Campi elettromagnetici

Docente:SalvatoreSavasta Anno acc. 2006/2007

Perchè studiare i campi elettromagnetici ?

• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad alta velocità e a microonde

• Antenne e comunicazioni senza fili• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce in

fibra – optoelettronica e fotonica• Macchine elettromeccaniche• Interferenze elettromagnetiche e compatibilità

Elettrostatica

12 2 20 8.854 10 (F/m) C / N m

q

304

i i

i i

qq

r rF

r r 0limq q

FE

Il campo elettrico è un campo vettoriale, ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad ogni punto P dello spazio. Esso determina l'azione della forza elettrica su una particella carica eventualmente posta in quel punto.

Principio di sovrapposizione

Elettrostatica D

0 D E P

0 e P E

0 1 e D E EPer mezzi lineari ed isotropi

V S V

dV dV D D dSÑTeorema di Gauss 12

0 8.854 10 F/m

qF E

Potenziale elettrostatico

V E r r

B

A

V A V B d E r P

V P d

E r

QCV

Potenziale di un conduttore

condensatori

Cavo coassiale q

-q

QCV

ln2 2

B Bl l

A A

q q bV A V B d drr a

E r

2lqEr

2

ln

Cbla

Magnetostatica H J

s S

H dS H dl J dSÑTeorema di Stokes 0

BH M

0r B H H7

0 4 10 H/m

03d

4dir

l rB

V V l

d dV dl F F J B i B Legge di Ampere-Laplace

Prodotto vettorialesinab a b

è perpendicolare al piano individuato dai due vettori

ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso da questi formato

ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra).

sinab a b n

1 2 3 1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b

a b i j k i j k

i j k

i j kj k ik i j

ijk j kia b a b

123

231 312 123

132 213 321

0 se , ,

1

11

ijk

ijk jik kji ikj

i j i k j k

rotore

1 2 31 2 3

3 2 1 3 2 12 3 3 1 1 2

A A Ax x x

A A A A A Ax x x x x x

A r i j k r i r j r k

r r i r r j r r k

1 2 3, ,x x xr

ijk kijk j

Ax

A r

Legge di Faraday

t

BE

s St

E dS E dl B dSÑPer campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è più vero.

La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si appoggia al cammino) del campo magnetico

Induttanza

ln2 2

b

S a

I I bl dr l LIr a

B dS

ln2

L bl a

2 Br I

S

H dl J dSÑ

La corrente di spostamento D0 B

t

BE

H J

t

J

H J

= 0

?

t

DH J

t

H J D

La corrente di spostamento

0 coscdVI C CV tdt

0 sinV V t

dD EJt t

VEd

d dI AJ

0 cosdAI V td

S St

H dl J dS D dSÑ

Equazioni di Maxwell

D0 B

t

BE

t

DH J

q F E v B

V

dV F E J B

t

J

S V

dV D dSÑ0

S

B dSÑ

St

E dl B dSÑ

S St

H dl J dS D dSÑ

Equazioni di Maxwellforma integrale

S V

dVt

J dSÑ

Regime sinusoidale1 cosm

dIL RI Idt V tdt C

cos Re j tt e

cos Re j tm I cI I t I e Ij

c mI I e

1Re Rej t

c j t j t j tc c m

d I eL RI e I e dt V e

dt C

1c mj L R I V

j C

Z

j tj t j t j tc

c c m

d e ILI RI e e dt V e

dt C

mc

VIZ

Re j tmVI eZ

Regime sinusoidale

cos cosm mW t V t I t V I t t

cos cos 22m mV IW t t

* 21 Re2

j tc c c cW t V I V I e 2*1 1Re R

2 2c c cP V I I

cosmI t I t cosmV t V t

cos 1 cos 2 sin sin 22 2m m m mV I V IW t t t

*12c c cW V I

2*1 1Im2 2c c cQ V I X I

Z R jX

W

Una componente (quella in ) si mantiene sempre positiva e rappresenta quindi potenza assorbita dal bipolo (potenza attiva). L'altra componente (quella in ) invece oscilla attorno allo 0 e rappresenta quindi potenza alternativamente immagazzinata e ceduta dal bipolo (potenza reattiva).

Regime sinusoidale

c c D0c B

c cj E B

c c cj H J D

Re j tct e

Re

cos sin

j tr i

r i

t j e

t t

Onde piane0 D

0 B

t t

B HE

t

DH

00J

Propagazione lungo z

00

xy

y xzE HE

y z t

yx z

HE Ez x t

XX

yx zEE H

y x t

XXy x

H Ez t

yxEH

z t

0 zEt

,z tE

Onde pianeyx

HEz t

22

2yx

HEz z t

z

y xH Ez t

t

2 2

2y x

H Et z t

2 2

2 2x xE E

z t

1 2,xE z t f t z v f t z v

0, cosxE z t E t z v

1v

Onde piane e fasoriyx

HEz t

y xH Ez t

xy

dEj H

dz

yx

dHj E

dz

22

2x

xd E Edz

1 2jkz jkz

xE c e c e k

1 2, Re Rej t jkz j t jkz j tx xE z t E e c e e c e e

1 2, cos cosxz zE z t c t c tv v

1 2,c c R

Onde piane e fasori1 2 1 2

1 1 jkz jkz jkz jkzxy

dEH kc e kc e c e c ej dz

1 2, Re cos cosj ty y

z zH z t H e c t c tv v

L’equazione d’onda 3D

0 D0 B

t HE

t

DH

t

E H

2

22t

EE E

22

2 0t

EE

22

2 0t

HH

2 2 0k E E2 2 0k H H

fasori nkc

1 cvn

r rn n jn

ijk klm mij l

Ax x

A r r

kij klm il jm im jl

2

ijk klm mij l

kij klm m il jm im jl mj l j l

m ii m j

Ax x

A Ax x x x

A Ax x x

A r r

r r

r r

L’equazione d’onda 3D

j E B 1Hj

E i E

0je k rE E2 2 0k E E

kk i0 j D k D

1H i E

polarizazzionekk i Consideriamo il caso ˆi z

2 2 0k E E2 2 0x xE k E 2 2 0y yE k E

1 2ˆ ˆ j jkzE E e e E x y

2 11 ˆ ˆj jkzE e E e

H x y

I differenti tipi di polarizzazione dipendono dalla fase e dalle ampiezze relative

polarizazzione 1 2ˆ ˆ j jkzE E e e E x y

0 Polarizzazione lineare

Si ottiene un vettore campo elettrico lungo una direzione fissata Ovvero che non cambia al variare di z

x

y

1 2

1

tan EE

polarizazzionecircolare

2 2 1E E

1 2ˆ ˆ j jkzE E e e E x y 1ˆ ˆ jkzj E e E x y

1

1

ˆ ˆ, Re

ˆ ˆcos sin

j j t jkzz t j e E e e

E t kz t kz

E x y

x ymLHC

2

2

LHC

RHC

±

Circolare

polarizazzioneellittica

1 2

1 2

ˆ ˆ, Re

ˆ ˆcos sin

j j t jkzz t E E e e e

E t kz E t kz

E x y

x y

1

2

, cos

, sinx

y

E z t E t kz

E z t E t kz

1

2

, cos

, sinx

y

E z t E

E z t E

Equazione parametrica dell’ellisse

polarizazzione

lineare Circolare LH ellittica

2 20 1 2

2 21 1 2

2 1 2

3 1 2

2 cos2 sin

s a a

s a as a as a a

Parametri di Stokes

1 2 3 0s s s s

Potenziali vettore e scalare0 B

t

BE

t

AE

B A

0t AE

2

2t t

AA J

t

DH J

D 2

t

A

t

AE

t

A A0

t

A

22

2t

AA J

22

2t

t

J

Condizionedi Lorentz

Potenziali vettore e scalare

2 A A A

2

2t t

AA J

In mezzi omogenei e isotropi:

2 2s A A J

2 2 s

1j

J

0j A Condizionedi Lorentz

Potenziali vettore e scalarecampi armonici

( ) ( ) ( )s D r r r

( ) 0c B r

( ) ( )c cj E r B r

( ) ( ) ( ) ( )c sj H r D r J r J r

Regime sinusoidaleDensità di carica indotta

Densità di carica sorgente

Densità di corrente indotta

Densità di correntesorgente

Relazioni costitutive D0 B

t

BE

t

DH J

0 D E P

momento di dipolo elettrico per unità di volume

+

-

EF

- Fp P = p/V

E

H

D E

B H

FF

funzionali ...ovvero funzioni di funzioni

Relazioni costitutive

( , ) , ; , ( , )

( , ) , ; , ( , )

E

E

t t t t d dt

t t t t d dt

D r r r E r r

B r r r H r r

ttG

G

Mezzi isotropi

Matrici 3 3

( , ) , ; , ( , )

( , ) , ; , ( , )

E

E

t t t t d dt

t t t t d dt

D r r r E r r

B r r r H r r

G

G

causalità

Relazioni costitutive 0, ; , 0E t t per t t

c

r r

r rG

Mezzi spazialmente non dispersivi

; , ( )E E t t r r rG G

Mezzi spazialmente e temporalmentenon dispersivi

; , , ( )E t t t t t r rG

; , , ( )H t t t t t r rG

Permettività o costante dielettrica

Permeabilità o ostante magnetica

Mezzi omogenei e stazionari

( , ) ; ( , )

( , ) ; ( , )

E

H

t t t t d dt

t t t t d dt

D r r r E r r

B r r r H r r

ttG

G

Mezzi stazionari e spazialmente non dispersivi

( , ) ; ( , )

( , ) ; ( , )

E

H

t t t t dt

t t t t dt

D r r E r

B r r H r

ttG

G

( , ) ; ( , )

( , ) ; ( , )

D r r E r

B r r H r

tt ; , expE t j t dt

r rtt G

Relazioni costitutiveD EB H

In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono linearmente da E ed H rispettivamente mediante parametri costitutivi. Inoltre, se le relazioni costitutive non dipendono dalla direzione di E ed H, il mezzo è detto isotropo.

120

70

8.854 10 farad/metro

4 10 henry/metro

8

0 0

1 3 10 m/sc

;

0 0

;r r

D EtB Ht

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x x

y y

z z

D ED ED E

J E Legge di Ohm

(mezzi lineari con perdite)

(Regime sinusoidale)

= 299 792 458 m / s

Relazioni costitutive( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )s

c s

jj

H r E r E r J rE r J r

0 0 0

cr j j

r rn n jn

tan

Indice di rifrazione complesso

Tangentedi perdita

( , ) ( , )t tD r E r( , ) ( , )t tB r H r

Mezzi non dispersivi

( , ) ( ) ( , ) D r E r ( , ) ( ') ( , ')t

t t t t

D r E r

Il teorema di Poyntingt

BE

t

DH J

E H H E E H

t t

B DE H H E J E

Linea

r tim

e inv

arian

t med

ia

2 2t t

B H D EE H E J

12

W

S E H

E E H H

Wt

S E J

s V V

WdV dVt

S da E JÑ

V

dV S

Flusso di potenzaentrante nel volume

potenza dissipatanel volume

Rate dell’incrementodi energia

elettromagneticanel volume

Cariche in movimentonqJ v

dq mdt

vF E 21

2V V V

dm ddV nq dV n m dVq dt dt

vvE J v

Onde piane 0, cosxE z t E kz 0, cosyH z t E kz

2 20 cosz x yS E H E kz

20 1 cos 22zEP kz

Teorema di Poyntingper fasori

j E B

s j H J D

* * * E H H E E H

* * * *j j E H H B E J D*

20

20

2 20 0

12

'4

'4

2 2

e

m

W

W

L

S E H

E

H

E H

*1 22 s m ej W W L S E J

0

potenza media

dissipata

(per unità di volume)

*1Re Re2 s L S E J

*1Im Im 22 s m eW W S E J

densità mediadi energia

elettromagneticaImmagazzinata

(per unità di volume)

Potenza reattiva

Potenzaattiva

Onde piane e fasori

1 2jkz jkz

xE c e c e

1 2 1 21 1 jkz jkz jkz jkzx

ydEH kc e kc e c e c e

j dz

* * *1 2 1 2 ˆjkz jkz jkz jkzc e c c e c e

E H z

* * *1 1 2 2

1 Re2avP c c c c E H 2W/m

Condizioni di continuitàn

1

2

2 1 2 1

2 1 0

t tE E l l

l

E dl t n E E

t n E EÑ

2 1 2 1t tH H l l H dl t n H HÑs

S

lt DJ dS t J

0S t

B dS

2 1S

a D dS D D nÑs

V

dV a

t

n

Condizioni di continuità

2 1 0 n E E

2 1 s n H H J

2 1 s D D n

2 1 0 B B n

n

1

2

Incidenza di un’onda piana su un’interfaccia planare

x

x

Hi

Ei

Hr

Er

Ht

Et

TM

1

2

x x

x

Hi

Ei

Hr

Er

Ht

Et

TE

t

i rx

z

TE (s) ( ) i ii j x q zji

y s sE E e E e k r

ˆ ˆ ,0,i i i i iq q k x z2 2 2

1i iq k

x x

x

Hi

Ei

Hr

Er

Ht

Et

t

i rx

z

1

1

cossin

i i

i i

q kk

( ) r rj x q zry s sE R E e

1

1

cossin

r r

r r

q kk

( ) t tj x q zty s sE T E e

1 0 1k k n

2

2

cossin

t t

t t

q kk

( ) ( ) ( ) in 0i r ty y yE E E z

2 0 2k k n

( ) ( ) ( ) in 0i r ty y yE E E z exp exp expi s r s tj x R j x T j x

i r t

1 1 2sin sin sini r tn n n Legge di Snell

1 s sR T

1 yx

EH

j z

( )

( )

1

expiyi i

x s i i

EqH E jq z j xZ

( )( )

1

is yr

x

R EH

Z

( )( )

2

is yt

x

T EH

Z

11

22

i

t

Zq

Zq

2

21

2

cos

cos 1 sin

t t

t i

q k

nn

2 1 sin sint i t in n

j E B

( ) ( ) ( ) in 0i r tx x xH H H z

( )

( )

1 1

expiyi s

x i i

E EH jq z j x

Z Z

( )

( )

1 1

expr

s yr s sx i i

R E R EH jq z j xZ Z

( )

( )

2 2

expr

s yt s sx t i

T E T EH jq z j x

Z Z

1 2

1 s sR TZ Z

1 s sR T

2 1

2 1

2

2 1

2

s

s

Z ZRZ Z

ZTZ Z

1 2

1 2

1

1 2

cos coscos cos2 cos

cos cos

i ts

i t

is

i t

n nRn n

nTn n

1 2 0

0 00

0

1coscos

Z cq n

0 per

TM (p) ( )

0cos exp cos expix p i i i i iE E j E jq z j x k r

( ) cos exprx p p i r iE R E jq z j x

( ) cos exptx p p t t iE T E jq z j x

1 yx

HE

j z

x

x

Hi

Ei

Hr

Er

Ht

Et

( ) ( ) ( ) in 0i r tx x xE E E z

cos cos cosi p i p tR T

j H E yx

Hj E

z

( ) ( ) expi iy y i iH jq z j x H

( )( ) ( )exp

iy i i

i y i i i y

Hjq jq z j x jq H

z

H

( )( ) ( )

iy i i

i y x

Hjq H j E

z

( )( ) ( )

1

ii i xy x

i

EH E

q Z

qZ

( )

( )

1

rr x

yE

HZ

( )( )

2

tt xy

EH

Z

( ) ( ) ( ) in 0i r ty y yH H H z

21

cos cos cosi p i p tR TZ Z

2 1

2 1

2

2 1

cos2cos

p

ip

t

Z ZRZ Z

ZTZ Z

21

cos cos cosi p i p tR TZ Z

1 cos cosp i p tR T TM (p)

0

0

cos 1 cosqZc n

0

2 1 2

2 1 2 1

1 cos 1 cos 2 cos1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

t i ip p

t i t i

n n nR T

n n n n

1 2 0

per

21

2

cos 1 sint inn

Angolo di BrewsterCaso n2 > n1

2 1

2 1

1 cos 1 cos0

1 cos 1 cost i

pt i

n nR

n n

2 11 cos 1 cos 0t in n

221 1 1

2 2 2

cos cos 1 sini t in n nn n n

2

1

tan bnn

cos cos cos sin sin 0b t b t b t 02b t

2 1

2 1 2

2 cos1 cos 1 cos

bp

t b

n nTn n n

Riflessione totaleCaso n1 > n2 t i

i

ti

t

21

2

cos 1 sint inn

2t 2

1

sin cnn

( ) t tj x q zty s sE T E e

212

2

cos 1 sint t i tnq k jQn

21

2

sin 1t inQn

i c

( ) expty s s t tE T E j x Q z

Riflessione totale