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Experimento

O experimento

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Caminhos e grafos

Objetivos da unidadeIntroduzir o conceito de grafos;1. Analisar o conceito de grafo e identificar grafos que possuem 2. caminhos fechados e suas aplicações no cotidiano.

Análise de dAdos e probAbilidAde

O experimento

SinopseEste experimento apresenta atividades introdutórias para a Teoria de Grafos. Primeiro, a partir de problemas inspirados nas “Pontes de Konigsberg”, os alunos irão explorar uma série de situações reais que podem ser representadas por grafos. Ao fim dessa etapa, eles deverão criar seus próprios caminhos, desafiando seus colegas a explorá-los.

ConteúdosCombinatória, Grafos.

ObjetivosIntroduzir o conceito de grafos;1. Analisar o conceito de grafo e identificar grafos que possuem caminhos 2. fechados e suas aplicações no cotidiano.

DuraçãoUma aula dupla.

Caminhos e grafos

Caminhos e grafos O Experimento 2 / 10

Introdução

O problema das Pontes de Königsberg é um dos mais famosos da Teoria de Grafos. Ele consiste em verifi car se é possível fazer um passeio pela cidade de Königsberg, passando por suas 7 pontes apenas 1 vez. Parte do desafi o é começar e terminar no mesmo lugar. Esse problema foi resolvido por Leonhard Euler em 1736, sendo que, para isso, ele usou apenas argumentos simples, mostrando que tal passeio não poderia ser realizado. Da mesma forma, muitas situações reais podem ser associadas a problemas envolvendo grafos. Com o uso desta ferramenta, podemos, por exemplo, transformar o caminho percorrido por um entregador em um objeto matemático passível de tratamento formal. Imagine a planta de um museu, por exemplo. Por que não planejar antecipadamente seu passeio evitando passar duas vezes pelo mesmo lugar? Certamente transformar em um grafo a planta do museu, facilitará a decisão pelo passeio mais econômico. Neste experimento, os alunos terão um primeiro contato com a lógica que embasa a teoria de grafos, permitindo a resolução de problemas cotidianos.

Material necessário

Folha do aluno. �

Comentários iniciais

A previsão de duração para esta atividade é bastante variável e depende diretamente do rendimento da turma. Acompanhe o andamento da atividade, acelerando ou retardando cada etapa quando julgar necessário. Este é um experimento que envolve discussão entre os alunos, o que implica, em muitos casos, o surgimento de digressões ao longo da aula.

Preparação

Organize os alunos em duplas. Assim, cada um terá a oportunidade de discutir com um colega a solução dos problemas apre-sentados. Grupos maiores provavelmente farão com que alguns alunos fiquem ociosos durante a atividade.

Um grafo é uma representação de um conjunto finito e não vazio de pontos, chamados vértices, ligados por linhas, chamadas arestas.

Dado um grafo, vamos definir como caminho fechado aquele em que, a partir de um vértice, é possível percorrer todos os outros, passando apenas uma vez por cada aresta, retornando ao fim do passeio ao vértice de origem. Como exemplo, veja a figura 1 na página seguinte.

Definição de grafo

Definição de caminho fechado

Não se esqueça de, !durante a atividade, definir o que é caminho fechado, pois essa nomenclatura também será usada na Folha do Aluno.

Exploração de caminhos

Esta é uma etapa de familiarização. Os alunos deverão perceber com alguma facilidade que nem todos os grafos possuem caminhos que fecham a rota. Abaixo seguem os dois primeiros casos apresentados na Folha do Aluno:

fig. 1 Caminho – vertices: 1-2-3-5-1-4-3-1 (ou 1-2-3-1-4-3-5-1), arestas: A-B-F-E-D-C-G (ou A-B-G-D-C-F-E).

1

2

3

4

5

A

B

C

D

E

F

G

etapa

Os alunos devem !confundir, no início, grafo com gráfi co, alerte-os das diferenças entre esses objetos matemáticos.

Neste segundo caso, os alunos devem realizar algumas tentativas antes de conclu-írem que não é possível encontrar um caminho fechado. Após o estudo dos dois casos, peça-lhes que resolvam os próximos três problemas relacionados ao trabalho de um entregador de jornal. Desta vez, os alunos levarão mais tempo para chegar a uma conclusão devido à complexidade dos caminhos. Estimule a discussão dentro dos grupos de modo que os alunos a todo momento justifi quem seus raciocínios. Isso pode ajudá-los na descoberta da regra geral.

fig. 2

fig. 4

fig. 3

fig. 5

Observe constantemente �

se alguma dupla desenvolveu uma regra para solução. Evite que anunciem para toda sala sua descoberta, comprometendo o restante da atividade.

Abstração: o conceito de grafosQuando perceber que os alunos já discutiram todos os casos existentes na Folha do Aluno, use a lousa para abstrair a noção de grafo partindo das ilustrações anteriores. Esta exposição é fundamental para que os alunos executem a próxima etapa.

sala 2

sala 4

sala 5

sala 1

fig. 6

fig. 8

fig. 10

fig. 7

fig. 9

fig. 11

Procure definir grafo de forma simples. Uma sugestão é usar as palavras da definição dada no início desta atividade. Relacione a definição de grafos com as situações já estudadas. Deixe claro que, no caso das plantas do museu, as portas representam as arestas, pois são as ligações entre as salas, as quais, por sua vez, representam os vértices. Já no caso do entregador, os vértices são as esquinas, e as arestas são as ruas. Se achar necessário, apresente outros exemplos de grafos que não necessariamente representam situações reais. A seguir algumas opções que podem ser usadas:

fig. 12 Não tem solução.

fig. 13 Tem solução.

fig. 14 Tem solução.

fig. 16 Tem solução.

fig. 15 Não tem solução.

Quem conhece cria

Para a segunda etapa, peça às duplas para criarem desafios a serem resolvidos pelos colegas. Cada dupla deve criar 2 grafos. Feito isso, recolha-os e redistribua aleato-riamente 2 problemas por dupla. Após um tempo, as folhas devem ser redistribuídas, num total de 4 rodadas. Diga para os alunos reproduzirem no caderno cada grafo que receberem, de forma que fiquem registrados os desafios resolvidos. Quando perceber que alguma dupla conclui que determinado grafo não tem solução, mesmo após tentar por diversas vezes sem chegar a uma resposta, ques-tione-os sobre a possibilidade de criarem uma regra que os auxilie na descoberta sem apelar para o uso da tentativa e erro. Além disso, eles precisam provar que realmente não há solução.

Quem conhece ainda mais, corrigeApós a realização de 4 rodadas ou mais, peça aos alunos que tentem alterar os grafos acrescentando arestas, de modo que eles passem a admitir caminhos fechados. Esse processo ajudará a identificar a regra que define a existência de um caminho fechado no grafo.

etapa

Inicie o fechamento da atividade retomando a Etapa 1. Para isso, desenhe na lousa os 5 grafos da Folha do Aluno e nomeie suas arestas com letras maiúsculas. Desse modo, ficará mais fácil discutir com os alunos soluções para cada caso.

Peça aos próprios �

alunos que verifiquem a veracidade da solução apontada pelo colega. Eles devem ficar atentos ao cumprimento de todas as regras.

fig. 17

fig. 18

1

1

4

4

5

2

2

3

3

A

A

B

B

C

C

D

D

E

F

fig. 20

fig. 21

fig. 19

1

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

2

3 4 5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11 12

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

E

E

E

F

F

F

I

I

IJ

K

L

M

N

O

J

KH

H

H

G

G

G

N

L

M

Peça aos alunos que indiquem soluções para todos os casos. Naqueles em que não existe solução, questione-os sobre como chegaram a essa conclusão. Caso afirmem que não há solução porque tentaram todos os caminhos possíveis, desafie-os a provar que realmente tentaram todas as opções. Uma pergunta que os deixará incomodados é:

Será que realmente não há um caminho fechado possível? Como provar isso?

Em seguida, escolha alguns desafios criados pela sala e resolva-os com a turma. Estimule a discussão entre os alunos e peça para quem criou o desafio explicar sua solução ou dizer o porquê de não haver uma. Se o aluno afirmar que o grafo não tem solução, pergunte se algum colega discorda e se, neste caso, seria capaz de apontar um caminho fechado. Sobre a questão final da Etapa 1, é provável que os alunos num primeiro momento não percebam a resposta trivial de que, dado que o entregador passa apenas uma vez em cada rua, o menor caminho é justamente aquele que estamos chamando de caminho fechado, e que, além disso, qualquer caminho fechado tem o mesmo tamanho. Para finalizar a Etapa 2, peça aos alunos que sugiram alterações nos grafos de forma

Questão aos alunos

a obter caminhos fechados, explicando o motivo das mudanças. Retome os 2 casos da Folha do Aluno que não possuem solução. Sugerimos as seguintes alterações:

A idéia é que eles percebam com o tempo que se chegarmos a um ponto por uma aresta, precisaremos de outra para sair, se chegarmos ao mesmo ponto por um terceira aresta, precisaremos de uma quarta para sair. A partir disso, podemos concluir a condição para que um grafo possua caminhos fechados.

fig. 22

fig. 23

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

IJ

H

G

G

Os grafos que apresentam caminho fechado são aqueles que em cada vértice incide um número par de arestas.

Para finalizar a atividade, apresentamos o problema original das Pontes de Konigsberg, citado na introdução. O problema finaliza a Folha do Aluno. Conduza uma análise deste novo caso e, como é um caso insolúvel, incite seus alunos a propor novas pontes que permitam um passeio. Para isto, diga-lhes para tentarem criar um grafo correspondente a ilustração do problema, como na figura 24. Valorize cada solução e tente perceber se realmente ficou claro para todos a regra que define a existência de um caminho fechado.

Regra para existência de caminhos fechados

fig. 24

A B

C

D

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutorLeonardo Barichello

Coordenação de RedaçãoFabricio de Paula Silva

RedaçãoRafael Santos de Oliveira Alves

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira