campi elettromagnetici rapidamente variabili · quest’ultimi si suddividono ulteriormente in...

CAMPI ELETTROMAGNETICI RAPIDAMENTE 1 VARIABILI

di Antonio Covello

James Clerk Maxwell (1831-1879) nacque lrsquoanno in cui Faraday scoprigrave la legge dellrsquoinduzione e-lettromagnetica e morigrave lrsquoanno in cui nacque Einstein quasi a rappresentare anche anagraficamente lrsquoanello di congiunzione fra le intuizioni e le ricerche speri-mentali di Faraday che Maxwell tradusse in linguag-gio matematico e la Relativitagrave Ristretta di Einstein che proprio dal lavoro di Maxwell prese origine

Il sistema di quattro equazioni che Maxwell e-laborograve dal 1864 al 1873 costituisce lrsquounificazione fra lrsquoelettricitagrave il magnetismo e lrsquoottica fino ad allora ritenuti indipendenti Il legame fra queste equazioni e lrsquoottica si puograve evincere dal fatto che queste equazioni prevedono lrsquoesistenza del-le onde elettromagnetiche con una velocitagrave di propagazione pari a quella della luce Lrsquoimportanza della teoria di Maxwell si puograve comprendere anche conside-rando che i moderni sistemi di comunicazione si basano sulle suddette equazio-ni Possiamo perciograve affermare che lrsquoopera di Maxwell gioca nellrsquoelettromagneti-smo un ruolo pari a quello dellrsquoopera di Newton in meccanica

J C Maxwell M Faraday (1791-1867)

Non sembri strano ma la teoria di Maxwell nacque da concetti dellrsquoidro-dinamica e della fisica dei corpi elastici

2 applicati allrsquoottica allora vista come un fenomeno elastico Per convincersene basterebbe osservare che la matematica usata egrave connessa con quella utilizzata dagli studiosi di elasticitagrave e di idrodinami-ca (si pensi ad es al concetto di flusso) Per tale ragione in un primo tempo non si notograve il legame fra la teoria di Maxwell con lrsquoallora nascente tecnologia delle trasmissioni elettriche (la teoria delle oscillazioni elettriche in un circuito la ela-borograve Kelvin nel 1866) Hertz fu uno dei primi con Augusto Righi a cogliere e fondere questi due aspetti sperimentalmente

A Einstein (1879-1955)

Per concludere queste quattro equazioni assieme alle definizioni operative 3 dei campi elettrici

e magnetici possono essere assunte come postulati da cui ricavare e risolvere con piugrave o meno comples-se elaborazioni matematiche tutte le proprietagrave e i problemi dellrsquoelettromagnetismo 1 Sappiamo che - scolasticamente - si incomincia con lo studio dei fenomeni elettrici e magnetici costanti nel tempo poi si

trattano quelli non stazionari Questrsquoultimi si suddividono ulteriormente in fenomeni lentamente variabili e rapidamente variabili Anche se non puograve esserci una divisione netta nei primi le grandezze in gioco variano in intervalli non inferiori a 10-4 s nei secondi i tempi sono piugrave brevi di 10-4 s

2 Maxwell era un fautore del progresso della fisica mediante analogie con altre branche di essa stessa 3 Egrave bene ricordare che queste due definizioni operative sono ƒ = qE e la forza di Lorentz ƒ = qvtimesB Molti testi indicano co-

me forza di Lorentz ƒ = q(E +vtimesB) Operative nel senso che indicano un modo per determinare E e B misurando la forza con la quale agiscono su una carica q (Il neretto indica che stiamo parlando di grandezze fisiche vettoriali)

A Covello campi elettromagnetici rapidamente variabili

LE EQUAZIONI DI MAXWELL

Prima di scrivere brevemente sulle equazioni di Maxwell egrave bene ricordare che tre di queste equazioni sono riformulazioni delle ricerche eseguite da Coulomb Gauss Oersted Ampegravere Faraday Neumann Lenz ecc La quarta equazione invece introdu-ce la felice ipotesi di Maxwell della corrente di spostamento Riporteremo le equazioni in una forma matematica ben diversa da quella opportuna per ulteriori sviluppi

I EQUAZIONE Il Trattato di

Maxwell La prima equazione di Maxwell consegue dalla legge di Coulomb ed egrave formulata ricorrendo alla

formula (o teorema) di Gauss 4

( )S0

qEεΣ

Φ = ldquoil flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa

5 S egrave pari alla somma algebrica delle cariche contenute nella superficie stessa diviso la costante dielettricardquo Questo presupposto reca in seacute sia il principio di conservazione della carica sia la condizione secondo cui le linee di forza del campo elettrostatico debbono iniziare e terminare su cariche elettriche II EQUAZIONE

La seconda equazione di Maxwell contiene la differenza tra il campo elettrico e magnetico In-

fatti sempre ricorrendo alla formula di Gauss si ha

( )S B 0Φ = ldquoil flusso del campo magnetico uscente da una superficie chiusa S egrave nullordquo Ciograve significa che le linee di forza uscenti da una superficie chiusa sono pari alle linee di forza entranti nella stessa superficie In altre parole non esistono poli magnetici singoli (monopoli) III EQUAZIONE

La terza legge di Maxwell scaturisce dalla legge dellrsquoinduzione di Faraday-Neumann-Lenz

6

( ) ( )∆Φ BC E

∆tΓ = minus 4 La formula di Gauss egrave applicabile a qualsiasi campo vettoriale Applicata al campo elettrico E costituisce la prima equazio-

ne di Maxwell 5 Quando si dice superficie chiusa si deve intendere una superficie tridimensionale che divide lo spazio fra un dentro ed un

fuori Una superficie bidimensionale lo spazio lo divide ad es fra destra e sinistra 6 Tale legge afferma ldquoun flusso magnetico variabile nel tempo genera una fem indotta di verso tale da generare effetti che tendono ad opporsi

alla variazione del flusso magnetico variabile che lrsquoha generatardquo

2


e stabilisce che ldquoun flusso magnetico variabile nel tempo genera un campo elettricordquo Si ricordi che le linee di forza di questo campo elettrico sono concentriche e concatenate alle linee di forza del campo magnetico IV EQUAZIONE

Se un campo magnetico variabile genera un campo elettrico per simmetria la variazione di un

campo elettrico dovrebbe generare un campo magnetico La quarta equazione di Maxwell afferma ciograve Se unrsquoipotesi di simmetria suggerisce una possibilitagrave una considerazione basata sulla legge della

circuitazione di Ampegravere ci aiuteragrave a evidenziare una seria incongruenza

PARADOSSO 7 DELLA LEGGE DI AMPEgraveRE

Dato il circuito in fig 1

I

V

R

C

C condensatore R resistenza V d d p I interruttore

Fig 1

Consideriamo il tratto di esso in cui si trova il condensatore di capacitagrave C Applicando la legge di Am-pegravere nel caso della fig 2 (in cui Γ egrave il bordo della superficie Srsquo) otteniamo

( ) 0C B micro iΓ =

C CSrsquo

Γ

Fig 2 Fig 3 Se consideriamo invece la superficie Srsquo interna al condensatore fig 3 allora

( )C B 0Γ = 7 Paradosso [da paraacute-accanto e doacutexa-opinione] 1) Giudizio diverso da quello generalmente osservato 2) Sorprendente dedu-

zione da certe assunzioni 3) Risultato a prima vista incredibile ma corretto una volta sottoposto ad analisi piugrave adeguate Dal punto di vista etimologico paradosso egrave ciograve che sembra assurdo se ci si ferma ad un livello superficiale di analisi senza raggiungere il senso profondo la veritagrave profonda delle cose va al di lagrave παρά della opinione comune δόξα Non ricordo chi af-fermograve che laquoun paradosso egrave una veritagrave che giunge con molti anni di anticiporaquo

3


Consideriamo ora una figura tridimensionale composta dalla superficie piana Srsquo e da unrsquoaltra non piana Srdquo avente come base Srsquo ovvero lo stesso bordo Γ fig 4 e sistemiamola nel modo rappresentato in fig 5 con Srdquo contenente una delle armature del condensatore Srdquo Srsquo

Γ

Fig 5 Fig 4 dalla legge di Ampegravere otteniamo CΓ(B) = 0 considerando Γ contorno di Srdquo CΓ(B) = micro0i considerando Γ contorno di Srsquo Quindi la circuitazione dellrsquoinduzione magnetica assume valori diversi pur riferendosi al-la concatenazione con uno stesso percorso chiuso il paradosso egrave evidente e ciograve indica che crsquoegrave qualcosa da rivedere

CORRENTE DI SPOSTAMENTO (calcoli facoltativi)

Ritorniamo al circuito di fig 1 Una volta chiuso fra le armature del condensatore vi saragrave un

campo elettrico

V ddp d distanza fra le armature E

Vd

=

ovvero sulle armature ci saragrave una carica

=q CV CEd =

C e d sono costanti a variare nel tempo sono solo q ed E Quindi

q E Cd t ∆t

∆ ∆=

∆ Ricordando che C = ε0(Sd) [S area delle armature] e che ∆q∆t egrave una corrente i otteniamo

0∆Ei ε S ∆t

= che diventa essendo S∆E = ∆ΦS(E)

8

S0

Φ (E)i ε ∆t

∆=

8 ΦS(E)=E S se E e S sono perpendicolari ΦS(E)=ES

4


Supponendo che quando varia E una corrente pari a i = ε0∆ΦS(E)∆t attraversa il condensatore avremo un flusso continuo9 di corrente che circola nellrsquointero circuito Si comprende percheacute una corrente alter-nata percorre un circuito contenente un conduttore fra le armature E cambia continuamente e ciograve pro-duce una corrente fluente attraverso esse

Maxwell chiamograve ε0∆ΦS(E)∆t corrente di spostamento is Egli introdusse questa corrente come un ldquoartificio matematicordquo affincheacute comunque scelta la superficie concatenata col circuito il risultato del calcolo della circuitazione lungo un percorso concatenato fosse univoco Infatti se invece della sola corrente di conduzione che attraversa il circuito si introduce questa corrente addizionale di spostamen-to numericamente is egrave uguale a i si ottiene la IV equazione di Maxwell

( ) S0 0 0

Φ (E)C B micro i micro ε∆tΓ

∆= +

o anche

( ) ( )0 sC B micro i i Γ = +

La IV legge di Maxwell puograve essere anche enunciata cosigrave ldquoun campo elettrico variabile egrave equivalente ad una corrente elettrica - la corrente di spostamento - la quale come tutte le correnti produce un campo magneticordquo 10

Si badi che i esiste solo nel circuito ma non nel condensatore Viceversa is Aggiungere is non si-gnifica che nel circuito circola una corrente maggiore ma solo che ligrave dove il circuito egrave interrotto da un condensatore la corrente prosegue in unrsquoaltra natura Fu proprio il porsi la domanda su quale fosse questa natura che fece prevedere e capire la propagazione delle onde elettromagnetiche

LE ONDE ELETTROMAGNETICHE

Le considerazioni seguenti si deducono tutte dalle equazioni di Maxwell mediante opportune elabo-razioni matematiche bull Se un campo elettrico variabile muovendosi nello spazio genera un campo magnetico anchrsquoesso va-

riabile a sua volta questo genereragrave un campo elettrico variabile che a sua volta genereragrave un campo magnetico variabile e cosigrave via Quindi anche in regioni senza cariche elettriche o senza una corrente di conduzione puograve esserci unrsquoonda elettromagnetica

P

bull Le onde elettromagnetiche trasp 9 Non una corrente continua 10 Questo nuovo effetto drsquoinduzione per

la nota 3) i cambiamenti devono avvenAltrimenti uno sperimentatore attento

11 Densitagrave di energia del campo elettrico

ropagazione di unrsquoonda elettromagnetica

ortano lrsquoenergia dei campi elettrici e magnetici 11 attraverso lo spazio

essere visto ha bisogno di campi rapidamente variabili (cfr lrsquoesperimento di Hertz e ire in tempi confrontabili con quello impiegato dalla luce ad attraversare lrsquoapparato come Faraday si sarebbe accorto di questo nuovo genere drsquoinduzione ε0E22 Del campo magnetico B22micro0

5


bull Le onde elettromagnetiche nel vuoto sono trasversali 12

bull I campi elettrici e magnetici sono perpendicolari fra loro ed entrambi sono perpendicolari alla dire-zione di propagazione

λ

y

z

E

x

cBλ

y

z

E

x

cB

= =

0 0

1 kc 299 792 smicro εmbull Le onde elettromagnetiche nel vuoto si propagano con una velocitagrave

13 bull Le onde elettromagnetiche sono distinte in base alla frequenza ν ed alla lunghezza drsquoonda

14 λ E-siste la relazione λmiddotν = c

ESPERIMENTO DI HERTZ

Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) dopo dieci anni di continue ricerche riu-scigrave nel 1887 a confermare lrsquoesistenza delle onde elettromagnetiche

Egrave noto che fra le armature di un conduttore vi egrave un campo elettrico Ma tale campo egrave limitato allo spazio fra le armature Immaginiamo di divaricare sempre piugrave le armature come descritto nella fig 6

H R Hertz

~ ~ ~~ ~ ~ ~~Fig 6

Si desume che lo spazio in cui esiste il campo elettrico aumenta al crescere della distanza fra le armatu-re Quando il condensatore egrave diventato completamente aperto siamo nelle condizioni di massima irra-diazione nello spazio circostante Se questo campo oscilla ovvero la corrente egrave alternata

15 e le equazio-ni di Maxwell sono giuste tale oscillazione si propagheragrave in tutto lo spazio 12 Onde la cui oscillazione avviene in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione in quelle longitudinali lrsquooscilla-

zione egrave parallela alla direzione di propagazione e sono quindi onde di compressione le onde elettromagnetiche potendosi propagare nel vuoto non hanno nulla da poter comprimere quindihellip

Si ricordi che le onde in generale non sono uno spostamento definitivo della materia da un punto precedentemente occu-pato ad un altro ma costituiscono un trasporto di energia sulla materia che attraversano provocano solo unrsquooscillazione

13 Si usa universalmente c per indicare la velocitagrave delle onde elettromagnetiche dalla lettera iniziale della parola latina celeritas 14 Frequenza numero di oscillazioni di B ed E in un secondo Lunghezza drsquoonda distanza fra due creste dellrsquoonda 15 Una carica possiede un campo elettrico se questa carica accelera il suo campo elettrico varieragrave Se questa carica egrave sottopo-

sta a continue oscillazioni egrave pacifico che il suo campo elettrico varieragrave continuamente e quindi dovragrave seguire la IV equa-zione di Maxwell Egrave proprio questo continuo ldquoandirivienirdquo che genera le onde elettromagnetiche

6


Hertz costruigrave un apparato - oscillatore di Hertz riprodotto in basso - che amplifica tale effetto

R

P2P1

L L A B

a b bull A e B sfere in ottone di 30 cm i cui centri distano 150 cm

bull a e b sferette in ottone di 3 cm a distanza di pochi mm bull L aste metalliche spesse 5 mm bull P1 e P2 poli del secondario di un rocchetto di Ruhmkorff R

Il rocchetto di Ruhmkorff (fig in basso) egrave un trasformatore Esso egrave composto da due circuiti in mutua induzione un prin-cipale (ad es connesso alla rete) ed un secondario che forni-sce impulsi ad alta tensione

H D Ruhmkorff(1803-1877)

Quando tale apparecchio si carica ad una tensione elevata scoccano scintille fra a e b Secondo la teoria di Maxwell lrsquoalternarsi di positivo e negativo fra a e b (ovvero fra A e B) egrave comunicato allo spazio circostante come indicato nella fig 6 e schematizzato in fig 7 con le linee rosse poste a rappresentare il campo elettrico e quelle blu il campo magnetico Un apparato con le caratteristiche summenzionate a-vrebbe generato onde con una lunghezza drsquoonda λ di circa 3m (radioonde o onde hertziane)

A BA B

Se questa prop

Hertz costruigrave un risonadalle onde elettromagnanello aperto ha una stanza minore del mill

Fig7 Le frecce cambiano continuamente verso sincronicamente col segno di carica delle sfere A e B

agazione ondosa delle oscillazioni esiste devrsquoessere possibile rivelarla Per far ciograve tore (fig 8 nella pagina seguente) Ovvero un circuito capace di essere stimolato etiche che lo irradiano Il risonatore di Hertz egrave un conduttore di rame forgiato ad

circonferenza di 150 cm con alle estremitagrave due palline di qualche millimetro a di-imetro

7


Lrsquoapparato sperimentale di Hertz conservato presso il Deutsches Museum Muumlnchen

z

Esplorando col risonatore lo spazio intorno allrsquooscillatore fig 9 Hertz osservograve lo scoccare di

scintille fra le sferette del risonatore - contemporaneamente e con la stessa frequenza delle scintille fra a e b - ed in particolare notograve come lrsquointensitagrave delle scintille del risonatore dipendesse dalla posizione e dallrsquoorientazione del risonatore Proprio come ci si aspettava da una propagazione ondosa

A B C DA B C D

Fig 9 Per come si combinano nello spazio il campo elettrico e magnetico il risonatore nella disposizione A riprodurragrave

una scintilla drsquointensitagrave massima media in B e C non si osserveragrave in D

Quindi - possiamo concludere - come le correnti elettriche sono energia elettrica che si propaga attra-verso i conduttori cosigrave le radioonde sono energia elettrica che si diffonde nello spazio sotto forma di onde elettromagnetiche

B

A

C

D

Fig 8 Risonatore di Hert

Veduta drsquoassieme della strumentazione per lrsquoesperienza di Hertz A Risonatore B Oscillatore C Rocchetto di Rumhkorff D generatore di tensione continua

8


LE EQUAZIONI DI MAXWELL

Prima di scrivere brevemente sulle equazioni di Maxwell egrave bene ricordare che tre di queste equazioni sono riformulazioni delle ricerche eseguite da Coulomb Gauss Oersted Ampegravere Faraday Neumann Lenz ecc La quarta equazione invece introdu-ce la felice ipotesi di Maxwell della corrente di spostamento Riporteremo le equazioni in una forma matematica ben diversa da quella opportuna per ulteriori sviluppi

I EQUAZIONE Il Trattato di

Maxwell La prima equazione di Maxwell consegue dalla legge di Coulomb ed egrave formulata ricorrendo alla

formula (o teorema) di Gauss 4

( )S0

qEεΣ

Φ = ldquoil flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa

5 S egrave pari alla somma algebrica delle cariche contenute nella superficie stessa diviso la costante dielettricardquo Questo presupposto reca in seacute sia il principio di conservazione della carica sia la condizione secondo cui le linee di forza del campo elettrostatico debbono iniziare e terminare su cariche elettriche II EQUAZIONE

La seconda equazione di Maxwell contiene la differenza tra il campo elettrico e magnetico In-

fatti sempre ricorrendo alla formula di Gauss si ha

( )S B 0Φ = ldquoil flusso del campo magnetico uscente da una superficie chiusa S egrave nullordquo Ciograve significa che le linee di forza uscenti da una superficie chiusa sono pari alle linee di forza entranti nella stessa superficie In altre parole non esistono poli magnetici singoli (monopoli) III EQUAZIONE

La terza legge di Maxwell scaturisce dalla legge dellrsquoinduzione di Faraday-Neumann-Lenz

6

( ) ( )∆Φ BC E

∆tΓ = minus 4 La formula di Gauss egrave applicabile a qualsiasi campo vettoriale Applicata al campo elettrico E costituisce la prima equazio-

ne di Maxwell 5 Quando si dice superficie chiusa si deve intendere una superficie tridimensionale che divide lo spazio fra un dentro ed un

fuori Una superficie bidimensionale lo spazio lo divide ad es fra destra e sinistra 6 Tale legge afferma ldquoun flusso magnetico variabile nel tempo genera una fem indotta di verso tale da generare effetti che tendono ad opporsi

alla variazione del flusso magnetico variabile che lrsquoha generatardquo

2








I

V

R

C


Fig 1



C CSrsquo

Γ




3



Γ




campo elettrico


Vd

=


=q CV CEd =


q E Cd t ∆t

∆ ∆=


0∆Ei ε S ∆t


8

S0

Φ (E)i ε ∆t

∆=


4




( ) S0 0 0


∆= +

o anche

( ) ( )0 sC B micro i i Γ = +






P







5




λ

y

z

E

x

cBλ

y

z

E

x

cB

= =

0 0







H R Hertz

~ ~ ~~ ~ ~ ~~Fig 6







6



R

P2P1

L L A B






A BA B

Se questa prop





7



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8








I

V

R

C


Fig 1



C CSrsquo

Γ




3



Γ




campo elettrico


Vd

=


=q CV CEd =


q E Cd t ∆t

∆ ∆=


0∆Ei ε S ∆t


8

S0

Φ (E)i ε ∆t

∆=


4




( ) S0 0 0


∆= +

o anche

( ) ( )0 sC B micro i i Γ = +






P







5




λ

y

z

E

x

cBλ

y

z

E

x

cB

= =

0 0







H R Hertz

~ ~ ~~ ~ ~ ~~Fig 6







6



R

P2P1

L L A B






A BA B

Se questa prop





7



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8



Γ




campo elettrico


Vd

=


=q CV CEd =


q E Cd t ∆t

∆ ∆=


0∆Ei ε S ∆t


8

S0

Φ (E)i ε ∆t

∆=


4




( ) S0 0 0


∆= +

o anche

( ) ( )0 sC B micro i i Γ = +






P







5




λ

y

z

E

x

cBλ

y

z

E

x

cB

= =

0 0







H R Hertz

~ ~ ~~ ~ ~ ~~Fig 6







6



R

P2P1

L L A B






A BA B

Se questa prop





7



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8




( ) S0 0 0


∆= +

o anche

( ) ( )0 sC B micro i i Γ = +






P







5




λ

y

z

E

x

cBλ

y

z

E

x

cB

= =

0 0







H R Hertz

~ ~ ~~ ~ ~ ~~Fig 6







6



R

P2P1

L L A B






A BA B

Se questa prop





7



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8




λ

y

z

E

x

cBλ

y

z

E

x

cB

= =

0 0







H R Hertz

~ ~ ~~ ~ ~ ~~Fig 6







6



R

P2P1

L L A B






A BA B

Se questa prop





7



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8



R

P2P1

L L A B






A BA B

Se questa prop





7



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8



z



A B C DA B C D




B

A

C

D



8

campi elettromagnetici rapidamente variabili · quest’ultimi si suddividono ulteriormente in...

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