campi elettromagnetici e circuiti { propagazione...

Esercizi svolti per il corso di

Campi Elettromagnetici e Circuiti

– Propagazione Radiata –

Luca Perregrini

Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell’Informazione

Università di Pavia

Via Ferrata, 5, Pavia

Edizione 0.2 - 27 aprile 2020

A.A. 2019/2020

Copyright c⃝ 2020-2030 Luca Perregrini

Informazioni per contattare il docente:

Luca PerregriniDipartimento di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - Università di Pavia

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Indice

Premessa 1

1 Riflessione e trasmissione delle onde 3

2 Radiazione e Antenne 17

A Sistema internazionale 43A.1 Unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2 Valore di alcune costanti fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.3 Prefissi per multipli e sottomultipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

i

Premessa

Questa raccolta di esercizi vuole essere un ausilio per gli studenti dell’insegnamento di CampiElettromagnetici e Circuiti, modulo di Propagazione radiata, svolto nell’ambito del Corso diLaurea in Ingegneria Elettronica e Informatica presso la Facoltà d’ingegneria dell’Universitàdegli studi di Pavia.

Un ringraziamento particolare va ai proff. Marco Bressan e Marco Pasian per aver fornitoparte del materiale incluso in questa raccolta.

Pavia, marzo 2020

Luca Perregrini

1

2 Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici e Circuiti - Propagazione Radiata

Capitolo 1

Riflessione e trasmissione delle onde

Esercizio 1.1 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.1Il campo elettromagnetico nella regione V, costituita da un dielettrico lineare, omogeneo, isotro-po, non magnetico, senza perdite, di indice di rifrazione n, è dato dalla sovrapposizione di dueonde piane uniformi di frequenza f . Rispetto al sistema di coordinate cartesiane {O, x, y, z}, ledue onde si propagano nelle direzioni u⃗1 e u⃗2 appartenenti al piano y = 0 e i campi elettrici adesse associati, entrambi polarizzati linearmente in direzione u⃗y, hanno intensità rispettivamenteE1 e E2. Nell’origine del sistema di riferimento O, le fasi dei campi elettrici delle due ondecoincidono.Scrivere l’espresione del campo elettromagnetico nella regione V e determinare la potenza cheattraversa la superficie quadrata appartenente al piano z = 0, centrata sull’origine, con i latiparalleli agli assi coordinati di lunghezza pari alla lunghezza d’onda di ciascuna delle due ondepiane.

Dati: f = 150 MHz, n = 2, u⃗1 = {0, 0, 1}, u⃗2 = {12 , 0,√32 }, E1 = 10 V/m, E2 = 20 V/m,

Esercizio 1.2 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.2Il campo elettrico monocromatico alla frequenza f , in una regione costituita da un dielettricolineare, omogeneo, isotropo, non magnetico, è dato dall’espressione

E⃗( r⃗) = u⃗y E0 e−(α u⃗x+jβ u⃗z) · r⃗

dove r⃗ è il vettore posizione nel sistema di riferimento cartesiano {O, x, y, z}.Scrivere l’espressione del campo magnetico nella regione e determinare la potenza che attraversala superficie quadrata di lato d, appartenente al piano z = 0, centrata sull’origine, con i latiparalleli agli assi coordinati.

Dati: f = 3 GHz, E0 = 10 V/m, α = 0.3 nep/cm, β = 1.5 rad/cm, d = 10 cm.

3


Esercizio 1.3 (Soluzione a pag. ??)

Problema 1.3Un’onda piana uniforme alla frequenza f incide obliquamente sulla superficie piana del mare.L’acqua di mare può essere caratterizzata tramite la costante dielettrica relativa εr e la condu-cibilità σ. L’onda è polarizzata circolarmente, trasporta una densità di potenza W0 e l’angolodi incidenza è pari a θ. Dopo aver verificato che alla frequenza indicata il mare può essere con-siderato un buon conduttore, determinare la densità di potenza riflessa e la potenza dissipataper ogni m2 di superficie del mare.

Dati: f = 10 MHz, εr = 80, σ = 4 S/m, W0 = 1 mW/cm2, θ = 60◦.


Problema 1.4Volendo valutare l’effetto della superficie del mare in un collegamento radio alla frequenza f ,l’onda incidente sulla superficie del mare viene localmente assimilata ad un’onda piana unifor-me, polarizzata circolarmente in verso destrogiro, con intensità del campo elettrico pari a E0.L’angolo d’incidenza sulla superficie del mare (considerata liscia) è ϑi.L’acqua di mare, alla frequenza considerata, è caratterizzata dalla costante dielettrica relativaεr e dalla conducibilità σ.Dopo aver verificato che alla frequenza di lavoro il mare può essere considerato un buon condut-tore, determinare le caratteristiche (intensità e polarizzazione) dell’onda riflessa. Determinareinoltre il rapporto tra la densità di potenza trasportata dall’onda riflessa e quella trasportatadell’onda incidente.

Dati:

f = 90 MHzεr = 80σ = 4 S/mE0 = 30 mV/mϑi = 88

◦

aria

acqua di mare

ϑi


Problema 1.5Volendo valutare l’effetto del terreno in un collegamento radio, l’onda incidente sulla sua su-perficie viene localmente assimilata ad un’onda piana uniforme. Nel caso specifico, l’angolod’incidenza sulla superficie del terreno (considerata liscia) è ϑi e le caratteristiche dell’onda pia-na incidente sono: frequenza f , polarizzazione circolare in verso destrogiro e densità di potenzatrasportata W . Il terreno, alla frequenza considerata, ha perdite trascurabili e indice di rifra-zione n.Determinare le caratteristiche (intensità e polarizzazione) dell’onda riflessa.Determinare inoltre il rapporto tra la densità di potenza trasportata dall’onda riflessa e quellatrasportata dell’onda incidente.

CAPITOLO 1 - Riflessione e trasmissione delle onde 5

Dati:

f = 100 MHzW = 10 µW/m2

ϑi = 75◦

n = 3.73

aria

terreno

ϑi


Problema 1.6Un’onda piana uniforme di frequenza f , polarizzazione circolare e densità di potenza W0, pro-viene dall’aria ed incide con angolo α sulla superficie piana di un mezzo di indice di rifrazionen.Calcolare le densità di potenza riflessa e trasmessa e discutere la polarizzazione delle due onderiflessa e trasmessa.

Datif = 2 GHzW0 = 1 W/m

2

α = 60 deg

n =√3

αaria mezzo


Problema 1.7Per valutare l’effetto del terreno in un collegamento radio alla frequenza f , si può assimilarel’onda incidente sulla sua superficie (considerata liscia) come un’onda localmente piana uni-forme, polarizzata linearmente e che trasporta la densità di potenza W . Nel caso d’interesse,l’onda incidente è quasi radente alla superficie del terreno: l’angolo d’incidenza è ϑi e sonod’interesse sia la polarizzazione appartenente al piano d’incidenza (praticamente verticale), siaquella orizzontale (perpendicolare al piano d’incidenza). Il terreno, alla frequenza considerata,è caratterizzato dalla costante dielettrica relativa εr e dalla conducibilità σ.Determinare il rapporto tra la densità di potenza trasportata dall’onda riflessa e quella traspor-tata dell’onda incidente per le due polarizzazioni d’interesse.

Dati:

f = 1 MHzW = 10 µW/m2

ϑi = 80◦

εr = 15σ = 10−2 S/m

aria

terreno

ϑi



Problema 1.8Un’onda piana uniforme, di frequenza f , polarizzata circolarmente in verso destrogiro, trasportala densità di potenza W e, provenendo dall’aria, incide sull’interfaccia piana (piano z = 0) conun dielettrico indefinito, caratterizzato dall’indice di rifrazione n, secondo l’angolo di BrewsterϑB.Verificare che il rapporto tra la componente x del campoelettrico e la componente y del campo magnetico dell’on-da incidente e dell’onda trasmessa sono uguali.Calcolare inoltre le potenze che attraversano le superficipiane S1 e S2, parallele all’interfaccia, di forma quadratadi lato a, poste una, in aria, nella sezione z = −d e l’altra,entro il dielettrico, nella sezione z = d.Datif = 300 MHzW = 10 W/m2

n = 2a = 1 md = 1 m

aria dielettrico

z

x

z= - dz = 0

z = d

ϑB

S1 S2


Problema 1.9Un’onda piana uniforme di frequenza f , densità di potenzaW0 e polarizzazione lineare, provienedall’aria ed incide normalmente su una lastra dielettrica di costante dielettrica relativa εr. De-terminare la costante dielettrica e lo spessore che deve avere uno strato di materiale dielettricoda interporre fra i due mezzi affinchè non vi sia alcuna riflessione. Calcolare la densità di potenzae l’ampiezza del campo elettrico trasmessi al di là dell’interfaccia in presenza ed in assenza dellostrato di adattamento.

Dati: f = 2.5 GHz, W0 = 10 W/cm2, εr = 12.


Problema 1.10Un’onda piana uniforme di frequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incidenormalmente sulla superficie piana di un buon conduttore di conducibilità σ.Determinare la densità di potenza riflessa e la potenza dissipata in 1 m2 di superficie delconduttore.

Dati f = 50 MHz, W0 = 2 mW/cm2, σ = 4 S/m.



Problema 1.11Un’onda piana uniforme alla frequenza f = 5 MHz e proveniente dall’aria incide perpendico-larmente sul suolo. Il suolo ha una costante dielettrica relativa ϵr = 3 e una conducibilitàσ = 30 S/m. Sapendo che la densità di potenza trasportata dall’onda incidente è 20 W/m2 sicalcoli la densità di potenza trasportata dall’onda trasmessa nel suolo a 15 cm di profondità.


Problema 1.12Un’onda piana uniforme di lunghezza d’onda λ in aria, che trasporta la densità di potenza W ,incide normalmente sulla superficie piana di un conduttore di conducibilità σ. Determinare lapotenza assorbita dal conduttore in ogni metro quadrato di superficie.Di quanto aumenta o diminuisce la potenza assorbita dal conduttore se la sua superficie vienecoperta con uno strato di spessore d di un dielettrico senza perdite di indice di rifrazione n ?

Dati λ = 1 µm, W = 500 W/m2, σ = 3 107 S/m, d = 0.5 µm, n = 1.5.


Problema 1.13Un’onda piana uniforme di frequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incidenormalmente su uno strato dielettrico di spessore d e permettività elettrica relativa ε′ − jε′′.Calcolare la densità di potenza riflessa e trasmessa dallo strato dielettrico.


2

d = 2.5 cmε′ = 4ε′′ = 1

d

aria aria


Problema 1.14Il ricevitore di un sottomarino, funzionante alla frequenza f , è in grado di decodificare corret-tamente un segnale se l’intensità del campo magnetico incidente sull’antenna a cui è collegato èmaggiore di H0. Determinare la massima profondità alla quale l’intensità del campo magneticoè maggiore di H0 se sull’interfaccia aria - acqua incide normalmente un’onda piana uniformepolarizzata linearmente che trasporta una densità di potenza pari a W .

Dati: f = 10 kHz, W = 100 W/m2, H0 = 1 nA/m, acqua marina: ϵr = 80, σ = 4 S/m.


z�

x�

aria

acqua


Problema 1.15Un’onda piana uniforme alla frequenza f trasporta una densità di potenza pari a W0 e, prove-nendo dall’aria, incide normalmente sulla superficie di un conduttore metallico di conducibilitàσ. Calcolare la potenza dissipata all’interno di un parallelepipedo con sezione a× b, posto allaprofondità z0 dalla superficie del metallo stesso e con spessore (z1−z0), come mostrato in figura.

Dati: f = 30 MHz, σ = 4 ·103, W0 = 100 W/m2, a = 1 mm, b = 1 mm, z0 = 1 mm, z1 = 2mm.

a b

z

x y�

z0

z1

parallelepipedo

aria

metallo


Problema 1.16Si consideri il sistema stratificato mostrato in figura, in cui su una lastra di vetro di spessored è depositato uno strato sottile di materiale composito di spessore s. Sul sistema stratificatoincide normalmente un’onda piana uniforme di frequenza f che trasporta la densità di potenzaW0.Alla frequenza considerata, il vetro può essere considerato un mezzo senza perdite di indice dirifrazione nv, mentre il materiale composito può essere considerato un dielettrico a bassa perditacon indice di rifrazione nc e angolo di perdita ϑc.Determinare la densità di potenza trasmessa e calcolare la potenza dissipata in ogni cm2 dello


strato di materiale composito.

Dati: f = 50 GHz, W0 = 10 W/m2, nv = 1.5, d = 2 mm, nc = 4, ϑc = 10

−3, s = 60 µm.

aria

materialecomposito

vetro

d

aria

s


Problema 1.17Un’onda piana uniforme di frequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incidenormalmente su uno strato di plasma di spessore a e densità elettronica N0, confinato tra unalastra di allumina ed un piano conduttore. Nell’ipotesi che il piano conduttore possa essere con-siderato di conducibilità infinita e che lo strato di allumina abbia spessore b, costante dielettricaεr ed angolo di perdita trascurabile, calcolare il R.O.S. del diagramma d’onda stazionario inaria. Calcolare inoltre il valore massimo del modulo del campo elettrico in aria e la minimadistanza dall’interfaccia aria-allumina alla quale si riscontra tale valore massimo.

Dati f = 10 GHz, W0 = 1 W/m2, N0 = 10

18 m−3, a = 10 mm, b = 5 mm, εr = 9.

aria plasmaallumina

b

conduttore

a


Problema 1.18Un’onda piana uniforme alla frequenza di 1 GHz, provieniente dall’aria, incide normalmente suun materiale la cui costante dielettrica è ϵr = 9. La densità di potenza da essa trasportata èpari a 10 W/cm2.

a) Determinare la densità di potenza trasmessa al di là dell’interfaccia.

b) Determinare la costante dielettrica e lo spessore che deve avere uno strato di materialedielettrico da interporre fra i due mezzi affinché non vi sia alcuna riflessione.


c) Determinare l’ampiezza del campo elettrico dell’onda trasmessa in presenza e in assenza dellostrato di adattamento.

Esercizio 1.19 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.19Un radar per l’esplorazione del sottosuolo è un apparato in grado d’inviare un segnale elettro-magnetico verso il terreno e ricevere l’eco dovuto ad eventuali oggetti sepolti.Assumendo che il segnale di frequenza f , che si propaga in aria e incide normalmente sul terreno,sia localmente assimilabile ad un’onda piana uniforme polarizzata circolarmente che trasportala densità di potenza W , determinare l’intensità dei campi elettrico e magnetico incidenti suun’eventuale oggetto sepolto che si trovi alla profondità h1 o h2 o h3, se il terreno in cui si fal’indagine è caratterizzato dalla costante dielettrica relativa ϵr e dalla conducibilità σ.

Dati

f = 10 MHzW = 50 W/m2

h1 = 1 mh2 = 5 mh3 = 10 mϵr = 12σ = 1 S/m

W

aria

terrenoh1h2

h3

Esercizio 1.20 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.20Un’onda piana uniforme alla frequenza di 2.5 GHz, polarizzata linearmente e provieniente dal-l’aria, incide normalmente su una lastra di materiale dielettrico (ϵr = 12). L’onda incidentetrasporta una densità di potenza Winc = 10 W/cm

2. Determinare la costante dielettrica e lospessore che deve avere uno strato di materiale dielettrico da interporre fra i due mezzi affinchénon vi sia alcuna riflessione. Calcolare la densità di potenza e l’ampiezza del campo elettricotrasmessi al di là dell’interfaccia in presenza e in assenza dello strato di adattamento.

Esercizio 1.21 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.21Un’onda piana uniforme di lunghezza d’onda nel vuoto λ0 e densità di potenza W0 provienedall’aria ed incide normalmente su uno strato dielettrico a basse perdite di spessore a, costantedielettrica relativa εr e tangente dell’angolo di perdita elettrico θe.Calcolare il coefficiente di riflessione all’interfaccia aria-dielettrico. Calcolare inoltre la densitàdi potenza dissipata all’interno dello strato dielettrico.


Datiλ0 = 1 µmW0 = 0.1 W/m

2

a = 25 µmεr = 4θe = 10

−3

aria ariastrato

a


Problema 1.22Un’onda piana uniforme alla frequenza f , polarizzata linermente e che trasporta la densità dipotenzaW0, proviene dall’aria ed incide verticalmente su un terreno piano di costante dielettricarelativa εr e conducibilità σ. Determinare la potenza riflessa sull’interfaccia aria terreno, scriverel’espressione del campo elettrico all’interno del terreno e calcolare la potenza dissipata in unmetro cubo di terreno in prossimità dell’interfaccia e alla profondità p.

Datif = 100 MHzW0 = 10 W/m

2

εr = 12σ = 20 mS/mp = 3 m

aria

terreno

pEsercizio 1.23 (Soluzione a pag. ??)

Problema 1.23Un’onda piana uniforme di frequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incidenormalmente su uno strato di plasma di spessore a e densità elettronica N0, confinato tra unalastra di allumina ed un piano conduttore. Nell’ipotesi che il piano conduttore possa essereconsiderato di conducibilità infinita e che lo strato di allumina abbia spessore b, costante dielet-trica εr ed angolo di perdita trascurabile, calcolare il R.O.S. del diagramma d’onda stazionarioin aria. Calcolare inoltre il valore massimo e minimo del modulo del campo elettrico in aria ela minima distanza dall’interfaccia aria-allumina alla quale si riscontra il valore massimo ed ilvalore minimo.



2

N0 = 1018 m−3

a = 5 mmb = 2.5 mmεr = 9

aria plasmaallumina

b

conduttore

a

Esercizio 1.24 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.24Un’onda piana uniforme proveniente dall’aria, di lunghezza d’onda λ0 e densità di potenza W0,incide normalmente su uno strato dielettrico a bassa perdita di spessore a. Il materiale checostituisce lo strato è non magnetico, di costante dielettrica relativa εr e tangente dell’angolo diperdita θe. Calcolare la densità di potenza riflessa dall’interfaccia aria-dielettrico e la densità dipotenza dissipata all’interno dello strato dielettrico.

Datiλ0 = 3 cmW0 = 100 W/m

2

a = 0.5 cmεr = 2θe = 0.007

aria ariastrato

a

Esercizio 1.25 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.25Uno strato dielettrico di spessore d e permittività elettrica ε0(ε

′−jε′′) separa l’aria da un secondomezzo indefinito, di costante dielettrica relativa εr. Un’onda piana uniforme di frequenza f edensità di potenza W0 proviene dall’aria ed incide normalmente sullo strato.Calcolare la densità di potenza riflessa e la densità di potenza trasmessa nel secondo mezzo.


2

d = 0.625 mmε′ = 16ε′′ = 16εr = 4

d

aria mezzo



Problema 1.26Un’onda piana uniforme di frequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incidenormalmente su uno strato dielettrico di spessore d e costante dielettrica relativa εr, usatoper separare l’aria dall’acqua, come mostrato in figura. La permettività elettrica dell’acqua èε0(ε

′ − jε′′). Determinare la densità di potenza trasportata dall’onda nella sezione z = z0.

Datif = 200 MHzW0 = 5 W/m

2

d = 1 cmεr = 3ε′ = 80ε′′ = 1z0 = 2 m

aria acqua

strato dielettrico

z=0 z0z

d


Problema 1.27Un’onda piana uniforme di frequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incidenormalmente su uno strato vuoto di spessore a, confinato tra una lastra di allumina ed un pianoconduttore. Nell’ipotesi che il piano conduttore sia caratterizzato da una conducibilità σ e chelo strato di allumina abbia spessore b, costante dielettrica εr ed angolo di perdita trascurabile,calcolare il R.O.S. del diagramma d’onda stazionario in aria. Calcolare inoltre il valore massimoe minimo del modulo del campo elettrico in aria e la minima distanza dall’interfaccia aria-allumina alla quale si riscontra il valore massimo ed il valore minimo.


2

a = 0.75 mmb = 0.5 mmσ = 105 S/mεr = 9

aria vuotoallumina

b

conduttore

a


Problema 1.28


Uno strato dielettrico di spessore d e permettività elettrica ε = εo(ε′ − jε′′) separa l’aria da

un mezzo caratterizzato da una costante dielettrica relativa εr. Un’onda piana uniforme difrequenza f e densità di potenza W0 proviene dall’aria ed incide normalmente sullo strato.Calcolare la densità di potenza riflessa, trasmessa nel mezzo di destra e quella dissipata nellostrato.


2

d = 7.5 cmε′ = 4ε′′ = 0.04εr = 2

d

aria mezzo

Esercizio 1.29 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.29Uno strato metallico di spessore d e conducibilità σ separa due semi-spazi di aria. Un’onda pianauniforme di frequenza f incide normalmente sullo strato. Calcolare la percentuale di densitàpotenza riflessa, trasmessa e dissipata.

Datif = 100 MHzd = 1 µmσ = 4 104 S/m

d

aria aria

Esercizio 1.30 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.30Uno strato dielettrico di spessore d e permettività elettrica relativa ε′ − jε′′ separa l’aria da unmezzo caratterizzato da una costante dielettrica εr. Un’onda piana uniforme di frequenza f edensità di potenza W0 proviene dall’aria ed incide normalmente sullo strato.Calcolare la densità di potenza riflessa, trasmessa nel mezzo di destra, e dissipata.


Datif = 2 GHzW0 = 1 mW/mm

2

d = 37.5 mmε′ = 4ε′′ = 4εr = 4

d

aria mezzo


Problema 1.31Il mezzo stratificato indicato in figura è costituito da uno strato di spessore dp di resina poliestere(costante dielettrica relativa ϵp e angolo di perdita trascurabile) su una delle cui facce è depostouno strato di spessore dc di materiale composito (costante dielettrica relativa ϵc e conducibilitàσc).Si vuole sapere la densità di potenza che attraversa le interfacce aria-poliestere, poliestere-materiale composito e materiale composito-aria, se su tale mezzo incide normalmente un’ondapiana uniforme di frequenza f che trasporta la densità di potenza W .

Datidp = 5 mmϵp = 4θp trascurabiledc = 100 µmϵc = 1.5σc = 300 S/mf = 15 GHzW = 100 W/m2

aria

poliestere materialecomposito

aria

dp dc


Problema 1.32Si consideri l’interfaccia piana dielettrico–aria indicata in figura, in cui il dielettrico, non ma-gnetico, ha indice di rifrazione n e angolo di perdita ϑe. Una sorgente, entro il dielettrico, moltolontana dall’interfaccia, genera un campo elettromagnetico incidente che localmente può essereassimilato ad un’onda piana uniforme. Da misure fatte in aria, si sa che lunghezza d’onda è λ0,che il campo elettrico è polarizzato linearmente nella direzione dell’asse x e che la sua intensitàè E0.Scrivere l’espressione dei campi elettrico e magnetico nell’aria e nel dielettrico.Calcolare inoltre la potenza che attraversa le superfici S1 e S2 all’interno del dielettrico, paralleleall’interfaccia, la prima a ridosso dell’interfaccia stessa, la seconda distante d da essa, entrambedi forma quadrata con lato d.


Datin = 3ϑe = 0.01λ0 = 2 cmE0 = 3 V/cmd = 0.5 cm

S1S2

d

d z

xdielettrico aria

Esercizio 1.33 (Soluzione a pag. ??)Problema 1.33Un campo elettromagnetico di frequenza f , assimilabile localmente ad un’onda piana uniforme, sipropaga nell’aria e incide normalmente sulla superficie di uno specchio d’acqua sufficientementeprofondo da poter trascurare l’effetto del fondale. Sapendo che la densità di potenza incidente èW , determinare la densità di potenzaW ′′(0) trasferita all’acqua e determinare a quale profonditàla densità di potenza trasportata dall’onda trasmessa si riduce ad un decimo di W ′′(0).

Dati:

f = 20 GHzW = 10 W/m2

0.1 1 10 100 1000 10000 GHz

100

10

1

ε′

ε′′

H2O a 25oC

Capitolo 2

Radiazione e Antenne


Problema 2.1In figura è riportato il diagramma di radiazione sul semipiano φ = 0 di un’antenna cha haguadagno massimo gmax ed efficienza di radiazione ξ.Calcolare l’intensità di radiazione dell’antenna nella direzione ϑo quando la potenza in ingressoall’antenna è P .

Datigmax = 8 dBξ = 0.95P = 10 Wϑo = π/5

semipiano φ=0

ϑ=0

ϑo

ϑ=π/2

ϑ=π0 dB-1-2-3-4-5-6-7-8-9


Problema 2.2Scrivere l’espressione del campo elettrico nel punto P = (0, 0, zP ) generato dai due dipoli inmezz’onda indicati in figura, funzionanti alla frequenza f , alimentati con le correnti di eccitazionerispettivamente I1 ed I2 e separati dalla distanza d. Discutere inoltre la polarizzazione del campoelettrico nel punto P .

17


Datif = 1.5 GHzI1 = 2 AI2 = j2 AzP = 10 md = λ/2

x

y z

P

1

2

d

I1

I2


Problema 2.3Si consideri il dipolo Hertziano indicato in figura, distante d dal piano xy perfettamente con-duttore e disposto sul piano yz, inclinato di 45◦ rispetto all’asse z. Il dipolo ha lunghezza Led è alimentato alla frequenza f con la corrente I0. Si chiede di determinare l’ampiezza e lapolarizzazione del campo elettrico alla distanza r dal centro del sistema di riferimento lungo gliassi x, y e z.

Dati:

d = 25 cmL = 5 cmf = 300 MHzI0 = 1 Ar = 100 m

x

y

z

d

45◦


Problema 2.4Un’antenna trasmittente è composta da due dipoli hertziani di lunghezza l disposti come infigura, funzionanti alla frequenza f ed alimentati con le correnti di eccitazione rispettivamenteI1 ed I2. Determinare l’intensità e la polarizzazione del campo elettrico nel punto P = (0, 0, zP ).Supponendo di avere a disposizione come antenna ricevente un dipolo risonante, determinare

CAPITOLO 2 - Radiazione e Antenne 19

l’orientamento dell’antenna ricevente che massimizza la potenza disponibile all’uscita dell’an-tenna stessa. Determinare inoltre il valore di tale potenza disponibile.

Datif = 2 GHzI1 = 2 AI2 = -2 Ad = 3.75 cmzP = 1 kml = 1 cm

d

P

I1

I2

x

y

zEsercizio 2.5 (Soluzione a pag. ??)

Problema 2.5Un’antenna, alimentata alla frequenza f , dà un campo polarizzato linearmente in tutte le dire-zioni. Se l’antenna è alimentata con la potenza Pt, l’intensità del campo elettrico nel punto P0,distante r0 dall’antenna è E0, mentre l’intensità di campo elettrico che si misura alla distanza r0nella direzione di massima radiazione è Emax. Calcolare l’intensità di radiazione ed il guadagnodell’antenna nella direzione di P0 e nella direzione di massima radiazione.

Dati: f = 600 MHz, Pt = 1 W, r0 = 1 km, E0 = 25 mV/m, Emax = 110 mV/m.Esercizio 2.6 (Soluzione a pag. ??)

Problema 2.6In figura è riportato il diagramma di radiazione, alla frequenza f , nel semipiano φ = 0 diun’antenna che ha guadagno massimo gmax ed efficienza di radiazione ξ.Calcolare l’intensità di radiazione dell’antenna nella direzione ϑo quando la potenza in ingressoè P . Determinare inoltre, nelle stesse condizioni, la densità di potenza incidente su un’antennaricevente posta nella stessa direzione alla distanza d.


Datif = 100 MHzgmax = 8 dBξ = 0.95P = 10 Wϑo = π/5d = 10 km

semipiano φ=0

ϑ=0

ϑo

ϑ=π/2

ϑ=π0 dB-1-2-3-4-5-6-7-8-9


Problema 2.7Un’antenna a schiera per la trasmissione di un segnale alla frequenza f = 30 MHz è realizzatautilizzando due antenne a spira di raggio a = 25 cm, disposte come in figura e alimentate concorrenti I1 = I2 = 10 A.

a) Determinare l’espressione del fattore di schiera e dell’intensità di radiazione dell’antenna.

b) Determinare le direzioni di massimo e minimo irraggiamento della schiera e rappresentare(almeno qualitativamente) il diagramma di radiazione della schiera.

c) Calcolare l’intensità del campo elettrico lungo l’asse y alla distanza di 120 km

l/2

x

z

y


Problema 2.8Una schiera di dipoli risonanti in mezz’onda, funzionanti alla frequenza f , è composta da quattroelementi come mostrato in figura. Supponendo che l’ampiezza di eccitazione sia uguale pertutti gli elementi, determinare la distanza d e la relazione analitica tra le fasi di eccitazionedi ciascun elemento in modo tale da ottenere un massimo di radiazione lungo l’asse x ed unminimo di radiazione lungo l’asse y. Tracciare quindi l’andamento del diagramma di radiazionesul piano xy.

Dati: f = 3 GHz.


x

y

13

2

4

2d

2d

I2

x

yI3

I4 I1

z


Problema 2.9Una schiera di dipoli risonanti in mezz’onda, funzionanti alla frequenza f , è composta da treelementi come mostrato in figura. Supponendo che l’ampiezza della corrente di eccitazione siauguale per tutti gli elementi e pari a I0, determinare le fasi di eccitazione di ciascun elementoe la distanza d in modo tale da ottenere un massimo di radiazione lungo la direzione positivadell’asse x ed uno zero di radiazione lungo la direzione negativa dell’asse x. Determinare inoltrel’intensità di radiazione lungo la direzione di massimo.

Dati: f = 300 MHz, I0 = 1 A.

x

y

31 2

dx

yI1

I2I3

z

d


Problema 2.10Si consideri un dipolo in mezz’onda, alimentato alla frequenza f con una corrente I0 e postoparallelamente ad un piano metallico distante d. Determinare il diagramma di radiazione del-


l’antenna, tracciarne l’andamento qualitativo sui piano xy e yz, e calcolare l’ampiezza del campoelettrico alla distanza di 10 m dal centro del sistema di riferimento lungo gli assi x, y e z.

Dati: f = 3 GHz, I0 = 1 A, d = 2.5 cm.

x

y

z

I0

d

Esercizio 2.11 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.11Una schiera di tre dipoli in mezz’onda, paralleli all’asse z ed equispaziati lungo l’asse y, èalimentata alla frequenza f con le correnti I1, I2 e I3. Calcolare la minima spaziatura d chepermette di ottenere il massimo di radiazione lungo l’asse y. Calcolare tale massimo di radiazionee la densità di potenza incidente su un’antenna ricevente posta lungo l’asse y alla distanza rdalla schiera. Calcolare infine la potenza ricevuta da un carico adattato collegato all’antennaricevente nell’ipotesi che tale antenna abbia guadagno g e sia adattata in polarizzazione all’ondaincidente.

Datif = 300 MHzI1 = -1 AI2 = 2 AI3 = -1 Ar = 100 kmg = 20 dBi

z�

y�

d� d�

1� 2� 3�

Esercizio 2.12 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.12La schiera di antenne mostrata in figura, funzionante alla frequenza f , è composta da otto dipoliHertziani di lunghezza L, con asse parallelo all’asse z e disposti lungo una circonferenza di raggior. L’intensità della corrente d’ingresso di ciascun dipolo è I0. Determinare il minimo raggio r ele fasi di eccitazione di ciascun dipolo affinchè:

i) l’intensità di radiazione lungo la direzione positiva dell’asse x sia la più alta possibile;ii) l’intensità di radiazione lungo l’asse y sia nulla.

Per la schiera definita, calcolare l’intensità di radiazione lungo la direzione positiva e negativa


dell’asse x.Dire inoltre come devono essere cambiate le fasi di eccitazione dei dipoli per ri-orientare il fascioin modo che la massima intensità di radiazione sia lungo la direzione indicata con b in figura.

Datif = 300 MHzI0 = 1 AL = 10 cm

x

y

r

b

1

2

3

4

5

6

7

8


Problema 2.13La radiazione da un’antenna stampata (patch) risonante, di forma rettangolare, è valutabilein prima approssimazione come la radiazione da due correnti magnetiche uniformi M⃗1 e M⃗2,concentrate sul bordo d’ingresso e sul bordo terminale del patch, d’intensità pari alla tensionedi alimentazione V , e agenti in aria, in presenza del piano di massa.Calcolare l’ntensità di radiazione dell’antenna stampata nella direzione dell’asse z.Dire come deve essere orientato un dipolo risonante, posto nel punto P di coordinate {0, 0, zo},affinché la potenza disponibile sulla porta d’uscita sia massima e determinare il valore di talepotenza.

Datif = 3 GHzV = 10 Va = 4 cmb = 3 cmd = 1 mmzo = 10 m

M⃗1 = M⃗2 = V ŷ

x

y

z

a

b

d

VM⃗1

M⃗2

piano di massa



Problema 2.14Si consideri la schiera lineare uniforme di dipoli in mezz’onda alla frequenza f , uniformementealimentata (|I1| = |I2| = · · · = |IN | = I). Il sistema di riferimento, indicato in figura, ha asse zcoincidente con la direzione dei dipoli e asse x coincidente con la direzione dell’allineamento.Determinare il numero di dipoli N, la spaziatura tra essi d, e lo sfasamento progressivo δ in modotale che il diagramma di radiazione sul piano xy presenti un massimo nella direzione positivadell’asse x, sia esente da lobi spuri e abbia il lobo principale di larghezza non superiore a ∆. Perla schiera cos̀ı progettata, determinare l’intensità della corrente di eccitazione I in modo taleche l’intensità del campo elettrico irraggiato nella direzione di massima radiazione, alla distanzar, sia E0.

Datif = 300 MHz∆ = 40 degr = 50 kmE0 = 1 mV/m

I1 I2 I3 IN

d

x

z


Problema 2.15Un’antenna trasmittente operante alla frequenza f è composta da tre dipoli hertziani di lun-ghezza l, disposti e alimentati come in figura con le correnti I1, I2 e I3.Determinare l’intensità e la polarizzazione del campo elettrico irraggiato nei punti P = (0, 0, zP),Q = (xQ, 0, 0) e W = (0, yW, 0). Inoltre, supponendo di avere a disposizione come antenna ri-cevente un dipolo risonante, indicare l’orientamento del dipolo, posto nei punti P, Q e W, cherende massima la potenza disponibile e calcolare tale potenza.


Datil = 10 cmd = 1.5 mf = 100 MHzI1 = 1 AI2 = 2 AI3 = 1 AzP = 1 kmxQ = 1 kmyW = 1 km

d

d

P

Q

W

I1

I2

I3

x

y

z

Esercizio 2.16 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.16Una schiera lineare uniforme, di dipoli in mezz’onda, paralleli all’asse z e allineati lungo l’assex è alimentata alla frequenza f . L’intensità della corrente di eccitazione di tutti i dipoli è paria I. Calcolare la fase di eccitazione di ciascun dipolo, la massima spaziatura d tra i dipoli ed ilminimo numero di dipoli N in modo tale che il diagramma di radiazione della schiera sul pianoxy sia privo di lobi spuri, abbia il massimo lungo l’asse y e uno zero nella direzione che formal’angolo ψ con all’asse x e che la massima intensità di radiazione della schiera sia non inferiorea Kmin.

Datif = 300 MHzI = 0.5 AKmin = 100 W/steradψ = 60o

x

z

d

1 2 N

Esercizio 2.17 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.17Un’antenna trasmittente è composta da tre dipoli risonanti disposti come in figura, funzionanti


alla frequenza f , alimentati in fase con la stessa corrente I0. Determinare l’intensità e la pola-rizzazione del campo elettrico nei punti P = (0, 0, zP ), Q = (xQ, 0, 0) e W = (0, yW , 0).Supponendo di porre nel punto P , come antenna ricevente, un dipolo hertziano di lunghezza l,determinare l’orientamento del dipolo che massimizza la potenza disponibile alla sua uscita ecalcolare il valore di tale potenza.

Datif = 100 MHzI0 = 1 Ad = 75 cmzP = 1 kmxQ = 1 kmyW = 1 kml = 10 cm

d

d

P

Q

W

I0I0

I0

x

y

z

Esercizio 2.18 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.18Si consideri la schiera lineare uniforme e uniformemente illuminata di N dipoli risonanti allafrequenza di lavoro f , diretti perpendicolarmente alla direzione di allineamento. Si assume comeasse z la direzione dell’asse dei dipoli e come asse x la direzione dell’allineamento. Conoscendola spaziatura d tra i dipoli, determinare lo sfasamento progressivo delle eccitazioni affinché ladirezione di massima radiazione formi l’angolo ψ con la direzione x.Sapendo inoltre che le correnti di eccitazione hanno intensità I, calcolare l’intensità di radiazionenella direzione u⃗ = u⃗x cosψ + u⃗z sinψ e determinare la potenza disponibile ai capi di un dipoloHertziano di lunghezza L e efficienza di radiazione ξ, posto alla distanza r nella direzione u⃗ eorientato perpendicolarmente a u⃗ sul piano xz.

Datif = 600 MHz L = 1 cmN = 5 ξ = 0.7d = 20 cm r = 100 mI = 100 mAψ = 30o

x

z

d

u⃗

Esercizio 2.19 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.19


Due dipoli in mezz’onda, disposti come in figura, sono alimentati alla frequenza f con correntiI identiche in ampiezza e fase. Alla distanza d nella direzione dell’asse x è posta un’antennaricevente che, qualora fosse alimentata, irraggerebbe, nella direzione dell’asse x, un campo po-larizzato circolarmente in verso destrogiro e avrebbe nella stessa direzione guadagno pari a g.Supponendo che il ricevitore connesso all’antenna ricevente sia ad essa adattato, determinare lapotenza ricevuta.

Datif = 300 MHzI = 1 Ad = 1 kmD = 50 cmg = 13 dBi

antennaricevente

d

x

yz

I

ID

Esercizio 2.20 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.20L’antenna trasmittente di un sistema di radiodiffusione alla frequenza f è costituita da unsemidipolo verticale di altezza ht e efficienza di radiazione ξt. Sapendo che la potenza in ingressoall’antenna trasmittente è P0 e assumendo che l’effetto del terreno sia assimilabile a quello di unconduttore perfetto, calcolare l’ampiezza e la polarizzazione del campo irraggiato dall’antennanel punto P, posto a livello del suolo alla distanza d dalla base dell’antenna. Nell’ipotesi che nelpunto P venga posto un dipolo Hertziano verticale di lunghezza hr e efficienza di radiazione ξr,calcolare la potenza ricevuta da un carico adattato ad esso collegato.

Datif = 10 MHzht = 7.5 mξt = 0.9P0=100 Wd = 10 kmhr= 50 cmξr = 0.2 terreno

d

ht

P0 P



Problema 2.21Un’antenna a schiera è realizzata utilizzando due semidipoli λ/4 disposti come mostrati in figura.Alla frequenza di lavoro (f = 5 MHz) il suolo può essere considerato un conduttore perfetto.

a) Determinare l’espressione dell’intensità di radiazione K(θ, ϕ) della schiera, considerando ladistanza d come un parametro;

b) Determinare il minimo valore di d che permette di avere un massimo di radiazione nelladirezione ϕ = 60◦ sul piano xy;

c) per tale valore di d studiare il diagramma di radiazione dell’antenna sui piani xy e xz 1;

d) calcolare il valore della corrente di alimentazione I che permette di ottenere un campo elettricodi ampiezza 5 mV/m nella direzione di massima radiazione alla distanza di 50 km.

x

yz

-I

d

suolo

I

l/4

f=60°


Problema 2.22Determinare quale deve essere il guadagno di un’antenna alimentata da un generatore adattatola cui potenza disponibile è 20 W, affinché l’intensità del campo elettrico in un punto P postoalla distanza di 40 km sia pari a 80 mV/m. In tali condizioni, determinare il guadagno chedeve avere un’antenna ricevente posizionata in P e adattata in polarizzazione con la precedente,affinché riceva una potenza di 300 nW. La frequenza di lavoro è 10 GHz.


Problema 2.23I tre dipoli in mezz’onda, paralleli all’asse z ed allineati lungo l’asse y, sono alimentati allafrequenza f con le correnti I1, I2 e I3. Calcolare le minime distanze d1 e d3 tra i dipoli perifericie quello centrale che permettono di ottenere il massimo di radiazione lungo l’asse y.Calcolare tale massimo di radiazione e calcolare la densità di potenza incidente su un’antennaricevente posta lungo l’asse y alla distanza r dalla schiera.Calcolare infine la potenza ricevuta da un carico adattato, collegato all’antenna ricevente, nel-l’ipotesi che tale antenna abbia guadagno g e sia adattata in polarizzazione all’onda incidente.

1Si noti che, essendo i radiatori allineati lungo l’asse x, il diagramma di |F (θ, ϕ)|2 è rappresentato da unafigura di rivoluzione attorno a tale asse e pertanto la sua forma sul piano xz coincide con quella sul piano xy.


Datif = 300 MHzI1 = −1 AI2 = 2 AI3 = j 3 Ar = 10 kmg = −3 dBi

I1 I2 I3y

z

d1 d3


Problema 2.24Il vettore di radiazione di un’antenna trasmittente alla frequenza f è dato da

N⃗(ϑ, φ) = h Iin sin4 ϑ u⃗ϑ

dove h è una costante e Iin è la corrente d’ingresso all’antenna.Nel punto P = {r0, ϑ0, 0}, nella zona di radiazione dell’antenna, è posto un dipolo hertziano dilunghezza L, diretto secondo l’asse z.Assumendo di poter trascurare le perdite nel dipolo hertziano, determinare la tensione a vuotoai suoi capi quando la corrente d’ingresso all’antenna trasmittente è di 100 mA.

Dati: f = 1 GHz, h = 10 m, L = 1 cm, r0 = 50 m, ϑ0 = 30o.


Problema 2.25Il campo elettrico irraggiato da un’antenna trasmittente alla frequenza f , sul piano φ = 0, èdato da:

E⃗(r, ϑ, 0) = E0λ

re−jkr

(u⃗ϑ cosϑ+ u⃗φe

−j π2cosϑ

)Due dipoli hertziani identici, di lunghezza L ed efficienza di radiazione ξ, sono posti rispettiva-mente nei punti P1 = {r1, ϑ1, 0} e P2 = {r2, ϑ2, 0}. Determinare quale deve essere l’orientamentodi ciascun dipolo affinchè la potenza ricevuta dal carico adattato ad esso collegato sia massimae calcolare il valore di tali potenze.

Dati: f = 100 MHz, E0 = 10 V/m, L = 5 cm, ξ = 0.7, r1 = r2 = 1 km, ϑ1 = 0, ϑ2 = π/2.


Problema 2.26Un’onda piana uniforme alla frequenza f si propaga nel vuoto ed è descritta, nel sistema diriferimento cartesiano mostrato in figura, come:


E⃗ = E0 (cos θ u⃗x + j u⃗y + sin θ u⃗z) e−j k0 u⃗·r⃗

H⃗ =u⃗× E⃗η0

dove u⃗ = u⃗x sin θ − u⃗z cos θ e tutti gli altri simboli hanno ilsignificato usuale.Determinare la densità di potenza trasportata dall’onda piana edescrivere la polarizzazione del campo elettrico ad essa associato.

z�

x�

u�

Supponendo inoltre che nell’origine del sistema di riferimento sia collocato un dipolo in mezz’on-da orientato secondo l’asse z (vedi figura), calcolare la potenza ricevuta da un carico adattatoad esso collegato.

Dati: f = 3 GHz, E0 = 1 V/m, θ = 45◦.


Problema 2.27Nella stazione A sono presenti tre antenne riceventi a spira, identiche, ma orientate in diversomodo: l’asse dell’antenna a) è verticale, l’asse dell’antenna b) è orizzontale, orientato in direzioneest-ovest, l’asse dell’antenna c) è orizzontale, orientato in direzione nord-sud.Il campo incidente sulle tre antenne, irraggiato dalla stazione B che si trova a nord di A, èassimilabile localmente ad un’onda piana uniforme, polarizzata verticalmente.Volendo ricevere il segnale trasmesso dalla stazione B, dire a quale delle tre antenne è convenientecollegare il ricevitore, motivando la risposta.Calcolare inoltre, in base ai dati forniti sulle antenne e sul campo incidente, l’intensità delletensioni a vuoto ai capi delle tre antenne.

Dati: frequenza: 300 kHz, raggio delle spire: 50 cm, numero di spire: 100, intensità del campoelettrico incidente: 1 mV/m.


Problema 2.28Determinare l’ampiezza e la polarizzazione del campo elettrico prodotto nel punto P dal se-midipolo mostrato in figura. Il suolo è assimilabile ad un conduttore perfetto, la potenza dialimentazione dell’antenna è P0 e la frequenza di lavoro è f . Nell’ipotesi che nel punto P vengaposto un dipolo hertziano in posizione verticale rispetto al suolo, calcolare la potenza ricevutada un carico adattato collegato al dipolo hertziano.


Datif = 100 MHzP0 = 75 Wh = 75 cmd = 15 km

P

d

h

suolo

Esercizio 2.29 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.29Una schiera di tre dipoli in mezz’onda, paralleli all’asse z ed equispaziati lungo l’asse y, èalimentata alla frequenza f con le correnti I1, I2 e I3. Calcolare la minima spaziatura d chepermette di ottenere il massimo di radiazione lungo l’asse y. Calcolare tale massimo di radiazionee la densità di potenza incidente su un’antenna ricevente posta lungo l’asse y alla distanza rdalla schiera. Calcolare infine la potenza ricevuta da un carico adattato collegato all’antennaricevente nell’ipotesi che tale antenna abbia guadagno g e sia adattata in polarizzazione all’ondaincidente.

Datif = 300 MHzI1 = j AI2 = 2 AI3 = -j Ar = 10 kmg = 0 dBi

z�

y�

d� d�

1� 2� 3�

Esercizio 2.30 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.30Determinare l’ampiezza e la polarizzazione del campo elettrico prodotto nel punto P dal semi-dipolo di lunghezza h, mostrato in figura, quando la corrente di alimentazione è I0 e la frequenzadi lavoro f . Il suolo è assimilabile ad un conduttore perfetto, la distanza tra il punto P ed ildipolo è d sul piano orizzontale e z sul piano verticale.Nell’ipotesi che nel punto P venga posto un dipolo hertziano di efficienza di radiazione ξ, de-terminare l’orientamento che tale dipolo deve avere affinché la potenza ricevuta da un caricoadattato ad esso collegato sia massima. Calcolare inoltre tale potenza ricevuta.


Datif = 10 MHzI0 = 5 Ah = 1.5 md = 10 kmz = 3 kmξ = 10 %

P

d

h

suolo

z


Problema 2.31Un’antenna trasmittente è composta da due dipoli hertziani di lunghezza l disposti come infigura, funzionanti alla frequenza f ed alimentati con le correnti di eccitazione rispettivamenteI1 ed I2. Determinare l’intensità e la polarizzazione del campo elettrico nel punto P = (0, 0, zP ).Supponendo di avere a disposizione come antenna ricevente una spira di raggio a, determinarel’orientamento dell’antenna ricevente che massimizza la potenza disponibile all’uscita dell’an-tenna stessa. Determinare inoltre il valore di tale potenza disponibile.

Datif = 3 GHzI1 = 1 AI2 = 1 Ad = 5 cml = 1 cmzP = 1 kma = 1 cm

d

P

I1

I2

x

y

z


Problema 2.32Da misure effettuate sul campo generato da un’antenna alimentata con la potenza Pt alla fre-quenza f , si sa che il campo elettrico irradiato nella direzione di massima intensità di radiazioneè polarizzato circolarmente e alla distanza d dall’antenna ha intensità E0.Determinare la potenza disponibile alla porta d’ingresso dell’antenna se dalla stessa direzione in-cide sull’antenna un campo elettromagnetico assimilabile localmente ad un’onda piana uniformeil cui campo elettrico, polarizzato linearmente, ha intensità Einc.

Dati: Pt = 50 mW, f = 1 GHz, d = 30 km, E0 = 1 mV/m, Einc = 1 mV/m.



Problema 2.33Un’antenna trasmittente, alla frequenza f ha sul piano orizzontale (piano xz) il diagramma diradiazione di cui in figura è riportata la parte significativa, con guadagno massimo gm nelladirezione dell’asse z. Il campo elettrico irradiato è polarizzato verticalmente (asse y). L’antennaè alimentata con una potenza Pt ed è usata per comunicare con una stazione mobile che usacome antenna ricevente un dipolo in mezz’onda verticale.Calcolare la massima e la minima potenza ricevuta da un carico adattato collegato all’antennaricevente, quando la stazione mobile si trova alla distanza d dall’antenna trasmittente nel settoreangolare compreso tra 0 e 45 gradi.

Datif = 2.4 GHzgm = 12 dBiPt = 10 Wd = 2.5 km

-2-4-6-8-10dB x

z


Problema 2.34Un ripetitore passivo è composto da una coppia di antenne identiche (indicate con a e b).Le antenne a riflettore parabolico, di diametro D ed efficienza d’apertura ξa, sono dispostecome in figura e collegate dalla linea di trasmissione A-B completamente adattata. Ciascunaantenna, se alimentata, irraggia un campo elettromagnetico polarizzato linearmente in direzioneperpendicolare al piano xy. Si vuole sapere l’intensità di radiazione nella direzione y quandosul ripetitore dalla direzione x incide un’onda localmente piana uniforme, di frequenza f , il cuicampo elettrico ha intesità E0 ed è polarizzato linearmente in direzione perpendicolare al pianoxy.Si assume che, in assenza del collegamento A-B tra le due antenne, l’intensità di radiazione nella direzione y sia

nulla.


Dati

D = 2 mξa = 0.7f = 2.5 GHzE0 = 10 mV/m A

B

x

y

antenna a

antenna b


Problema 2.35Determinare l’ampiezza e la polarizzazione del campo elettrico prodotto dal semidipolo mostratoin figura in un punto posto sul suolo alla distanza di 14 km, nell’ipotesi che la potenza dialimentazione dell’antenna sia 75 W e che il suolo sia assimilabile ad un conduttore perfetto.Nell’ipotesi che la frequenza sia di 100 MHz dire quale è la potenza che è possibile ricevere nelpunto suddetto usando come antenna ricevente un dipolo hertziano posto verticalmente rispettoal suolo.

suolo

l/4


Problema 2.36Un’antenna, usata in trasmissione alla frequenza f , dà un campo polarizzato linearmente in tuttele direzioni e ha guadagno massimo gmax nella direzione dell’asse z. Da una misura effettuataquando la potenza in ingresso all’antenna è Pt, si sa che il campo elettrico nel punto P0 =(r0, ϑ0, φ0) è pari a E0. Calcolare l’intensità di radiazione ed il guadagno dell’antenna nelladirezione (ϑ0, φ0). Calcolare inoltre la potenza disponibile sulla porta di un’antenna ricevente,uguale alla trasmittente, posta nel punto P0 ed orientata in modo da massimizzare tale potenza.

Dati: f = 2 GHz, gmax = 30 dBi, Pt = 1 W, r0 = 1 km, ϑ0 = 45o, φ0 = 45

o, E0 = 100 mV/m.


Esercizio 2.37 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.37Un collegamento in ponte radio su una tratta di lunghezza d alla frequenza f è realizzatoutilizzando sia in trasmissione che in ricezione due antenne paraboliche identiche. Determinareil diametro minimo dei paraboloidi sapendo che la potenza trasmessa è pari a Ptx e che la minimapotenza che deve essere ricevuta è pari a Prx. Si supponga che l’efficienza delle aperture sia paria ζ (indipendentemente dal diametro).

Dati: d = 30 km, f = 5 GHz, Ptx = 5 mW, Prx = 100 pW, ζ = 0.7.

Esercizio 2.38 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.38Determinare la distanza massima alla quale può essere realizzato un collegamento in ponte radioalla frequenza f utilizzando sia in trasmissione che in ricezione due antenne paraboliche identichedi diametro d ed efficienza di apertura ζ, sapendo che la potenza trasmessa è pari a Ptx e che laminima potenza che deve essere ricevuta è pari a Prx.

Dati: d = 1 m, f = 3 GHz, Ptx = 1 W, Prx = 100 nW, ζ = 0.7.

Esercizio 2.39 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.39Un collegamento in ponte radio alla frequenza f è realizzato utilizzando in trasmissione un’an-tenna con polarizzazione circolare e guadagno gtx ed in ricezione un dipolo in mezz’onda. De-terminare la massima distanza alla quale è possibile realizzare il collegamento sapendo che lapotenza trasmessa è Ptx e che la sensibilità del ricevitore è Prx.

Dati: f = 1.8 GHz; gtx = 25 dBi; Ptx = 60 W; Prx = 80 nW.

Esercizio 2.40 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.40Un’antenna a schiera funzionante alla frequenza f è costituita da tre spire di raggio a (piccolorispetto alla lunghezza d’onda) disposte come in figura. La schiera è posta sulla cima di unamontagna ad un’altezza h rispetto alla pianura. Le tre spire sono alimentate rispettivamentecon le correnti I1 = 0.5 I2 e

jφ, I2 ed I3 = 0.5 I2 e−jφ. Determinare l’intensità della corrente I2

e lo sfasamento reciproco φ in modo tale che la schiera generi un massimo di radiazione nelladirezione del punto P , distante r, e che l’intensità del campo elettrico incidente nel punto P siapari a E0. Dire quale deve essere l’orientamento di un dipolo in mezz’onda posto del punto P inmodo che la potenza disponibile alla sua uscita sia massima. Trascurando l’effetto del terreno,determinare inoltre il valore di tale potenza disponibile.

Dati: f = 600 MHz, a = 5 cm, d = 37.5 cm, h = 2000 m, r = 50 km, E0 = 10 mV/m


x

z

y

d

dI1

I2

I3

hr

P

z


Problema 2.41Un’antenna trasmittente è composta da tre dipoli hertziani di lunghezza l disposti come in figu-ra, funzionanti alla frequenza f ed alimentati con le correnti di eccitazione rispettivamente I1,I2 ed I3. Determinare l’intensità e la polarizzazione del campo elettrico nel punto P = (0, 0, zP ).Supponendo di avere a disposizione come antenna ricevente una spira di raggio a, determinarel’orientamento dell’antenna ricevente che massimizza la potenza disponibile all’uscita dell’an-tenna stessa. Determinare inoltre il valore di tale potenza disponibile.

Datif = 300 MHzI1 = 1 AI2 = 2 AI3 = -1 Ad = 25 cmzP = 10 kma = 5 cml = 10 cm

d

d

P

I1

I2

I3

x

y

z


Problema 2.42Si deve realizzare un collegamento alla frequenza f con una stazione ricevente posta alla distanzad che usa come antenna ricevente un dipolo risonante disposto verticalmente e il cui ricevitore,collegato all’antenna con una linea adattata, richiede in ingresso una potenza non inferiore aPmin. Si vogliono confrontare due soluzioni disponibili come antenna trasmittente:1) antenna a riflettore di efficienza ξ, raggio r, alimentata con un generatore di potenza Pt efunzionante in polarizzazione circolare2) schiera lineare uniforme di N dipoli risonanti disposti verticalmente, ciascuno alimentato con


una corrente di ampiezza I0Determinare se il collegamento può essere effettuato sia per caso 1 che per il caso 2. Nell’even-tualità che una soluzione non sia adatta, calcolare quale incremento di raggio (caso 1) o qualeincremento di numero di radiatori (caso 2) è necessario per realizzare il collegamento.

Dati: f = 3 GHz, Pmin = 1 nW, d = 20 km, ξ = 0.5, Pt = 10 W, I0 = 0.6 A, r = 75 cm, N =10.

Esercizio 2.43 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.43Il collegamento in ponte radio tra le stazioni A e B, distanti r avviene alla frequenza f1 da Averso B e alla frequenza f2 da B verso A. Le due stazioni impiegano due antenne parabolicheuguali di diametro d ed efficienza d’apertura ξ, che vengono utilizzate sia in trasmissione che inricezione. Sapendo che la potenza all’uscita dell’antenna ricevente sia alla stazione A che allastazione B deve essere non inferiore alla potenza minima Pr, determinare le potenze che devonoessere trasmesse dalle due stazioni.

Dati f1 = 15 GHz, f2 = 13 GHz, r = 35 km, Pr = 1 µW, d = 1 m, ξ = 0.7.

Esercizio 2.44 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.44Determinare la distanza massima alla quale può essere realizzato un collegamento tra una sta-zione di terra ed un satellite, nell’ipotesi che il ponte radio lavori alla frequenza f ed utilizzi siain trasmissione che in ricezione due antenne paraboliche identiche di diametro d ed efficienza diapertura ζ. La potenza trasmessa è pari a Ptx e la minima potenza che deve essere ricevuta èpari a Prx.

Dati: d = 2 m, f = 15 GHz, Ptx = 10 W, Prx = 10 nW, ζ = 0.75.

Esercizio 2.45 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.45Determinare la distanza massima alla quale può essere realizzato un collegamento tra una sta-zione di terra ed un satellite, nell’ipotesi che il ponte radio lavori in polarizzazione circolarealla frequenza f ed utilizzi in trasmissione un’antenna parabolica di diametro d1 ed in ricezioneun’antenna parabolica di diametro d2, entrambe con efficienza di apertura ζ. La potenza tra-smessa è pari a Ptx e la minima potenza che deve essere ricevuta è pari a Prx.

Datid1 = 15 md2 = 4 mf = 2 GHzPtx = 100 WPrx = 4.5 nWζ = 0.75


Esercizio 2.46 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.46Il collegamento in ponte radio tra le stazioni A e B, utilizza la frequenza f1 nel collegamento daA verso B, e la frequenza f2 da B verso A e avviene utilizzando il ripetitore passivo C

2 che sitrova alla distanza r1 da A e r2 da B.Le stazioni A e B impiegano apparati simili: le antenne a riflettore parabolico sono uguali, didiametro d1 ed efficienza d’apertura ξ1, i trasmettori sono in grado di fornire, ciascuno allapropria frequenza di lavoro, la potenza Pt e la potenza in ingresso ai ricevitori, ciascuno allapropria frequenza di lavoro, deve essere non inferiore Pr.Si chiede di determinare il diametro delle due antenne del ripetitore passivo, assumendo chesiano uguali e che la loro efficienza d’apertura sia ξ2.

Datif1 = 4 GHzf2 = 6 GHzr1 = 10 kmr2 = 12 kmPt = 10 WPr = 1 nWd1 = 2 mξ1 = 0.7ξ2 = 0.5

A B

C

r1 r2

Esercizio 2.47 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.47Un’antenna, alimentata alla frequenza f , dà un campo polarizzato linearmente in tutte le dire-zioni e ha guadagno massimo gmax nella direzione dell’asse x. Se l’antenna è alimentata con lapotenza Pt, l’intensità del campo elettrico nel punto P0, distante r0 dall’antenna nella direzionedell’asse y è E0. Calcolare l’intensità di radiazione ed il guadagno dell’antenna nella direzionedell’asse y. Calcolare inoltre la potenza disponibile sulla porta di un’antenna ricevente, ugualealla trasmittente, posta nel punto P0 ed orientata in modo da massimizzare tale potenza.

Dati: f = 2 GHz, gmax = 30 dBi, Pt = 1 W, r0 = 1 km, E0 = 2 mV/m.

Esercizio 2.48 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.48Un collegamento radio terra-satellite, realizzato in polarizzazione lineare alla frequenza f , uti-lizza nella stazione di terra un’antenna parabolica di diametro d1 ed efficienza d’apertura ζ1 e abordo del satellite un’antenna parabolica di diametro d2 ed efficienza di apertura ζ2. La potenzatrasmessa dalla stazione di terra è Ptx e la potenza in ingresso al ricevitore a bordo del satellite

2Un ripetitore passivo è un sistema costituito da due antenne, una ricevente e una trasmittente, in cui lapotenza in uscita dalla ricevente è inviata in ingresso alla trasmittente senza amplificazione.


deve essere non inferiore a Prx.Determinare la distanza massima alla quale è sicuramente realizzabile il collegamento conside-rando che a causa della propagazione nell’atmosfera ci può essere un’attenuazione pari a A e undisadattamento in polarizzazione pari all’angolo α.

Dati: f = 1 GHz, d1 = 12 m, d2 = 2 m, ζ1 = 0.75, ζ2 = 0.49, Ptx = 50 W, Prx = 70 nW, A =2 dB, α = 10 deg.

Esercizio 2.49 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.49Si sta progettando un collegamento in ponte radio terrestre tra le stazioni A e B, poste alladistanza d. Il collegamento verrà effettuato alla frequenza f in entrambe le direzioni, in po-larizzazione verticale da A a B e in polarizzazione orizzontale in verso opposto. Le stazioniutilizzeranno sia in trasmissione che in ricezione due antenne a riflettore uguali che alla frequen-za di lavoro hanno guadagno massimo gmax e il diagramma di radiazione, a simmetria assiale,riportato in figura.Sapendo che la potenza al ricevitore deve essere non inferiore a Pmin, determinare la potenzacon cui deve essere alimentata l’antenna trasmittente in condizioni ideali, considerando cioé leantenne perfettamente orientate, perfettamente adattate in polarizzazione e trascurando l’atte-nuazione atmosferica.Determinare inoltre quale deve essere la massima potenza in ingresso all’antenna trasmittentein condizioni operative, supponendo che, a causa dei fenomeni atmosferici, ci possa essere nelpeggiore dei casi un errore di puntamento di ciascuna antenna pari a ∆ e un’attenuazione totalenella propagazione pari ad A.

Datif = 12 GHzd = 35 kmPmin = 30 nWgmax = 40 dB∆ = 0.5 gradiA = 20 dB

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

dB

gradi

Esercizio 2.50 (Soluzione a pag. ??)Problema 2.50Si consideri un collegamento terrestre alla frequenza f tra una stazione fissa e una mobile. La


stazione fissa usa un’antenna che può ruotare attorno alla verticale in modo da poter puntare ilfascio in qualunque direzione del piano orizzontale; l’antenna ha guadagno massimo gmax e, sulpiano orizzontale, irradia un campo polarizzato verticalmente con il diagramma di radiazioneriportato in figura. La stazione mobile usa come antenna un dipolo risonante disposto vertical-mente. I ricevitori delle due stazioni richiedono in ingresso una potenza non inferiore a Pmin.Sapendo che la distanza massima trale due stazioni è d, determinare la mi-nima potenza in ingresso all’antennatrasmittente sufficiente a realizzare ilcollegamento, nell’ipotesi che l’anten-na della stazione fissa sia correttamentepuntata.Assumendo che la potenza in ingressoall’antenna trasmittente sia esattamen-te la potenza minima appena calcola-ta, determinare l’errore di puntamen-to ammissibile per realizzare il collega-mento nel caso la distanza tra le anten-ne è 0.9 d.

Dati

f = 100 MHzgmax = 12 dBPmin = 0.1 µWd = 30 km

0± 180

30150

-30-150

60120

-60-120

90

-90

il passo del reticolo è 1 dB in senso radiale e 5 gradi in senso

azimutale


Problema 2.51Un collegamento radio terra-satellite, realizzato in polarizzazione lineare alla frequenza f , uti-lizza per il satellite un’antenna parabolica di diametro d1 ed efficienza di apertura ζ1 e per lastazione di terra un’antenna parabolica di diametro d2 ed efficienza di apertura ζ2. La potenzatrasmessa dalla stazione di terra è Ptx e la potenza in ingresso al ricevitore a bordo del satellitedeve essere maggiore di Prx. Determinare la distanza massima alla quale può essere realizzatoil collegamento, considerando che a causa della propagazione nell’atmosfera e di possibili erroridi puntamento delle antenne ci possa essere un disadattamento in polarizzazione di un angolo αe un’attenuazione complessiva pari a A.

Dati: d1 = 1 m, d2 = 6 m, f = 2 GHz, ζ1 = 0.7, ζ2 = 0.9, Ptx = 1 kW, Prx = 50 nW, α = 5deg, A = 3 dB.



Problema 2.52Il collegamento in ponte radio terrestre dalla stazione A alla stazione B, distante d da A, com-prende due diversi canali (a) e (b), rispettivamente alle frequenze fa e fb. Ciascuna stazioneimpiega un’unica antenna parabolica per entrambi i canali, identica per entrambe le stazioni,con area di apertura S.I ricevitori impiegati per il canale (a) e per il canale (b) hanno la stessa sensibilità nominalePmin

3.Assumendo che l’efficienza d’apertura delle antenne abbia lo stesso valore ξA sia alla frequenzefa che alla frequenze fb, determinare la potenza minima che i trasmettitori per il canale (a) e ilcanale (b) devono fornire all’antenna, tenendo conto che, a causa dei fenomeni atmosferici, nellatratta si può avere un’attenuazione supplementare totale massima pari ad Atot.

Dati d = 20 km, fa = 10 GHz, fb = 12 GHz, Pmin = 200 pW, S = 0.1 m2, ξA = 0.7, Atot = 20

dB.


Problema 2.53Per realizzare la copertura con il servizio GSM (f = 900 MHz) all’interno di un tratto rettilineodi galleria, si utilizza un dipolo in mezza onda posto all’esterno della galleria (antenna 1) che“preleva il segnale, e un’antenna direttiva (antenna 2) che ritrasmette il segnale all’interno dellagalleria. Si suppone che le due antenne siano ad efficienza unitaria (ξ1 = ξ2 = 1). Il collegamentofra le due antenne avviene attraverso un cavo coassiale, con la possibilità di introdurre una am-plificazione G del segnale. Sull’antenna 1 incide un’onda polarizzata circolarmente, provenientedalla direzione indicata in figura (perpendicolare all’asse del dipolo) e che trasporta una densitàdi potenza Winc = 50 µW/m

2.

a) Si calcoli l’area efficace A1 dell’antenna 1.

b) Si calcoli il coefficiente di adattamento di polarizzazione τ1 dell’antenna 1.

c) Si calcoli la potenza P1 ricevuta dall’antenna 1.

d) Supponendo che un veicolo sia posto all’interno della galleria a 500 m dall’antenna 2 e cheessa abbia un guadagno g2 = 20 dB nella direzione del veicolo, determinare la potenza P2 chedeve essere ritrasmessa affinché la densità di potenza che investe il veicolo sia almeno Wauto =30 µW/m2.

e) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti c e d, calcolare il guadagno G dell’amplificatore checonsente di effettuare il collegamento, esprimendone il valore in dB.

3La sensibilità di un ricevitore è la minima potenza in ingresso che consente la corretta decodificazione delsegnale.


Winc

antenna 1

amplificatore

(guadagno G)antenna 2

500 m


Problema 2.54Il collegamento fra una stazione trasmittente e una stazione ricevente separate da una collinaè ottenuto mediante due tratte in ponte radio con una stazione intermedia che realizza unaconversione di frequenza e un’amplificazione del segnale, come mostrato in figura. La primatratta è lunga d1 = 44 km ed è realizzata alla frequenza f1 = 2.5 GHz, mentre la seconda trattaè lunga d2 = 32 km ed è realizzata alla frequenza f2 = 3 GHz, Sulle due tratte si utilizzanoantenne paraboliche a sezione circolare uguali, con efficienza d’apertura ζ = 0.72. La sensibilitàdei ricevitori (sia quello finale che quello della stazione intermedia) è di PRX1 = PRX2 = 100nW.

a) Sapendo che la potenza trasmessa è PTX1 = 1 W, si determini il diametro minimo D chedevono avere le antenne paraboliche affinché si possa avere il collegamento sulla prima tratta(stazione trasmittente–stazione intermedia).

b) utilizzando il valore di D precedentemente calcolato, si determini il valore PTX2 della potenzache deve essere trasmessa dalla stazione intermedia affinché abbia luogo il collegamento sullaseconda tratta;

c) sulla base del precedente risultato, si dica di quanto si deve amplificare il segnale nella stazioneintermedia per poter realizzare il collegamento, esprimendo il risultato in dB;

d) si proponga una o più modifiche da apportare al sistema per garantire il servizio anche nelcaso in cui si abbia un’attenuazione supplementare di 0.1 dB/Km dovuta a particolari condizionimeteorologiche.

stazione

ricevente

stazione intermedia

stazione

trasmittente

d2

d1

PTX1

PRX1 PTX2

PRX2

Appendice A

Sistema internazionale

A.1 Unità di misura

Grandezza Simbolo Nome Unità MKSA

lunghezza d, l metro m (unità fondamentale)

massa m chilogrammo kg (unità fondamentale)

tempo t secondo s (unità fondamentale)

corrente elettrica i Ampere A (unità fondamentale)

temperatura T Kelvin K (unità fondamentale)

frequenza f Hertz Hz = s−1

velocità v m· s−1

forza f Newton N = kg·m· s−2

energia U Joule J = N·m = kg·m2· s−2

carica elettrica q Coulomb C = A· spotenziale elettrico Volt V = J·C−1

potenza Q, P , S Watt W = J· s−1 = A·Vcapacità C Farad F = C·V−1 = J·V−2

induttanza L Henry H = T·m2·A−1

impedenza Z Ohm Ω = V·A−1 = V2· J−1· s−1

ammettenza Y Siemens S = A·V−1 = J· s·V−2

permittività elettrica ϵ F·m−1

permeabilità magnetica µ H·m−1

conducibilità elettrica σ S·m−1

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A.2 Valore di alcune costanti fisiche

Costante fisica Simbolo Valore

Velocità della luce c 2.998 · 108 m/s ≈ 3·108 m/sCarica dell’elettrone qe 1.6 · 10−19 CMassa dell’elettrone me 9.1 · 10−31 kgMassa del protone mp 1.67 · 10−27 kg (mp=1837me)

Permeabilità magnetica del vuoto µ0 4π · 10−7 H/mPermittività elettrica del vuoto ϵ0 8.85 · 10−12 F/m ≈ 136π · 10

−9 F/m

A.3 Prefissi per multipli e sottomultipli

Nome Simbolo Valore

femto f 10−15

pico p 10−12

nano n 10−9

micro µ 10−6

milli m 10−3

centi c 10−2

deci d 10−1

deca da 101

etto h 102

chilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

campi elettromagnetici e circuiti { propagazione...

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