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Andrea Zucchini
Liceo Scientifico E. Fermi
Bologna
Campi magnetici generati da correnti
Andrea Zucchini
Liceo Scientifico E. Fermi
Bologna
Andrea Zucchini
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Bologna
Campo magnetico generato nel punto r dal filo percorso da corrente i
( )2
0 sin4 r
sdiBd
θπµ ⋅⋅
=rr
AmT 104 7
0 ⋅⋅= −πµ
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Legge di Biot-Savart
30
4 rrsdiBdrrr ×
⋅=πµ
∫∫×
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
ll rrsdiBdB 3
0
4
rrrr
πµ
La curva l rappresenta la geometria del filo
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Campo magnetico attorno ad un filo
• Il filo percorso da corrente è circondato da campo magnetico
• Il campo è più forte vicino al filo e diminuisce allontanandosi dal filo
• L’orientamento del campo magnetico segue la regola della mano destra
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Regola della mano destra• Prendete il filo
ponendo il pollice nella direzione della corrente
• Chiudete la mano• Le 4 dita indicheranno
l’orientamento delle linee del campo magnetico concentriche al filo
Campo entrante
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Campo magnetico attorno ad un filo rettilineo infinitamente lungo percorso da corrente continua
∫∫×
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
ll rrsdiBdB 3
0
4
rrrr
πµ
diB
πµ2
0=r
30
4 rrsdiBdrrr ×
⋅=πµ
43421
r
θ
πµ
cos
22220
4 dxd
dxdxiBd
++⋅=
( ) cdxd
xdxdx ++
=+∫−
22223
22
( ) 202
3220 2
44 diddxdxidB ⋅=+⋅= ∫
+∞
∞−
−
πµ
πµr
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= θπθ
2sincos
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Campo magnetico al centro di una spira percorsa da corrente
∫∫×
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
ll rrsdiBdB 3
0
4
rrrr
πµ
20
4 rrdiBd θ
πµ
⋅=r
∫⋅=π θ
πµ 2
02
0
4 rrdiB
r
riB
20µ=
r
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Campo magnetico sull’asse di una spira percorsa da corrente
∫∫×
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
ll rrsdiBdB 3
0
4
rrrr
πµ
( )
22
cos
220
4 xRRd
xRRiBd
+⋅
+⋅=
θπµ
α43421
r
( ) ∫∫−
+⋅=+
⋅+
⋅=ππ
θπµθ
πµ 2
0
23
22202
02222
0
44dxRRi
xRRd
xRRiB
r
( ) 23
2220
2−
+⋅= xRRiB µr
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Esperienza di Oerstedinterazione corrente – ago magnetico
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Esperienza di Faradayinterazione campo magnetico – filo percorso da corrente
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Esperienza di Ampereinterazione coppia di fili percorsi da corrente
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ldiikF 21=
27
0 AN104 −×= πµ
πµ2
0=k
27
AN102 −×=k
ldiiF 210
2πµ
=
Definizione dell’AmpereDati due fili percorsi da corrente, la forza con cui interagiscono è data dalla relazione
e ponendo
(permeabilità magnetica del vuoto)avrò
e quindi infine
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Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico
BliFrrr
×=
ldiiF 210
2πµ
=
21 BliFrrr
=
2Br
Considero due fili percorsi da corrente e utilizzando le relazioni
e
mi riprometto di dare una relazione che mi consenta di valutare il campo magnetico prodotto all’intorno di un filo percorso da corrente.Avrò per il filo 1
dove
esprime il campo magnetico generato dal filo 2
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ldiiF 210
2πµ
=
ldiiBli 210
21 2πµ
=rr
diB 20
2 2πµ
=r
diB
πµ2
0=r
Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magneticoD’altra parte la forza i interazione fra i due fili sarà
quindi si dovrà avere
da cui semplificando
o in generale il modulo del campo magnetico a distanza d all’intorno di un filo percorso da corrente i sarà
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ar
l
ilr
∆
ilr
∆
iar
ii larr ∆⋅
CircuitazioneConsidero un campo vettoriale
e una curva chiusa
stabilisco un verso di percorrenza di che assumo indicare il verso positivo delle tangenti.Suddivido la curva chiusa in n segmenti , orientati come indicato dal verso positivo della curva chiusa
per ogni
considero il corrispondente vettore
calcolo il prodotto scalare
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ar
l
( ) ∑=
∆⋅=Γn
iii laa
1
rrr
( ) ∫∑ ⋅=∆⋅=Γ=∞→ l
n
iii
nldalaarrrrr
1lim
Si dice circuitazione del campo vettoriale sulla curva chiusa orientata
la sommatoria
Al solito per il calcolo esatto della circuitazione si dovrebbe passare al limite per una suddivisione in infiniti segmenti
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( ) iddildBB 0
0 22
µππµ
===Γ ∫rrr
( ) ∑∑∫ ===Γk
kk
k iildBB 00 µµrrr
( ) 0=Φ BS
r
Pur dovendo essere maggiormente approfondito, consideriamo la circuitazione del campo magnetico attorno al filo, calcolata sulla circonferenza di raggio dSi avrà
Se all’interno della circonferenza passano più fili percorsi da corrente si avrà
Questa relazione va sotto il nome di teorema di AmpereEsiste un analogo del teorema di Gauss per il campo magnetico e ci dice che
come conseguenza dell’assenza delle cariche magnetiche.
Teorema di Ampere
Teorema di Gauss per il campo magnetico
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Campo magnetico all’interno di un conduttore percorso da corrente i
( ) ∑∑∫ ===Γk
kk
k iildBB 00 µµrrr
2
2
02RrirB
ππµπ =
r
rRiB 20 2π
µ=r
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Solenoide
( ) ∑∑∫ ===Γk
kk
k iildBB 00 µµrrr
( ) inhihBBk
k 00 µµ ===Γ ∑rr
inhhB 0µ=r
inB 0µ=r
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Toroide o Toro
( ) ∑∑∫ ===Γk
kk
k iildBB 00 µµrrr
( ) NiirBBk
k 002 µµπ ===Γ ∑rr
rNiB
πµ2
0=r
Nel toro il campo non è uniforme ma diminuisce all’aumentare del raggio