Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Legge d’induzione di Faraday

•  Le equazioni per i campi elettrici e magnetici studiate fin’ora si riferiscono a fenomeni “statici”, ovvero costanti nel tempo.

•  Da varie esperienze risulta evidente che un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico, e viceversa.

Esperienze di Faraday

Ogniqualvolta c’è un moto relativo tra la spira e un campo magnetico B, generato da un magnete permanente o da una bobina, compare una corrente “indotta” (evidenziabile da un amperometro). Il verso della corrente cambia se il magnete (o la bobina) si avvicinano o si allontanano.

i

I circuiti sono questa volta fermi: si nota la comparsa di corrente quando l’interruttore viene chiuso o aperto (in generale quando nel secondo circuito la corrente varia nel tempo). Il verso della corrente è opposto nei due casi.

Legge di Faraday-Lenz dell’induzione elettromagnetica

Ogni qualvolta il flusso del campo magnetico concatenato con un circuito varia nel tempo, si ha una forza elettromotrice indotta εi data dall’opposto della derivata del flusso nel tempo:

dtBd

i)(Φ

−=ε

Flusso attraverso una superficie:

Φ(B

) = B⋅

A∫ u

N dA

Flusso di B concatenato con un circuito (o linea chiusa): il flusso attraverso una superficie qualunque che poggi sulla linea

uN

uN

i

B

Α1

Α2

Proprietà del campo magnetico: •  Il flusso di B è lo stesso attraverso qualunque superficie orientata concordemente che poggi sulla linea

Φ(B) = B∫ ⋅dA

= 0

[Φ(B)] = Tm2 = Wb = Vs

Esempio

Solenoide composto da 220 spire/cm Bobina interna: N = 130 spire di diametro d = 2.1 cm La corrente nel solenoide cresce da 0 A a 1.5 A in 0.16 s Calcolare il modulo della f.e.m. indotta |εi| nella bobina interna.

εi = NAµonΔiΔt

=12 mV

Legge di Lenz L’effetto della forza elettromotrice indotta è sempre tale da opporsi alla causa che l’ha generato; pertanto essa è tale da produrre una corrente indotta i cui effetti magnetici si oppongono alle variazioni del flusso Φ(B) concatenato con il circuito stesso.

In accordo con il principio di conservazione dell’energia

Esempio di applicazione: il microfono elettrico

esempi

B costante A costante

εi = 0

B costante A si espande

|εi| > 0 |εi| > 0

dB/dt ≠ 0 (direzione cost) A costante

B costante A ruota

|εi| > 0

Se compare una corrente indotta, deve esistere un campo elettrico indotto

che accelera le cariche

Vediamo di capirne l’origine sulla base di quanto già conosciamo

Origine del campo elettrico indotto

I – moto di un conduttore in un campo magnetico B costante.

v B

x

La forza elettromotorice εi ha origine dalla forza di Lorentz:

|εi| = BLv = |dΦ(B)/dt|

L

-

+

•  Se il circuito ha resistenza R si genera una corrente i = |εi|/R = BLv/R che deve opporsi alla variazione di flusso (legge di Lenz).

•  I lati della spira sono soggetti alla forza magnetica F = iLxB: per mantenere in moto la sbarretta con v costante è necessario fornire una forza esterna F = iLB, sviluppando una potenza meccanica P = Fv = iLBv = L2B2v2/R = i2R = potenza elettrica spesa sulla resistenza del circuito.

v B

x

Correnti di Foucault

•  Correnti indotte nei materiali conduttori dovute alla variazione di flusso magnetico

•  Possono produrre effetti indesiderati (ad es. il riscaldamento del materiale) ma anche effetti sfruttabili (ad es. forni a induzione, freni magnetici)

esercizio Una spira conduttrice quadrata, di lato l = 10 cm, massa m = 4 g e resistenza R = 0.64 Ω, si muove con velocità costante vo = 5 m/s lungo l’asse x in figura. Nel semipiano x > 0 c’è un campo magnetico B uniforme e costante, ortogonale al piano della spira, di modulo B = 0.8 T, mentre nel semipiano x < 0 è B = 0. Calcolare:

a) la velocità v(t) della spira in funzione di t; b) la velocità v’ della spira dopo che essa è entrata

completamente nel semipiano x > 0; c) Il tempo Δt che occorre perchè ciò avvenga a partire

dal tempo t = 0 in cui la spira entra nel campo.

x

B i

Soluzione: a) b) v’ = 4.75 m/s c) Δt = 20.5 x 10-3 s

v(t) = voe−B2l2

mR t

Applicazioni: generatore di corrente alternata

tBABAdAuBBA

N ωθ coscos)( ==⋅=Φ ∫

uN

θ

B

ω

tBAsendtBd

i ωωε =Φ

−=)(

Per una bobina con N avvolgimenti: εi = NωBAsenωt

•  La forza elettromotrice così ottenuta varia sinusoidalmente nel tempo, con εmax = ωBΑ.

•  Se la spira viene collegata in serie ad un circuito avente resistenza R, circola la corrente: i = ε/R = (ωBΑ/R)senωt (la corrente inverte la direzione al ruotare della spira: corrente alternata (AC) ) e viene spesa la potenza elettrica: εii = Ri2 = εi

2/R = (εmax2/R)sen2ωt

Il generatore è un dispositivo che converte energia meccanica in energia elettrica

esercizio Una spira circolare, di diametro d = 10 cm e resistenza R = 0.5 Ω, viene mantenuta in rotazione intorno a un suo diametro, con velocità angolare di modulo ω = 300 rad/s, in un campo magnetico uniforme e perpendicolare all’asse di rotazione della spira, di modulo B = 0.5 T; all’istante t = 0 il flusso magnetico attraverso la spira è massimo. Calcolare, in funzione del tempo:

1)  l’intensità della corrente indotta nella spira; 2)  la potenza meccanica fornita dalle forze esterne necessarie per

mantenere la spira in rotazione uniforme.

B

n

ω

θ Soluzione: 1) 2)

i(t) = 2.36sen(ωt) AP = i2R = 2.78sen2 (ωt) Watt