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Cálculo Numérico y Estadística Aplicada

Tema 4

Resolución numérica de ecuaciones y sistemas

Tema 4 – Resolución numérica de ecuaciones y sistemas

Ecuaciones no lineales

• Separación de raíces reales • Método de bisección • Método de la falsa posición (regula falsi) • Método de Newton-‐Raphson • Método iterativo de punto Gijo • El caso de las raíces múltiples

Cálculo numérico y estadística aplicada (Grado de Química)


Ecuaciones no lineales: Separación de raíces reales Teorema de Bolzano Enunciado:

Sea f una función real con.nua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.

a b



Ecuaciones no lineales:

Las ecuaciones no lineales del tipo trascendente contienen funciones que pueden desarrollarse en serie inGinita y pueden tener inGinitas soluciones.



Ecuaciones no lineales:

Para ecuaciones que pueden representarse mediante un polinomio de grado n (>1), existen n raíces. Pero estas raíces pueden ser: a)   Todas reales b)   Todas complejas, (n=2m, xk=ak ± bki, k=0,1,...n) c)   Mixtas Multiplicidad de las raíces

)())()(()(

210

2

210

)(

n

n

n

n

xxxxxxxxxaxaxaaxp

−−−−=

++++=

…

…

∑ =−−−=r

r

m

r

mmn nmxxxxxxxp r ;)()()()( 10

10

)( …



Ecuaciones no lineales: Separación de raíces reales

4204092513)( 234)4( ++−−= xxxxxp

7680)15(990)10(420)0(600)3(16830)10(

)4(

)4(

)4(

)4(

)4(

+=

−=

+=

−=−

+=−

ppppp

)12)(7)(1)(5()()4( −−++= xxxxxp



Ecuaciones no lineales: Método de bisección

4204092513)( 234)4( ++−−= xxxxxp

7680)15(990)10(420)0(600)3(16830)10(

)4(

)4(

)4(

)4(

)4(

+=

−=

+=

−=−

+=−

ppppp

600)3(44.2060)5.6(

16830)10(

)4(

)4(

)4(

−=−

+=−

+=−

ppp

600)3(51.184)75.4(44.2060)5.6(

)4(

)4(

)4(

−=−

−=−

+=−

ppp

51.184)75.4(21.643)625.5(44.2060)5.6(

)4(

)4(

)4(

−=−

+=−

+=−

ppp

51.184)75.4(47.164)1875.5(21.643)625.5(

)4(

)4(

)4(

−=−

+=−

+=−

ppp

51.184)75.4(19.25)96875.4(47.164)1875.5(

)4(

)4(

)4(

−=−

−=−

+=−

ppp

19.25)96875.4(72.65)078125.5(47.164)1875.5(

)4(

)4(

)4(

−=−

+=−

+=−

ppp

00.0)0.5()4( =−→ p



Ecuaciones no lineales: Método de la falsa posición (regula falsi)

bbfaf

afaafbf

bfabafbf

afax)()(

)()()(

)()()()(

)(−

+−

=−−

−=



Ecuaciones no lineales: Método de la falsa posición (regula falsi)

4204092513)( 234)4( ++−−= xxxxxp

600)3(1170)6(

)4(

)4(

−=−

+=−

pp

600)3(34.523)4(

1170)6(

)4(

)4(

)4(

−=−

−=−

+=−

ppp

34.523)4(87.259)6.4(

1170)6(

)4(

)4(

)4(

−=−

−=−

+=−

ppp

87.259)6.4(22.94)9.4(

1170)6(

)4(

)4(

)4(

−=−

−=−

+=−

ppp

22.94)9.4(23.30)96.4(

1170)6(

)4(

)4(

)4(

−=−

−=−

+=−

ppp

00.0)0.5()4( =−→ p



Ecuaciones no lineales: Método de Newton-‐Raphson (método de iteración de un solo punto)

,...2,1,0;)()()(

)()()1( =

ʹ′−=+ n

xfxfxx

n

R

n

Rn

R

n

R

40950394)(

4204092513)(

23

234

+−−=ʹ′

++−−=

xxxxf

xxxxxf

x(n) f(x) f'(x) x(n+1) -‐6.0 1170.00 -‐1559.00 -‐5.2495 -‐5.2 224.05 -‐981.92 -‐5.0213 -‐5.0 17.56 -‐829.71 -‐5.0002 -‐5.0 0.14 -‐816.11 -‐5.0000 -‐5.0 0.00 -‐816.00 -‐5.0000



Ecuaciones no lineales: Método de Newton-‐Raphson (Variante Newton-‐secante)

)()()(

)( )1()(

)1()(

)()()1( −

−

+ −−

−= n

R

n

Rn

R

n

R

n

Rn

R

n

R xxxfxf

xfxx



Ecuaciones no lineales: Método iterativo de punto Gijo (método de iteración de un solo punto)

)(

0)()(

)()1( n

R

n

R xFx

xFxxf

=

=−=

+



22)()(2)(

2

2

++−=

−=−−=

xxxFxFxxxxf

Ecuaciones no lineales: Método iterativo de punto Gijo x(n) F(x) f(x) 1.0 3.00 -‐2.00 3.0 -‐1.00 4.00 -‐1.0 -‐1.00 0.00

x(n) F(x) f(x) 3.0 -‐1.00 4.00 -‐1.0 -‐1.00 0.00

x(n) F(x) f(x) 4.0 -‐6.00 10.00 -‐6.0 -‐46.00 40.00 -‐46.0 -‐2206.00 2160.00

-‐2206.0 ######## ########



Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Cómo detectarlos i)   Valores de f(xR

(n)) muy pequeños con n crecientes, en tanto que |xR

(n)-xR(n-1)| permanece relativamente grande.

ii)   La velocidad de convergencia de |xR(n)-xR

(n-1)| 0 se muestra excesivamente lenta.

En general,

0)(;0)()()()( )()1( ≠==ʹ′ʹ′=ʹ′= −

R

j

R

j

RRR xfxfxfxfxf …

)()()( xgxxxf j

R−=



Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 1) Crear una función auxiliar

[ ]

…,3,2,1,0;)()(

1,01)(lim;)()()(1)(

0)(;)()()(

)(

)()()1(

2

=ʹ′

−=

>≠=ʹ′ʹ′

ʹ′ʹ′−=ʹ′

=ʹ′

=

+

→

nxxxx

jj

xxfxfxfx

xxfxfx

n

R

n

Rn

R

n

R

xx

R

R

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ




[ ]2

2

23

)()()()(

)()()(

68)(364)(133)(

xfxfxfx

xfxfx

xxfxxxfxxxxf

ʹ′ʹ′ʹ′

=ʹ′

ʹ′=

−=ʹ′ʹ′

+−=ʹ′

−+−=

ϕ

ϕ




[ ]2

2

23

)()()()(

)()()(

68)(364)(133)(

xfxfxfx

xfxfx

xxfxxxfxxxxf

ʹ′ʹ′ʹ′

=ʹ′

ʹ′=

−=ʹ′ʹ′

+−=ʹ′

−+−=

ϕ

ϕ

n x(n) f(x) f'(x) f"(x) ϕ(x) ϕ'(x) x(n+1) 0 0.00 -1.00 3.00 -6.00 -0.33 0.67 0.50 1 0.50 -0.13 1.00 -2.00 -0.13 0.25 1.00 2 1.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 #¡DIV/0!



Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 2) Suponer g(x)≈ cte Usando el método de Newton-‐Raphson

)()(

)()()(

)(

)()()1(

n

R

n

Rn

R

n

R

R

xfxfjxx

jxx

xfxf

ʹ′−=

−≈

ʹ′

+



Ecuaciones no lineales: Raíces múltiples Métodos para determinar la multiplicidad 3) Estimación de una multiplicidad j2 Tomando dos valores x y x’ separados de xR y efectuando las aproximaciones

( ))~/()~(ln))(/)(ln(~

)~()~(~

)()(

)~(~)()~(~)(

)1()1(21

1

1

1

2

2

2

2

RRj

R

jR

jR

jR

xxxxxfxfj

xxxx

xfxf

xxctexfxxctexf

−ʹ′−

ʹ′→

−ʹ′−

ʹ′→

⎩⎨⎧

−ʹ′ʹ′

−



Sistemas de ecuaciones: lineal (no homogéneo)

nrr

bxaxa

bxaxa

nnnnn

nn

==

=

=++

=++

)ˆ()ˆ(

ˆ

11

11111

bAA

bxA

………



Sistemas de ecuaciones: lineal (no homogéneo) Método de Gauss con pivote

83252322325

321

321

321

−=−−

+=++

−=+−

xxxxxxxxx

112325

3

32

321

+=

+=+

−=+−

xxxxxx

101

3

2

1

+=

+=

−=

xxx



Sistemas de ecuaciones: no lineal Por simplicidad se utilizará un sistema formado sólo por dos ecuaciones 1.  Método de Newton-‐Raphson 2.  Método del gradiente

⎩⎨⎧

=

=

0),(0),(

yxgyxf



Sistemas de ecuaciones: no lineal Método de Newton-‐Raphson

⎩⎨⎧

+≈−

+≈−→

⎩⎨⎧

+=

+=

+

+

),(),(),(),(),(),(

1

1

nnynnnxnnn

nnynnnxnnn

nnn

nnn

yxgkyxghyxgyxfkyxfhyxf

kyyhxx



Sistemas de ecuaciones: no lineal Método de Newton-‐Raphson

⎩⎨⎧

+=

+=

yxyxgyxyxf

21

),(cos),(

21

21

1

−=

∂∂

=∂∂

xxgxf

1

sin

=∂∂

−=∂∂

xg

yyf

n x(n) y(n) f(x,y) g(x,y) df/dx df/dy dg/dx dg/dy hn kn 0 0.10 0.00 1.10 0.32 1.00 0.00 3.16 1.00 -‐0.10 0.78 1 0.0 0.78 0.71 0.78 1.00 -‐0.71 #¡DIV/0! 1.00 #¡DIV/0! #¡DIV/0!



Sistemas de ecuaciones: no lineal Método del gradiente

n

n

x

nnn

x

nnn

ySyy

xSxx

yS

xSSS

yxgyxfS

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=

∂∂

+∂∂

=∇=

=+=

+

+

λ

λ

1

1

22

ji grad

0)),(()),((


Sistemas de ecuaciones: no lineal Método del gradiente


⎩⎨⎧

+=

+=

yxyxgyxyxf

21

),(cos),(

yxyyyxyS

yxyxxS

yyxxyyxxS

22cossin2sin2

1cos22

2coscos2

21

21

22122

++−−=∂∂

+++=∂∂

+++++=

λn= 0.001

x y dS/dx dS/dy 0.05 0.80 2.67 0.98 0.05 0.80 2.66 0.97 0.04 0.80 2.65 0.96 0.04 0.80 2.64 0.94 0.04 0.80 2.64 0.93 0.04 0.80 2.63 0.92 0.03 0.79 2.62 0.91 0.03 0.79 2.61 0.90 0.03 0.79 2.60 0.88 0.03 0.79 2.59 0.87 0.02 0.79 2.58 0.86 0.02 0.79 2.56 0.84 0.02 0.79 2.55 0.82 0.02 0.79 2.54 0.81 0.01 0.79 2.53 0.79 0.01 0.79 2.52 0.77 0.01 0.79 2.50 0.74 0.01 0.79 2.49 0.72 0.00 0.78 2.47 0.68 0.00 0.78 2.44 0.63 0.00 0.78 #¡NUM! #¡NUM!


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