14. En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma (ver capítulo 16). Varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora y estandarización de los procedimientos de operación del proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación:

Columna1

Media 4,884166667Error típico 0,028843144Mediana 4,9Moda 5Desviación estándar 0,315960808Varianza de la muestra 0,099831232Curtosis -0,11822869Coeficiente de asimetría -0,18375032Rango 1,6Mínimo 4,1Máximo 5,7Suma 586,1

Cuenta 120

Grosor Optimo 5Tolerancia 0,8Media Anterior 4,75Mediana Anterior 4,7Dif. Media 0,115833333Dif. Media anterior 0,25LRI 3,936284241LRS 5,832049092EI 4,2ES 5,8

a) Calcule la media y mediana de estos datos, y compárelas con las que se tenían antes del proyecto, decida si con los cambios se mejoró el centrado del proceso.

Con respecto a la media obtenida habiéndose llevado a cabo el proyecto, se puede decir que ésta se encuentra más cercana al valor nominal (el valor óptimo), de donde se deduce que después del proyecto de mejora y estandarización el proceso está más centrado, aunque aún hay evidencia de que el proceso está descentrado de forma moderada a la izquierda ya que el valor objetivo de grosor es de 5 mm. Con respecto a la mediana, se puede deducir que ésta se encuentra más centrada ya que su valor es 4,9 mm, lo cual significa que 50% de los grosores de las láminas de la muestra son menores o iguales a 4,9 mm, y que el otro 50% son mayores o iguales a4,9 mm, valor que está más cercano al valor óptimo (5 mm). La información que arroja la aplicación del proyecto permite inferir que esa nueva mejora y estandarización es favorable para el proceso evaluado.

b) Calcule la desviación estándar y, con esta, obtenga una estimación de los nuevos límites reales y decida si la variabilidad se redujo.

Al calcular los limites reales se obtiene que el grosor de la lámina varía entre 3,936 y 5,832, al comparar estos datos con las especificaciones se aprecia que el límite real inferior no cae en el rango de estas mismas aunque el límite real superior sí. Entonces de la variabilidad se puede decir.............(ejercicio 13)

c) Construya un histograma, inserte las especificaciones e interprételo.

En el histograma se puede observar que la clase 10 es la de mayor frecuencia e indica que entre 4,95 y 5,05 hay 18 datos (21,6%). También se deduce que la tendencia central de los datos se ubica alrededor de 5. Al insertar las especificaciones (4,2 y 5,8) para el grosor de la lámina, se observa que la variación de los datos (amplitud del histograma) es menor que la especificación superior, mas no en la especificación inferior, lo que quiere decir que de la muestra estudiada hay una cantidad de láminas que no son aptas según los requerimientos de resistencia del cliente y la variación es alta, por ende el grosor de las láminas no es satisfactorio. Además, con respecto a 5, que es el grosor óptimo, el proceso está moderadamente descentrado a la izquierda. De acuerdo a lo anterior, las primeras medidas que se deberán tomar para mejorar la capacidad del proceso son: disminuir o eliminar la cantidad de láminas que no se encuentran dentro de las especificaciones y mejorar su centrado.

d) De acuerdo con todo lo anterior, ¿el proyecto dio buenos resultados? Argumente.

De acuerdo al análisis anterior se puede decir que el proyecto de mejora aplicado al grosor de las láminas mejoró la centralización del proceso, acercándose así al valor optimo establecido, sin embargo el proceso no se encuentra totalmente centrado y existe aún una alta variabilidad. En resumen, podemos decir que el proceso es incapaz de cumplir con las especificaciones

e) Si se observaron mejoras, ¿son suficientes para garantizar un producto dentro de especificaciones?

En éste caso, no debido a que el proceso no cumple con las especificaciones del producto. Si se quiere mejorar el proceso, se debe empezar por disminuir aún más su variabilidad y centrado.

15. En la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de ésta. Para cierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 ± 0.5 g. A continuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable.

Columna1

Media 27,97598214Error típico 0,013581265

Mediana 27,96Moda 27,94Desviación estándar 0,143730603Varianza de la muestra 0,020658486Curtosis -0,288860644Coeficiente de asimetría 0,186808275Rango 0,76Mínimo 27,63

Máximo 28,39Suma 3133,31

Cuenta 112Curtosis Estandarizada -0,62401031Sesgo Estandarizado 0,807103995

a) Obtenga las medidas de tendencia central y señale si la tendencia central de las mediciones es adecuada.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable.

c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etcétera).

d) ¿Es adecuado el peso de las preformas?

ESTADÍSTICO ANÁLISIS Y COMENTARIOS CONCLUSIONES

Medidas de Tendencia Central X=27,976 Me=27,96 Mo=27,94

* Las medidas de tendencia central reflejan lo cerca que se encuentra el proceso de estar centrado con referencia al valor objetivo (28 gr.).

El proceso está próximo a centrarse a μ=28 gr

Desviación Estándar: S=0,144 Límites Reales Aproximados CV=0,515% LRI=27,545 LRS=28,408

* En forma aproximada se espera que el peso de la preforma varíe entre 27,545 y 28,408 gr.

El sistema está produciendo preformas dentro de las especificaciones

* La variación del proceso es relativamente baja, esto se puede deducir con ayuda del coeficiente de variación

Gráficas *El histograma no se asemeja, en cuanto a forma, a la normal; aunque, las medidas estandarizadas de la curtosis y el sesgo indican que estos datos podrían ser normales.

Hay poca variación en el proceso

*Se presentan datos atípicos. Esto puede ser un indicio de una mala medición o de alguna situación extraña durante el muestreo.

27,69909091

27,76818182

27,83727273

27,90636364

27,97545455

28,04454545

28,11363636

28,18272727

28,25181818

28,3209090928,39

y may

or...0

1020

Histograma

Frecuencia

Clase

Frecue

ncia

16. Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en esta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuanta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20 } 0.8 kg.�

a) ¿De acuerdo con los 90 datos, .el centrado del proceso es adecuado?

b) ¿La variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados.

c) Obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones e interprételo con detalle.

d) De su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso especificado.

e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes.

f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma del inciso c)?

g) Obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos.

Producción de los Tres Lotes

Media19,5622222

2

Error típico0,06863349

2

Mediana 19,6Moda 20

Desviación estándar0,65111447

7Varianza de la muestra

0,423950062

Curtosis -0,28504105Coeficiente de asimetría -0,07497017Rango 3,2Mínimo 17,8

Máximo 21Suma 1760,6

Cuenta 90

lote 1

Media 19,35

Error típico0,10134157

6Mediana 19,25Moda 19,1Desviación estándar 0,55507067Varianza de la muestra

0,308103448

Curtosis1,38835567

3Coeficiente de asimetría

1,014275613

Rango 2,4

Mínimo 18,6Máximo 21

Suma 580,5

Cuenta 30

lote2

Media19,2966666

7

Error típico0,12598880

9Mediana 19,35Moda 18,4

Desviación estándar0,69006912

9Varianza de la muestra

0,476195402

Curtosis -0,25797679Coeficiente de asimetría 0,06465902Rango 2,9

Mínimo 17,8Máximo 20,7

Suma 578,9

Cuenta 30lote3

Media 20,04

Error típico0,07328106

8Mediana 20Moda 19,7Desviación estándar 0,40137694Varianza de la muestra

0,161103448

Curtosis0,46420741

5Coeficiente de asimetría

0,285358815

Rango 1,9

Mínimo 19,1Máximo 21

Suma 601,2

Cuenta 30

18,12 18,44 18,76 19,08 19,4 19,72 20,04 20,36 20,68 21 y mayor...05

101520

Histograma

Frecuencia

Clase

Frecue

ncia

ESTADÍSTICO ANÁLISIS Y COMENTARIOS CONCLUSIONES

Medidas de Tendencia Central X=19,562 Me=19,6 Mo=20

* Las medidas de tendencia central son similares entre sí, pero el proceso está descentrado. El 50% de los datos son iguales o menores a 19,6 Kg.

El proceso está descentrado μ=19,562

Desviación Estándar: S=0,651 Límites Reales

* En forma aproximada se espera que el peso de los costales de arena varíe entre 17,609 y 21,515Kg.

La variación real del proceso es muy alta comparada con la

Aproximados CV=3,33% LRI=17,609 LRS=21,515

tolerancia que se requiere, por lo cual se están produciendo costales por fuera de las especificaciones

* El rango del proceso es grande (3,2), por ello se refleja una amplitud en la variación presente en la muestra

* La variación del proceso es relativamente baja, esto se puede deducir con ayuda del coeficiente de variación.

Gráficas *El histograma se asemeja en cuanto a forma a una distribución multimodal. El histograma se encuentra sesgado a la derecha

La distribución multimodal se debe a la diferencia entre los lotes.

*Se presentan datos atípicos. Esto puede ser un indicio de una mala medición o de alguna situación extraña durante el muestreo.

Con este diagrama de cajas se puede apreciar la gran diferencia en el desempeño que tiene el proveedor de arena entre los diferentes lotes que suministra a la empresa.

Si nos fijamos en el valor óptimo de 20kg, los lotes 1 y 2 tienen en promedio, una diferencia de un poco más de 1 libra, por debajo de 20 kg, en cambio, el lote 3 posee un promedio bastante cercano al valor optimo establecido

En cuanto a la variabilidad, el lote 2 es el más crítico comparados con los lotes 1 y 3, que poseen una variabilidad un poco menor. El rango de los valores combinados de cada lote es muy grande, esto se puede apreciar en el histograma de capacidad para los lotes combinados. Resulta indispensable que el proveedor mejore su proceso de llenado, llevándolo al cumplimiento de las especificaciones y centrado del proceso para reducir el riesgo de problemas en la densidad de la pintura

17. En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se dé en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6 horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos).

Columna1

Media5,36615384

6

Error típico0,20074712

5Mediana 5,5Moda 5,4

Desviación estándar1,61847506

6Varianza de la muestra

2,619461538

Curtosis

-0,52362853

8

Coeficiente de asimetría

-0,19849688

6Rango 7,2Mínimo 1,7Máximo 8,9Suma 348,8

Cuenta 65

a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas, ¿cree que se cumple con la meta?

Al conocer las medidas de tendencia central, se dice que los datos tienden a 5,366 lo que permitiría inferir que el proceso está ligeramente descentrado ya que el valor objetivo es 6. Sin embargo, en este caso, en que 6 horas es el valor máximo a responder una solicitud del cliente, se toma como positivo el hecho de que las medidas de tendencia

central apunten a un número menor a 6, pero se debe tener cuidado con los datos mayores a este valor, pues éstas medidas no garantizan que los datos poblacionales estén por debajo de 6. Basándose únicamente en las medidas de tendencia central, sí se cumple con la meta.

b) Aplique la regla empírica, interprete y diga qué tan bien se cumple la meta.

Al aplicar la regla empírica a los datos de tiempos de respuesta a la solicitud de apoyo, se tiene que un alto porcentaje (cercano al 99,7%) de las mediciones de tiempo de respuesta varía entre 0,511 y 10,222 min., lo cual refleja la baja capacidad de la compañía para responder a las solicitudes de los clientes. De igual manera se aprecia que el 68% de los datos se encuentran entre 3,748 y 6,985 min. y el 95% de los datos está entre 2,129 y 8,60 min.

c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes.

2,6 3,5 4,4 5,3 6,2 7,1 8 8,9

y may

or...0

10

20

Histograma

Frecuencia

Clase

Frecue

ncia

En el histograma de tiempos de referencia se puede observar que la mayoría de datos (11 datos) se encuentran entre 5,25 y 5,75 min. Sin embargo el histograma se encuentra descentrado y con mucha variabilidad, además gran cantidad de datos se encuentran por encima de la especificación superior (6 min.), lo cual indica que no se está cumpliendo con el tiempo de respuesta establecido, es decir, la meta no se está cumpliendo.

d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿qué recomendaciones daría para ayudar a cumplir mejor la meta?

De acuerdo al análisis realizado, se podría recomendar la centralización del proceso alrededor de un valor inferior al límite superior teniendo en cuenta la variabilidad del proceso, ya que si el proceso no se encuentra lo más centrado posible existe alta dispersión en los datos lo cual no es adecuado; también se recomienda disminuir la variabilidad de los tiempos de respuesta al mínimo ya que esto ayudaría a mejorar la capacidad del proceso y mantendría los tiempos de respuesta dentro del óptimo.