
222332232
)(4
)(2)())(3(),( yx
yyxyxyx
xxyyxyxyyxyxxf
2224235
222332223
)(4
)()())(3(),( yx
xyyxxyx
xyyxyxxyxyxyf
Caso 2: Para )0,0(),( yx , se debe aplicar la definicin de derivada parcial en unpunto, es decir:
000lim)0,(
0lim)0,0()0,(
0lim)0,0())0,1()0,0((
0lim)0,0(
hhh
hfhh
fhfhh
fhfhx
f
000lim),0(
0lim)0,0(),0(
0lim)0,0())1,0()0,0((
0lim)0,0(
hhh
hfhh
fhfhh
fhfhy
f
Ejemplo 2: Sea )cos(),( 2222 yxeyxh yx . Calcular las derivadas parciales deprimer orden de la funcin.
)(2)cos(2),( 2222 2222 yxsenexyxexyxxh yxyx
)(2)cos(2),( 2222 2222 yxseneyyxeyyxyh yxyx
Ejemplo 3: Estudiar continuidad de las derivadas parciales de 2222 )(),( yx
yxxyyxf ,
para todo )0,0(),( yx y 0)0,0( f .
Solucin:Caso 1: Para todo )0,0(),( yx , ),( yxx
f y ),( yxy
f son funciones racionales con
numerador y denominador, polinomios continuos, luego la divisin de polinomioscontinuos es una funcin continua.Caso 2: Sea )),0,0((),( rByx , entonces:
-
- 26 -
0),(6),(),(6
),(4
)(40),( 4
5
4
5324
2225324
yxyxyx
yxyyxyx
yxyyxyxyxx
f , cuando
)0,0(),( yx . Por lo tanto segn teorema mostrado
)0,0(0),()0,0(),(lim
xfyxx
fyx
;
Anlogamente:
0),(6),(),(6
),(4
)(40),( 4
5
4
4235
2224235
yxyxyx
yxyxyxx
yxxyyxxyxy
f y por
consiguiente; )0,0(0),()0,0(),(lim
yfyxy
fyx
En efecto, las derivadas parciales de primer orden de f, son funciones continuas entodo el dominio de f.
Ejemplo 4: Estudiar la continuidad de las derivadas parciales de)cos(),( 2222 yxeyxh yx .
Solucin: En efecto, sea 2),( IRyxP , entonces claramente,),( yxx
h y ),( yxy
h , son producto de funciones compuestas y continuas en funcin
de P , es decir:
),()(2)cos(2),( 002222 yxx
hPsenexPexyxxh PP
, cuando
),(),( 00 yxyx . Por lo tanto, ),( yxxh es una funcin continua en 2IR . La
continuidad de ),( yxyh se muestra anlogamente al caso ),( yxx
h .
Notaciones: fDxf
1 fDy
f2
-
- 27 -
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS PARCIALESSean IRIRAgf m :, , si
ii xgyx
f
existen en un punto P de A, se tiene:
1. )()())(( PxgPx
fPgfx iii
2. )()()()())(( PxgPfPgPx
fPfgx iii
3. )()())(( 1 PxfPmfPfx i
mmi
4. 2))(()()()()(
))(( PgPx
gPfPxfPg
Pgf
xii
i
4.2.3 INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Si ),(,: 0002 yxPIRIRAf entonces )( 0Pxf es la pendiente de la recta tangente
a la curva ),( 0yxfx en el punto 0xx . Anlogamente para )( 0Pyf .
Por otra parte, si IRIRAf : , entonces la ecuacin de la recta tangente a lacurva representada por la ecuacin )(xfy en un punto ),( 00 yx de ella es:
))(( 000 xxxdxdyyy .
Ahora bien, para funciones ),(,: 0002 yxPIRIRAf , el conjunto fG representauna superficie en 2IR definida por ),( yxfz . Consideremos un punto
fGzyx ),,( 000 , y cortemos dicha superficie por el plano 0yy , la interseccin entrela superficie y el plano es la curva de ecuacin ),( 0yxfz que tiene como pendiente
en 0P la derivada parcial de f respecto a x y evaluado en 0x ; es decir ),( 00 yxxf .
-
- 28 -
Anlogamente, )( 0Pyf representa la pendiente de la curva ),( 0 yxfz en el punto
0P . Entonces: ))(,())(,(),(),( 00000000 yyyxyfxxyxx
fyxfyxf
Representa la ecuacin del plano tangente a la superficie ),( yxfz en el punto 0P .Aplicacin: Sea 22 1098),( yxyxf . Se pide determinar la ecuacin del planotangente a f en el punto )1,1(0 P .Solucin: Calculando las derivadas parciales de f se tiene:
20)1,1(20),(;18)1,1(18),(
yfyyxy
fxfxyxx
f . Por lo tanto, la
ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin ),( yxfz , en el punto)1,1(0 P es:
)1(20)1(1811)1()1,1()1()1,1()1,1(),(
yxzyyfxx
ffyxf
Luego, la ecuacin general del plano tangente es 272018 yxz . En la siguientefigura se aprecia la grfica de ),( yxfz con el plano tangente en el punto )1,1(0 P .
S G
-
- 29 -
DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS
Sea IRIRAf m : existe )(Pxfj
y si existe )(ji xf
x
en un punto P de A, se
denota por )(2
Pxxf
ji y se llama DERIVADA PARCIAL SEGUNDA de f con respecto
a las variables ij xx , en el punto P. En forma anloga se definen las derivadasparciales de orden superior.
Ejemplo: Sea 2222 )(),( yx
yxxyyxf , para todo )0,0(),( yx y 0)0,0( f . Calcular las
derivadas parciales segundas.Solucin: Conocidas las derivadas parciales de primer orden, entonces, para todo
)0,0(),( yx ,
322335
2225324
22
)(412
)(4)),((),( yx
yxxyyx
yyxyxxyxx
fxyxx
f
322335
2224235
22
)(412
)(4)),((),( yx
yxyxyx
xyyxxyyxy
fyyxy
f
322642246
22242352
)(99
)(4)),((),( yx
yyxyxxyx
xyyxxxyxy
fxyxyx
f
Anlogamente,
322642246
22253242
)(99
)(4)),((),( yx
yyxyxxyx
yyxyxyyxx
fyyxxy
f
Por otra parte, para conocer las derivadas parciales de segundo orden de f en elpunto )0,0(),( yx , se aplica la definicin, es decir:
0000lim)0,0()0,(
0lim))0,0(()0,0(2
2
hhh
xfhx
f
hxf
xxf
-
- 30 -
0000lim)0,0(),0(
0lim))0,0(()0,0(2
2
hhh
yfhy
f
hyf
yyf
10
0lim)0,0()0,(
0lim))0,0(()0,0( 4
52
h
hh
hhyfhy
f
hyf
xyxf
10
0lim)0,0(),0(
0lim))0,0(()0,0( 4
52
h
hh
hhxfhx
f
hxf
yxyf
Observamos que )0,0()0,0(22
xyf
yxf
.
TEOREMA DE SCHWARZ: Si IRIRAf m : es tal que en una vecindad del punto
P de A, ,ixf
ijjij xxfyxx
fxf
22, existen y son continuas, entonces se verifica:
).()(22
PxxfPxx
fijji
En efecto, no es cierto que ).()(22
PxxfPxx
fijji
Un claro ejemplo sera la funcin
definida anteriormente, donde se presenta el caso )0,0()0,0(22
xyf
yxf
.
4.3 FUNCIONES DIFERENCIABLES DE nm IRIR
DEFINICIN 1: Sean A un abierto de nm IRAfIR :, y AP 0 . Se dice que f esDIFERENCIABLE en AP 0 , si existen nm IRIRL : lineal y ,: nm IRIRV Donde V es una vecindad de mIR tales que:1) Para todo ,/ 0 AHPIRH m se tiene: ).()()()( 00 HHHLPfHPf
2) )(lim Hh
-
- 31 -
Proposicin 1: f es diferenciable en AP 0 si y solo si existe nm IRIRL : lineal tal
que: 0)()()(lim 00 HHLPfHPf
H
Proposicin 2: (Unicidad de la Diferencial). La aplicacin L de la definicin anterior, siexiste, es nica.Notacin: )( 0PdfL
CONCEPTO DE BUENA APROXIMACIN
DEFINICIN 1: Sean nm IRIRf : una aplicacin continua en mIRP 0 . Se dice queuna funcin continua en nm IRIRgP :,0 es una BUENA APROXIMACIN de f en
una vecindad de mIRP 0 si:
00)()(lim
PPPgPf
PP
OBSERVACIN 1: Otra manera de expresar esto es decir que f y g son tangentesen 0P .
Teorema 1: Si nm IRIRf : es diferenciable en 0P , entonces f es continua en 0P .
OBSERVACIN 2:1. f es diferenciable f continua.2. f continua no implica f diferenciable.
DEFINICIN 2: Se dice que una aplicacin nm IRIRT : es APLICACIN AFN siexiste nm IRIRL : lineal y un vector nIRv tales que para todo mIRP ,
vPLPT )()( : Es decir T es afn T es la suma de una aplicacin lineal y de unaaplicacin constante.La aplicacin lineal L es nica y se llama la APLICACIN AFIN ACOTADA a T.
-
- 32 -
PROPOSICIN 1: Si nm IRIRf : es diferenciabe en 0P , entonces f tiene unabuena aproximacin afn en T en las vecindades de 0P , dada por:
)()()()( 000 PPPdfPfPT (*)
Aplicacin 1: Sea 0)0,0();0,0(),(,),(/: 6232
2 fyxsiyxyxyxfIRIRAf
a) Analizar continuidad de f en )0,0(),( yxb) Analizar diferenciabilidad de f en )0,0(),( yxc) Determinar )0,0(dfSolucin: a) )),0,0((),( rByx , se tiene
)0,0(),(,0),(0),( 33232
6232
yxcuandoyxyxyx
yxyxyxf , por lo
tanto, se puede afirmar que 0)0,0()0,0().(lim
6232
fyxyx
yx .
b) Calculamos las derivadas parciales de f en )0,0(),( yx . En efecto:
0000lim)0,0()0,(
0lim)0,0(
hhh
fhfhx
f
0000lim)0,0(),0(
0lim)0,0(
hhh
fhfhy
f
Por lo tanto las derivadas parciales de f existen. Ahora bien, sea:yy
fxxfyxy
fxfyxdfyxLIRIRL
)0,0()0,0(),())0,0(),0,0((),)(0,0(),(/: 2
Una aplicacin lineal y es tal que: ,0),( yxL entonces estudiemos el siguientelmite:
2262
32
)()0,0(),(lim
),(),(
)0,0(),(lim
),(),()0,0())0,0(),((
)0,0(),(lim
yxyxyx
yxyxyxf
yxyxyxLfyxf
yx
En efecto:
)0,0(),(,,0),(),(),(
),(0)( 23
2
32
2262
32 yxcuandoyxyx
yxyxx
yxyxyx
yx
-
- 33 -
Por lo tanto, )0,0(0),(),(
)0,0(),(lim enblediferenciaesfyx
yxfyx
Conclusin inmediata: f es continua en )0,0(),( yx . En efecto, se puede analizardirectamente la diferenciabilidad de f en un punto para saber sobre la continuidadde f en el punto respectivo.c) La diferencial de f en el punto )0,0(),( yx , es por lo tanto:
0)0,0()0,0(),())0,0(),0,0((),()0,0(
yy
fxxfyxy
fxfyxdf
OBSERVACIN 3: Se puede probar que la proposicin ltima admite una recproca en el sentido
que si f admite una buena aproximacin T afn en las vecindades al ,0Pentonces f es diferenciable en 0P y T est dado por (*).
Para una funcin IRIRAf 2: diferenciable en 0P ; el grfico de la buenaaproximacin afn de f en 0P corresponde al plano tangente a la superficiede ecuacin ),( yxfz en 300 ))(,( IRPfP .
PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES DIFERENCIABLES
1) Si ,: nm IRIRf es constante, es decir ,,)( mIRPkPf donde nIRk es unvector fijo, entonces f es diferenciable en todo punto 0P de mIR y se cumple que
0)( 0 Pdf (aplicacin lineal nula).2) Si ,: nm IRIRf es afn, es decir, vPLPf )()( , entonces f es diferenciable entodo punto 0P de mIR y .)( 0 LPdf
Teorema 2: (Regla de la cadena o diferencial de la funcin compuesta)Si nm IRIRf : es diferenciable en 0P y pn IRIRg : es diferenciable en ),(Pf
-
- 34 -
Entonces pm IRIRfg : es diferenciable en P y se tiene que:)())(())(( PdfPfdgPfgd
Teorema 3: Si nm IRIRf : , ),...,( 1 nfff y ,0 mIRP entonces f es diferenciableen 0P si y solo si cada if es diferenciable en 0P . En tal caso se tiene: ,mIRX ))(,...,)(())(( 0010 XPdfXPdfXPdf nTeorema 4: (lgebra de las funciones diferenciables)Sean IRIRPIRIRgf mnm ,,:, 0 . Si f y g son diferenciables en ,0P entonces:1) gf es diferenciable en 0P y )()())(( 000 PdgPdfPgfd 2) f es diferenciable en 0P y )())(( 00 PdfPfd 3) Si ,1n entonces gf es diferenciable en ,0P y )()())(( 000 PdgfPdfgPfgd 4) Si ,1n entonces 20000 )(/))()(())(/( PgPdgfPdfgPgfd
Teorema 5: Si mIRIRbaf ,: es derivable en ,0t entonces f es diferenciableen ,0t y se cumple ).())(( 00 tftttdf
MATRIZ JACOBIANA
DEFINICIN 1: Si nm IRIRf : es una aplicacin diferenciable en un punto,0 mIRP se llama matriz JACOBIANA de f en 0P , a la matriz de la aplicacin lineal
,:)( 0 nm IRIRPdf con respecto a las bases cannicas de nm yIRIR . Es decir, a la
matriz ijPdf )( 0 tal que:
n
jjjiiePdf
1))(( ; donde )( j y )( ie son las bases
cannicas de nm yIRIR respectivamente. En efecto, )( 0Pxfji
ij es la derivada
parcial de la componente if de f con respecto a la variable jx .
-
- 35 -
Aplicacin 1: Sea
),(
),(132/
1211
32/112),(/: 22 yxv
yxuyx
yxyxyxfIRIRf
Luego, las derivadas parciales de ),(),,(),( yxvyxuyxf existen y son:32/11;2
yv
xv
yu
xu
Por lo tanto;
32/112
),( 00 yxdf Es la matriz Jacobiana de f en un punto ,20 IRP y
la diferencial de f en 20 IRP , ser entonces:
yx
yxyxyxdf yx 32/
232/112),(),( 00 . Ntese que se cumple la propiedad (2) de
las aplicaciones diferenciables.
Aplicacin 2: Determinar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin22 yxz en el punto fG)1,1,2( .
Solucin: Las derivadas parciales de la funcin 22),( yxyxfz existen y son:.2),(;2),( yyxy
zxyxxz
Luego yyxxyxyxyxdf yx 0000),( 22),()2,2(),(00 )1,2()1,2(),( ),( 00 yxdfzyxz yx es decir, la ecuacin del plano tangente a
22),( yxyxfz en el punto fG)1,1,2( es:
)1(2)2(221)1()1,2()2()1,2()1,2(
yxzyyfxx
ffz
Por lo tanto: .1222 zyx (Ecuacin Plano tangente)La aproximacin a fin de f en )1,2( es:
)1,2(1
2)2,22(),()1,2()1,2(),( )1,2( fyxyxTyxdffyxT
1222),( yxyxT (Es la ecuacin del plano tangente, en la forma de unaaplicacin lineal).
-
- 36 -
S ZEn esta figura se aprecia la tangencia del plano a la superficie (silla de montar) en elpunto fG)1,1,2( . En las vecindades del punto )1,2( , T es una buena aproximacin afin a la funcin IRIRf 2: .
Teorema 6: Si IRIRAf 2: es diferenciable en un punto 0P de A, entonces:
)()()(0lim))(( 0000 Px
ft
PftePftePdf i
ii
Si IRIRAf m : es diferenciable es un punto 0P , entonces sus derivadas parcialesde primer orden )(),...( 001 PfDPfD m existen, y se cumple: ),)(()( 00 ii ePdfPfD para
mi ,...,1 .La recproca de esta propiedad es falsa.
Contra Ejemplo: Sea IRIRAf 2: , definida por ,),( 22 yxxyyxf si )0,0(),( yx y
0)0,0( f . En efecto,
000lim0)0,(
0lim)0,0())0,1()0,0((
0lim)0,0(
hhh
hfhh
fhfhx
f
000lim0),0(
0lim)0,0())1,0()0,0((
0lim)0,0(
hhh
hfhh
fhfhy
f , luego las
derivadas parciales existen. Por otra parte:
-
- 37 -
2/322)0,0(
)()0,0(),(lim
),(),(
)0,0(),(lim
),()0,0()0,0(),(
)0,0(),(lim
yxxy
yxyxyxf
yxyxyxdffyxf
yx
Tomando el lmite con puntos )0,0(:),(),( 22 xyIRyxLyx , entonces
.)1(0lim
)(0lim
),(),(
)0,0(),(lim
2/3222/34223
22
xxxx
xxxx
xxfyx
En efecto, el lmite anterior no existe, dado que contradice la unicidad al tomar lasdistintas trayectorias propuestas. Por lo tanto IRIRf 2: no es diferenciable en
)0,0(),( yx . Se ven distintas imgenes que muestran la no existencia de )0,0(df .
Corolario 1: Si nm IRIRAf : es diferenciable en un punto 0P de A y ),,...,( 1 mfff entonces para todo njmi ,...,1,,...,1 se cumple:
)()()(0lim))(( 0 Px
fh
PftePfhePdf i
jjjij
Corolario 2: Si nmm IRIRffff :),,...,( 1 , es diferenciable en 0P , y si )( 0Pdf indica lamatriz Jacobiana de f en 0P , entonces:
)(.......)()(.................
)(........)()()(.......)()(
)(
002
01
02
022
012
01
021
011
0
PxfPx
fPxf
PxfPx
fPxf
PxfPx
fPxf
Pdf
mnnn
m
m
Notacin: )()( 00 PJPdf f
Aplicacin 3: Sea )/,/()),(),,((),(/: 22 xyyxyxvyxuyxfIRIRf . Determinar lamatriz )()( 00 PJPdf f , en cualquier punto ).0,0(),( yx
-
- 38 -
Solucin:
0
200
2000
),(
00 /1///1),(
00
xxyyxy
yv
xv
yu
xu
yxJyx
f
FUNCIONES DE CLASE CCC ,...,, 21
DEFINICIN:(a) Sea .: nm IRIRAf Se dice que f es de CLASE 1C si para todo ,,...,1 mj ypara todo ,,...,1 ni
jixf
existe sobre A y es continua.
(b) Se dice que f es de clase 2C en A si f es de clase 1C en A y si todas lasderivadas de segundo orden existen y son continuas en A.
(c) Anlogamente se definen las funciones de clase ,..., 43 CC(d) Se dice que f es de clase C si para todo k en IN, f es de clase kC
Teorema: f de clase fC 1 diferenciable
Aplicacin: Considere la funcin IRIRf 2: definida por:
2222 1)(),( yxsenyxyxf , si )0,0(),( yx y ,0)0,0( f entonces:
a) Mostrar que f es diferenciable en )0,0(),( yxb) Mostrar que yx fyf no son continuas en )0,0(),( yxc) Determinar )1,1(dfSolucin:a) Determinamos las derivadas parciales de f en; en efecto:
0/1)/1(
0lim)/1(
0lim)0,0()0,(
0lim)0,0(
2
hhsen
hhhsenh
hhfhf
hxf
-
- 39 -
0/1)/1(
0lim)/1(
0lim)0,0(),0(
0lim)0,0(
2
hhsen
hhhsenh
hhfhf
hyf
Notar que xxsenx 0)/1( . Por lo tanto tomando se prueba que
0/1)/1(
0lim x
xsenx .
Supongamos 00,000))0,0(),0,0(()0,0()0,0(
y
xyx
yf
xfyxdf
Entonces estudiamos:
22
22)0,0(
/1)/1(
)0,0(),(lim
),(),(
)0,0(),(lim
),()0,0()0,0(),(
)0,0(),(lim
yxyxsen
yxyxyxf
yxyxyxdffyxf
yx
Luego: ,0),(0/1( 2222 yxyxsenyx si )0,0(),( yx . Por lo tanto el lmiteanterior existe y vale cero; lo que implica que la funcin es diferenciable en )0,0(),( yxy 0),()0,0( yxdf (La diferencial en este caso es la aplicacin nula).
b) Sea )0,0(),( yx , entonces derivando y simplificando se tiene:
22
2222 )/1cos()/1(2),( yx
yxxyxsenxyxxf
22
2222 )/1cos()/1(2),( yx
yxyyxsenyyxyf
Convidemos el lmite de yf
xf
, por la trayectoria xy :
2
)21cos(
2120
lim),(0lim),()0,0(),(
lim xxsenxxxxx
fxyxx
fyx
El segundo trmino de este lmite no existe, dado que su argumento tiende a infinito y elcoseno de infinito no existe. En efecto, x
f no es continua en )0,0(),( yx dado que
),()0,0(),(lim yxx
fyx
No existe.
-
- 40 -
Anlogamente,
2
)21cos(
2120
lim),(0lim),()0,0(),(
lim yysenyyyyx
fyyxy
fyx
Y se tiene el mismo caso anterior, dado que su argumento tiende a infinito y el cosenode infinito no existe. En efecto, y
f no es continua en )0,0(),( yx dado que
),()0,0(),(lim yxy
fyx
No existe.
c) Determinamos las derivadas parciales de f en )1,1(),( yx evaluando directamente:
2)2/1cos()2/1(2)1,1(
senxf
2)2/1cos()2/1(2)1,1(
senyf
yf
xf
, Son una composicin de funciones continuas en las vecindades del punto
)1,1(),( yx , en efecto; si )()()()(,)/1cos()/1()( xgPhPxfxxgP
PPsenPh
Y )()()( ygPhPyf , donde tanto h y g son continuas en la vecindad de )1,1(),( yx .
Esto prueba, segn ltimo teorema, que f es de clase 1C y entonces es diferenciable en)1,1(),( yx , donde:
y
xsensenyxJy
xyf
xfyxdf f 2
)2/1cos()2/1(22)2/1cos()2/1(2)1,1()1,1(),1,1(),()1,1(
ysenxsenyxdf )2)2/1cos()2/1(2()2
)2/1cos()2/1(2(),()1,1(
Las imgenes siguientes explican tal vez la no continuidad de las derivadas parciales dela funcin en el origen de coordenadas, dado que en las vecindades de este origen, lagrfica de f oscila agudamente, fuera de esta vecindad, se comporta como unparaboloide suave.
-
- 41 -
4.4 DERIVADAS CON RESPECTO A UN VECTOR Y DERIVADAS DIRECCIONALES
DEFINICIN: Sea .: IRIRAf n Si ,nIRx llamaremos DERIVADA DE f en 0PSEGN EL VECTOR x , a la derivada, si existe, de la funcin ),( 0 xtPft en 0tY en tal caso la denotaremos por ).( 0PfDx Es decir:
tPfxtPf
tPfDx)()(
0lim)( 000
Teorema: Si f es diferenciable en ,0P entonces para todo ,mIRx existe )( 0PfDx y se
cumple que: ,)())(()( 000 xPfxPdfPfDx donde
)(),...,()( 00
10 Px
fPxfPf
mes el
gradiente de f en 0P .
Aplicacin 1: Sea )cos(),( )( 22 xeyxf yx y el vector jix . Determinar )1,0(fDx .Solucin: f propuesta es diferenciable en )1,0(0 P dado que el producto de dosfunciones diferenciables; luego:
)cos(2),()cos(2),(),,(),( 222222 xyexsenexxeyxyfyxxfyxf yxyxyx 111 2)1,1()2,0()1,1()1,0()1,0(2,0)1,0( eeffDef x
-
- 42 -
OBSERVACIN: Si mIRx tiene norma 1, es decir ,1x entonces )( 0PfDx se llama laderivada direccional de f en 0P , en la direccin del vector x ; en tal caso usaremos la
notacin: )()( 00 PxfPfDx
Aplicacin 2: Sea )0,0()0,0(),0,0(),(2),( 242
fyyxsiyxyxyxf .
a) Mostrar que f no es diferenciable en )0,0(),( yxb) Determinar la derivada direccional de f en )0,0(),( yx , para cualquier direccin.Solucin: Calculando las derivadas parciales de f en )0,0(),( yx :
;0000lim)0,0()0,(
0lim)0,0(
hhh
fhfhx
f
;0000lim)0,0(),0(
0lim)0,0(
hhh
fhfhy
f
Entonces estudiamos el lmite:
2224
2)0,0()(
2)0,0(),(
lim),(),(
)0,0(),(lim
),()0,0()0,0(),(
)0,0(),(lim
yxyxyx
yxyxyxf
yxyxyxdffyxf
yx
Tomando lmite por la trayectoria )0,0(:),( xyyxL se tiene:
2222243
22
)(22
0lim
2)(2
0lim
),(),(
)0,0(),(lim
xxxxx
xxxx
xxfyx por lo tanto el
lmite depende de la trayectoria que se escoja, lo cual, contradice la unicidad. Por lotanto, la funcin no es diferenciable en )0,0(),( yx .b) Sea ),(cos sen una direccin a tomar para calcular la derivada direccional de fen )0,0(),( yx ; entonces aplicando la definicin:
)cos(
cos20
lim),cos(0
lim)0,0(),(cos)0,0(0
lim)0,0( 224422
senttttsent
tttsentf
ttfsentf
tf
0,cos2)cos(cos2
0lim)0,0(
2242
2
sensentsen
tf
-
- 43 -
Aplicacin 3: Determinar el gradiente de la funcin potencial generada por una cargaelctrica en el vaco.Solucin: ,14),,( 2220 zyx
qzyxV La teora electromagntica define
),,(),,( zyxVzyxE ; relacin entre el campo elctrico generado por una carga en elvaco y el potencial elctrico. Luego:
2/32220
2/32220
2/32220 )(4;)(4;)(4 zyx
zqZV
zyxyq
yV
zyxxq
xV
Por lo tanto;
202/32222/32222/32220 4)(4,,),,( rrqkzyx
zjzyxyizyx
xqzV
yV
xVzyxE
Donde kzjyixr . La siguiente sera la grfica en 3D del campo vectorialgenerado por la carga elctrica en el vaco (Sin considerar el orden de magnitud).
-
- 44 -
4.5 REGLA DE LA CADENA PARA DERIVADAS PARCIALES
Teorema: Si ),...,(),...,,...,( 1111 nmmn xxfuxxfu con m funciones difenciables if de nvariables .,...,1 nxx Si ),,...,(),...,,...,( 1111 nnnn ttgxttgx donde ngg ,...,1 son diferenciables
y si consideramos )),,...,(),...,,...(( 111 nnnii ttgttgfu se tiene:
jk
ki
ji
tx
xu
tu
Donde
jish denota la matriz jacobiana.
En efecto:jn
ni
ji
ji
ji
tu
xu
tx
xu
tx
xu
tu
...22
11
Ejemplo 1: Sea ),(ufz con .22 yxu Probar que: 0
yzxx
zy
Solucin: 02222
ufxyu
fxyyzxx
zyufyy
uuf
yzyu
fxxu
uf
xz
Ejemplo 2: Sea IRIRf 2: una funcin diferenciable en todo 2IR y ),( yxfw dondesenteytex ss ,cos . Suponiendo que las segundas derivadas parciales de f existen,
probar que:
2
22
22
22
22
tw
swey
wxw s
Solucin: Usamos el siguiente rbol de derivacin; es decir:
w
x y
s ts t
-
- 45 -
senteywtex
wsy
yw
sx
xw
sw ss
cos
teywsentex
wty
yw
tx
xw
tw ss cos
Aplicando las segundas derivadas parciales:
yw
ssenteywsentex
wstex
wtesw
ssw ssss coscos2
2
yw
tteywsentex
wtsentex
wtetw
ttw ssss coscos2
2
Por otra parte:
xywsentex
wteywsentex
wtesw ssxsxsx
2
22
coscos
222
coscos ywsenteyx
wteywsentex
wtesw ssysysy
xywtex
wsenteywtex
wsentetw ssxsxsx
2
22
coscos
222
coscos ywteyx
wsenteywtex
wsentetw ssysysy
Luego:
22
222
22
222
22
cos2coscos ywtseney
wsentexywtsentex
wtexwtes
w sssss
22
222
22
222
22
coscos2cos ywtey
wsentexywtsentex
wtsenexwtet
w sssss
2
22
22
22
22
22
22
22
22
22
tw
swey
wxw
ywex
wetw
sw sss
Ejemplo 3: La masa de un cohete lanzado desde la tierra al espacio es de 5000kilogramos y est disminuyendo debido al consumo de combustible a razn de
./40 sKg Con qu rapidez la fuerza de gravedad F disminuye cuando el cohete
-
- 46 -
est a 6400 kilmetros del centro de la tierra y est alejndose a una velocidad de100 kilmetros por segundo? Por la Ley de Gravitacin de NEWTON, 2r
MmGF
donde G: Constante de gravitacin universal; .1067259.6 23
11sKg
mG M es la masa
de la tierra y .109660.5 24KgM
Solucin: Para F, las variables seran m y r, dado que la masa del cohete estdisminuyendo por el consumo de combustible y el cohete se estara alejando de latierra; luego, la variacin de la fuerza gravitatoria se determina aplicando la regla dela cadena al derivar la expresin de la Ley de Gravitacin universal de NEWTON:
tr
rF
tm
mF
tFrmFF
),(En efecto:
sKm
tr
sKg
tm 100;40
tr
rGMm
tm
rGM
tF
32 2
Evaluando esta ltima expresin en el sistema internacional (SI); .1130 sN
tF Es
decir, la variacin de la fuerza gravitatoria es de 1130 N/S en disminucin.
El teorema siguiente dar sentido a la frmula:
m
ii
idxx
fdf1
Teorema: Si IRIRAf m : es diferenciable, entonces, :AP
m
ii
idxPx
fPdf1
)()(
La expresin de la derecha se llama a menudo diferencial total de f
Ejemplo 1: Determine la diferencial total de f s 2),,( xyzzyxf
-
- 47 -
Solucin: cxyzbxzayzcbazyxdfdzxyzdyxzdxyzzyxdf 2),,)(,,(2),,( 2222
Ejemplo 2: (Aplicacin) Un slido rectangular tiene longitud, altura y espesor de 6,5 y4 pulgadas respectivamente. Utilice la diferencial para estimar el error en el volumensi cada una de estas dimensiones est sujeta a un error de 0.01 pulgadas.
Solucin: Si x, y, z denotan la longitud, altura y espesor, respectivamente, elvolumen xyzV entonces si )4,5,6(),,( 0 XyzyxX y tomando
000 ;; zzdzyydyxxdx entonces la diferencia )()( 0XVXV se aproximapor:
dzyxdyzxdxzyzzyyxx
yxzxzyXXXJV 000000000
00000000 )()()(
Donde 01.0 dzdydx y en efecto:74.001.03001.02401.020))(( 00 XXXJV
Por lo tanto, el error en el volumen es 0.74.
DERIVADA DIRECCIONAL MXIMA
DEFINICIN: Recordemos que si uIRIRAf m ,: es un vector unitario y ,0 AP se llama derivada direccional de f en el punto 0P en la direccin del vector ,u a laderivada de la funcin )( 0 utPft en el punto 0t y se denota por ).( 0 PfDu Es
decir: tPftuPf
tPuf )()(
0lim)(
000
Si ).()(, 00 PxfPfDentonceseui
ei i
Si f es diferenciable en ,0P entonces ).())(( 00 PfDuPdf u
Ejemplo: Sea 0)0,0()0,0(),(,)(),( 22 fyyxsiyxyxsenxyyxf
-
- 48 -
a) Mostrar que f es continua en )0,0(b) Mostrar que f no es diferenciable en )0,0(c) Mostrar que )2/1,2/1(,2/1)0,0(
udondeuf
Solucin:a) Para todo
),(2),()),(),((),(
),()(0),()),0,0((),( 2
2
222 yxyxyxyxyx
yxyxyx
yxyxxyyxfrByx
tomando 2/ se tiene:)0,0(0),()0,0(),(
lim2),(20),(0)0,0(),(0 fyxfyxyxyxfyx b) Estudiamos el lmite:
),()0,0()0,0),(
)0,0(),(lim )0,0(
yxyxdffyxf
yx
donde:
000lim)0,(
0lim)0,0()0,(
0lim)0,0(
hhh
hfhh
fhfhx
f
000lim),0(
0lim)0,0(),0(
0lim)0,0(
hhh
hfhh
fhfhy
f , por lo tanto si existe,
entonces .0),()0,0( yxdf En efecto:
2/322)0,0(
)()(
)0,0(),(lim
),(),(
)0,0(),(lim
),()0,0()0,0(),(
)0,0(),(lim
yxyxsenxy
yxyxyxf
yxyxyxdffyxf
yx
Tomando el lmite por la trayectoria ,)0,0(:),( xyyxL es decir:02
12
)2(22
0lim
2)2(
0lim
),(),(
)0,0(),(lim
2/332/32
xxsen
xxxsenx
xxxxxf
yxEn efecto, el lmite anterior es distinto de cero, lo que muestra que ),()0,0( yxdf noexiste.
c) Aplicando la definicin de derivada direccional en un punto,
)2/2(2)2/2(
0lim
)2/2/()2/2(2
0lim)2/,2/(
0lim)0,0())2/1,2/1()0,0((
0lim)0,0( 22
2
ttsen
tttttsent
ttttf
ttftf
tuf
-
- 49 -
2/12/2)2/2(
0lim
21)0,0(
ttsen
tuf
Teorema: La derivada direccional es mxima en la direccin del vector gradiente, es
decir, si para ,)(),...,()()()( 00
10
00
PxfPx
fPfdondePfPfu
mes distinto del vector
nulo.
Ejemplo 1: Sea .0)0,0(),0,0(),(,)(),( 2222
fyyxsiyxyxsenxyxf Calcular la
derivada direccional mxima. Determinar en qu direccin es mxima la derivadadireccional.Solucin:
1)(0lim)(
0lim)0,0()0,(
0lim)0,0( 2
23
2
hhsen
hhhsenh
hhfhf
hxf
0000lim)0,0(),0(
0lim)0,0(
hhh
fhfhy
f
Por lo tanto 0,1)0,0(),0,0()0,0(
y
fxffu es la direccin en la cual la
derivada es mxima y: 101)0,0()0,0(22
fuf
S S S
-
- 50 -
Ejemplo 2: Sea ,),( 222 yxayxg calcular la derivada direccional mxima en el
punto .2,2),(
aayx
Solucin: Calculando las derivadas parciales de g se tiene:
222222 ),(),( yxayyxy
gyyxaxyxx
g
Luego la direccin en la cual la derivada direccional es mxima ser:
22,2
22/
2/,2/2/
4/4/2/,4/4/
2/)2/,2/( 22222222 aa
aa
aaaa
aaaaaagu
Por lo tanto, el valor mximo de la derivada direccional ser:
122
22)2/,2/()2/,2/(
22
aagaaug
-
- 51 -
Listado N 4.3Derivadas Parciales, diferenciabilidad, derivada direccional y regla de la cadena
1. Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en 0,0 de las siguientes funciones de 2IR en IR :a) .0)0,0(;0,0),(2),( 22
2 fyxsixyx
xyyxf
Respuesta: es continua en 0,0 , ,0)0,0()0,0( yx ff es diferenciable en 0,0b) .0)0,0(;0,0),(),( 22
33
fyxsiyxyxyxf
Respuesta: es continua en 0,0 , ,1)0,0()0,0( yx ff no es diferenciable en 0,0c) .0)0,0(;0,0),(3),( 24
2 fyxsiyx
yxyxf
Respuesta: No es continua en 0,0 , ,0)0,0()0,0( yx ff no es diferenciable en 0,0d) .0)0,0(;0,0),(4),( 22 fyxsiyx
yxyxf
Respuesta: es continua en 0,0 , ,0)0,0()0,0( yx ff no es diferenciable en 0,0e) yxsiyxfyxsiyx
ysenxsenyxf 0),(;)()(),(
Respuesta: es continua en 0,0 , )0,0()0,0( yx fyf no existen, no es diferenciable en .0,0f) 0),(;0)(),(
3 xsiyyxfxsiyx
xsenyxf
Respuesta: es continua en 0,0 , ,1)0,0(,0)0,0( yx ff es diferenciable en 0,0
2. Considere la funcin IRIRf 2: definida por:
0)0,0(;0,0,1),( 2222
fyxsiyxsenyxyxf
Pruebe que:
-
- 52 -
a) f es diferenciable en 0,0b) yx fyf no son continuas en 0,0
3. En cada uno de los siguientes casos: (a) Estudie la continuidad de f en .2IR (b)Determine yx fyf en .2IR (c) Determine si f es o no diferenciable sobre 2IR (d)Estudie la continuidad de yx fyf en .2IR
3.1) 0)1,0(;1,0,)1(),( 22 fyxsiyxxxyyxf
Respuesta: (a) f es continua en 1,02 IR ; (c) f es diferenciable en 1,02 IR ;(d) yx fyf son continuas en 1,02 IR3.2) .0),(;1),( 2 yxsiyxfyxsiyxsenyxyxf
Respuesta: (a) f es continua en todo 2IR ; (c) f es diferenciable en todo 2IR ; (d)yx fyf son continuas en ;2 DIR donde IRxxxD :),(
4. Sea IRIRf 2: la funcin definida por: senxyyxyxf 2/1,cos2/1),( a) Es f diferenciable sobre 2IR ? Respuesta: Sib) Calcule la matriz Jacobiana de f en ba, , 2),( IRba Respuesta:
1cos2/1
2/11),( asenbbaJ f
5. Sea IRIRf 2: la funcin definida por:00),(;0),( 232323 yxsiyxfyxsiyx
xyyxf
a) Es f diferenciable en 0,0 ? Respuesta: Nob) Es f diferenciable en 2,1 ? Respuesta: Sic) Calcular, si existe, la diferencial de f en 2,1 . Respuesta: yxyxdf 25
3254),()2,1(
6. Sea IRIRf 2: definida por: 0)0,0();0,0(),()(),(3
fyxsiyxyxyxf
-
- 53 -
a) Es f continua en 0,0 ? Respuesta: Sb) Encuentre )0,0(),0,0( yx ff si existenc) Es f diferenciable en 0,0 ?d) Determine la matriz Jacobiana de f en )1,1( e) Determine la ecuacin del plano tangente a la grfica de f en ).4,1,1( 7. Sea IRIRf 2: la funcin definida por:
0)0,0(;0,0,, 222
fyxsiyxyxyxyxf
a) Determine la matriz Jacobiana de f en )1,1( Respuesta: 16/116/5)1,1( fJb) Calcular la derivada direccional de f en el punto )1,1( en la direccin del vector
.1,1u Respuesta: 2411,1
uf
8. Sea IRIRf 2: la funcin definida por: 0)0,0(;0,0,, 6232
fyxsiyxyxyxf
a) Es f continua en 0,0 ? Respuesta: Sb) Es f diferenciable en 0,0 ? Respuesta: Sc) Determine la matriz Jacobiana de f en 3,2 .Respuesta: 1457.01465.0)3,2( fJd) Calcule la derivada direccional de f en el punto 3,2 en la direccin del vector
.3,4u Respuesta: 0.0297896.9. Sea IRIRf 2: la funcin definida por:
0)0,0();0,0(),(),( 22 fyxsiyxsenxxyyxf
a) Calcular, si existen, 2,10,0
ufyu
f donde 5/4,5/3ub) En qu direccin es mxima la derivada direccional de f en el punto 2,1 ?c) Cul es el valor de ese mximo?10. Sea ;2),( 2 ysenyyxxyxf y sea ),( bau un vector unitario.
-
- 54 -
a) Exprese 0,1uf en trminos de a y b.
b) Usando (a), encontrar los valores de a y b para los cuales 0,1uf es mximo.
11. Sea ;)()cos(2),(33
ysenxyxyxf
encuentre una buena aproximacin afn de f
en una vecindad del punto )1,1( .12. Considere la funcin IRIRf 2: del problema (1.a) Determinar, si existe, laaproximacin afn de f en una vecindad del punto )1,1( .13. En cada caso, utilizando la regla de la cadena, encontrar .v
wyuw
a) vu uezvuyvexxzyw ,,);ln( 42
b) uzuvyvuxzyxw 3,,1; 2232 c) .,,; 22222 vuzvyuxxyx
yzw
14. Sean .,;ln 2222 vuyvuxyxz Calcular .vzyuz 15. Sean: );3cos()2( vusenz .; 22 srvsru Calcular: .s
zyrz
16. En cada caso encontrar :dtdz
a) teytxyxz 232 ,;32 b) .1,);cos( 2 ytxxysenxzc) .31,ln;42 3tytxyxz
17. Sean: .2,,;222 tzeyexzyxw tt Calcular .dtdw
18. Sea ).,,( xzzyyxfw Probar que: .0
zw
yw
xw
19. Sea IRIRf 2: una funcin diferenciable en todo 2IR y ),,( yxfw con
.,cos usenvyvux Probar que;2
2
222 1
vw
uuw
yw
xw
-
- 55 -
20. Sea .0),()( aaxyfaxyfz Probar que z satisface la ecuacin de la
onda: 22
22
2
yzax
z
21. Pruebe que:
xy
yxfxyz es una solucin de la ecuacin diferencial:
zyxyzyx
zx )(22
22. Un tronco de rbol puede ser considerado como un cilindro circular. Supongaque el dimetro del tronco aumenta 1 pulgada por ao y que la altura del troncoaumenta 6 pulgadas por ao. Con qu rapidez est aumentando el volumen demadera en el tronco, cuando ste tiene 100 pulgadas de altura y 5 pulgadas dedimetro? Respuesta: 2/575 pulgadas cbicas por ao.23. Un auto se mueve a una velocidad de 20 millas por hora, se aproxima a unainterseccin con una lnea de tren, a lo largo de un camino perpendicular a la lneade tren. Si un tren se aproxima a la interseccin a 100 millas por hora; a qu ritmoest cambiando la distancia entre el auto y el tren, cuando el auto est a 0.5 millasde la interseccin? Respuesta: La distancia entre el auto y el tren est decreciendo auna razn de 100 millas por hora.24. En cada caso, encuentre una ecuacin del plano tangente al grfico de f en elpunto indicado:a) 7,2,0;5),( yxxyyxf Respuesta: 5 zyxb) )1,3,2(;),( 2yxeyxf Respuesta: 0/2/ ezexc) )1,3,2(;1
2),( y
xyxf Respuesta: 54 zyx
d) )0,0,0(.0)0,0();0,0(),(),( 2233
Pfyxsiyxyxyxf
Respuesta: 0 zyx
25. Hallar la derivada direccional de ,: 3 IRIRf definida por:zxxyzyxzyxf 222),,( en el punto 3,2,1 segn la direccin del vector
.0,1,1 En qu direccin es mxima la derivada direccional? Cul es el valor delmximo? Respuesta: 579)3,2,1();11,13,17()3,2,1(;2/4)3,2,1(
ffuf
-
- 56 -
26. Sea IRIRf 2: una funcin que tiene derivadas parciales de primer y segundo
orden en todo 2IR y tal que: 1)1,1()1,1()1,1()1,1( 22
22
vf
uf
vf
uf
3)1,1(2)1,1(22
uvf
vuf y sean ).,(),(),( 2 xyxyvufyxF Calcule en trminos
de f o sus derivadas parciales en )1,1( : ).1,1(),1,1(),1,1(),1,1(22
xyF
yxF
yF
xF
Es F
de clase 1C ?
-
- 57 -
CAPTULO 5: LOS TEOREMAS DE LA FUNCIN INVERSA,DE LA FUNCIN IMPLCITA Y EL ESPACIO TANGENTE A
UNA SUPERFICIE DE NIVEL
5.1 EL TEOREMA DE LA FUNCIN INVERSA
Este teorema permite, mediante el clculo diferencial, deducir la existencia local dela inversa de una funcin diferenciable, permite adems, calcular una aproximacinafn de la inversa sin tener que calcular sta ltima explcitamente.
En el caso :1m
Teorema 1: Si ,0)(,,: 0 xfIRbaf entonces existe una vecindad V de ,0x y unavecindad W de )( 00 xfy tal que:1) WVf : es biyectiva.2) la inversa g de VW es derivable, con derivada continua.3) ,)()( 1 xfyg para todo )(xfy de W.
Ejemplo: Si ),()(,: xtgxfIRIRDf sobre todo punto de ,2/,2/ Dentonces ,0)(sec)( 2 xxf
,11
1)(1
)(sec1
)(1)(),()(,2/,2/,: 222 yxtgxxfygyarctgygg
dado que .)( yxtg
(b) En el caso :1m
Teorema 2: Sea 1: CclasedeIRIRAf mm sobre A, es decir f tiene derivadasparciales: IRAx
fji
: continuas. Si en un punto 0P de A, la matriz jacobiana de f
-
- 58 -
en ,0P
)()( 00 PxfPJji
f es invertible, es decir, si .0)(det 0
Pxfji Entonces existe
una vecindad abierta V de 0P en ,mIR una vecindad abierta W de )( 00 PfQ en mIRtales que:
(1) WVf : es biyectiva.(2) la inversa g de f de VW es de clase ,1C luego diferenciable y(3) WPfQPdfQdg )(,)()( 1
Ejemplo 1: Sea ).,cos(),(),(,: 22 rsenryxrfquetalIRIRf En efecto, f es declase ,1C (las derivadas parciales de primer orden son continuas) y
rrsenrrJrsen rsenyry
xrx
rJ ff
22cos),(detcos
cos),(
Luego podemos afirmar que si 200 ),( IRr es tal que ,00 r entonces, por elteorema de Funcin Inversa existe 0a tal que:(1) la funcin )),),,((()),,((: 0000 arBfarBf donde )),,(( 00 arB es la bola abiertade centro ),( 00 r y radio a es biyectiva.(2) La funcin inversa ),(),(: ryxg es diferenciable.(3) .),(),( 1000 rdfyxdgComo
acbd
cbaddcba 11 , entonces
00
0000
000 cos
cos1),(
sensenrr
ryxdg .
Ejemplo 2: Sea 22: IRIRf la transformacin dada por ),,(),( tsyxf donde
)(2/1)(2/1
xArctgytyArctgxs
a) Calcule la matriz jacobiana, ),( 0PJ f de f en un punto .),( 2000 IRyxP b) Pruebe que 0)(det 0 PJ f
-
- 59 -
c) Enuncie el teorema de la funcin inversa y deduzca que f admite una inversa g declase 1C en una vecindad de .,);( 00000 tsQPfQ
d) Determine una aproximacin afn T, si existe, de g en una vecindad de .1,0, 00 fts
Solucin:a) Por simple inspeccin tys son funciones de clase 1C luego, calculando lasderivadas parciales de primer orden:
11
121
11
211
),(2
0
2000
x
yyxJ f
b) 0114 3444114 111411 141111 1211
1211
,det 20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
202
0
2000
xyyxyx
xyxy
xyx
yyxJ f
Dado que el numerador de esta razn es un polinomio cuadrtico, siempre positivo.c) En efecto, 1Cf y .,0)(det 200 IRPPJ f Es decir, se satisfacen las hiptesisdel teorema de la funcin inversa; por la tanto:
Existe una vecindad abierta V de 0P Existe una vecindad abierta W de ),( 00 PfQ
Donde: WVf : es biyectiva f admite inversa VWg : de clase 1C
d) 08/78/1112/14/11
12/14/11)1,0(
yJ f por lo tanto:
7/87/47/27/8
12/14/11
78
12/14/11)1,0(
11
fJSi consideramos 1,8/1,01,0 00 fQyP entonces la aproximacin afn de gen una vecindad de 000 , tsQ es:
-
- 60 -
00
0000 ),(),(),( ttsstsdgtsgtsT donde ,,)1,0(),( 000100 PtsgyJtsdg f entonces:
7/114/7
874
7/7/272
78
17/88/7/417/28/7/8
10
18/
7/87/47/27/8
10),(
tsts
tsts
tstsT
5.2 EL TEOREMA DE LA FUNCIN IMPLCITAEste Teorema permite mediante el clculo diferencial determinar que una ecuacinde la forma ),( YXF define a una de las variables en funcin de la otra como unafuncin diferenciable, en la vecindad de un punto 00 , yx tal que: .),( 00 yxF
Teorema: Sea mmnmn IRIRIRIRF : de clase )1( rC r en un abierto S de ),...,,,...,(),(:);( 11 mnmnmn uuxxUXIRIRUXIRIR y ),,( 000 UXP un punto S
tal que:(i) ),( 00 UXF
(ii) ,0),...,(),...,(det
011
Pmm
UUFF donde
mkmjk
j
mm
UF
UUFF
...1
...111
),...,(),...,(
Entonces existe: Una vecindad abierta M de ),( 00 UX contenida en S Una vecindad abierta N de 0X en ,nIR Una nica funcin mIRNG : de clase rC
Tales que:1. .))(,(, MXGXNX 2. )(,),(,),( XGUNXUXFMUX 3. En particular, )( 00 XGU y adems:
4. ,)(,)(,)( 1
XGXX
FXGXUFXdG donde
.,),,(,
UXU
FUXXFUXdF Es decir: ,
i
jXF
XF .
k
jUF
UF
-
- 61 -
Ejemplo 1: dado el sistema de ecuaciones 0213
322
32
yxvyuxyvxyu
a) Pruebe que en una vecindad del punto )2,1,1,0(),,,( 0000 yxvu puede resolverse uy v en trminos de x e y.b) Determinar )2,1(
2
yxu
Solucin: Definamos 222: IRIRIRDF por la transformacin yxvyuxyvxyuvuyxF 32232 2,13),,,( y consideremos ).1,0()2,1( bya
Claramente F es de clase 1C dado que las componentes de F son funcionespolinomios con derivadas parciales continuas. Adems:
1. )0,0()1,0,2,1(),( FbaF
2. 08),(),(),(det40
42),(),(),( 21
),(22
1121
bavu
FF
vF
uF v
FuF
bavuFF
ba
Por lo tanto, segn el teorema de la funcin implcita; se tiene que, existe una nicafuncin ,: WVf con aV vecindad de a y bW vecindad de b, de clase 1C en U talque:1) )1,0()2,1( f2) ),(),()0,0(),,,(,,,, yxfvuvuyxFWVvuyx b) Derivamos las ecuaciones respecto a x y luego respecto a y; es decir:
0342
0922
2
yxxvvx
uyu
xxvyvx
uxyyuAnlogamente
042
0232
2
xyvvy
uyuuyvyvvy
uxyxu
En efecto se generan los siguientes sistemas de ecuaciones:
23
22
2
422;3
9422
uxxuv
yvyu
vyuyvxy
yxyux
xvxu
vyuyvxy
-
- 62 -
Aplicamos regla de Cramer para su resolucin:
uyxyyxyux
uvyxyvvyxyuvvx
vyuyvxy
vyxyvyux
xu
2222
22222
2
223218
446436
422
4329
yuvxvyuuxyx
uvyxyvuyyuxyx
vyuyvxyyxyuyuxxy
xv
442183
442183
422
329
2232
2222322
uyxyyuyxxuv
uvyxyvyvuyvxvxuv
vyuyvxyvuxyvxuv
yu
2232
223323
2
2222
442244
42242
uyxyxuuvxux
uvyxyvxyuyuvxyuyx
vyuyvxyuxyuxuvxy
yv
22224
2222423
2
2222
4422
422
2
Evaluando xvyx
u
para ),1,0(),();2,1(),( vubyxa se tiene:
2/3)2,1(,2/3)2,1(
xv
xu
Ahora podemos calcular y evaluar:
uyxy
yuyxxuvxy
uxyx
u2
2322
2222
22
223222
2222222223224
uyxyxuyyyuyxxuvuyxyx
uyuyxxuxux
vv
2223222
0222122/32222012012021201232/3202/34)2,1(
yxu
423)2,1(
2
yxu
-
- 63 -
Ejemplo 2: Considere la ecuacin 01453 2223 zyxxyzza) Pruebe que en una vecindad del punto )2,1,1( ella determina una funcin
derivable z de las variables x e y. Pongamos ),( yxgz b) Determine una aproximacin afn de g en una vecindad de )1,1(
Solucin:a) Basta probar que se puede aplicar el teorema de la funcin implcita (T.F.I).
Sea 1453),,(),,(,: 2223112 zyxxyzzzyxFzyxIRIRFEs claro que:
F es de clase 1C dado que es un polinomio y por lo tanto de clase C 01410128142)1(15211322),1,1( 2223 F 222 563 yxxyzzz
F
05512432),1,1( zF
Luego por el T. F. I. existe: M vecindad de 2),1,1( N vecindad de )1,1( Una nica funcin ,: 2 IRIRNg de clase 1C
Tal que: ),(,),(0),,(),,( yxgzNyxzyxFMzyx
b) Adems se tiene: )(,))(,()( 1 XgXFXgXFXdg XU para ,NX donde:
z
FyF
xFFFUXJ UXF ,, con zUyxX ),,(
Una aproximacin afn de IRIRNg 2: en una vecindad V del punto )1,1( es lafuncin ,: 2 IRIRNVT talque: 1,1)1,1()1,1(),( yxdggyxTAhora bien:
2222222 563103103),( yxxyzzyzxxzzxyyzUXJ F as: 532325121220122012),( UXJ F
Por lo tanto: 5/325/3232325)1,1( 1 dg
-
- 64 -
As: 574)(5
32)1(532)1(5
322115/325/322),(
xyyxy
xyxT
5.3 EL ESPACIO TANGENTE A UNA SUPERFICIE DE NIVEL
Sea IRIRf n : una funcin de clase 1C en una vecindad V de un punto ,0 nIRP ysea S el conjunto de nivel definido por .0)(: PfIRPS n
Definicin: Se llama ESPACIO VECTORIAL TANGENTE a S en el punto 0P alconjunto de todos los vectores velocidades en 0P de las curvas diferenciablescontenidas en S y que pasan por .0P
Teorema: .0)(:)( 00 XPfIRXSV nPDefinicin: Se llama ESPACIO TANGENTE a S en 0P al traslado de SVP0 por elvector .0P Es decir, .)()( 000 PSVST PP Se tiene:
0)()()()(,)( 000101 000 PPPfSVPPSVPdondePPPSTP PPP
Ejemplo: Sea .:),,( 22223 azyxIRzyxS Determinar la ecuacin del planotangente a S en el punto ),,,( 0000 zyxP (Espacio tangente SVP0 ).Solucin: .0)()(),,( 000 PPPfSVzyxP PSea: 0,,2,2,2)2,2,2()(),,( 00000000002222 zzyyxxzyxzyxPfazyxzyxf
2000000000 0)(2)(2)(2 azzyyxxzzzyyyxxx
En efecto: 20003 :),,()(0 azzyyxxIRzyxSVP
-
- 65 -
Listado N 4.4Teoremas de la Funcin Inversa e Implcita
1. Sea 33: IRIRf definida por )),(,(),,( zx eyxsenezyxf a) Probar que f es localmente invertible en )0,0,0(b) Probar que existen puntos en 3IR donde no se cumplen las hiptesis del Teoremade la Funcin Inversa.2. Sea 22: IRIRf definida por xyyxyxf 3,),( 44 a) Demuestre que para todo punto ),0,0(),( 00 yx la restriccin de f a algnconjunto abierto que contiene a ),( 00 yx tiene una inversa.b) Demuestre que si no se restringe su dominio, f no tiene inversa.c) Si 1f es la inversa de f en una vecindad del punto ,3,2 calcule latransformacin afn que aproxima a 1f cerca de ).3,2(f3. Sea 22: IRIRf definida por: .,),( 3333 yxyxyxf Pruebe que la matrizJacobiana fJ en 0,0 es la matriz nula. Muestre que, sin embargo, f esglobalmente invertible en 2IR . Saque conclusiones.4. Considere la funcin de una variable IRIRf : definida por
.0)0(,0)/1(2/)( 2 fxsixsenxxxf Demuestre que 2/1)0( f y que f notiene inversa en una vecindad de 0. Contradice esto el Teorema de la FuncinInversa?5. Sea 33: IRIRh definida por: yxeeeezyxh zxzy ,,),,( 2222a) Probar que h es diferenciable en todo 3IR y posee funcin inversa diferenciableen un entorno de cada punto de .3IRb) Probar que h no slo es inyectiva localmente, sino que lo es globalmente.6. Dado el sistema de ecuaciones
0213
322
32
yxvyuxyvxyu
a) Pruebe que en una vecindad del punto )2,1,1,0(),,,( 0000 yxvu puede resolverse uy v en trminos de x e y.
-
- 66 -
b) Determinar ).2,1(2
yxu
7. Dado el sistema de ecuaciones: 22222
yxuv
yxvu
a) Pruebe que en una vecindad del punto )1,1,1,1(),,,( 0000 vuyx puedendespejarse u y v en trminos de x e y.b) Calcule los valores de yyyx uvu ,, en el punto )1,1(),( 00 yxc) Sean ),(),,( yxvvyxuu las funciones implcitamente definidas por el sistema.Muestre que ),(),,(),( yxvyxuyxf admite una funcin inversa diferenciable enuna vecindad del punto ).1,1()1,1( fd) Encuentre una aproximacin afn de 1f en el punto )1,1,1,1(),,,( 0000 vuyx
8. Pruebe que el sistema: 021
23
323
zuxyuyxz define a x e y como funciones implcitas
diferenciables de z y u en una vecindad del punto .1,0,1,0,,, 00000 uzyxP Sean),();,( uzgyuzhx las funciones implcitas cuya existencia se prob. Demuestre
que )),(,,(),( uzguzhuzf admite una funcin inversa diferenciable en unavecindad del punto .1,09. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
1)cos()(1)(
2 tzeexsen
eeyzsenezy
ztx
a) Pruebe que el sistema define a x e y como funciones implcitas diferenciables de zy t en una vecindad del punto .0,0,0,0Pb) Sean ),(),( tzgyetzhx las funciones implcitas cuya existencia se prob en(a). Demuestre que )),(,,(),( tzgtzhtzf admite funcin inversa diferenciable enuna vecindad del punto .0,010. Sea IRIRf 2: de clase 1C y tal que 0),(
vuvf 2),( IRvu
a) Pruebe que
xz
xy
vf
xxz
xy
zf ,1, para 0x
-
- 67 -
b) Sea 00 , yx tal que: .0,00
00
xz
xyf Pruebe que la ecuacin 00,
xx
zxyf
define a z implcitamente como a una funcin de x e y en una vecindad de ., 00 yxc) Pruebe que ),,( yxgy
gyxgx
donde ),( yxgz es la funcin definida
implcitamente en (b).
-
- 68 -
CAPITULO 6: EXTREMOS DE FUNCIONES REALES
6.1 DEFINICIONES DE MXIMOS, MINIMOS, PUNTOS CRITICOS. CONDICIONNECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE PUNTOS DE MXIMO O DE MINIMO.
DEFINICIONES:(a) Sea .: APyIRIRAf m Se dice que P es un PUNTO DE MXIMO LOCALde f, o que )(Pf es un valor mximo local de f si existe una vecindad(d) V de P, tal que: )()(: PfXfVAX (b) Anlogamente se define la nocin de MINIMO LOCAL de .f Es decir, )(Pf esun MINIMO LOCAL de f si existe una vecindad V de P, tal que:
)()(: PfXfVAX (c) Se dice que P e un punto de MXIMO ABSOLUTO de f si
)()(: PfXfAX (d) Anlogamente se define la nocin de MINIMO ABSOLUTO de f si:
)()(: PfXfAX
Ejemplo: Sea ,: 2 IRIRf tal que 1:),(,),( 22222 yxIRyxAeyxf yxCules son los extremos de f sobre A?, Sobre 2IR ?Solucin: Analizando los extremos de f sobre A, observamos segn las grficas ysegn la naturaleza de la funcin 2)( PePf , f diminuye de valor para cualquierpunto P , en efecto,
)0,0(10)),0,0((),( 0222 222222 feeeeeayxaByx yxaayx Por lo tanto )0,0( es un punto de mximo absoluto de f .
),(1),( 0011202000 20202020 yxfeeeeyxAyx yxyx
Adems ),(),()(),( 2210000 yxfeeyxfAFryx yx por lo tanto los punto quepertenecen a 1:),()( 22 yxyxAFr son puntos de mnimo local.
-
- 69 -
Sobre )0,0()0,0(0),(, 0),(2 2 feeyxIR yx es un punto de mximo absolutoy f no posee mnimos locales. Segn la figura, cuando
0),(),( 2),( yxeyxfyx
S S S
S S S
Teorema: (De los valores extremos)Si IRIRKf m : es continua y K es cerrado y acotado, entonces KPP 21, talesque: )()()(: 21 PfXfPfKX
Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, A es un conjunto compacto y se tiene:)0,0(),())((1221 fyxfAFrfee yx
Ejemplo 2: Sea .21:),(),ln(),( 2222 yxyxKyxyxf K es un cerrado yacotado (compacto) y para )1,1(),0,1( 21 PP claramente pertenece a
)(KFr adems: KyxPfyxPf ),(),()2ln()ln()1ln()( 2221
-
- 70 -
6.2 VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES
Teorema: Sea mIRA abierto, IRAf : diferenciable en el punto P de A. Si P esun punto de mximo (o de mnimo) local de f entonces: miparaPx
fi
,...,1,0)(
PUNTOS CRITICOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES.
DEFINICIN: Sea IRIRAf m : diferenciable. Se dice que un punto P de A es unPUNTO CRITICO de f si: .,...,1,0)( miparaPx
fi
OBSERVACIN: Para funciones diferenciables se verifica: P mximo o mnimo local P punto crtico. La recproca es falsa.
Ejemplo: Sean 332 ),(,: yxyxfIRIRf
003
0032
2
yyyf
xxxf
Por lo tanto )0,0(0 P es un punto crtico de f y no es de mximo ni de mnimo def dado que en cada vecindad de )0,0(0 P existen puntos donde f es mayor que 0y puntos donde f es menor que 0.
-
- 71 -
S S
PUNTOS DE SILLA
DEFINICIN: Sea IRIRAf m : una funcin diferenciable. Se dice que un puntoP de A es un PUNTO DE SILLA si:
P es un punto crtico de f P no es ni mximo ni mnimo de f , es decir en toda vecindad V de P, existen
VPP 21, tales que: ).()()()( 21 PfPfyPfPf
Ejemplo: Sea 22),( yxyxf (silla de montar); claramente:
002
002
yyyf
xxxf
Luego, el punto )0,0(0 P es un punto crtico de .f Adems, en la vecindad de)0,0(0 P existen );/1,0(),0,/1( 21 PP tales que:
)(/1)()(/1)( 022021 PfPfyPfPf En la siguiente figura si visualiza la silla de montar con sus curvas de nivel,mostrando porqu el punto )0,0(0 P no es ni de mximo ni de mnimo.
-
- 72 -
S S
EL TEOREMA DE TAYLOR
Teorema: Sea IRIRAf m : de clase mk IRHPC ,,1 tales que AHPP ,(donde AHPP , denota al segmento de extremos ).HPyP Entonces
),()(!1...)(2
1))(()()( 2 HRHPfdkHPfdHPdfPfHPf kk
donde: 0)(0lim K
KHHR
H
s
s siii
m
iiii ii
ss
kjim
kji kji
m
jiji
ji
hhhPxxfHPfd
hhhPxxxPfHPfd
hhPxxfHPfd
...)(...)(
)()()(
)()(
21321 11,...,,
1,,
33
1,
22
Observacin: Si IRIRAf 2: es de clase 201 IRXyC k entonces en una
vecindad del punto ),( 000 yxX : ))((!1),( 0
0 00XXfdmyxf
mX
n
mX
es el desarrollo en un
polinomio de Taylor de la funcin en cuestin, donde:
)()()(0
0 000 fyyyxxxXXfdm
X
mX
Ejemplo 1: Escriba el polinomio de Taylor para 2),( xyyxf en una vecindad delpunto )1,1(0 X .
-
- 73 -
Solucin: 2)1,1(,2)1,1(,2)1,1(,0)1,1(,2)1,1(,1)1,1( 23
222
22
yxf
yf
yxf
xf
yf
xf
Todas las dems derivadas parciales de tercer orden y de orden mayor se anulan, ypor consiguiente:
22
220
0)1,1(2
)1)(1()1()1)(1(2)1(2)1(1)1)(1(236
1)1(2)1)(1(421)1(2)1(1),( 0
yxyyxyx
yxyyxyxXXfdyxpxy nm
mX
Ejemplo 2: Determine el polinomio de Taylor de )(),( 2yxsenyxf hasta lostrminos de segundo orden en una vecindad del punto )0,0(0 X
Solucin:
)(2)(4)cos(2)(
)cos(2)cos(2
2222
22
22
2
22
yxysenyxfyxsenyyxy
fyxsenxf
yxyyfyxx
f
Por lo tanto:
222
222
22
2
0)0,0()0,0(
221)0)(0,0()0)(0)(0,0(2)0)(0,0(2
1)0)(0,0()0)(0,0()0,0()(!
1),(
yxyyfyxyx
fxxf
yyfxx
ffXfdkyxp km
es el polinomio de Taylor de segundo orden, de la funcin .f
FORMAS CUADRTICAS
DEFINICIONES:
(a) Una funcin IRIRq m : se llama una FORMA CUADRTICA si
;)(,),...,(1,
1 jim
jiij
mm hhaHqIRhhH
donde los ija son nmeros reales fijos.
-
- 74 -
En forma matricial se escribe: ).(),...,(,)( 1 ijmTT aAyhhHdondeAHHHq A sellama la matriz de la forma cuadrtica q.
Ejemplo:
32/1
2/12,3232/2/2
32/12/12)( 222121
2121
2121
21 Axxxxxxxxxxx
xxxXQ
(b) Se dice que q es SIMTRICA si jiij aa Se dice que q es DEFINIDA POSITIVA SI Hhq ,0)(Se dice que q es DEFINIDA NEGATIVA si Hhq ,0)(Se dice que q es NO DEFINIDA si existen mIRHH 21, tales que:
).(0)( 21 HqHq
CRITERIOS PARA QUE UNA FORMA CUADRTICA SEA DEFINIDA POSITIVA,DEFINIDA NEGATIVA, O NO DEFINIDA
Teorema 1: (Criterio de los Valores Propios)Sea IRIRq m : una forma Cuadrtica:(a) q es definida positiva si todos los valores propios de la matriz asociada sonpositivos.(b) q es definida negativa si todos los valores propios de la matriz asociada sonnegativos.(c) q es no definida si existen valores propios positivos y valores propios negativos.
Teorema 2: (Criterio de RUTH HURWICZ).Si ).(),...,(,)( 1 ijmTT aAyhhHdondeAHHHq es una forma cuadrtica sobre
mIR tal que 0)det( A entonces q es:(a) definida positiva si:
-
- 75 -
0...
......
.........
....,,0,021
11211
22211211
11 mmmm
m
aaa
aaa
aaaaa
(b) definida negativa si:
....,0,0,0333231232221131211
22211211
11 aaaaaaaaa
aaaaa
Es decir, mkkk ,...,2,1,0)1( dondekkkk
k
k
aaa
aaa
...............
...
21
11211
(c) q es no definida si ninguna de las dos condiciones precedentes se cumple.
Observacin: si 0A el criterio precedente no entrega informacin.LA MATRIZ HESSIANA
DEFINICIN: Sea IRIRAf m : de clase ,3C y sea )(Pq f la forma cuadrtica
m
jiji
jif hhPxx
fHPq1,
2)())((
A la matriz simtrica
)(
2Pxx
fji
se llama MATRIZ HESSIANA de f en P.
Ejemplo: Sea 22 32),( yxyxyxq entonces la matriz HESSIANA de q es:
6114)(
222
22
2
yf
xyf
yxf
xf
fHess
-
- 76 -
CRITERIO SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE MAXIMOS O MINIMOSLOCALES ESTRICTOS.
Teorema 3: Sea ,: IRIRAf m de clase ,3C P un punto crtico de .f1. Si la Hessiana de )(Pq f es definida positiva entonces P es un mnimo localestricto.2. Si la Hessiana de )(Pq f es definida negativa entonces P es un mximo localestricto.3. Si la Hessiana de )(Pq f es no definida entonces P es un punto de silla.
OBSERVACIN: El criterio exige que 0)(det2
Pxx
fji
APLICACIN AL CASO DE 2 VARIABLES
Si IRIRAf 2: de clase ,3C si 0)()(
PyfPx
f se tiene:
1. Si 0)()()(0)(22
22
22
22
PyxfPy
fPxfyPx
f entonces P es un mnimo
local estricto.2. Si ,00)(2
2
yPxf entonces es un mximo local estricto.
3. Si ,0 P no es ni mximo ni mnimo, es un punto de silla.
Ejemplo 1: Sea ,: 2 IRIRAq tal que yxxyxyxq 12153),( 23 . Determinar lospuntos crticos de q y su naturaleza.
Solucin: Ayx ),( es punto crtico de )0,0(),( yxqqEn efecto:
-
- 77 -
2)2(0126
5)1(01533 2222
xyxyyq
yxyxxq
En efecto, la (2) implica que ,00 yex por lo tanto reemplazando en la (1)
21235
2162550450542 2122422 xxxxxxxxy
Por lo tanto se generan los siguientes puntos crticos:)1,2();1,2();2,1();2,1( 4321 PPPP
La matriz HESSIANA es: )(363636)),(det(6666),( 2222 yxyxyxxyyxyx
Aplicando el Criterio definido en el Teorema 3 para cada punto encontrado se tiene:1. Punto ).2,1(1P )2,1(0336)41(36)2,1( 1P es punto de silla.2. Punto ).2,1(2 P )2,1(0336)41(36)2,1( 1 P es punto de silla.
3. Punto ).1,2(3P )1,2(026)1,2(0336)14(36)1,2( 322
Pxqy
es punto demnimo local.4. Punto ).1,2(4 P )1,2(026)1,2(0336)14(36)1,2( 32
2Px
qy es
punto de mximo local.
6.3 MTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA LADETERMINACIN DE CANDIDATOS A EXTREMOS LOCALESCONDICIONADOS.
Nuestro objetivo es el estudio de mximos y mnimos de una funcin sobre conjuntosdel tipo:
0)z,y,x(hy0)z,y,x(g/)z,y,x(y0)z,y,x(g/)z,y,x(,0)y,x(g/)y,x(
-
- 78 -
Teorema 4: Sea )y,x(f una funcin diferenciable en el abierto A y sea 0)y,x(g/A)y,x(B , donde g es una funcin de clase 1C en A y
B)y,x(para)0,0()y,x(g . Una condicin necesaria para que B)y,x( 00 sea un extremo local de f en B es que exista un real 0 tal que:
)y,x(g)y,x(f 00000
Observacin:1. Como f es diferenciable en el abierto A y 0)y,x(g/A)y,x(B , donde g sesupone de clase 1C en A y Ben)0,0()y,x(g ,entonces los candidatos aextremos locales de f en B son los A)y,x( que tornan compatible el sistema:
0)y,x(g
)y,x(g)y,x(f
2. Se establece as una condicin necesaria para que un punto )y,x( 00 sea unextremo local de f en B. Trabajando directamente con la funcin el alumno deberdecidir cuales de los candidatos encontrados son realmente extremos locales.
Ejemplo 1: Determine los extremos de la funcin y2x3)y,x(f con la restriccin.1yx 22
Solucin: Sea 1yx)y,x(g 22 ; queremos encontrar los extremos de f en 0)y,x(g/)y,x(B 2 . Como g es de clase 1C y )0,0()y2,x2()y,x(g
en B, resulta que los candidatos a extremos locales son los (x , y) que tornancompatible el sistema :
0)y,x(g
)y,x(g)y,x(f , o bien
1yx)y2,x2()2,3(
22 ,
el cual es equivalente a:
-
- 79 -
1yxy22x23
22
Como 0 de las dos primeras ecuaciones resulta que 1ye2
3x .
Sustituyendo estos valores en 1yx 22 , obtenemos 1149
22 , o bien
231 .
Sigue que
2
132,13133Qy13
132,13133P son los candidatos a
extremos locales. Como B es compacto y )Q(f)P(f , resulta que P es punto demximo y Q es punto de mnimo de f en B.
Ejemplo 2: Un consumidor tiene 600 u.m. (unidades monetarias) para gastar en dosartculos, el primero de los cuales cuesta 20 u.m. por unidad y el segundo 30 u.m.por unidad. Suponga que la utilidad derivada por el consumidor de x unidades delprimer artculo y de y unidades del segundo esta dado por la funcin de utilidad deCobb Douglas 4,06,010),( yxyxU .Cuntas unidades de cada artculo deberacomprar el consumidor para maximizar la utilidad ?
Solucin: La funcin a maximizar es 4,06,010),( yxyxU sujeta a la restriccin600y30x20 . Usando Lagrange se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones :
,600y30x230yx420yx6
6,06,04,04,0
-
- 80 -
De las ecuaciones 1 y 2 eliminando el parmetro sigue que:
6,06,04,04,0 yx4yx9 x94ybienox4y9
Sustituyendo en la tercera ecuacin obtenemos x = 18 e y = 8. Luego paramaximizar la utilidad el consumidor debera comprar 18 unidades del primer artculoy 8 unidades del segundo.
Teorema 5: Sea )z,y,x(f una funcin diferencible en el abierto 3A y sea 0)z,y,x(g/A)z,y,x(B , donde g es una funcin de clase 1C en A y
)0,0,0()z,y,x(g en B. Una condicin necesaria para que B)z,y,x( 000 sea unextremo local de f en B es que exista un real 0 , tal que:
)z,y,x(g)z,y,x(f 0000000
Observacin: De forma anloga a teorema 4, los candidatos a extremos locales de fen B son los A)z,y,x( que tornan compatible el sistema:
0)z,y,x(g)z,y,x(g)z,y,x(f
Ejemplo 3: Determine un punto sobre el elipsoide 1z3y2x 222 de modo quela suma de sus coordenadas sea mxima.
Solucin: Queremos maximizar zyx)z,y,x(f con la restriccin1z3y2x 222 . Usando teo. 5 se tiene que:
-
- 81 -
0)z,y,x(g)z,y,x(g)z,y,x(f
01z3y2x)z6,y4,x2()1,1,1(
222
Como 0 , entonces de la primera ecuacin se obtiene:
61zy4
1y,21x
Sustituyendo en la ultima ecuacin sigue que:
2411bieno,136
3162
41
222
As, los candidatos a extremos locales son :
11
2461,11
2441,11
2421Qy11
2461,11
2441,11
2421P
De la compacidad de B, de la continuidad de f, y como )Q(f)P(f , sigue que elpunto buscado es:
11
2461,11
2441,11
2421P
Observacin: El siguiente teorema nos entrega una condicin necesaria para que unpunto )z,y,x( 000 sea un extremo local de )z,y,x(f con las restricciones
0)z,y,x(hy0)z,y,x(g .
Teorema 6: Sea )z,y,x(f una funcin diferenciable en el abierto 3A y sea 0)z,y,x(hy0)z,y,x(g/A)z,y,x(B , donde g y h son funciones de
clase 1C en A y 0)z,y,x(h)z,y,x(g en B. En estas condiciones, una
-
- 82 -
condicin necesaria para que el punto B)z,y,x( 000 sea un extremo local de f enB es que existan reales 21 y tales que:
)z,y,x(h)z,y,x(g)z,y,x(f 00020001000 .
Ejemplo 4: Determine los puntos del espacio mas alejados del origen cuyascoordenadas estn sujetas a las restricciones 1zyxy4zy4x 222 .
Solucin: En esta situacin intentaremos determinar los puntos que maximizan lafuncin 222 zyx)z,y,x(f . Note que f es el cuadrado de la distancia de )z,y,x(a (0,0,0) con las restricciones 0)z,y,x(hy0)z,y,x(g , donde
4zy4x)z,y,x(hy1zyx)z,y,x(g 222 . Tenemos:
Ben0z2y8x2111kji
)z,y,x(h)z,y,x(g
(verifique),
donde 4zy4xy1zyx/)z,y,x(B 222 . Observe que B escompacto. As, los candidatos a extremos locales son los (x, y, z) que tornancompatible el sistema:
0)z,y,x(h0)z,y,x(g
)z,y,x(h)z,y,