CALCULO AVANZADO
' •VAT SO N Fl ' LKS l'rof 1•.w r tl1• /l•f tlfl'll /11 / lt'tl\
U 11il'er.\itl111/ tft'I l. 1111tlo tlt• Ort'¡:tín ,
CENTRO REGIONAL DE AYUDA TECNICA AGENCIA PARA El DESARROLLO INTERNACIONAL IA.l.D.l
ME X ICO 1 970
)
Versiun autorizada en e~pañol de lr1 octavo teim¡irel>ión ¡iublicada en in(!I.:~ por JOHN WILfl & SONS. INC., N Y .. hujo el 11tulo ADVANCFD LAL\UI US, An ln1 roJuc1iun lo Analv,I\. CJ 19(17 JOllN Wll EY & SONS. INC.. N. Y.
Vcr,ión E:,panolu
11'« JOS t llE l< NAN P~RF7 C'AS 1 FLLANO~ Ingeniero lndustriul, Profe~or de Matemiitícn\ de lu 1-- -.cueln Superior Je lngenienu Mecánica y E!cctrica del l n~t it1110 Politccnico Nacional. Mé"<ico. ,
ltcv1sión
1 re. \Aúl HAHN GOLDBERG 1 1cenciado en Ciencias Flsicomutemática!> > Proícsor de Matemática) en lu &cuela Superior de Física y Mn1em:íticas del lns1 ituw Polltécnlco Nacional de México. Ingeniero de Comunicaciones y F.lec1rónica.
Derechos rc-;cl'\lado' en lengua española
• ICJ70, Fl)ITORIAL LI M USA-WILFY, S. A Arco\ de Relem núm 75. México l . D. F Miemhro Je la C:cmnra Nncionnl de l:t lndu,1na Editorial Rcg1-.1rn núm. 121.
Pnmcrn ed1cwn: 1970
Al Estucilanfe
Al usar este libro, primero debe prestar a tención a las definiciones. puesto que describen la terminología de las matemáticas; y no puede es­ perarse el entender las matemáticas sin aprender el vocabula rio, como tampoco puede esperarse el entender una lengua extranjera sin aprender su vocabul ario. Como cualquier o tro lenguaje. las matemáticas se desarro­ llan en parte adquiriendo términos de los lenguajes más próximos (ea este caso pr inc ipalmente el inglés). modifica ndo su significado y apropiándo­ selos. Estos consti tuyen los término::. técnicos de la materia. Puesto que el lenguaje de las matemática::. forma parte de la lengua de l país. es impor­ tante distingu ir entre el empleo técnico y el empleo no técnico.
Una palabra o una frase que i.e e tá defi niendo se encuentra escrita en negr itas. por ejemplo convergenc:a uniforme. Los teorem a::. que tienen nombre, como e l teorema fundamcn' al del cálculo, tendrán su nombre e!l­ crito en negritas. Un signo igual con tres guiones ( = ) se usa en dos for­ mas. Significará identidad. como por ejemplo
x ; y"== (x y) (x ~ y).
Y también sign ifica rá "define a" o "se define por". Por ejemplo.
/(X) 2x" 1 3 { - 1 ~ X ~ 7}
significa que la íunción f e tá ddinida en el intervalo designado. En mi concepto. existen pocas cau~as de confusión derivadas de los usos am­ biguos aquí indicados.
En el desarrollo del texto ocasionalmente se hace referencia a los ejer­ c ic ios mediante un número. Por ejemplo, con frecuencia se encuentran observaciones entre paréntesis ta le!> como ( ver Ejerc ic io B7 ). A menos que se indique un número de sección. el eje rcicio en cuestión se encontrará en el ¡::rimer conjunto de ejercicios que ,\ iga a la referencia.
Algunas palabras más acerca de la forma de estudiar: a l tratar de entender una demostración. debe obo;ervarsc cuál es el concepto básico. Debe tratarse de .i naliza r la demostrac ión y decidir que una determinada
7
J
1d ~ 1 ' ' ' 1d 1 .1111 1m 11 l 11~1.1d .1 l'' c11t11:a. 4uc la demostración gira en torno ,1c d l.1 ' q111 l.t p.11 Ir' r C\t,intc' 't)ll cálculos ~ccundarios cuya presencia 11c L 11 111 111 h l 1111 Hll ll' lll l 111 rn vc1. que se localiza el punto fundamentaJ.
1 . l · 111u 1111 111t• qut· 'e ent ienda el papel que cada proposición juega en l.1 ~ ·''"" " l llL' n 1k 1111 cap11 ulo. ¿,Cuáles. debe preguntarse uno mismo. ~ 1111 l l'•11lt.1d1h p 1 d rrnrnJ rc .. o secundarios. cuáles tienen una importancia 11111 11111dl.1I \ cti.ile' una importanciu menor'! Los nombres -lema, teo­ H· rnn 1.11rnlJrtl\- proporcionan una regla aproximada pero de ninguna 111 IOI.: r .1 JUCCha.
l· rnulml'nte. después ele lo amerior. puede decirse que ninguna indi­ cac16n acerca de la fo rma de estudiar puede remplazar un interés real y crccit:ntc en la materia.
( orva/lis, Oregon Mar:.o de 196 1
I W ATSON F U LKS
Al Maesfro
Este libro esta escrito para ::.ervir como una introducción al anál isis. Para lograrlo hice un csfucr7o por presentar las demostraciones nnalíticas basadas en la intu ición geométrica y darle un mín imo de confianza a lo::. argumento::. geométricos. De hecho. en el desarrollo del texto se hace un e~fucr7.o en tal sentido. No he tenido un éxito completo en tratar de evitar a1gún uso esencial de la intuición en las demostraciones, pero he localit..ado mis i.crias transgresiones al Capítulo 13 dond:: se encuentran los teoremas de Green. Gauss y Stokes y algunas de sus consccucncial>.
Al igual que muchos que se extravían de 1 ~1 angosta !'Cnda de la virtud. he intentado racionaJizar mi acción. Mi defensa es simplemente que pani evitar tales argumento. geom¿lricm. habría que aplicar más trabajo difícil del que considero recomendable. Con la intención de mantener un curso enrre la heurística del cá1culo elemental por una parte, y el rigor de la teoría de func ione~ y la mpología. por l;.1 otra. he preferido pecar en la dirección tina l11.urí-.t1ca tn el Capít ulo 13. La motivación para ello cs. por ~upucsto. que lo c.¡ue \acrifiw en lógica L.~pcro gannrlo en pedagogía.
Ya es bastante parn apología. El libro está d ividido en tró p.irk ... cmpcL<tndo con el calculo de fu n­
ciones de una o;ola variah'c real. l-n .:~ta parte he delineado algunos de lo'> aspt:ctos mal\ significativo~ Je' la teoría Ouiní la característica más nove­ dosa sect la demostración de la 1:xi'>tencia J e b integral de una función continua -; in la aplicación de la continuidad uniforme. Con ello se logra el aplazamiento de la discusión de las propicdadcl- mús d ifíciles de la<; funciones continua!' hasla que el l!~tudianlé ha adquirido cierta madurez.
La parte intermedia se refiere al cálculo de algunno; variable-;. Empient con un capítulo obre \'ectores aplicándose la terminologra y la nota­ ción vecrorial consistenrcmcnte y con efectividad. El Capítulo 1 L. que se refiere a las funciones inver;;a-; y u l:i' transfonm1cione . contiene una demo,.tración dd teorema de inwro; ilín. la cuaJ 1: una adaptación de una nueva demostración presentada por el Prnfc or H. Yamabe (A merirnn Marhemariaú M onthlv LX IV. 1957. paginas 725-726 J. una dcm<>stración
9
I
I
10 Al MaHtro
ttlll' p11l'1h- lh•\ 11"'' u l'llhu '"hu· l' ll 'rlu' tipos de c~pacio' de diml'nsión 111l 1111ri1
l 11 h'rl·1•111 y ultima l'ilrtc llcl libro \C rcíiere al tratamiento de la ll'll r 111 tl1• 111 t'1111w1 ~l'll l' ia nplic.:ndn u lus 11crics infinitas y a las integralel> 1m1u1111111' 1 1 c1111•1111 de < 'uuchy const ituye la base para un tratamiento unil 1t•111l11 d1· l'""" 1t1pic.:oi..
l .o, p111hll·m11' en cada conjunto están clasificados como Ejercicios A, n o l'. b 111 clusificación i.c basa en una graduación aproximada de la d1ficultnd tk lrn. problemas. Los Ejercicios A son apl icaciones directas tk lu ll'nría. uun cuando los cálculos en algunos de ellos pueden ser un poco lurgo!I. Los Ejercicios B son un poco más profundos y los Ejerci­ cio'i C'. en general. están dirigidos a los mejores estudiantes.
No presento bibliografía aunque. por supuesto, debo reconocer la influencia de muchos libros, viejos y nuevos, y en principio se supone.
Mi profundo reconocimiento a la influencia de colegas con quienes discutí el manuscrito. En particular, debo mencionar al Profesor Warren Stcnbcrg con quien sostuve un gran número de conversaciones, y al Pro­ fesor Jack lndritz, quien leyó una gran parte del manuscrito aportando su valiosa crítica.
W ATSON fULKS
Capítulo 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Capítulo 4 4. 1 4.2 4.3
CALCULO DE UNA VARIABLE
El sistema númérico Los axiomas de Peano Los números racionales y la ari tmct1ca Los números reales: completitud La geometría y el sistema numérico Conjuntos acotados Algunas indicaciones sobre lógica Valor absoluto
Funciones, sucesiones y límites Mapcos. funciones y sucesiones Límites Operacionel. con límites (sucesiones) Límites de funciones Operaciones con límites (funciones) Sucesiones monótonas Funciones m~nótonas
Continuidad y d ife re nciabilldad Continuidad. Continuidad uniforme Operaciones con funciones continuas La propiedad del valor intermedio Funciones inversas La derivada. Regla de la cadena El teorema del valor medio
Integración Introducción Lema~ preliminarci. La integrnl de Riemann
11
39 39 43 47 53 ~7
60 63
93 93 95
bJ 6.4
PARTE 11
Capitulo 8 XI 8.2 8.3 R.4 8.5 X.h X 7 XX X lJ
Copitulo 9 \ C) 1
11 " 'I , l
P1 1>prldJdL~ ck Ju integrnl definida 1 1 1 ~11 1 ma fundamcntul del cálcu lu l'111prul.11.k-. ad icionult:s de lus intcg.ruh:'
Len funcio nes trascendentales eleme ntales l· I 111 1ritmo 1 u luncrón exponencial l ª' fu ncione' circu lare-.
Limites y continuidad Puntos límite. Puntnl> de acumulacitin El crucrio de Cauchy Límite.. c;upcrior y limite inferior Propicdade" ma<, prolum.IJl> t.k lai. ftrrwionc-. continua<;
Propiedades de los funciones diferenclables U tcon:mu del valor medio de Cauchy Lu regla <le L'Hospit:tl Formul.1 de faylor con rc\lduo Valore~ extremos
CALCULO VECTORIAL
Vectores y curvas Introducción y definiciones Muhipltcucioncs de vectores Ln-. triple'\ productos l ndepcn<lencia line.ir. 13a'iC'>. Orientación Geometría analítica vecwrial r::-.pacios wctoriales de otras dimensione~ : I 11
h 111cinncs vectoriales. Curvas Curva~ rectificab les y longitud <le urco C 111 "ª' Llifercnciahlcs
Funciones de algunas variables. Límites y continuidad l 111 p11<:0 de topología : conjuntos ah1l·r10, y L.'l' r 1.11 l1 h 1111 pnrn m:í' d1.: topología : succsionc~ . \ ult11L'\ l11111t'" p1111111, u1.: acumulación. critcrni de C 1111ch~ 1 lllllll'' l 11 11,111111·-. \Ct' l111rak, lle un vector ( )pl'l .tl 11 t ll\•'- l'Ol l lrlll lll''
( 11111111111d.1d l l1·\l 1 lp1 11111 J-!1.'nmi.:1 ri1." dc u nu func1e111
1 ()l)
139 IW 14 1 1 i.j~
149
153 J 'IJ 1 'i5 1 'i l) 165
171 171 176 183 187 190 193 19<1 197 200
290
209
I
Capitulo 11
1 1.1 11.2 1 1.3 11.4 11 .5 11 .6 11 .7 11 .8
Capítulo 12 12.1 12.2
13.5 13.6 13.7
14.I 14.2
Contenido 13
Funciones diferencia bles Derivadas parciales Difercnciabilidad. Diferencias totales El vector gradiente. El operador del. Derivadas direcciona!es Funciones compue!>tas. La regla de la cadena El teorema del valor medio y el teorema de Taylor para diversas variables La divergencia y el rotacional de un campt) vectorial
Tra nsforma ciones y funciones implicltas. Valores extremos Transformaciones. Transformaciones inven.;u, Transformaciones lineales El teorema de inversión 1 nversas globalc<; Coordenadas curvi líneulo. Funciones implíci Las Valores exLrcmos Valore!. extremos bajo restricciones
Integrales Múltiples Integrales sobre rectúngulos Propiedades de la integrul. Cla!'es de funciones integrables Integrales iteradas Integración sobre regiones. Área y volumen
Integrales de línea y superficie 1 ntegralcs de línea. Potenciales Teorema de Green Superficies. Arca Integrales de superficie. El teorema de la divergencia Teorema de Stokes. Superficies orientables Algo de heurística física Cambio de variables en las integrales múltiples
TEO RIA DE LA CONVERGENCIA
Series infinitos Convergencia, absoluta y condicjonaJ Series con términos no negativos : Pruebas de comparación
231 23 1 237
263 263 264 27 1 278 280 284 288 291
297 297
342 348 353 355
14 Contenido
14.3 Series con términos no negativos: Pruebas de lu ra16n y de la raíz. Restos
14.4 Series con s ignos variables 14.5 Pruebas más delicadas 14.6 Rcam.:g~os
Ca pltulo 1 S Sucesiones y serie1 de funciones. Convergencia uniforme
15. 1 Introducción ' 15.2 Convergencia uniforme 15.3 Consecuencias de la convergencia unifo rme 15.4 Pruebas de Abel y Dirichlct 15.5 Un teorema de Dini
Capítulo 16 16. I 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
Capitulo 17 17. 1
17.2 17.3 17.4 17.5
Capitulo 18 18.1 18.2 18.3
La serie de T a ylor Series de potencias. Lntcrva lo de convergencia Propiedades de las series de potencias Las series de Taylor y Maclaurin Las aritméticas de las series de potencias Substitución e inversión Series complejas Funciones analíticas reales
Integrales impropia s lntegrales impropias. Convergencia condicional y absoluta Integrales impropias con intl!grandos no negativol> El valor principal de Cauchy Una prueba de alternación Integrales múltiples impropias
Representaciones l ntegrole~ de funciones Introducción . Integrales propias Convergencia uniforme Consecuencias de la convergencia uniforme
Capllulo 19 Fu,,ciones Gama y Beta . Método de Laplace y f6rmula de Stir!ing
19. I La función Gama 19.2 La función Beta 19.3 Método de Laplacc 19.4 Fórmula de Stirling
Capitulo 20 20.1 20.2
Series de Fourier Introducción Aproximación en la media. Desigualdad de Besscl
375 378 381 383
409 409 4 14 420 424 432 433 436
439
481 48 1 484 487 491
493 493 498
-------~-···•• •• ... v
~lgunoi. lemas útiles l l·orcmus de convergencia Derivación e int · • Series senoidal ;s~~~~~n~id~~n~rge~.cia uniforme La integral de Fouricr • · am 'º de escala fapacios de funcio e . completos nes. OnJuntos ortonorma lcs
Fó rm ula s e le mentales de derivación e integración
Respuestas, sugere ncias y soluciones
INDICE
1-;I
522
529
531
547
l.l LOS AXIOMAS DE PEANO
Cualquier estudio del análisis matemático tiene su base en el sistema numérico. Por Jo tanto, es importante para los estudiantes entender cómo puede desarrollarse la aritmética a partir de los números naturales (otro nombre para los enteros positivos). No es nuestra intención llevar a cabo ese desarrollo aquí. puesto que eso es más propio de un curso acerca de Ja teoría de funciones. Sin embargo, deseamos hacer algunos comen· tarios acerca de la estructura lógica de ese desarrollo.
El punto de partida acostumbrado en el desarrollo de los números reales es un cierto conjunto de axiomas que fueron formulados por primera vez por el matemático italiano Peano. Estos axiomas establecen que los números naturales satisfacen ciertas propiedades. A partir única­ mente de estas propiedades. haciendo las definiciones apropiadas cuando sea necesario. podemos desarrollar todas las reglas conocidas de la arit· mética. En la terminología de la lógica fo rmal. tenemos un conjunto de objetos indefinidos para los' cuales escogimos el nombre de números naturales, y que satisfacen los axiomas de Peano. Esto significa. sirhple· mente. que los números naturales se toman como los «átomos» básicos de nuestro sistema matemático en términos de los cuales expresamos 111!> demás conceptos matemáticos, pero que no pueden expresarse en tér· minos más fundamentales.
Quizá una forma más fácil de visualizar la situación, puesto que. después de todo. no podemos decir que nunca hemos escuchado acerca tic aritmética o Jos números racionales. etc., es ésta: podemos verificar que los enteros positivos son un sistema de objetos que satisfacen los uitiomas de Peano. Ahora podemos proceder a l establecimiento de todo lu que sabemos de aritmética. usando solamente esas propiedades esta· lllccidas expllcitamente en los axiomas.
(19/
Los cinco 11xl11m11~ lle Pcunu Mln loi. si~11icn1 ..:1. :
Axiomu l. 1 ci. un númcrn nalurul.
Axion .. l. fodo numero natu ral 11 tiene aMx:indo en una fo rma ilnica otro número natural 11' llamado el sucHor de " ·
Axioma J. El número 1 no es sucesor de ningún número naturul.
Axioma 4. Si dos números naturales tienen sucesores iguales cntuncc!'I. ai.imbmo, son iguales. Esto es. si 11 ' = m'. entonces 11 = m .
Axioma s. Supóngase que M es una colección o un conjunto de nilmcros naturales con las propiedades
(i) 1 está en M . (ii) n' está en M siempre que n esté en M .
Entonces. la colección M consiste de todos los números naturales
Aqul ta igualdad se u~ en el s~ntido de i~~ntidad numérica:. es dcci_r. 111 = n significa que /11 y 11 son s1mbolos utilizados para el 1111smn nu· mero. Así tomarnos
(i) /11 = m , (ii) m = n implica que n = m .
(iii) m = n, n = k. implica que /11 = k.
como parte de la lógica fu ndamental y no las cnlistamos como parte de nuestro conjunto de axiomas numéricos.
Nótese que esta lista de propiedades no contien~ ninguna ~roposi · ción explícita del orden lineal de los números. Existe un «primero». a saber el l. que se distingue por no ser sucesor. El sucesor 11' d~ _un número natural n se convierte en n + 1 después de que se ha defm~do la adición. De hecho. esencialmente ésta es la forma en que se define la adición. A continuación. podemos proceder a mostrar que los números naturale~ deben situarse después del 1 en su orden conocido: l. 2. 3. 4 . . · · (Supuesto que 2, 3. 4. no están dados en lt)s axiomas. se definen por 2 = 1' = 1 + I, 3 = 2' = 2 + 1 ..... )
El axioma 5 cs. precisamente, el principio de la in~ucción matem~tica . Es una importante herramienta en el desarrollo técnico de las prop1eda· dci. del i.istcma num~rico que se han discutido. En ocasiones haremos UhU de C!itC Jlrincipio !lOSICriormente y veremos que la afirmación del
el sistema numérico 21
uxioma 5 es equivalente a una más conocida que se da en los textos elementales.
Como se indicó anteriormente. podemos partir con los números natu· ralcs y. conociendo únicamente las propiedades y las relaciones estable­ cidas por los axiomas. deducir toda la aritmética. ¿Por qué se supone que los matemáticos se interesan en partir de tales principios primitivos? ¡,Son verdaderas m + 11 = n + /11 y m · /1 = 11 • /11 porque pueden ded u­ cirse como una consecuencia de los axiomas? En cierto sentido. existe otra forma completamente diferente de ver las cosas. Los axiomas son «verdaderos» o válidos porque. a partir de ellos. podemos deducir 111 + n = n + m y /11 • /1 = 11 · 111 (después de que se han definido la adición y la multiplicación) y todas las demás reglas comunes de la a ritmética. Un aspecto de esa forma de ver las cosas es simplemente estético: da un desarrollo limpio y bello de una masa de conocimientos Íl liles y bien conocidos a partir de fundamentos sencillos establecidos con precisión. Existe u na belleza artística en tal estructura.
Otro propósito más pragmático es que sirve como un auxiliar para responder a la pregunta. «¿qué es una demostración'!» Si tratamos de hacer matemáticas sin un fundamento preciso. una «demostración» puede \Cr cualquier argumento convincente basado en lo que uno «sabe». Pero. pueSl<) que este conocimiento no está bien formulado. esto puede con­ duci r a a rgumentos circulares: el Tel>rema A puede basarse eventual- 111cnte en el Teorema B. el Teorema B puede basarse en el Teorema C y. fi nalmente. el Teorema C puede basarse. a su vez. en el Teo rema A. Si l a~ demostraciones son la rgas y complicadas. puede ser dificil observar c'>O!> argumentos circulares. Contando con un sistema de axiomas bien ínrmulado. se reduce la posibilidad de tales equi vocaciones. Una demos­ tración se tran11forma en un argumento lógico basado directamente en los axiomas o en teoremas previos basados en los axiomas. Por su pucs­ ll). siempre existe la posibilidad del error humam) porque todos come­ lcmos equivocaciones pero. al· menos. este punto de vista nos proporciona 11nu idea más clara de lo que deseamos obtener en una demostración.
En todo caso. este es un ejemplo de lo que se llama acercamiento uxiomático para el estudio de las matemáticas. Con esto querernos decir 'Implemente que todo el conjunto de una cierta sección de las matcmá­ tu:ul> se ha reducido a unos cuantoi. postulados y la estructura completa 1•111onces puede desarrollarse a partir de ellos mediante un estudio lógico di: las consecuencias de esos postulados.
l.l LOS NUMEROS RACIONALES Y LA ARITMETICA
Después de que se han desarrollado las propiedades sobresalientes de (ti, n(1meros naturales. el siguiente pai,o es la introducción y el estudio
22 cálculo de una variable
de los números raciorulles. Los números racio nales, como debe recorda rs~. son aquellos números que pueden representarse como razones de lo~ nu­ me ros enteros: en 01ras pala bras, los números racio nales son fracc1o~es comunes. E nlistaremos a continuación a lgunas propiedades de los racio­ nales que pueden deducirse en el curso de su desarrollo a partir de los números naluralcs. Asl. estas p ropiedades de los números racionales rea l­ mente son consecuencias de los axiomas de Peana .
E l signo > se lee «es mayor q ue o igua l a» y signifi~ ~~e se cumple una de las dos posibilidades estab lecidas. Así, " > b s1gn1f1ca que a es ( 1) mayor q ue b. o bien, (2). igual a b. El signo < se lee «menor que o igual a» y se define de manem semejante.
r. Propiedades d e O rden de los Núme ros Raciona les
1. Pa ra dos racionales cualesquiera a y b. es verdadera precisamcnlc una de las a firmaciones a > b. a = b. a < b. Esta es la ley de tricoto mía.
2. De a < b y b < e se 1iene a < c. E n fo rma semejante. a < b Y b < e implica q ue a < c. Con esto se dice que la desigua ldad es t rl\llsi ti va .
J l. Pro piedades A ri 1mélicas de los Números Raciona les
l. Ad ició n
(a) Para todo racional a y b existe un raciona l único e, llamado suma de a y b y se escribe e = a + b.
(b) La adición es conmutativa:
a + b = h +a.
(a + h) +e =a + (h +e).
(d) a < h implica que a + e < b + e para toda c.
(e) Exis1e un número único O tal que a + O = u para toda a.
2. Sustracció n
(<¡) Para lod(l racio na l a y b. existe un raciona l único d para e l cua l u + ti = b. E l núme ro d se llama diíerencia de a y b y se denota po r h a.
el sistema numérico 23
Con base en II 2 (a) se define el negativo de un número. De rr 2 (a) se ve que, para todo racional a, existe un racional x para el cual
a+ X = 0.
A ese número lo lla ma mos (-a). Po r tanto (-a) se define por
(-a)= O-a.
3. MuJtiplicación
' (a) Pa ra todo raciona l a y b, existe un racional único p llamado
producto de a y b y se escribe p =a· b, o bien. p = ab.
(b) La mu ltiplicación es conmutativa:
"· b = b ·a.
a · (b ·e) = (a · b) ·c.
(d) La multiplicación es distributiva :
a · (b + e) = a · b + a · e
(e) a > h, e > O implica que ac > be. (/) a . 1 = a para toda a.
4. División
(a) Para todo racionaJ a y b con b -:/= O, existe un número único q para el cual b · q = a. El número q se llama cociente de a y b y se escribe q = a/ b.
< '111110 se estableció en el p rimer párrafo de esta sección. estas pro­ pltd1llC1t se deducen de los axiomas de la Sección 1 .1. Además, a partir dt 1111 pro posiciones enlistadas aqul, podemos deducir todas las 'demás r111t11 elementales de la a ritmética. Por lo tanto. esta lista también puede IOIHlrlK! como un sistema de axiomas para la descripción de la a ritmética . A ~nnt lnuoc ión. se darán algunos ejemplos de la deducción de estas reglas 1 partir de la s propiedades enlistadas en 1 y ll.
.... ,. 11 1. Demostrar que a · O = O para todo racional a.
24 cálculo de una variable
Snlución. De acuerdo con JI 1 (e),
b + O = b para todo b.
De donde u · (b + 0) = a · b o bien. por 11 3(d), a · h + a · O = a · b = a · b + O Así. debido a la unicidad de la diferencia [U 2(a)]. se tiene
a·O =O.
Solución. Por la definición de (-1), se tiene
1 + (-1) =o. Mulliplicando ambos miembroi:; por a, aplicando la ley distributiva y el ejemplo 1. se obtiene
u+ (- J)·a =0.
CI +X= 0.
De acuerdo con 11 2(u). existe solamente una solución, a saber. (-<1). Por lo tanto.
(-1)." =-a.
EJERCICIOS B
J. El siguiente conjunto de problemas consiste en algunas rcglJIS de la ar itmética q ue han de establecerse con base en las propiedades enlistadas en 1 y 11 de esta M:tción. En general. aunque no siempre. las primeras reglas wn útiles para es­ tablecer las siguientes. También pueden aplicarse los dos ejemplos:
• (a) b + (-a) - b - a (b) b( -a) = -(a · b) (e) -(-a) "" a
(d) (-a)(-b) ""'a· b (e) a > O implica que -a < O
([) t1 #- O implica que a2 > O (g) 1 > O
(h) a · b = O implica que a =O o bien b =O (i) a • O implica que l /a > O (j) a > O, b > O .~mplica que a· b > O (k) a ~ O, b < O implica que a · b < O
(/) " • O, b < O implica que a · b > O (m) " O, b · O implica que a + b > O
J'll
1.3 LOS NUMEROS REALES: COMPLETITUD
Se han enlistado algunas de las propiedades de los números racionales. Mientras queramos efectuar únicamente aritmética. este conjunto de nú­ meros y las reglas (y sus consecuencias) enlistadas en 1 y 11 son adecua­ das. Sin embargo. si nos aventuramos en el álgebra -es decir. si desea­ mos extraer raíces. así como sumar. rcsLar. multiplicar y dividir- enton­ ces nuestro sistema numérico no es suficiente para proporcionar una solución para todos los problemas. Por ejemplo, si deseamos una solu­ ción para la ecuación
x2 = 2.
no encontraremos una entre los racionales. Con esto queremos decir que no existe número racional x cuyo cuadrado sea 2. Probablemente, el lector haya visto ya una demostración de este hecho pero revisaremos ese argumento aquí.
1.Ja Teorema. No existe número racional cuyo cuadrado sea 2.
Demostración (por contradicción). Supongamos que existe tal núme­ ro. x . Entonces x podría escribirse como p/q. donde puede suponerse que la fracción se encuentra en su más sim ple expresión. Por lo tanto. I' y q no tienen factores comunes. Entonces.
o bien.
µ2/ q' = 2
q' = p'/ 2
Puesto que q' es un entero. p' debe ser divisible entre 2. Pero si 1r es divisible entre 2. entonces p ·es divisible ' entre 2. de modo que existe un entero k para el cual p = 2k. Entonces.
11 hien.
k' = q'/ 2.
Mediante el mismo argumento. q es divisible entre 2. Esta contradicción l'om ple ta Ja demostración. 1 •
H estudiante. por supuesto. está familiarizado con la interpretación tit•11111é1 rica de los números como puntos sobre una linea. Con el objeto
• 1 1 'lrnholu 1 '><! empican\ puni dcno111r qu.: finali1ó un11 dcmo,tración. E~te slmbolo •mtlluv1· 11 lu' iniciulc' Q L.O. ·
26 cálculo de una variable
de enfatiur ciertos aspectos de esta interpretación, recordaremos sus prin­ cipales caracterisLicas. Sobre una linea recta se escoge un punto que se marca O y se Je da el nombre de origen. Se toma una unidad de longi­ tud conveniente y a cada número x se hace corresponder el punto cuya distancia desde O es x, medida hacia la derecha si x es positivo y, hacia la izquierda, si x es negativo. Obsérvese que Ja ley aritmética
a> b, b>c implica a>c
encuentra su correspondiente geométrico en la siguiente afirmación acerca de los puntos Pi. Pi. P~ sobre una linea: Si Pi se encuentra a Ja dere­ cha de P~ y P~ a la derecha de Pa. entonces Pi se encuentra a la derecha de P3 • ¿1
Ahora. si x es cualquier número racional, entonces todos los números racion~ les c~en ~n dos clases asociadas con x, a saber, las clases U y L (superior e inferior), donde U consiste en todos Jos racionales mayores que x y L consiste en todos los racionales menores que x. El número x, asimismo, puede asignarse ya sea a U o a L. Tal separación o corte en los racionales provocado por un racional definido x divide a los racio­ nales en dos clases tales que cada miembro de la primera clase. U, es mayor que todo miembro de la segunda clase, L.
En fo rma semejante, si P es cualquier punto sobre la linea, entonces todos Jos puntos de Ja linea caen en dos clases R y L (derecha e izquier­ da) asociadas con P, donde R consiste en todos los puntos a la derecha de P Y L en todos los puntos a la izquierda de P. El punto P. asimismo, puede poner~e en cualquiera de las dos clases. Pero pa ra todos los puntos P, la separación o corte conduce a una partición de los puntos de Ja Unea en dos clases tales que cada punto en la primera clase, R, está a Ja dere­ cha de todo punto en la segunda clase, L.
Ahora, existen puntos sobre la línea que a ningún número racional corresponden. Porque si marcamos el punto cuya distancia desde O es y 2, ve":1os, de acuerdo con el Teorema J .3a, que no puede haber número racional_ que le corresponda. En efecto, no es muy dificil demostrar que existe un número infinito de puntos que no corresponden a número racio· nal a lguno. Esto significa que. si marcamos todos los puntos sobre Ji linea que corresponden a números racionales, existe un número infinito de puntos que se dejan sin marcar. En efecto, en todo intervalo de la lfnea existen punt~s que corresponden a números racionales y puntos que corresponden a numeros no racionales. (Ver Ejercicioi. ('J y ('4 en la Sección 1.7).
Eat11 consideraciones conducen al reconocimiento de la cXhitencia de vacloa o una falla en la continuidad o completitud en la distribución de
el sistema numérico 27
111' números racionales comparada con la distribución de los puntos sobre una linea. Aceptemos como un hecho básico de la geometría que los puntos están distribuido!I en fo rma continua sobre una linea: esto es. no l'\l'>len vacíos o faltas en la línea. Para este hecho no ofrecemos demos­ l 1nción. sino que lo tomaremos como un axioma geom6trico.
Mientras que no ofrecemos una demostración de este concepto de la 111\lribución continua de los puntos sobre una linea. deseamos fom1ularla l' ll una fo rma precisa que podamos usar en la discusión del sistema num6- mu. La fo rmu lación que usa remos se debe a l matemático alemán Dcde­ k 1nd. cuyo tratamiento seguiremos muy estrictamente. Dedekind usa la M!puración o corte descrita anteriormente para caracterizar la completitud de la línea. Su fo rmulación es la !>iguiente:
Supóngase que lodos los puntos sobre la línea están separadns en d11~ clases no vacías R y L de modo que cada punto en R se encuentra u la derecha de todo punto en L. Entonces. existe exactamente un punto /
1 que provoca este corte. y P. asimismo. es el punto en la extrema dere­ drn de L o el punto en la extrema izquierda de R.
No ofreceremos demo!ltración para esta afirmación. como no ofrecimos 1lcmostración para la afirmación de que lodos los puntos sobre la linea c' ltin distribuidos en forma continua. Tomemos este hecho simplemente "omo una proposición precisa de la continuidad o 1.:ompletitud. una for­ r11ulación que se ada_pla al objeto de considerar las cuestiones análogas uccrca de la distribución de los números.
La afirmación análoga para los números racionales no puede ser dcrta. Pa ra com prenderlo. basta solamente dar un ejemplo donde falla: dcM:ribamos este ejemplo a continuación.
Sea la clase superior V . que corresponde a R en la linea. el conjunto de lodos los raci onal~ positivos cuyos cuadrados son mayores que 2. y 'cu L todos los racionales restantes. Su póngase que el corte se produce med iante un número racional x. Entonces es posible demostrar (se omitirá In técnica de la demostración) que x2=2. Pero es10 cont radice al Teo· rema l .3a. Por lo tanto. vemos que el análogo para los racionales. del 11x1uma de completitud de la linea. no es correcto.
El último gran paso en el desarmllo del sistema num6rico es definir h" número!> que llenen los vacios que se han presentado en las observa­ ' 11 1ncs previas. Estos nuevos números se llaman números lrraclonales. El ,¡,lema de números que consiste en los racionales y los irracionales juntos rl.'l.ihc el nombre de sistema de los números reales. Por lo tanto. un númc­ rn real puede ser racional o irracional.
Lo~ detalles relacionados con el desarrollo de la defi nición de los nucvol> número!I se omitirá. Dcscamo!I enfatizar dos importante!. hechos
28 cálculo de una variable
acerca del sbtema de númeroi. reales. Primero. las nociones de adición y multiplicación pueden definirse para los números rcalei. de manera que l>ll tisfagan las propiedades enlistadas para los raciona les en 1 y 11 e.le la Sección 1.2; esto es. si leemos «número real» en lugar de cnúmero racional». las conclusiones que se establecen siguen siendo verdaderas. Segundo. y muy importante. el sistema de números reales es completo: e!> decir. el análogo del ax ioma geométrico sobre la completitud de la linea puede probarse como un teorema.
111 . Teorema de Dedekind
Su póngase que todos los números reales se dividen en dos clases no vacías, R y L . de modo que todo número en R es mayor que todo número en L. Entonces existe un número real x tal. que x es mayor que. o igual. a todo número en L y menor que. o igual. a todo número en R.
Designamos esta proposición con el número 111 por la sigu iente razón : las afirmaciones cnlistadas en 1 y 11 de la Sección 1.2, junto con 111 de la presente sección. pueden tomarse como un sistema de axiomas para las descripciones de los números reales. Es decir. todas las propiedade!) de los números reales pueden desarrollarse a partir de estas proposicio­ nes únicamente.
La importancia cienlifica del desarrollo del sistema de números reales bosquejado aqu í. por supuesto. pone una gra n cantidad de conncimientos útiles en forma limpia. lógica . También deseamos enfatizar que ese siste· ma subraya la analogía entre los números reales y los puntos sobre una linea. mas sin embargo. al mismo tiempo. elimina lu dependencia lógica del análisis sobre la geometría. Todos los teoremas básicos del cálcuJo. a parti r de este momento. tendrán demostraciones aritméticas puras.
IA LA GEOMETIUA Y EL SISTEMA NUMERICO
El análisis es la rama de las matemálicas que se refiere a Jos limites Y a sus operaciones. Los matemáticos. tal y como el estudiante debe haber sospechado con lo dicho en la sección anterior. gustan de basar su estudio del análisis en la aritmética. sin dependencia lógica en la geo· metría. Sin embargo. tal y como el estud iante sabe. los diagramas geomé· trico:. snn valfosos auxiliares cuando se intenta resolver muchos ti pos de problemas. No existe objeción respecto al uso de tales recursos: en verdad. debe animarse a usarlos. Pero su uso debe servi r como guia y no. i.i es posible evitarlo. como partes esenciales de un argumento.
n lenguaje geométrico con su potencia altamente sugesti va también puede \Cr muy util y puede dársele significado aritmético. Definiremos.
el sistema numérico 29
en esta sección. algunos términos geométricos y algunos otros que se pre­ :-enlarán ocasionalmente durante el desarrollo del libro. Esto, por supues­ to. _es un intento de aprovechar la analogía geométrica que se ha puntuali­ n1do. Por lo tanto. confiaremos principalmente en la geometría para nuestra inspiración. pero. donde sea posible. evitaremos todo uso esencial de la geometría en nuestros argumentos. A este respecto, tend remos un éxito razonable, excepto en el Capjtulo 13. Cuando sea necesa rio apoyarse cn la geomclria. en cualquier forma esencial. se hará notar cuidadosa· 111cnle.
A continuación se procederá a definir un número de términos geomé· tricos. Puesto que existen pocos de éstos. el estudiante deseará regresar u esta sección hasta que se famil iarice con todos estos términos.
Hablaremos del sistema de números reales como un espacio unidimen­ "íinnal y. por supuesto. lo visualizaremos como una línea.
En un espacio unidimensional se usará la palabra punto para dar a entender «número».
Un conjunto de puntos es una colección de pu ntos.
Un intervalo es un conjunto de puntos descrito mediante desiguaJda· lle.., de cualquiera de los siguientes tipos:
lu ~X~ hl lu ~ X< hl la< X ~ bj la< X < hl
intervalo cerrad o ~ i ntervalos semi-abierto lo semi-cerrado interva lo abierto
l·n general. un conju nto de puntos se representará colocando su des· 1 lipción entre llaves. Asi. hablaremos del «intervalo {a ~ x < b}» en h1¡.tur del «intervalo descrito por la ~ x < bl».
Lns puntos extremos del intervalo son a y h; a ~ el punto extremo l11p11erdo. h el pu nto extremo derecho. La longitud del intervalo es b - a.
l lna vecindad de un punto x11 ei> un intervalo abierto centrado en .r.,: 11. /t < X< Xu + h!.
1 lnu vecindad agujereada de un punto Xo es una vecindad en la e,;1111 'l' ha suprimido el propio punto x0 • Por lo tanto. consiste en d11~ 1ntcrvalns abiertos colindando en el punto x.,: lx., - h < x < x11 1
~ I •., \ < xn + hl. lln número Xo es un punto interior de un conjunto de puntos S si
llh1tr una vecindad de Xo que ~tá completamente contenida en S . Por 1Jt111pl11. " S e~ el intervalo 1- 1 / 2 < x ~ 11. entonces x0 = 3/4 es un 111'111111 111tcrinr pero x0 = 1 no lo es.
30 cálculo de una variable
Se dice que un número es un elemento de un conjunto de puntos si es un miembro del conjunto.
Tambifo es con\.eniente hablar algo acerca de la geometría de los espacios de dimensión superior. Tal y como un espacio unidimensional es la colección de todos los números reales, asf un espacio bidimensional es la colección de todas las parejas ordenadas (x. y) de números reales. Estas parejas ordenadas reciben el nombre de puntos en el espacio bidi· rnensional. Visualizamos este hecho geométricamente como un plano donde se sitúan los puntos en la forma usual en un sistema coordenado rectan· guiar cartesiano. En forma semejante, un espado tridimensloul es la colección de ternas ordenadas (x , y. z). visualizadas también en términos de un sistema coordenado rectangula r. Al discutir estos espacio!.. el térmi· no conjunto de puntos significa una colección de parejas ordenadas. ternas ordenadas, etc., de números reales.
1.5 CONJUNTOS ACOTADOS
Debe hacerse notar que la palabra «conjunto» cubre colecciones de puntos, co'mplicadas y dispersas, asi como colecciones de puntos. sencillas. ta les como los intervalos. En verdad. mucho de lo que sigue parecerá trivial y sin interés pero no es así. Aunque el procedimiento desarrollad o se destina principalmente para manejar conjuntos complicados. se aplica igualmente bien a conjuntos sencillos.
·se dirá que un conjunto S está acotado superiom1ente si existe un número M con la propiedad de que
si .r está en S.
En forma semejante. S está acotado inferiormente si existe un núnicn> m con la propiedad de que
X> 111 si x está en S.
Si S está acotado superior e inferiormente. entoncci. lle dice que estú acotado. En este caso existe un número N tal que
- N <;x<; N si x está en S.
Los números M , m y N se llaman coftas del conjunto S. Por ejemplo. si S es el intervalo 1- l /2 < x ~ 11. entoncdi. M - 2 y 111 .\ sun cotas para S. M = 2 es una cota superior y m = -~ es una rntu inferior. Obviamente éstas 110 son las cotas mb precisai, porque cxi"tcn cnta!'I supe·
el sistema numérico 31
1111res menores que 2 y cotas inferiores mayores que - 3- por ejemplo, 1/ 2 y - 1. Pero todavía éstas no son las cotas más precisas. Puede verse lrh:ilmente que M = 1 es la minima cota superior y m = - 1 /2 la. má· ,1111a cota inferior. Daremo!. una definición precisa para estos ténmnos:
Supóngase que S es un conjunto acotado superiormente .Y supóngase 11111: M
11 es una cota superior de S la cual es menor que o igual a cual·
q11ii:r otra cota superior. Entonces M0 recibe el nombre de mlnima cota iiu1..erior o supremum de S y se denota por
Mo = sup X 8
Ei. evidenJe que si S tiene un máximo o elemento mayor. entonces ese l'kmcnto es el supremum (ver E jercicio B6). Si S no tiene máximo, enton· , e' ~u supremum se designa para reemplazar ese máximo en los cálculos.
En forma semejante. si mo es una cota inferior de S y es mayor que 11 igual a cualquier otra cota inferior, entonces se llama la máxima cota Inferior o inflmum de S y se denota por
"'º = inf x. 8
1'11r supuesto que el infimum guarda respecto a l mrn1~10 la misma rl' lndún que el supremum guarda respecto al máximo.
Para refo rzar nuestra afirmación de que el supremum reemplaza al 11111 ici 1110 , probaremos el siguiente teorema.
l .l'11 Teorema. Si S está acotado superio rmente y Mo = sup x. enton· H'\ pura todo y < M0 existe un x en S para el cual s
Y.< x<; M11.
l>1·111ostración. (Nótese que no importa si y está en S o no). Sea v . M .. dado. Supóngase. por contradicción. que no existen miembros de ~ que ..atisfagan y< x<; Mn. Entonces se tiene
para toda x en S.
Por 111 11tu • .v es una cota superior para S y es menor que M ... Esta es la wonlradi1:ción que apuntamos. 1
N11 todos los conjuntos que se encuencran acotados superiormente ea.nen un rm\ximo. (¿Podrla dar un ejemplo el estudiante'!) y no todos lue ~11nJ11 ntu~ acotados interiormente tienen un mínimo. Esto conduce
32 cálculo de una variable
a prcgunl11r : « ·todo conjunto acolado superiormente tiene un i.upre· mum'!» La resp~;csla e:. «SÍ» y este hecho es otra proposición ac~rca de Ju c,1111ple1i1ud de lull números reales. Es decir. en vista de las prop1cdad~s 1 y 11 de la Sección 1.2. la existencia del supremum es una consecuencia del teuremu de Dcdckind. 111 de la Sección l.3. e inversamente el teorema lle Ocdckind puede probarse si se supone que todo conjunto acot~do tiene un Mtpremum. Esta forma de la proposición acerca de la complc11tud de tos números reales es mucho más sencillii que el uso del teorema de l)cdckind. La tomaremos sin demostración como una propiedad funda· mental del si!.lema de los números reales.
Propiedad Fundamental. Todo conjunto no vacío acotadn superior· mente tiene un supremum.
Con el establecimiento de este principio lemlinamos la revisión del sistema numérico. De ahora en adelante haremos un serio esfuerzo para proporcionar las demostraciones de nuestras proposiciones.
t.6 • . ALGUNAS INDICACIONES SOBRE LOGICA
En tas secciones anteriores se dieron a lgunas demostraciones por con· tradicción. La lógica detrás de esto es. por supuesto. que la arirmuci6n y su negación no pueden ser verdaderas al mism~ tiempu. y a(an . mth. no existe una tercera posibilidad: ya sea la afirmación o su negac16 n: .dcbc ser verdadera. En consecuencia. una demostración de que la negac1on es falsa se toma como una demostración de que la afirmación es verdadera.
Frecuentemente tendremOl> ocasión de establecer que «A es necesaria y suficiente para 8 ». donde A y 8 son proposici~nes .matemáticas. E.sto · significa que son lógicamente equivalentes: que A 1mphca B Y que B •m· plica A . La afi rmación «A es necesaria para 8 » significa ~ue A se d~u ­ ce a partir de B: que si 8 es verdadera. entonces A se sigue necewlna· mente. La afirmación «A es suficiente para 8 » i.ignifica que A implica B; en otras palabras. la suposición de A es suficiente para prob~r 8 .
El axioma 5 de los axiomas de Peano es una formulac1<\n un (XlCO
d iferente del princi pio de la inducción matemática en lu forma . dada generalmente en los textos elementales. La formulación m•• conocida se deduce fácilmente del Axioma 5.
t.6a Teorema. Supóngase que una proposición P(n) (es dcdr. una afir· mación) acerca de los enteros positivos tiene las siguientes pro· piedades: • '
(i) es verdadera para n = 1 - es decir. P( 1) es vcnJaderu. (ii) siempre que P(n) se cumple. se cumple P(11 -+ 1).
Entonces P(n) es verdadera para toda 11 .
el sistema numérico 33
De111ustració11. En este calio. por una demostración qucrcmm. decir que esto es una consccuenda del Axioma 5. Sea M el conjunto de entero), p.1ru los cuales P(11) es verdadera. Entonces. de acuerdo con (i). l es un 1111cmbro de M y. de acuerdo con (ii). 11 + 1 = 11 1 e,, un miembro de M wm pre que 11 esté en M . Por lo 1an10 (i) y (ii) del Axioma 5 'iC satisfacen. 11111 1an10. M es el conjunto de lodo!. los enteros poi.itivo:. (número~
11.11urctles). 1
Corno un ejemplo de la inducción ma1emátiéa se demostrará la d~i­ n11 11ldad de Bernoulli.
l.(111 Teorema. Si x > -1 y /1 es un enfcro positivo. enton1:c~
(1 +x)' > 1 + llX.
De111ustració11. Scu P (11) la afirmación «{ 1 + x\' > 1 + 11.r !"C cumple suponiendo que x > - 1 ». (i) P(I ) es verdadera. En cf eclo. !le l iene
(1 + \') 1 = 1 +X.
póngase que
Mu ltiplicando amboo; miembros por 1 + x se tiene
(1 + z)"+1 > (1 + nx)(I + x) = 1 + (n + l )x + nx2
> 1 + (n + l)z.
;,Dónde se apl icó la hipótesis de que x .> - 1?
1.7 VA LOR ABSOLUTO
1
~i .\' ~ un número real. entonces el va lor absoluto de r. denola(h1 por l 1 ¡, 'e define por
lxl = { X
Si X> Q
Si X< 0.
1 a~ propiedades principales del va lor absoluto se dan en los siguiente:. !1•111 Ct11US.
34 cálculo de una variable
1.7a Teorema. lxl = j-x¡. l .7b Teorenut. p /xi = t / jxj. si x7 0.
fatas afirmaciones son evidentes a partir de la definición.
l .7c Teorema. jxyj = lxl ]YI
Demostruciún:
(i) Si x > O. y > O. entonce!> xy > O y
lxyl = xy = !xi IYI· (ii) Si x <.; O. y <.; O. entonces xy > O y
lxyl = xy = (- x)(- y) = !xi IYI· (iii) Si x <.; O. y > O. entonces xy <.; O y
¡xyl'= - xy = (-x)y = !xi lyl.
(iv) Si x > O. y <.; O. entonces xy <.; O y
¡xy¡ = -xy = x(-y) = !xi IYI·
1.7d Teorema. lx/yj = jxl/IYI· si Y :;6 O.
1
Demostración. Escríbase x / y = x · ( 1 / y) y apliqucnsc los Teoremas
t.7c y l.7b. 1 1.7e Teorema. l lxl- IYI 1 < lx + YI < !xl + IYI·
Demostración. Primero se demostrará la desigualdad de la de~ha. Es evidente que
-!XI < X< !:ti
- (lxl + lyi) = - lxl - IYI < x + Y< !xi + IYI·
De aqu í que tanto (x + y) como -(x + y) no son mayorcll 4uc ¡.1¡ + ¡yj: es deci r
lx + YI < !xi + lyl.
Par.• demostrar la desigualdad de la i14uicrdu di! { 1 7cl hu..:cmos a = x + y. b = - y. E ntonces
la + bl < 1"1 + lhl
el sistema numérico 35
lxl - IYI < lx + y¡.
lluccmos " = x +y. h = -x y repetimos el procedimiento para ob­ h ' ll l'I
IYI - lxl < lx + YI
1 ' tui. dos desigua ldades son equivalentes a la pa rte de la izquierda del l 1· 111 cma l. 7c. 1
1.71 Teorema. fx1 + x2 + · · · + xnl < lx11 + lx21 + · · · + ¡xnl·
/Jn111wración (por inducción ). Sea P(n) la a fi rmación de que
l:tl + X2 + · · · + xn l < lx1I + l~I + · · · + lxnl· 111 / >(I) es verdadera :
liil Supóngase que l'(n) se cumple. Entonces
l.r, + X2 + · · · + Xn + x,.+11 = l(:t1 + ~ + · · · + xn) + :t.,+11
< l:ti + ~ + · · · + xnl + lz.,+11 1h• 11n1crtl~ _con el Teorema l.7e. Entonces. puesto que P.ín) se cumple. 1•, 111 l':\prcsHm C). menor que o igua l a
1 1 1 r csu ltudo del Teorema l. 7f se recuc;rda fácilmente con las siguientes
puluhrn' : El valor absoluto de una suma es menor que o igual a la suma 11L• hl\ valores absolutos.
EJEROCIOS A
1. Pr 11h 111 pm inducción·
!111 1 1 2 1 3 + · · · + n = n(n + 1)/2 , ,., 1 1 .l t .s + . . . + (2n - 1) - ,,:
11 I 1 1 22 1 32 + · · · + n9 a n(n + 1)(2n + J)/6
11/) 1 ' 1/2 + 1/2' + . .. + 1/2" - 2 - 1/2" ,, , I' 1 21 1 33 + . .. + n3 - (1 + 2 + 3 + ... + n)ª
36 cálculo de una variable
.\
((') : 1 ( 1 - • ) 1 + :? d ( e) i \ 4 t ' .1 f
lgl tl•I I• + 11 2}
( / ) 11- 11"1 2 - 4/ '.!")}. JI ~ l.'.! , 3, . . .
1111 1 >.: rnn'I r.11 que ,, 111 .. 1 Ju - bp l/•I 1 ' .du.1 r ' 111 - Jt - 111 - lijL
(h) {.1· + 4 / J.1· + IS}
<ti) HI + .1) "' 1/(1 - .1')}
(/) 11•1 + ¡... + 11 :?} <h1 IV+ :?)(.1 - IX.r + S) · O} (j) ~ I - l/11}, /1 = l. 1, 3, . • •
má ' (11 M - mayor tic 11 y h.
lí:JERCl('IOS B
( ,,, (1 - .•')" 11111 - 1) 2
1 1 t I • 111H1 t " · l • • • 11 11u ncgu11vu;,.
11,, l 1 + 111 < u + · · · 1 tt., si 1odus la) ttC) •1m
" lJ1nw11rm1ii11 00
:
111! ~upónga~ que to.to, h l) cnlcllh hu~ta e mcll1ycndo a /1 ~on iguales. En- tonce' /1 - 11 1 ~umanuo 1 a ambos m1emhro~ !te oh11enc 11 + 1 = 11 Su- pues lu <j lll' /1 e' 111 11.d .1 todo, lo, e ntero' menorc-. 111mh1én lo es 11 + 1
.\ hwblo:ccr que l1h '' lfl tcma ) 1,,~ inll11111 encon lt u1l1h en el F.jcrcicio A:? ~lll¡,. l.tt.:Cn la ' Ut'ÍIOICIUOC' de Ju, 'UJ'íClll:t V lo~ inf1m:1
f I \ " S. P1111->ar q11c 1 - -1 ,,~ 1
1 1 - -
r ' r , ' dcu11ci r 411c
1 1 + - - ¡ ,, - 1
b l'1oh:11 411..: ' ' un ,;,>011111111 \ 11cnc un clcmo:mu m.n 1m11 c,111 c,, " c\i, tc un 1, en .\ l•d t¡ll<' 1, t pai 1 .:11ai.1 1ic1 111ro A t•n \ c nh•n..:c' 1 , 'llP 1
7 . Dcmo,1ra r que 1od11 con111n111 nn '' ••l'lt1 'i 4lh: \' ' tu 111:111ud11 lnfc1 itHmcnic tic nc un lnfimum
11 l>emo,1rnr qu<' " .\ c ' ta .1cu1adn intcr 1111111c ntc \ "'
v > "'" cxrMe 11n t en \ r ara e l c111ol 1 111 ,
9. Dcmo~1rar que ,¡ 1,, c' 110 pun111 1n1c11111 11\· un c11n111 11111 \ . c nto ncci. c .10 ... 1c n punto,. 1n1cr111re' de 'i 11 uno v o tn 1 l.11111 1k 1 ,
el sistema numérico 37
F.Jt:R('l('IOS C
l . Dcmtl\trar que, ~¡ " > O r ¡,> O, exiMe un /1 tal 411e na ,, ¡, F~t e e' et 1core 11111 de Euduxo o e l teorema Je Arquímedes.
l . Mcdiuntc C 1, demoi.trn r que M r > O esta da J o entonces cx1:.te un N 1111 t111c N • l /1 y de aquí que l t N < ' ·
t l)cmo\trar que en todo in tervalo de número' rculc , c~ i ,lcn númc10' rarn•­ na l c~.
4 DenHhtrar que en todo intervalo de números rcalc~ cxl\tcn número~ 1rrai.:10· nalcs.
~. l>emoMrar que el quinto axioma de Pcanu '< p11i•tl1• 1ll:d11c11 tk l l c111 cm:1 1 1111, ~11mrlctandu. J e C.:\IC m 1>\111 , la tlcm11,11ac11111 de 111 c4111v11lcnn.1 de li 1 ~ 1111 , p111
ro,1 c: ione~ de la ind11ec1on matcmarica
2
Z.I MAPEOS. FUNCIONES Y SUCESIONES
C'onsidcremos dos t.:llnjunLO!- Si y s •. Por un mapeo de sl en s. se en· 11·11dcm una correspondencia mediante la cual a cada punto x en S, se Je 1t \11cia exactamente un punto y en S,. La totalidad de todos loi. pares urtlcnados (x. y). donde y es el punto en S~ correspondiente a x en S ,. se ll11111nrá una (unción y se denotará mediante una sola letra. como /. El 1111111cro y en S., correspond iente a x en S, recibirá el nombre de valor de l.1 función / en x y se denotará por /(x).
Nolc!>C que una función tal y como se ha definido es una función univoca, es decir. a cada punto x en S, le corresponde exactamente un 1111nto y en S.,. Sin embargo. algunos. e incluso todos. los valores de y flltl·dcn corresponder a dos o más x. •
<\e dirá que la función está definida en S, y tiene valores en s •. y t.am· 1111!11 \C dirá que es una función de s. a s~. Puesto que X puede tomar l lllllquicr valor en S1• recibe el nombre de variable independiente. y puesto que el valor de y está determinado por x. recibe el nombre de variable d•·1>endiente. En ocasiones la variable independiente recibe el nombre de 11r1tumento de la función.
Si todo el conjunto S, se cubre mediante el mapeo -esto es. i para ll1th1 valor de y en S, existe por lo menos un x en S 1 para el cual y=
/( l)- se dice que el mapeo es sobre Sv. De otra manera se dice que 1•\ l'll s~.EI conjunto S 1 sobre el cual está definida la función se llama dominio de la función y. en general. se denotará por D. El subconjunto 1h• 'i 'obre el cual se mapca D se llama rango de f y se denota por R.
t ;J1ifka de una función es simplemente la representación bidimensio· 11111 1lcl c1injunto de puntos dados por (x, y ) donde x está en D y y es el
[39) ,
4U < Mr 11/u c/11 1111.1 vt1f1 111Jln
,,,i.11 111111" p1111d1111h 1 11 olla:. puluhras. la gráfka e~ el lugar ¡;0111111!·
111111 111 111 111111111 ,·11 d11, d11ncn,i11nc:. liado:. por
1 ' ./(x>I ·' en D.
1 1 qu, 1111.1 l11m 11111 ,c.1 un1,1x:a :-e refleja en d hechn de quc hxla linea , 111,,ll ""'' P·"ª ll11r un punw x de D encuentra a la g. ráJica en un punto
'\11\ 11111 11 1111: \in embargo. toda linea horizontal que pa~ por un p1111h• lll.' U encuent ra a la gráfica en un punto. por hl menoi.. pem I" 111,1 1..n1..1mtrarl,1 en un numero infinito de pu ntos.
1 ul \el ~• conveniente decir en poc~ palabrcti. algo acerca de la., llamaJa, lunciones multivaluadas y funciones implícitas. Empecemos por i::.tudiar un c1crnph1 conocido La ecuación
(11 .r + l = 2s
~· "<Jt1,f11cc parn 1..ien11:- pare:. de númerns pero en la íom1a en que 1,1 c,1¡1hk1.c no determina una función en el sentid<' de nuc!>tru ucfinición. r, 1, 11•11 \' i crtu~ funciones cuyas variables inucpendíentc y dependiente ~ .11 j,f.1~ ~·11 c.,ta re lución. La:. doi. ma:. adecuadas que vienen a la mente 1•i,1.1n d,1d:1' p11r
!/ = +, '.!5 - ,r!!
!/ = - ' ::!5 - )'2
y
{-5 5!
.r: O}.
( +' 25 - .,.! p<tr.J. ,\ ,..ciLllinal ) I 1¡ = 1'lx s:. . 1-, 25 - r pJr..t 1 1rrau" nal.'
1
41
P11r ,u pucs111 que. u1and11 dc1.1mu' que Id ccuadnn ( 1) llcftnl ampll· 1.. 1lJmcn1c una fundon. gcncr.i ln11.:ntc Jebe! cnt ·ndcr,..: 1na di;. •J, J11, rn· 11 11! 1':1~ . 1 11 que dc~mo' pun•uahZJr e:-. que para e:ipc-.J1kat u:i.1 1unc1ori 'e nccc ... nu má:. que la rcladon 1
2 ..¡ r' = 2'\ Por CJcmpl11. ' ' ''- pregunl•1 ' ' la funciun e' continua• . cn111nLc.., ci. tarnn' forzad ci:. el e'l'.nl!cr una Je lu' d''" primcml-
Ln f1inna scnic1antc, una íor111u l.1 conw
1· ang ".m \ IJ · l - 1 .... ~ ~ I '
1111 clclinc una funcion ya que C\1,11! un n11mcr11 infinito d1.: angulo' \ 'cm1 ci- 1. Pcni cl va lor pr1111..1pu l dd lnad n por
1¡
J< , ! -rr :! y r. ::! !
ºº' tunciunc' l'ili lc, pard c-.1ahh:ccr cicrl1h p111hlc111.1' ~on la runu11n m:himo entero ( \ 1 y la htni;.1<1n '1g11u111. Pr11111.:n1
lxl - a l máximo entero menor que o igual a ,, ,
• Aqul '1<l~ h~mm ndcltlt11lld11 1111 110.:u. rw 111 el .:,1111.h,1111.: }.I 11c11~ un.1 _.1111c1tl 11k.1 ol IH lflh •• 1n111wi1h1d
42 rl'tlr11l<J Uu 111111 varn1l>lo
{
!xi X sgnx=-=- x lxl
X=/= 0.
Para x = O cs111s cocientes no licnen significado. Nucs1ro principal interél> está enfocado ca lm, casos donde D. el donii­
nio de la íunc1on. e~ l<Xla la linea. un intervalo. una colcccinn rin1ta de intcnal1l\ o un intervalo 'ICmi-infi nito. Sin embargo. e"<i~te una impor­ tante cxccpcion que no' conduce al concepto de sucesión
Sea / una íunrnln c..lcfinida en un dominio D que con<,il>lc en llXIO.., lo!> entero' /1 m:h alla {co; tledr. mayores que n iguale!> a) a lg(in entero "" Una funcion e.Je este tipo se llama sm·esión. Hareml>i. el L-amb10 ck no­ tación
/(11) = ª·· de 111111.hi que lns términos de la sucesión se presenten en una for­ ma nuh. conucidu lndil:aremos la sucesión esc ribiendo el té r111 ino típico entre lluvc ... : la.I . 1 1 entero " • con el cual empieza la succsiún gcncra l­ mcntc scr•l O ti 1 y se C\tablccerá u se dará por !:>Upuc~to . Pero cviden­ tc1m•n1c 11,, dehc e..coger:.c de manem que la fó rmula ( ~i ex iste) para a,, leng,1 'c11t1d11 pa1u 111d.1 11 11 ,. Pm ejempl1>. la 'u~c~iun l l / 111 nn puede
funciones, sucesiones y /Imites 43
h·1wr lln O y la sucesión 11 / 111(11 - 1)(11 -2)]1 debe tener 11u aJ men11!. l1t\
Sea / derinida sobre un conjunto D con rango R. Por sup f se debe D
c11tcnder sup y; en forma semejante inf / signiíica inf y. Esto se aplica en R D R
p.irticular en las sucesiones en las cua les se escribe sup an en lugar de sup / /)
\' 111f u,, en lugar de inf /. D
l.2 LJMIT~
Supongamos que se tiene una función / definida en un conjunto D lllh: incluye números arbitrariamente grandes: esto es. para todo número M . no importa qué tan grande. exi~te un x en D para el cuaJ x. > M . En lu realidad estaremos interesados en dos casos: (a) D contiene un intcr­ vulo semi-infi nito lx > .xol : y (b) D consiste en todos lus entero~ má:-. ullú de algún entero fijo: In > no}- es decir. en este caso estamos inle- 1cm1dos en sucesiones. Podemos inquirir a1;erca del comportamiento de fl \ ) para una x grande. En particu lar. podemos preguntar si los valores tic /(x) se mantienen próximos u 11 lgún n(1mcro fijo A si x se hace muy wa nde. Si es cierto que existe un número A ta l que f(x) se encuentre tan prúxima corno se desee a A para toda x lo suficientemente grande (es decir. toda x suficientemcnle grande en D ) se dice que /(x) tiende al Umi­ t\.' A conforme .t tiende al infinito.
En fom1a más precisa. un número A recibirá el nombre de límite de f conforme x tiende el infin.ito si para todo < > O. existe un número X ltlcpcndiente de t. y de aqu1 que en ocasionci> lit: escriba X (f)) para el cual
l/Cx) Al < t si _, > X y ·' en D.
1 xpresamos ei.lo simbulicamente medianle
lim /(X) = A ..,- f
'' bien /(x) _. A conforme X-')OO.
')e cumple una definición semejante para lim /(x). (Ver Ejerckio A4). En :r. 00
d casll de las sucesiones esta expresión se transforma en
lim u., = A
•
4.1 r.. 1/111/11 r/1 1 "'''' vw/rl/)f('
1 11 e1, t. , ,,,, 1•11 1 1. 11 ~ 1111w 'l' '1111plifica la nutadon i.:'cribicndo
ltm 11~ = A
1 • l•wr1 a,,_. A .
1 ••rq1 11• 1•n .:1 1. .1, 1 J1• ¡,. , '>UC.:c ,ioni!.\. é~h>S Mm lo:. unic11'> llf)(I' de lm11tc:-. 1111· w 1.1111"Jcr.rn
1\1 11111 "· ''"''é para una cierta sucesión .,e dice que la 'ucc:.ion con­ , c~c. De ••lm 111.incr.1 'e u1cc que diverge.
< 11.1nd11 un l111111c c>.iMe (ya sea para fum:i11nc' 11 pum 'm:e .. i1lnc~).
e' u1111..o. e' llcc1r. n11 cxbtcn do~ númeroi. dbtintu., que puL'tlnn i.er al 'lll1\lllll ticmp1l li1111h:' de la mi:.ma !>UCe:.ión 11 de la 111i:.n1:1 runc.:111n C\'cr l JCn:i .. io B51
l: J 1 ",. , (1 Supongal>C que f(:cl = l /C.r + 2r .ti /) ; ; \ ,, 1 -· 11 bien (/" = 1 /(11~ + 2,, - 4) 11 '.!.
En1.1ncc' nb!'.>crvemos que
.r~ + 2.r - 4 ' ,,.:.! • .t
,1. " 111mamo' X conw la mayor entre 2 y l / c. entonce!> parct x .,.. X
o f(.r) l /r ...., l/X E.
p1>r 11> cual ....: ve que lim f(x) = O. .r.,
l .1h mi:.011>!'.> c:ilcul11ll prul!han que
limo ,. = O.
la,. - ti = 1![2 - (-1)"]/1"} - 11=1/2"
Ahorn pndri~11111l' cnc11n1rar un N(() [en el c.:a!>O de 'ucc,i1mc' ui.:1rt•n111¡, N(c) en lugar Ji.: X(dl i:n término:. de log_ <. pero ¡111dc1111" 11hti.:na un N 11111, ~cncil h•. uunqui: 111cni1' 11 pnlximado. de la muncru ,, igtm:n1 c ·
1' =l l + I )'' = 1 +11+11(11- 1)/2···+ l 11
lla 'CIHtndJ 1g11ald11u 'e ap11\'a en el lCMcma del hin11111111) Di: .1q111 que.
funciones, sucesiones y limites 46
1 / e o mayor. !>t! tiene. para 11 > N
la - 11 = 1/ '! ' l / 11 1/N '·
1 't" \.llruplcta ht :>oluciúo.
l JI M l'I O 3. j ( .1') - \ :;:( \ .f + 1 - \ :;:) D: (.r · O}.
\11l1w11 i 11 Supongamos que para todo x > O existe una raíz cuadrada p1"111va unica. c ... decir. existe un numero posi1ivo únic<' y para el cual \' t L~tu \e probara en un capítulo poMcrior (ver Sección 3 4).
1 a111b1én 'cr.t conveniente !Wlber que si u > l.
ª2 -.. a • 'u > I ,
A huru bien
' .r - ---"---,- = --=====-- , .r + 1 +".r , 1+ (l ,.r)+1
.A partJr de lo cual M: ve como evidente que el limite e~ l / 2. De aqúí 1.on"deramos
¡/(.r) - ~ 1 = I, 1 + (:/r) + 1 - ~ 1 = ~ - -,= +=t=:,=.1.=-) +- 1
' 1 + (l/ .r) - 1 1 + 1, .r - 1 = < ----- 1(, 1 + (l /.r) + 1) 2( 1 + 1)
J
-tr
•\ !>1. ~· tomamo~ X como 1 / 4< o mayor. y .t > X. entonces.
E.
1 crmi naremo::. esta sección con un teorema que establece un limite 111uy úti l parct propósitos de comparación.
46 c ttfc11/e> du '"" ' vnrlnble
2.laa Tcottnua. Si 11 11 · 1. r ntonces tJ" ~ O.
IJ1•111111rr11<'11111 Sea '
1 o=--
i +x
ti .. J
2
EJERCICIOS A
1
l. Determinar M las sucesiones siguientes tienen limites. En cada caso donde exi!>la un !Imite A . determine un N(L) tal que
la,. - Al < ~ si 11 > N,
donde u,. está dada por :
11 + 1 112 + n 611~ + 411 - 1 (t1) -- (h) 211?. + 1 (e)
11ª + 511 11
,,i 11· n-
2. Determinar si las íunciones siguientes tienen limites en el inítnllo. En cada caso donde exista un limite A . determinar un X<~> tal que
IJ ( r) - Al ~ e if r > X.
(11) i.cn .r
scn r (h)-
ri - 4.l·' + 3..c (e) .t.:i - r + 1
3. Probar que s1 u > 1. entonccs a'! > a > va > 1.
... Definir l1m /(.1:). .,. __ «> EJERCICIOS B
1. Examinar estas sucesiones y funciones como en los ejercicios A
(u) ( 1 - ~) ( 1 - ~) .. • ( 1 - ~)
, ,,) .r r 1 _ ( • _ ~rJ
( 1 11 11w1 1 11 1110 ) " ( f) ~nt -i co:.e -- 4 11 \::? J 11+2
1 - (1 - l /11)3
(e) ..J , + 1 ;:¡ 211
funciones, sucesiones y limites 47
\11f1<~ngr1M: que cxbte un número q , O< e¡ < 1 tal que In,. 1-11 < qlanl· 1 ~.1minur In suc:c~ión ltt,. I.
' e ruculat sup u,. e inf ªn cuando exiMnn. En cada caso determinar si se alcan7.a u no el valor extremo (es decir, ~up o inf).
l•tl {r I>"(!-;,. )} (b) {~ +cos 11
;
'' 1 {11"•1•,. ~'} (tl) 1( - 1 )"n" ..... "m + ~} l n
1 e ...ih:ular sup /(x) e inf f(x) cuando ex1Man. En cada caso determinar si se ,, J>
111,an~a o no el valor extremo. (11) r - (.r) D: total .r (h) X D : {O < z ¿ 1} {' ) nn& tnn .r (valor principal) D : {O .r} (e/) ang tan 1/.r D ; {.e .,_ O} lt-1 r 1 .r D : {.r OI
'I 11robar la unicidud del !Imite; es decir. probar que si lim a,, = A y lim a,. = A ', ~n1onces A = A '.
l .
.t.
EJ ERCICIOS C
S11póngabC que 11,.-* A, t·11 - ' A y 11,. < h11 .;; c,1 • Demostrar que b,,-+ A .
S11¡><1ngase que /(.f) - A. 11(.~)-+ l l conforme ;r - :1\ y /(.r) < g(.r) < hCx) . Demostrar que g(.r)- A conformt' 1 - • x.
lkmoscrar que 11~12·-* O. 11~/2' -> O. 111¡ 2• --+ O. (S11geu11cias: Ver Ejemplo 2).
•. Demostrar que n'lu• - > O. 113t1' _. O y ,, 1,,. _. O si O < 11 < 1. (Comparar con el F.jerddo 3 anterior y ver lo dcmostmción dcl Teorema 2.2a.I
'I l11) Considértsc que /(A) y N(.t) llenen el mi:.mo dominio D . Demostrar. que ~up [/(.t) + g(.r)j up /<.r) + sup g(.r) v n n inf [/(.r) + g(.r)] inf /(.1) + mf g(.r). n u o
1 n particular. para las ~ucesionc!>. c~ta upresiones se transforman en
sup ("" + b,.> • sup u,. + sup h,. inf (u,, + h., ) inf 1111 + mf b,..
111) Dcmoi.trar que paro /lA) ) O y gl rl '> O
sup/V> ·gV) sup jc.,·) · sup gV) JJ /) /)
inf /(.r) · x(J') inf /<·•·) · inf g(.r). /) /J J)
1.,\ OPERACIONES CON LIMITES (SUCESIONES)
•
48 cálculo de una variable
teorema ... cnc1llo pero mu) ut1I respecto a la11 suc~wnes Para el efcclO. dcfmirc11111' 111 'uh,lllcJ.1011
1 nu .. ulc"nn 1<1 , e' una fu nción en ltl ' entcros. e:. decir.
"· = f(n) para todo n :.> n
\h111.1 ' U()l1ng..1.,c que .. e 1:\in,1dem la función re~tringida a un :.ubconJUnh' de 'º' cntcni' l:~ujamos un entero mayor que o igual a n y dcnotémo:.lo ror " •· 11tro ntn\inr que " · y denotémoslo por 11,. ntrn mayor que " · }' dc­ nllh!llhl,lll por 11 y as1 .. uces1vamente Entonces. la nueva ... uee ... ion dcf1- n1uJ por
/t1 = <I = } \llt-) "=o. 1,2 • .. •
'e lla111u !iiubsucesión de janl fa evidente que existen muchas i.u b'>ucc· 'iones de una sucesión dada y que. en tocio caso. nk ~ J.. . (¿Por qué'!) El Lcnrcma que i.c desea proba r e' el siguiente.
2.311 Teoremu. Supóngase que :a,.l converge, entonces cua lquier sub· sucesi(ln Ja,wl también converge y tiene el mismo limite.
De11111stracic}11. Sea A el limi te de la sucesión lu,,I . Se sal"lc que paru todo < > O exbte un N para el cual
Pero 114 .> J..: de aquí que
Por tanto
'" "• - Al < E
si " 1: > N.
si k > N.
si k ., N . 1 Los :.iguientes :.on una colección de teoremas opemcionalcs usua lc:.
C(lO lu:. cuale' debe fam iliarizan.e el estudiante.
2.Jb Teorenm. Si lim "~ cxi,te. enhmce:. !a ,,: forma un CllOJUnll1 acula· do. (l:~ decir. cxi .. 1e una constante M para la cual ¡u.,¡ < M para iodo 11)
Dn110.Hrc1t 11111 SL-a 11 = lim a.,. Entonces exbte un N la l que
Ent11nceJ. Por lo tanto
a,.I - la!. (¡,Pl>r qué'' J
(1 ) lt1,.I lal + l =1\11 1 si11 °· N .
Ahora observemm, entre los números la.j. la~I · .. . , Ju,.¡, y cscojumo:; el mayor. llamándolo M.,. Entonces
(2) Jan! < M , si ti ~ N. Ahora. es evidente que si Lomamos M c1..1mo el mayor de M 1 y Mv. enton· ces por ( 11 y C2)
para todo " · 1
funciones, sucesiones y limi tes 49
En los teoremas restantes de esta sección supond remos que las su­ cesione:. lun l y l b,.I convergen y que sus limite!. son a y b, respectiva­ mente. y concluiremos la existencia de los demás limites que se pre· -.cnlan.
2..Jc Teorema. lim (a., 1- h,.) = lim u,. ' lim b11•
Demostracic>n. La demol>tración de cMe t\!Orcma se deja como ejerci· do (Ejercicio B). Obsérvese que. por inducción. este teorema se extiende a cualquier número fi nito de !>UCesiones.
2.Jd Teorema. lim (u,,h.,) = (lim a~)( lim h,.).
DemmtraciJn. Examinemo~
Por tanto
la,. f> ,, - a/1 111 + la/1 11 - abl.
De acuerdo con el Teorema 2.3b tenemos que lb11 I está acotado. Su­ pongan1os que lh,,I < M: entonces
(3)
Ahora vcmo:. que haciendo ¡a,. - al y lh,, - bJ pequeños. podemos hacer le1nb11 - uh pcqJcño. Sea dado e > O y Lomemos E 1 = <f2(M + 1) y (z = c/2<lal + 1 ). Entonces exi!>tCn N, y N . tales que
lu,, - al E1
y
Asi. l>i n > N = máx (N,. N,). de (3). tencmo~
la"b" - abl Mc1 + lti!c2 = t[M/2(M + 1) + lal/2(1al + I)] < c. 1 Con base en csla demos1 ración :ie sigue que
lim ch,. = e lirn h.,. (¿Por qué?)
2.Je Teorema. li m (a,,/h,,) = (lim a,,) / (l im b,.) si li m h,, ;;/= O.
De1110.1·1racit;,1. La demoslraciún de el.te teorema se sigue del Teorema 2.Jd. en el supuesto de que pm.h:mns dc11 1oslrdr que
141 lim l / /1,1 _ l / lim h,..
1•ura probar (4). notemo:. primero que. supuesto que h = lim h., =/= O. C'l~lc un N, lo suficientemente ¡irunde de modo que
50 cálculo do 1Jna variable
111,, - 111 • nllbl si 11 > N, . Enwnccs
Jb11I > Wlbl si n > N 1•
De aqul que. para n > N 1 •
(¿Por qué'?)
(¿Por qué'?)
1 :fl - i 1 = 1 b~~ b 1 < l '~;);J: 1 = 1:12 lbn - bl
Ahora. dado que , > O. sean ' • = Jblª</2 y N~ taJes que
lh .. - hl < '• Entonces si n > N = máx [N 1. N1].
si n > N~.
b,. - b _, lbl2 lb,. - bl < íbf El = lbl2 • -2- =E.
2.Jf Teorema. lim ¡a .. ¡ = llim a.,¡.
1
Demostración. La demostrac ión de este teo rema se sigue directame n­ te de
(¿Cómo'?) 1
2.Jg Teorema. Si Un > O.entonces Jim a,, > O.
Demosrración. Supóngase que lim a,. = a < O. Entonces existe un N lal que
!u,, - a l < - ~:tª para todo ;, > N
Así. en particular. parcl tal n se tiene
(recuérdese que u < 0).
2.Jh Teorema. Si a .. > b,.. entonces lim u,1 ~ lim b,,.
Demostración. Por los Teoremas 2.3c y 2.3g.
lim a,, - lim h,, = lim (a,, - b,,) > O.
2.Ji Teorema. Si a,, > O. entMces lim .VO: = V lim a,..
1
1
Demm·tración. Una vez más supond remos la exisrencia y la unicidad de las raíces cuadradas po&itivas de los números positivos (ver Sección
funciones, sucesiones y limites 51
\ 11 ( '1m, illc remos dos casos. de acuerdo con que lim u,, = a > O o bien ,, o
1 ' \ <,(I 1 t i • 0.
'\q111 l'lli:.te un N 1 tal que
a,. > Y:!a
si " > N 1• (¿Por qué?)
, r;;¡ = kru: - Jl.1 IJO,. + / al = 1 an - a 1 < la,, - al . 1 o,. + /ül F., + Ja Jñ
1 1,111 ci. ltt desigualdad básica. El resto de la demostración se deja 11111111 e jerc icio.
1 ~ "" 2. ti - o. l>lldo , > O. se escoge n lo sufic ientemente grande para que a,. < e'.
1 llhllli.'~S Ja: < E.
1 11 Ml'I o. Calcular
\, 1l11cuSt1:
,,. - 5 1, 411° + 611 + 3 1m .,
n- - 5
) 1m =
lim [ 4 + (6/11) + (3/11~)] lim (1 - (5/112) )
= lim 4-+: lím (6/~1) + l i~ (3/ 112) = .j4 +O + O Jún 1 - hm (5/w ) 1 - O
= J4 = 2.
< 'nnvicne hacer algunas aclaraciones acerca del cálculo realizado e n 1·~11· cncmplo: Cada paso en la solución es un argumento provisional que 1lr prmlc. para su validez. de la existencia de los limites invo luc rados. Por 111 1101111. el primer paso. donde se intercambió el l>igno del limite y el tilalllll de tu raíz. es válido solamente si se conoce la existencia del limite 1lrl 111clcntc que se encuentra como radicando. En fom1a semejante. cada 111111 11..· lo ' ~iguienles pasos es tentativo. afirmado en la existencia de los l1t11ih' ' Invo luc rados. La justificación final para todos estos pasos provi­ •l1111•IC', Cll que se llega a una expresión que tiene un limite.
52 cálculo e/ti uno vurfobll'
t.JERCICIOS A
llc-1 rr ml11111 1 111 .. 'l!l111en1ci. ~ucesiones 1iencn lfmlle Sí cx1s1c. calcular el Hm11c rn \ 1111.1 ~ 11\11
111) \ /1 1 1 ' ,, (b) ,¡.i + 411J + 511 + 16
"'! + 311 + 2
\ /1
11 + 2 -2 ~li1
f¡:) 11( 1 - - <1/11) (/1) n[(a + l /11)~ - a5]
kwn + I (i) o
log /1 - 1 EJE.RCICIOS B
l. 111) Probor el Teorema 2.3c. (h) Compleiur lu dcmosll'ucil~n del Teorema 2.Ji.
2. Demo~1rur. mediante ejemplo:.. que si 111,,I ~ Jal, enlonccs 11" no nccesurlamcnte converge; y 11 ue ~¡ converse. no ncccsuriamenie converge en 11.
J . DcmO'>lrnr que 111,.I - • O , i y ~ol amcntc si 1111 --+ O. .- ,- ... DcmoM rar que si u,. --+ a. entonc.ei; ' t111 ' <1 .
5. Dcmos1rur que lim \-;, • 1 si 11 > O. Considérese primero el caso donde a > 1.
(S111u·r1·11d11 : Hacer \;; 1 + li,, y apl íquese la desigualdad de lkrnoulli .) 6. Calcular el Hmllc de cada una de las suces:iones siguiente:.:
(11) (11( 1 - F-::)} <M r_1_ +--1- + ... +-1-}
\ 11'l + 1 11J + :! 11'! + /1 •
{ 1 1 1 1
(r) + ;-;;-;: + · . . + ~ . \ ,,: + 1 \ 112 + 2 \ llJ -f 111
7. Demu,tru r. mediante ejemplus. 1¡uc: pa ra una sucesión conver1?cn1c fllnl la con· J1cmn "~ > O no implica que lim 1111 > O.
ti . f>cmn,11 11r. mcllinnrc c¡cmplo~. que si (1111 1 y (b,,I \tln ~ucc,ium:' JlvcrgcnleN. cnwncc' In,, 1 1111 1 nu C\ ncccsurlornen1e tllverl:cntc. Hacer lu mismo pura ( 11~ 11,.I y la,/h,.I.
EJERCICIOS C ... l. Dcmo~trar que ) t lu,,I convcrac a cero y lb,,I c:.tá 11coH11.la . entonce\ lu,.h,,I
convtr¡c: a ctro
111) ( ( ' ~ 1¡'' ) 1 ''} " !/ o.
· 0.j - I , 2, . .. k ( ' 11 a, 1 /, t I
, ..... 1 D~lll<l\11 .it 1¡11c ,· /1 • l. t!i111.:i-r1·111 iw Hacer \ /1 = 1 + Ji,., y aplicar el 1co1cmt1
·h 1 111111111110.)
l " 1111 "i11p11n1111-.c quc lim 11
11 = 11. l luccr n,. = - L n1, y llcmo\lnlr que hm a,, =tt.
11 1
f /.) M11\l1 11r. mclli:tn lc c1cmplo~. que la inversa lle C11) no u~ vcrdadern: cstn C\. ,.,¡ ~ 1 c 11 N 11cc,i11 11c~ la,,I ta le~ que li 111 o,, e1 pcro lim 1111 rw cx i~i.: .
.t .. a 1.11\tlTES DE FUNCIONES
°'li:.1 /hl dcfinic.la en el interva lo / : la h <"' .\ "' u ¡... /i(. para algun 1111\lli\11 h. cxccplo pt1,iblcrnentc en el pMpi\l punto ti . c.~ c.lecir. /(:e) Cl! tá 1kl 1111du en una vccinllall agujcrcac.la lle a. Entonces. un número A recibí · 1.1 el nnrnbrc lle limite de /(.\ ) c11nf11rmc x 1icmlc a ti (O conforme -' ~ 1H. ll. J u u). !ii para tc'l<Jo < > O cxhtc un número ó. O <"' o < h (por i.u· p11n111 que 6 llcpcm.le de ~ y ª"· frccuentemcnlc . ..e e~ri be S(c)) pa r.i • 1 '\lil 1
. 1/(.r) - A 1 ,... e ,¡ O < lx - al < ó.
1 \ f llc~.trcmo' e'tc hech1> fonmtlmcntc. lim f(x) = A
11 h1cn /(.\ )-+ A confo rme .X ) (J.
< 'oni.idérci.c. pllí ejemplo. /(,\) = -':: .-¡ 2. Se dcmostrdíá que lim /(x) = ... --.1
h 1 ' evidente 4ue f Cl! t{1 ddinidu en O ,.,,. x ,,,- 4: es decir. puede ltl•
11 1.11 ,c /1 = 2. l· n c'Lc intcrvulu.
IJ(x) - 61 = lxz - 41 = lx - 21 lx + 21 e- 6 · lx - 21.
54 cálculo de un11 variable
De aquí que :.i ll </ 6 o menor. entonces
E lf{.i:) - 61 • 61:i: - 21 < 6 ' - < E
6 Si Q < IX - 21 < 6 :: E/6.
Por supuesto que. si no existe un número A que llene los requerimien· tos de la definición. entonces se dice que el límite no existe. Una función puede no tener límile por cualquiera de varia!. razon~. Duremos algunos ejemplos en puntos fi nitos y en el infini to.
EJ1 MPI o 1. La función puede oscilar acoLadamenle. como lo hace la función
f(x) = M:n 1/ .r conforme x -; O.
y
X
EJ1 MPI o 2. La función puede oscilar en forma no acolada. como la fun· ción
/(x) = x sen x conforme X-+ :xl.
11 1u111bién rnmo
,
funciones, sucesiones y limites 55
1 11 MPI o 3. La fu nción puede crecer sin Hmite. como
f(x) = <~ - 2)2 conforme x -+ 2.
%
1 JI Ml'I u .J. La función puede decrecer i.in límite como en el caso de
/(x) = - 2 + 3x - x' conforme x -+ oc.
y
JC
l:.n situaciones ta les como las de los Ejempll>S 3 y 4. donde una fun· l' Hrn crece o decrece i.in limite. en ocasionei. se dice que el límite
"' ! ec ú bien - :c .
56 cálculo de una variable
Se dice que el lítnitc de f(x). conforme x tiende a u, es + oo si pa ra Lodo M ex iste un 8(MI para el cual
/(x) > M si O< lx- ol <8
Expr\!su111m1 úSlé hecho fo rmalmente de ,la siguiente manera
lim f{x) = + oo
, , líl 111 bién f(x) ~ + oo confo rme x ~a.
Se hacen definiciones semejantes para cubrir los casos lim /(x) = - oe
y lim /(:<) = ± oo . También se hacen defin iciones semejantes para las .,...+.r
sucesicines. Debe establecerse claramente que no se ha definido en forma a lguna
+ oo 6 - oo . Se han definido ciertas expresiones. tales como lim /(x) = I' .. ti
= + oo . Pero la palabra «infinito» o el símbolo oo por separado no se han definido. En particular. lirn /(x) = + oo significa que f(x) crece sin
"·•" limite conforme x se aprox ima a a. y esto. a su vez. se precisa por la propia definición.
Cuando se dice que lim f(x) exisce. en general se dará a entender que ~ til l
existe en el senlido de nuestra primera defin ición. es deci r. como un nú- mero finito. Pam enfalizar. en m:asiones diremos que lim f( x) existe y es
,,. .u
finito. Siempre que tengamos ocasión de usar La última definición - esto es. lim /(x) = ± oo . - deberá quedar darn que se usa en este sentido
extendido o impropio. Antes de terminar con esta sección probaremos el siguiente teorema.
que es válido tanlo para los limites tomad os en el sentido propio como en el impropio.
2.4a Teorema. Supóngase que lim /(x) = A y que lx,,I es una sucesión • J• "'º
de' puntos convergentes a a , con x ,. r a para todn 11. Denótese f (x,,) por y,,. Entonces
lim y,,= A. Demostración. Se dará la demostración para el caso en que lanto a
como A son finitos. Sea dad o e > O. Entonces. de acuerdo con la defini­ ción de lim /(x) existe un 8 para el cual
l./V·) - 111 ,... e :si O< ¡.r - al < f5.
.. 1
Y. supuesto que x,, ~a, existe un N tal que
¡x,,-ll¡ < 8 sin > N.
ya que
Ls decir.
o < 1:1',, - ª' < <5.
¡y,, -Al < f si n > N. 1 En ocasiones existen los Hmilcs laterales cuand o no existe un Limite .
Por límite lateral se entiende que el punto que se aproxima. x. debe \!nconlrnrse en un lado del pun to a. Precisamente. se dirá que A es el límite por la derecha de /(:r) conforme x tiende a a, si para todo e > O existe un 15 >.{) tal que
lf<x) - AI <e :.i a < X< U+ 8
l· 1 concepto de limite por la izquierda requiere que tJ - ll < x < u. Estos 1111 1 i tes se den~>tan pllr
Jim f(x) ~ • t¿ol
limf(:r) ;c - (1-
para los limites latera les derecho e izqu ierdo. respectivamente. Una nota­ 'ión más ~onvcniente está dada por
.f(n + O) = lim f(x) :ri- a 1
y f(a - 0) = lim f(x) . rr.-11 -
2.5 OPER ACIONES CON LIMITES (FUNCIONES)
En esta sección se reproducirán para las funciones. los teoremas pro­ ba