1Universidad Jos Carlos MariateguiCarrera Profesional de Ingeniera Civil

Guia 01 de ejercicios de Clculo IV

Fecha: Abril de 2014.

I.- Resolver las siguientes ecuaciones

1.1 + x2

y0 xy = 0

2. y2 1 (2y + xy) y0 = 03.ayx2 + by

y0 x = 0 para a; b 2 R; a 6= 0

4.ax2 + b

1=2y0 xy3 = 0 para a; b 2 R; a 6= 0

5.ay2 + b

1=2 xyy0 = 0 para a; b 2 R; a 6= 06. ay2 + b x2yy0 = 0 para a; b 2 R; a 6= 07. 2xy senx+ x2 + ey dydx = 08. y2 + cosx+ (2xy + ey) dydx = 0

9. 2xy2 + cosx+2x2y + 1y

dydx = 0

10. 2xy2 1x3

+2x2y 1y2

dydx = 0

11. xy4 +2x2y3 + 3y5 20y3 dydx = 0

12. x+ y + (x lnx) dydx = 0

13. 2xy3 1x3

+3x2y 1y2

dydx = 0

II.- Encuentre un factor integrante para las siguientesecuaciones

1. xy +2x2 + 3y2 20 dydx = 0

2. x+x2y + 4y

dydx = 0

3. 2y2 + 2yx +2xy + 2 + yx

y0 = 0

III.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales porseparacin de variables

1. x1 y2 12 dx+ y 1 x2 12 dy = 0

Sol:1 x2 12 + 1 y2 12 = C

2. ey (1 + y0) = 1Sol: ex = C (1 ey)

3. y0 = ax+y a > 0; a 6= 1Sol: ax + ay = C

4. ey1 + x2

dy 2x (1 + ey) dx = 0

Sol: 1 + ey = C1 + x2

5. (1 + ex) yy0 = ey; y (0) = 0

Sol: (1 + y) ey = ln1 + ex

2+ 1 x

6.1 + y2

e2xdx eydy (1 + y) dy = 0

Sol:1

2e2x ey ln

p1 + y2 arctan y = C

7.xy2 y2 + x 1 dx+x2y 2xy + x2 + 2y 2x+ 2 dy = 0Sol:

x2 2x+ 2 y2 + 1 e2 arctan y = C

8. y0 = ax+ by + C; a; b; c 2 RSol: b (ax+ by + C) + a = cebx

9. (x+ y)2 y0 = a2

Sol: x+ y = a tanc+

y

a

10. y0 + 1 =

(x+ y)m

(x+ y)n+ (x+ y)

p

Sol: x =(x+ y)

nm+1

nm+ 1 +(x+ y)

pm+1

pm+ 1 + Cnm 6= 1; pm 6= 1

11.a2 + y2

dx + 2x

ax x2 12 dy =

0 y (a) = 0

Sol: y = a tanra

x 1

12. y0 + sinx+ y

2= sin

x y2

Sol: lntan y

4

= C 2 sin x2

13.dy

dx= tan2 (x+ y)

Sol: 2y 2x+ sin 2 (x+ y) = C14. y0 =

1 x yx+ y

Sol:(x+ y)

2

2= x+ C

IV.- Vericar que las ecuaciones son homogeneas y re-suelva

1. xdx+ (y 2x) dy = 0Sol: (x y) ln jx yj = y + C (x y)

2. ydx+ x+pxy dy = 0Sol: ln jyj = 2

rx

y+ C

3. ydx

dy= x+ 4ye

2xy

Sol: e2xy = 8 ln jyj+ C

4.x2 + xy y2 dx+ xydy = 0Sol: y + x = cx2e

yx

25.x+

py2 xy

dydx= y y

1

2

= 1

Sol: ln jyj = 21 x

y

12

+p2

6.x2 + y2

dx+ 2xydy = 0

Sol: x3 + 3xy2 = C

7.y2 xy dx+ x2dy = 0Sol: y =

x

ln jyj + C

8.dy

dx=y2 + x

px2 + y2

xy

Sol:

r1 +

yx

2= ln jxj+ C

9.dy

dx=x2 y23xy

Sol:x2 4y23 x2 = C

10. (3x+ y 1) dx+ (x+ y + 3) dy = 0Sol: (y + 2)2+2 (x+ 1) (y + 2)+3 (x+ 1)2 =C

11. (2x+ y + 4) dx+ (x 2y 2) dy = 0

Sol:x+

6

5

2+

x+

6

5

y +

8

5

y +8

5

2= C

V.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales ex-acta y si no usar el factor integrante.

1.x+

2

y

dy + ydx = 0

a) Sol: xy + ln y2 = C

2. (y + y cosxy) dx+ (x+ x cosxy) dy = 0

a) Sol: xy + sinxy = C

3.1

x 1ydx+ln (2x 2) + 1

y

dy = 0

a) Sol: y ln (2x 2) + ln y = C

4. (y sinx+ sin y) dx (x cos y + cosx) dy = 0

a) Sol:x sin y + y cosx = C

5.dy

dx=ax+ by

bx+ cy

a) Sol: ax2 + 2bxy + Cy2 = C

6.3x2 + 6xy y2 dx+ 3x2 2xy + 3y2 dy = 0a) Sol: x3 + 3x2y xy2 + y3 = C

7.ydx xdy

xy+xdy + ydxq1 + (xy)

2= 0

a) Sol: lnx ln y + lnxy +

q1 + (xy)

2

= C

8. y (exy + y) dx+ x (exy + 2y) dy = 0

a) Sol: exy + xy2 = C

9. 2xydx+y2 + x2

dy = 0

a) Sol: y3x2 + y2

= C

10.3x2 tan y 2y

3

x3

dx+

x3 sec2 y + 4y3 +

3y2

x2

dy =

0

a) Sol: x3 tan y + y4 +y3

x2= C

11. x2y2dx+x3y + y + 3

dy = 0

a) Sol:x3y3 + y3

3+3y2

2= C

12. x2dx x3y2 + 3y2 dy = 0a) Sol: ey

3(x3+3) = C

13. ex (x+ 1) dx+ (yey xex) dy = 0a) Sol: 2xexy + y2 = C

14.2y3 + 2

dx+ 3xy2dy = 0

a) Sol: x2y3 + 1

= C

15. cosx cos ydx 2 sinx sin ydy = 0a) Sol: sinx cos2 y = C

16. (ex + xey) dx+ xeydy = 0

a) Sol: xex+y = C

17. dx+x

y sin y

dy = 0

a) Sol: xy + y cos y sin y = C18.

3x2 y2 dy 2xydx = 0a) Sol:

x2

y3 1y= C

19.x+ y2

dx 2xydy = 0

a) Sol: x ln jxj y2 = Cx20. (secx+ y tanx) dx+ dy = 0

a) Sol: y secx+ tanx = C

VI.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales

31. y0 y cotx = sin 2x2

a) Sol: y = C sinx+ sin2 x

2. cos ydx = (x sin y + tan y) dy

a) Sol: x =C

cos y 1cos y

ln (cos y)

3. x1 x2 y0 y + ax3 = 0a) Sol: y = ax+

cxp1 x2

4. y2 1 dx = y (x+ y) dya) Sol: x = c

p1 y2 +

p1 y2 arcsin y y

5. y0 +y

x= x3 3

a) Sol: y =x4

5 32x+ cx1

6. ydx

dy 2x = 3y2 2 si: y (1) = 1

a) Sol: x = 3y2 ln y + 1

7.dy

dx yx=x yx 2

a) Sol: (x 2) y = x (x+ c)

8.dy (x+ 1) ydxx2 + 4x+ 2

= dx

a) Sol: y = cex+x2

2 x 3

9. y0 cos y + sin y = x+ 1; sug. hacer z = sin y

a) Sol: sin y = x+ cex

10. y0 + xy = 2x x2

2

a) Sol: y = Cex2

2 + 2

VII.- Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli

1. 3dy

dx+3

xy = 2x4y4

a) Sol: x3y3 + x2 = c

2. dx+2

y

xdy = 2x2y2dy

a) Sol: x1y2 = c 2y

3.dy

dx+

1

x 2 +y

x 2 = 5 (x 2)py

a) Sol: y12 = c (x 2) 12 + (x 2)2

4. yey =y3 + 2xey

y0

a) Sol: x = y2 (c ey)

5. xy3dx =x2y + 2

dy

a) Sol: x2 = 1 2y+ ce

2y

6.dx

dy+y

x=x

y

a) Sol:yex2

2y2 = c

7. cosxdy

dx y sinx+ y2 = 0

a) Sol:1

y= sinx+ c cosx

8.dy

dx=

4 sin2 y

x5 + x tan y

a) Sol:x4 [c ln (tan y)] = tan y

9. y0 =y3

e2x + y2; considerar w = e2x ) dx = dw

zw

a) Sol: y2 = [c 2 ln (y)] e2x

10.y4 2xy dx+ 3x2dy = 0; y (2) = 1a) Sol: x2 = y2 (x+ 2)

VIII.- PROBLEMAS

1. La salmuera de un primer recipiente pasa a otroa razn de 2decalitros=mn, y la salmuera delsegundo recipiente pasa al primero a razn de1decalitro=mn; en un principio hay 1 hectolitrode salmuera, conteniendo 20Kg: de sal, en el primerrecipiente al cabo de 5mn : Se supone que en todomomento es homognea la mezcla de sal y agua encada recipiente. sol;20=3kg:

2. El presidente y el primer Ministro piden caf yreciben tazas a igual temperatura y al mismo tiem-po. El presidente agrega inmediatamente una pe-quea cantidad de crema fria; pero no se toma cafehasta 10mn : despus. El primer ministro espera10mn : y luego aade la misma cantidad de cremafra y comienza a tomarse su caf.Quin tomarel caf ms caliente?

3. Una resistencia variable R = 15+tohms, y una ca-pacitancia de 5 106farad; se conecta en seriecon una f:e:m: de 100volts: Cul es la carga delcondensador despus de un minuto si q (0) = 0:

44. Un tanque originalmente contiene 100 galones deagua fresca. Se vierten agua que contiene medialibra de sal por galn dentro del tanque a una ve-locidad de 2 galones por minuto, y se permite quesalga la mezcla con la misma rapidez. Despus dediez minutos se detiene el proceso, se vierte aguafresca dentro del tanque a la velocidad de 2 galonespor minuto, dejando salir la mezcla a la misma ve-locidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanqueal nal de los 20 minutos.

5. Un gran depsito contiene 100 galones de salmueraen la que estan disueltas 200 libras de sal. A par-tir de t = 0, se introduce agua pura a razn de 3galones por minuto y la mezcla sale del depsito arazn de 2 galones por minuto. Cunto tiempo senecesitar para reducir la cantidad de sal que hayen el depsito a 100 libras?

6. Se sabe que la poblacin de cierta comunidad au-menta en un instante cualquiera con una rpidezproporcional al nmero de personas presentes endicho instante. Si la poblacin se duplica en 5 aos,Cunto demorar en triplicarse?Cunto demor-ar en cuadriplicarse?

Rpta. 7.9 aos, 10 aos.

7. La poblacin de una pequea ciudad crece en uninstante cualquiera, con una rapidez proporcionala la cantidad de habitantes en dicho instante, supoblacin inicial inicial de 500 aumenta 15% en 10aos Cul ser la poblacin dentro de 30 aos?

Rpta. 760

8. Bacterias en un cierto cierto incrementan a unatasa proporcional al nmero presente. Si el nmero

original se incrementa en un 50% en1

2hora. En

cunto tiempo se espera tener tres veces el nmerooriginal?cinco veces el nmero original?

Rpta.1.35 horas; 1.98 horas

9. Si la poblacin de un pas se duplica en 50 aosEn cuntos aos ser el triple suponiendo que lavelocidad de aumento sea proporcional al nmerode habitantes presentes en dicho instante?

Rpta. 79 aos

10. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de au-mento es proporcional al nmero presente.

a) Si se ha hallado que el nmero se duplica en4 horas Qu nmero se debe esperar al cabode 12 horas?

b) Si hay 104 bacterias al cabo de 3 horas y4 104 bacterias al cabo de 5 horas Culser el nmero de bacterias inicialmente?

Rpta. a) 8x0;[x0 nmero de bacterias inicialmente]

b) x (0) =104

8bacterias

11. En un cultivo de levadura la cantidad de fermentoactivo crece a una velocidad proporcional a la can-tidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora,Qu cantidad habr despus de 2.45 horas con re-specto a la cantidad inicial? Rpta. 6;73x0 donde[x0 cantidad inicial]

12. Si una sustancia se enfra desde 100C hasta 60Cen 10 minutos en donde la temperatura del medioambiente es de 20C Cul ser la temperatura dela sustancia despus de 40 minutos?

Rpta. 25C

13. Agua a una temperatura de 100C se enfra en 10minutos a 80C en un cuarto con temperatura de25C a)Qu temperatura tendr el agua despusde 20 minutos? b) Cundo la tenperatura del aguaser de 40C? 26C?

Rpta. a) 65.3C b) 52 minutos, 139 minu-tos

14. Un termometro se saca de una habitacin en dondela temperatura del aire es de 70F , al exterior, en

donde la temperatura es de 10F . Despus de1

2minuto el termometro marca 50F Cunto mar-ca el termometro cuando t = 1 minuto?, Cuntotiempo transcurrir para que el termometro mar-que 15F?.

15. Si la temperatura del aire es de 20C y el cuerpo seenfra en 20 minutos desde 100C hasta 60C den-tro de cuanto tiempo su temperatura ser 30C?

Rpta. 60 minutos

16. Si se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo,con una velocidad inicial de 97 pies/seg A qu al-tura sube la pelota y por cunto tiempo permaneceen el aire?

Rpta. 144 pies, 6 segundos

17. Se suelta una pelota de lo alto de un edicio de960 pies de altura Cunto tiempo tarda en lle-gar la pelota al piso, y con que velocidad golpea elpiso?

Rpta.p60 seg; 32

p60 pies/seg

18. Los frenos de un automovil se accionan cuando estese mueve a 60 millas/horat 88 pies/seg. Los frenosproporcional una desaceleracin constante de 40pies/seg2 Qu distancia recorre el auto antes dedetenerse?

519. Un auto viaja a 88 pies/seg se desplaza 176 pies de-spus de aplicar sus frenos. La desaceleracin queproporcionan los frenos es constante Cul es elvalor de sta?

Rpta. 22 pies/seg

20. Un conductor implicado en un accidente arma quecirculaba a 25 millas/hora cuando la polica revisasu auto, determina que si los frenos se aplicaban a25 millas/hora, el auto recorrera solamente 45 piesantes de detenerse. Los marcos de demape del autoen la escava del accidente miden 210 pies. Supon-ga que la desaceleracin es constante y calcule lavelocidad con la que viajaba antes del accidente.

Rpta. 5p210 millas/hora

21. A un circuito en serie, en el cual la inductancia esde 0.1 H y la resistencia es de 50 se le aplica unatensin de 30 vol Calcular la corriente

Determinar tambin la corirente cuando t!1Rpta. i (t) =

3

5 35e500t; i! 3

5cuando t!1

22. A un circuito en serie, en la cual la resistencia esde 200 y la resistencia es de 104F; se le aplicauna tensin de 100 vol. Calcular la carga q (t) enel capacitador si q (0) = 0 y obtenga la corrientei (t) :

Rpta. q (t) =1

100 1100

e50t; i (t) =1

2e50t

23. Un tanque contiene 200 litros de un liquido en elcual se disuelven 30 gramos de sal, una salmueraque contiene 1 gramo de sal por litro se bambeaal tanque con una intensidad de 4 litros por min-uto, la solucin adecuadamente mezclada se bam-bea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentreel nmero de gramos A (t) de sal que hay en eltanque en un cualquiera.

Rpta. A (t) = 200 170e t5024. Un gran deposito esta lleno con 500 galones de

agua fuera, una salmuera que contiene 2 litros desal por galn se bombea al tanque a razn de 5 ga-lones por minuto, la solucin adecuadamente mez-clada se bombea hacia afuera con la misma rapi-dez. Halle el nmero de libras de sal que hay en eltanque en un instante cualquiera.

Rpta. A (t) = 100 1000e t10025. Un gran tanque esta parcialmente lleno con 100

galones de liquido en los cuales se disuelvan 10 li-

bras de sal. Una salmuera que contiene1

2libra de

sal por galn se bambea al tanque con una rapi-dez de 6 galones por minuto, la solucin adecuada-mente mezclada se bambea enseguida hacia afuradel tanque con una rapidez de 4 galones por min-uto.

Halle el nmero de libras de sal que hay en eltanque despus de 30 minutos

Rpta. 64.38 libras

26. Un tanque que esta lleno con 8 galones de aguasalada en el cual hay 2 libras de sal disuelta. Aguasalada con 3 litros de sal por galn entra al tanquea 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitadasale a la misma tasa.

a) Establezca una ecuacin diferencial para lacantidad de sal como una funcin del tiem-po t

b) Halle la cantidad de sal como una funcin deltiempo

c) Encuentre la concentracin de sal despus de8 minutos

d) Cunta sal hay despus de un tiempo largo?

Rpta.x (t) = 24 22e t2 ; 3 libras/gal; 24 libras.27. Un tanque tiene 40 galones de agua pura. Una solu-

cin de agua salada con 1 libra de sal por galnentra a 2 galones por minuto, y la mezcla bien ag-itada sale a la misma tasa.

a) Cunta sal hay en el tanque en cualquiertiempo?

b) Cundo el agua que sale tendr1

2libra de

sal por galn?

Rpta. x (t) = 401 e t20

; 13.9 minutos

28. Un tanque tiene 60 galones de agua salada con 2libras de sal por galn, una solucin con 3 librasde sal por galn entra a 2 galones por minuto, yla mezcla sale a la misma tasa Cundo habr 150libras de sal en el tanque?

Rpta. 20.8 minutos

29. Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40litros de sal disuelta. Agua pura entra al tanquea 2 galones por minuto y sale con la misma tasa.Cundo la concentracin de sal ser 0.2 libras porgaln? Cundo la concentracin ser menor que0.01 libras por galn?

Rpta. 34.7 minutos; 184.5 minutos

30. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2libras de sal disuelta. Agua salada con 1.5 librasde sal por galn entra a 3 galones por minuto, y lamezcla bien agitada sale a 4 galones por minuto.

a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque encualquier tiempo

b) Encuentre la concentracin de sal despus de10 minutos

6Rpta. x (t) = 1;5 (10 t)0;0013 (10 t)4 0 t 10; 1.5 libras/galn

31. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu-cin con 3 libras de sal por galn entra a 2 galonespor minuto y sale a 2.5 galones por minuto.

a) Encuentre la concentracin de sal en el tanqueen cualquier tiempo.

b) Encuentre la concentracin de sal cuando eltanque tenga 30 galones de agua salada

Rpta. x (t) = 3

"1

1 t

120

4#0

t 120; 2.82 libras/galn

32. Un tanque de 1500 galones incialmente contiene600 galones de agua con 5 libras de sal disueltas.El aguan entra al tanque a una razon de 9 galonespor hora que contiene una concentracin de sal de15 (1 + cos t) libras por galon. Si la solucin bienmezclada sale del tanque a una razon de 6 galonespor hora, Cuanta sal hay en el tanque cuando eltanque se llena?

Rpta. 279.797 libras

33. En cierto cultivo de bacterias la razn de cremientoes proporcional al nmero de bacterias presentes.

a) Si el nmero se duplica en 4 horas, cuantashabra en 12 horas?. Rpta:

b) Si existen 104 al nalizar 3 horas y 4(104) alnalizar 5 horas.

34. La velocidad con que se desintegran los nucleos ra-diactivos es proporcional al nmero de nucleos pre-sentes en una muestra dada. La mitad del nucleooriginal de ncleos radiactivos ha experimentadola desintegracin en un periodo de 1500 aos.

a) Qu porcentaje de ncleos originales radiac-tivos continuarn despus de 4500 aos?

b) En cuntos aos quedar solamente un dci-mo del nmero original de ncleos radiac-tivos?Rpta. 12.5% de x0; 4983 aos.

35. Una barra metlica a una temperatura de 100Fse pone en un cuarto a una temperatura constantede 0F: Despus de 20 minutos la temperatura dela barra es 50F .

a) Cunto tiempo tardar la barra para llegara una temperatura de 25F?

b) Cul ser la temperatura de la barra despusde 10 minutos?Rpta. 40 minutos; 71F:

36. Un cuerpo a una temperatura desconocida se ponea un refrigerador a una temperatura constante de1F . Si despus de 20 minutos la temperatura delcuerpo es de 40F y despus de 40 minutos es de20F:Hallar la temperatura inicial de ste. Rpta.81F

37. Una cierta presa, en su mxima capacidad, con-tiene 1000 millones de m3 de agua. En un instantedado, estando llena la presa, tiene una mas decontaminantes, distribuida en forma homognea.Suponga que en temporadas de lluvias entra aguaa la presa a una razn de 10 millones de m3; conuna masa de contaminantes de 0.09% toneladaspor milln por m3 de agua y sale con la mismarapidez. Determine la cantidad de contaminantesen la presa en cualquier instante. En cuanto tiem-po se reducir la contaminacin total de la presa a1.2 toneladas?. Rpta. 129.9 das.

38. un tanque inicialmente 100 dl de agua, en el cual sedusuelven 80kg de sal. Se introducen en el tanqueagua pura a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla,conservada homogenea mediante agitacin, sale ala misma velocidad y va a parar a un segundotanque que contiene al principio 100dl de agua pu-ra. Agitando la mezcla que sale de este segundotanque a la misma velocidad. Hallar la cantidad desal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. Rpta.17.4kg.

39. El uranio se descompone a una velocidad propor-cional a la cantidad presente. Si inicialmente hay10 gramos y despus de 2 horas se ha perdido el5% de su masa original, hallar.

a) La cantidad restante de Uranio como funcindel tiempo.

b) La cantidad de Uranio despues de 5 horas.

40. Cierto material radiactivo se desintegra con unarapidez proporcional a la cantidad existente en ca-da instante. En una prueba realizada con 60 mg deeste material, se observ que despus de 3 horas,solamente permaneca el 80% de la masa original.Hallar

a) La cantidad restante de masa en cualquier in-stante.

b) Qu cantidad de material hay despus de 5horas?

c) Cunto tiempo debe transcurrir para que lacantidad de material sea un cuarto de la can-tidad inicial?

41. Se ha observado en el laboratorio que el radio sedesintegra a una rapidez proporcional a la canti-dad de radio presente. Su vida media es de 1600aos. Qu porcentaje desparecer en un ao?

742. En un cultivo de levadura la rapidez de cambioes proporcional a la cantidad existente. Si la canti-dad de cultivo se duplica en 4 horas, Qu cantidadpuede esperarse al cabo de 12 horas?

43. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 debacterias. Para t = 1 hora, el nmero de bacteriasmedido es 32N0: Si la rapidez de multiplicacin esproporcional al nmero de bacterias presentes, de-termine el tiempo necesario para que el nmero debacterias se triplique.

44. En cierto zoolgico se ha observado que la can-tidad de animales aumenta proporcionalmente alnmero actual de dichos animales. Si despus de5 aos el numero se ha duplicado y despus de si-ete aos el numero de animales es 576, hallar elnmero de animales con que se contaba el da dela inaguracin.

45. Supngase que la poblacin P de bacterias en uncultivo al tiempo t; cambia a una razm directa-mente proporcional a P 2 P . Si inicialmente hay1000 bacterias y despus de 5 horas la poblacinse redujo a 100 baterias, determine:

a) La poblacin como funcin del tiempo.

b) La poblacin despus de un tiempo grande.

46. Al apagar un motor su temperatura es de 98C yel medio en que se encuentra se conserva a 21C.Si despus de 10 minutos el motor se ha enfriado a88C, encuentre:

a) La temperatura como funcin del tiempo.

b) El instante en el cual su temperatura es de35C:

47. Un cuerpo a una temperatura de 50F se colocaal aire libre donde la temperatura es de 100F: Sidespus de 4 minutos la temperatura del cuerpo esde 60F; Cunto tiempo transcurrir para que latemperatura del cuerpo sea de 75F? Cul ser sutemperatura despus de 20 minutos?.

48. Un cuerpo a una temperatura desconocida se colo-ca en un cuarto que se mantiene a una temper-atura constante de 30F: Si despus de 10 minutosla temperatura del cuerpo es de 0F y despus de20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15F;Cul es la temperatura inicialdel cuerpo?

49. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300galones de solucin salina en la que se han disuelto50 libras de sal. Se agrega solucin salina que con-tiene 3 libras de sal por galn con una rapidez de 4galones por minuto. Determine cunta sal hay enel tanque en el momento que ste se desborda.

50. Un tanque de 100 litros de una solucin que constade 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea aguapura hacia el tanque a razn de 5 litros por segun-do y la mezcla, que se mantiene uniforme medianteagitacin, se extrae a la misma razn. Cunto tiem-po pasar antes de que queden solamente 10kg desal en el tanque?

51. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu-cin con 3 libras de sal por galn entra a 2 galonespor minuto y la mezcla bien agitada sale a 2.5 ga-lones por minuto.

a) Halle el nmero de libras de sal que hay en eltanque en cualquier tiempo t:

b) Encuentre la concentracin de sal en el tanquecuando contenga 30 galones de agua salada.

52. El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km3

y una concentracin inicial de contaminantes del0.25%. Hay un ingreso anual de 209 km3 de aguacon una concentracin de contaminantes del 0.05%y un derrame anual de igual cantidad, bien mez-clada en el lago. Cuanto tiempo pasar para quela concentracin de contaminantes en el estanquese reduzca al 0.1%?

53. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100galones de agua, en la cual se han disuelto 50 li-bras de sal. Comenzando en t = 0; una salmueraque contiene una concentracin de 2 libras de salpor galn entra al tanque a razn de 5 galones porsegundo. La mezcla se mantiene uniforme medianteagitacin, y estando bien agitada sale del tanquea una rapidez de 3 galones por segundo. Qu can-tidad de sal contendr el tanque cuando est llenode salmuera?

54. Un tanque A contiene 100 litros de salmuera, quese obtuvo al disolver 40 kg de sal en agua. Se in-troduce en este tanque una salmuera, cuya concen-tracin es de 3 kilogramos por litro, a una rapidezde 2 litros por minuto. La mezcla se conserva ho-mognea, sale con la misma rapidez a va a para aun segundo tanque B que contiene al principio 100litros de salmuera a una concentracin de 0.1 kilo-gramos por litro. Agitando se mantiene homogneala mezclada en el tanque B y sale de ste con unarapidez de 1 litro por minuto. Hallar la cantidadde sal en cada uno de los tanques en cualquier in-stante.

55. A un circuito en serie, en el cual la inductancia esde 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se leaplica una tensin de 30 volts. Determine la cor-riente i (t) si i (0) = 0: Cul ser el valor de lacorriente despus de un tiempo largo?

856. A un circuito en serie, en el cual la inductancia esde 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se leaplica una tensin de 30 volts. Determine la cor-riente i (t) si i (0) = 0: Cul ser el valor de lacorriente despus de un tiempo largo?

57. Un inductor de L henrys vara con el tiempo t (ensegundos) de acuerdo a L = 0;05+0;001t: Se conec-ta en serie con un generador cuya fem es de 40 voltsy una resistencia de 10 ohms. Si la corriente i (t)es cero inicialmente encuentre i para todo t > 0:Cul es la corriente mxima terica?.

58. Una resistencia de 20 ohms se conecta en serie auna condensador de 0.01 faraday y una fem en voltsdad por 40e3t + 20e6t: Si q (0) = 0; muestreque la carga mxima en el condensador es de 0.25coulumbs.

59. Si Q es la cantidad de material radiactivo presenteen el instante t, entonces la ecaucin diferenciales dQdt = kQ; donde k es la constante de desin-tegracin. Se llama tiempo de vida media de unmaterial radiactivo al tiempo necesario para queuna cantidad Q0 se transforme en

Q02 : Si T es el

tiempo de vida media, mostrar que Q = Q012

tT :

60. Suponga que un elemento radiactivo A se descom-pone en un segundo elemento radiactivo B y este asu vez se descompone en un tercer elemento radiac-tivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es

x0 y las cantidades de A y B son x e y respectiva-mente en el instante t y si k1 y k2 son las constantesde rapidez de descomposcin, hallar y en funcinde t: Rpta. k1 6= k2; y = k1k0k2k1

ek1t ek2t ; si

k1 = k2; y = k1x0tek1t

61. El aire de un teatro de dimensiones 1284 met-ros cbicos contiene 0;12% de su volumne de CO2.Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modoque llegue a contener solamente el 0;06% de CO2.Calcular el nmero de metros cbicos por minutoque deben renovarse, suponiendo que el aire exte-rior contiene 0;04% de CO2: Rpta. 53.23 metroscbicos de aire por minuto.

62. Un tanque contiene 200 litro de una solucin decolorante con una concentracin de 1 gramo porlitro. El tanque debe enjuagarse con agua limpiaque entra a razn de 2 litros por minuto y la solu-cin bien homogenizada sale con la misma rapidez.Encuentre el tiempo que transcurrir hasta que laconcentracin del colorante en el tanque alcance1% de su valor original. Rpta. 460.5 minutos.

63. Un tanque contiene inicialmente agua pura.Salmuera que contiene 2 libras de sal por galn en-tra al tanque a una velocidad de 4 galones por min-uto. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuerasale a una velocidad de 3 galones por minuto. Sila concentracin alcanza el 90% de su valor mxi-mo en 30 minutos, calcular los galones de agua quehaba inicialmente en el tanque. Rpta. Q = 304p101 :