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Campi magnetici nella materia 30 ottobre 2012 Campo B nella materia Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dell’elettrone Teorema di Larmor Momento magnetico atomico indotto e permanente Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo Intensità di magnetizzazione M, campo H Eqq. di Maxwell nella materia Campi sulla superficie di separazione tra due materiali Campi B e H in un magnete permanente e in un elettromagnete

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Page 1: Campi magnetici nella materia 30 ottobre 2012 Campo B nella materia Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dellelettrone

Campi magnetici nella materia30 ottobre 2012

Campo B nella materia

Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère

Momenti angolari e magnetici dell’elettrone

Teorema di Larmor

Momento magnetico atomico indotto e permanente

Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo

Intensità di magnetizzazione M, campo H

Eqq. di Maxwell nella materia

Campi sulla superficie di separazione tra due materiali

Campi B e H in un magnete permanente e in un elettromagnete

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Campo B nella materia

• Consideriamo un circuito percorso da corrente nel vuoto, che generi un campo induzione magnetica B0(r)

• Il circuito venga poi “immerso” in una sostanza, che supporremo per semplicità omogenea e isotropa, il campo induzione magnetica generato sia ora B(r)

• Il rapporto è una grandezza adimensionale detta permeabilità magnetica relativa (al vuoto) della sostanza considerata

• Se la sostanza è omogenea r è uno scalare uniforme nello spazio, altrimenti dipende dalla posizione spaziale r(r)

• Se la sostanza non è isotropa r non è uno scalare ma un tensore

rBB 0

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Permeabilità magnetica

• Si introduce anche la grandezza detta permeabilità magnetica della sostanza considerata, avente le stesse dimensioni fisiche della permeabilità del vuoto 0

0 r

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4

Campo B nella materia

• Il campo B si può infatti calcolare per mezzo della prima formula di Laplace, sostituendo 0 con

• Inoltre la forza che tale campo esercita su un circuito immerso in esso si trova introducendo tale campo nella seconda formula di Laplace

34 r

rldiB

BldiF

• A parità di circuiti elettrici e correnti che li percorrono, la presenza di un mezzo altera il valore del campo da essi generato

• Se il mezzo è omogeneo, isotropo e riempie tutto lo spazio, tale variazione è assai semplice

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Magnetizzazione

• La presenza del mezzo provoca una variazione del modulo di B pari a

• Ove si è introdotta la suscettibilità magnetica • In un mezzo è come se oltre alle correnti presenti nei circuiti che

generano il campo B0 ci fosse una corrente aggiuntiva che genera un campo Bmag = B0 :

• Questa corrente non è fittizia, ma dovuta alla comparsa nel mezzo di correnti di origine atomica, generate a loro volta dalle correnti che producono il campo B0

• Tali correnti si chiamano correnti di magnetizzazione• Nonostante la grande complessità della struttura della materia, è

possibile sviluppare il magnetismo nella materia in modo coerente e semplice

00000 1 BBBBBB rr

B B0 B0 B0 Bmag

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Magnetizzazione, modello di Ampère

• La magnetizzazione della materia è dovuta a correnti microscopiche all’interno della materia stessa

• Queste correnti sono dovute al moto orbitale degli elettroni all’interno dell’atomo e al loro spin

• Il modello suppone che questi moti siano equivalenti a microscopiche spire percorse da corrente (vedi il teorema di equivalenza di Ampère)

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Momento magnetico orbitale dell’elettrone

• Per semplicità usiamo un modello classico per rappresentare il moto di un elettrone in un atomo

• L’elettrone percorrerà un’orbita circolare di raggio R e area A in un tempo T, moto che produce una corrente

• e un momento magnetico orbitale• Tale momento è dell’ordine di grandezza di un

magnetone di Bohr

2

0e

T

ei

iAmorb

TJB /1026.9 24

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Momento magnetico orbitale dell’elettrone

• Introducendo il momento angolare orbitale l il momento magnetico è

• morb risulta opposto in verso a l, a causa della carica negativa dell’elettrone

• Tale calcolo non è quantisticamente corretto, ma il risultato è corretto

lm

eRmv

m

evR

eR

emorb 2222

20

lm

el

m

emorb

22

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Momento magnetico intrinseco dell’elettrone

• Oltre al momento angolare orbitale l, l’elettrone possiede un MA intrinseco s (o spin) indipendente dal moto orbitale

• Tale momento non è descrivibile classicamente, ma solo quantisticamente

• Per visualizzare il fenomeno si immagina l’elettrone come una sfera che ruota su se stessa

• Essendo l’elettrone carico in tal modo si “giustifica” la comparsa del momento magnetico intrinseco

sm

es

m

emspin

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Momento magnetico

• Siccome ogni mezzo materiale è costituito di atomi (o molecole), per trovare il momento magnetico totale di una quantità macroscopica di materia, dobbiamo sommare (vettorialmente) tutti i momenti atomici

• Il momento atomico è, a sua volta, la somma (vettoriale) di tutti i momenti magnetici orbitali e intrinseci dei suoi elettroni (bisogna usare la meccanica quantistica)

• Basterà dire che alcuni di questi momenti si elidono tra loro a coppie, per cui in atomi con un numero pari di elettroni il momento risultante potrà, in generale, annullarsi, mentre per un numero dispari di elettroni il momento magnetico atomico sarà diverso da zero

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Momento magnetico• a) assenza di campo induzione magnetica

esterno: – Nel caso in cui i momenti atomici siano nulli,

sarà nullo anche il momento totale– Nel caso in cui i momenti atomici non siano

nulli il momento totale è generalmente ancora nullo in quanto i momenti elementari sono orientati a caso e in media la loro somma è zero

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Momento magnetico

• b) presenza di campo induzione magnetica esterno

• Indichiamo con B* la somma del campo induzione magnetica B0 dovuto ai circuiti elettrici percorsi da corrente e del campo dovuto alle molecole del mezzo, con l’esclusione di quello della molecola stessa: B* è quindi il campo in cui la molecola che stiamo indagando è immersa

• L’azione di B* produce un momento magnetico dovuto al primo o a entrambi dei seguenti fenomeni:

– 1) comparsa di un momento magnetico indotto, dovuto alla precessione di Larmor, che riguarda tutte le molecole

– 2) orientazione delle molecole che posseggono un momento magnetico permanente, nella direzione del campo esterno

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1) Teorema di Larmor

• Non lo dimostreremo rigorosamente (bisognerebbe usare la meccanica quantistica)

• Se si immerge il materiale in un campo induzione magnetica, la velocità angolare orbitale degli elettroni (0 in assenza di campo) cambia per una quantità (precessione di Larmor)

**

22B

m

eB

m

eL

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Dimostrazione classica

• Consideriamo un modello classico molto semplice: un elettrone che percorre un’orbita circolare nel campo coulombiano del nucleo in assenza di campo magnetico

• L’eq. del moto e`

• Da cui si ricava la velocita` angolare

• Il segno indica i due possibili versi di rivoluzione• Se ora accendiamo il campo, dobbiamo aggiungere la

forza di Lorentz• e l’eq. del moto diventa

14

rrmrr

Qekr

r

eQk ˆˆˆ 2

022

30 mr

Qek

rmrBerm 22

0 rrBerrBeBve ˆˆ

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Dimostrazione classica

• Affinche’ l’eq. sia soddisfatta occorre che la velocita` angolare soddisfi l’equazione di 2o grado

• ove si e` definita la frequenza di Larmor• L’eq. ha le soluzioni

15

02 2

0

22

0

2 Lm

Be

Bm

eL 2

0

2

0

2

2,1 LLL

B

r

v

FL

0

L

B

rv

FL

0

L

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Dimostrazione classica

• La soluzione corrisponde ad un aumento del modulo della velocita` angolare

• La soluzione corrisponde ad una diminuzione del modulo della velocita` angolare

• In entrambi i casi compare una velocita` angolare aggiuntiva, equiversa al campo

16

L 0

B

r

v

FL

0

L

B

rv

FL

0

L

L 0

Bm

eL

2

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1) Momento indotto

• Per un elettrone immerso in un campo B, la precessione di Larmor è associabile ad una corrente elettronica aggiuntiva (positiva o negativa) rispetto a quella dovuta al moto in assenza di campo

• ed a un momento magnetico, il cui modulo e`

• e il cui verso e` opposto a e quindi e` sempre opposto al campo

Bm

eei L

L

42

2

Bm

AeAim LL 4

2

Bm

AemL

4

2

L

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1) Diamagnetismo

• Queste correnti elettroniche orbitali aggiuntive, sono dette correnti di magnetizzazione o amperiane

• N.B. Le correnti elettroniche non comportano alcun effetto Joule

• Queste correnti sono distribuite nel volume e sulla supeficie del materiale

• Questo fenomeno è detto diamagnetismo ed è comune a tutti i materiali

• Non dipende da T• È evidente nelle sostanze prive di momenti magnetici

atomici permanenti

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1) Momento indotto

• Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di molecole orientate diversamente

• Possiamo allora definire il momento magnetico indotto totale del materiale e medio delle molecole come

k

LkL m

M k

LkL

L mNN

m

1M

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1) Campo magnetico totale

• I momenti indotti generano un campo induzione magnetica che va a diminuire il campo esterno B0, poiché essi sono sempre opposti a quest’ultimo

• Questo fatto si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza diamagnetica e` negativa (ovvero r <1)

• E quindi il campo risultante e` minore del campo in assenza di materia

00000 BBBBBB

0

0BBmag

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2) Momento permanente

• Per molecole dotate di momento magnetico permanente, avviene il fenomeno di orientamento del momento lungo la direzione del campo esterno (magnetizzazione per orientamento)

• All’azione orientatrice del campo si oppone l’agitazione termica che tende a disorientare le molecole in tutte le direzioni

• All’equilibrio termico, le molecole disposte nel verso del campo sono un po’ più numerose delle altre

• Questo fenomeno è detto paramagnetismo

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2) Momento permanente

• Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di molecole orientate diversamente

• Possiamo allora definire il momento magnetico permanente totale del materiale e medio delle molecole come

k

oko

o mNN

m

1M

k

oko m

M

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2) Campo magnetico totale

• In questo caso il campo induzione magnetica generato dal materiale va ad aumentare il campo esterno B0

• Questo si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza paramagnetica e` positiva (ovvero r >1)

• E quindi il campo risultante e` maggiore del campo in assenza di materia

000 BBBB

0

0BBmag

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2) Paramagnetismo

• Il paramagnetismo è dovuto ai dipoli magnetici atomici, prodotti dalle correnti elettroniche orbitali e di spin (correnti amperiane)

• Anche nelle sostanze paramagnetiche è presente il diamagnetismo

• Però è più che compensato dal paramagnetismo dovuto ai momenti magnetici atomici permanenti

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2) Confronto fra energia magnetica e termica

• L’analisi statistica dell’orientamento dei momenti molecolari si basa sul confronto tra la differenza di energia tra i due stati estremi in cui i dipoli possono trovarsi

• e l’energia termica media

• A temperatura ambiente l’energia magnetica è piccola rispetto all’energia termica e per conseguenza il numero di dipoli orientati nel verso del campo sarà solo di poco superiore a quello di dipoli orientati in verso opposto

• Quindi la variazione di campo induzione magnetica dovuta al paramagnetismo è generalmente piccola

• Per aumentarla è necessario andare a basse temperature

mBU mag 2kTU th 2

3

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2) Confronto fra energia magnetica e termica

• Energia magnetica del dipolo è dell’ordine di

• Il valore tipico del momento di dipolo magnetico è

• In un campo intenso (1 T) otteniamo

mBU mag

TJB

241026.9

JTTJU mag

2324 1011027.9

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2) Confronto fra energia magnetica e termica

• Energia termica di un atomo è dell’ordine di

• A temperatura ambiente (300 K) otteniamo

• Cioè più di due ordini di grandezza maggiore dell’energia magnetica

• Forti magnetizzazioni sono possibili solo a basse temperature

U th 3 2kT

Uth 3 2 1.3810 23 J K300K 610 21J

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Magnetizzazione M

• Detto M il momento magnetico totale

• Definiamo (l’intensità di) magnetizzazione M come il momento magnetico per unità di volume

• Se il momento magnetico del materiale non è uniforme, bisogna usare la definizione differenziale

• Dimensioni

• Unità

mnmNV

Nm

VVM

kk

kk

11M

k

kk

okLkk

okk

LkoL mmmmm

MMM

rnrmdV

dN

dN

d

dV

drM

MM

M n m L 3 I L2 I L 1

m

AMu

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2) Paramagnetismo

• In campi deboli M è proporzionale al campo e inversamente proporzionale a T (legge di Curie)

• In campi molto forti M tende al valore di saturazione Ms (indipendente dal campo)

Magnetizzazione in funzionedel campo B0 esterno

M

B0

Ms

sMkT

mBM 0

3

1

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30

Diamagnetismo

sostanza (x 10-5)bismuto -16,6

oro -3,6argento -2,6

diamante -2,1piombo -1,8rame -1,0

sostanza (x 10-5)uranio 40platino 26

tungsteno 6,8alluminio 2,2magnesio 1,2ossigeno 0,19

Paramagnetismo

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31

Ferromagnetismo

• È presente in un numero limitato di elementi (o loro leghe): ferro, cobalto, nichel, gadolinio, disprosio

• È dovuto all’allineamento dei momenti magnetici atomici

• Un debole campo B0 esterno è capace di produrre un altro grado di allineamento dei momenti magnetici atomici

• Il campo B indotto può essere migliaia di volte più forte di quello esterno

• Questo allineamento può persistere anche dopo che è stato soppresso il campo esterno: magnetizzazione residua

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Ferromagnetismo

• Il materiale è costituito da un insieme di domini (domini di Weiss) al cui interno i dipoli si allineano parallelamente fra loro lungo una direzione preferenziale

• La direzione dei domini varia invece da dominio a dominio• Sotto l’influenza del campo esterno alcuni dipoli al confine tra

domini cambiano orientazione, aumentando l’estensione dei domini allineati al campo a spese di quelli non allineati

• Esiste una temperatura critica al di sopra della quale l’agitazione termica è abbastanza grande da sopprimere questo allineamento: temperatura di Curie (per il ferro vale 1043 K)

• Le sostanze diventano allora paramagnetiche

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33

Ferromagnetismo

• Prendiamo ferro ricotto, con M=0 e aumentiamo il campo B esterno partendo da 0 (punto O)

• L’appiattimento della curva vicino ad A indica che M tende ad un valore di saturazione Ms

M

B0

A

Ms

O

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34

Ferromagnetismo

• Se ora diminuiamo B0 e lo portiamo a 0, M non ritorna a 0

• La variazione dei domini di Weiss non è completamente reversibile

• Il valore di M quando B0 è 0 è detto magnetizzazione residua Mr ed è il principio fisico del magnete permanente

• Se si diminuisce ancora B0 (valori negativi), M diminuisce e si annulla nel punto C per un valore del campo Bc detto campo di coercizione

C

M

B0

A

Ms

OBc

Mr

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35

Ferromagnetismo

• Diminuendo B0 ulteriormente si arriva alla saturazione nel verso opposto (punto D)

• Se ora aumentiamo il campo, M non seguirà la curva già percorsa ACD, ma ne percorrerà un’altra DC’A formando complessivamente un ciclo chiuso, il ciclo di isteresi

• M dipende quindi dalla storia precedente della sostanza: non è legata a B0 da una relazione semplice

C

D

M

B0

A

-Ms

O C’

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Ferromagnetismo• L’area racchiusa dal ciclo di isteresi è proporzionale

all’energia dissipata nella trasformazione irreversibile magnetizzazione/smagnetizzazione

• Materiali dolci – l’area del ciclo (e la perdita di energia) è piccola, M

residua è piccola– Questi materiali sono usati per i nuclei dei trasformatori

per evitare di avere grandi perdite di energia quando B varia alternativamente

• Materiali duri – la perdita del ciclo è grande, M residua è grande– Questi materiali sono usati per costruire magneti

permanenti

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Relazione tra M e correnti amperiane

• Consideriamo un caso semplice: supponiamo che la sostanza in esame abbia forma di cilindro, inserito in un solenoide percorso da corrente

• La sostanza si magnetizza con i momenti magnetici microscopici allineati col campo B0

• Se la magetizzazioine è omogenea, i momenti atomici e quindi le correnti amperiane sono ovunque uguali

• Correnti contigue si elidono a vicenda: all’interno del cilindro l’intensità totale di corrente è zero

• Sulla superficie questa elisione non avviene: ne risulta una corrente macroscopica sulla superficie della sostanza (corrente di magnetizzazione o amperiana)

B0

m

m

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38

• Una fetta del cilindro, con sezione perpendicolare all’asse, può essere assimilata ad una spira di area A, altezza dz e corrente di

• il cui momento magnetico è• La magnetizzazione è il momento magnetico per unità di

volume

• e risulta uguale all’intensità di corrente amperiana per unità di lunghezza

magAdid M

dz

di

Adz

Adi

dV

dM magmag

M

dimag

dzA

Relazione tra M e correnti amperiane

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39

• All’esterno del cilindro M è nulla, in quanto, ovviamente, non c’è materia che possa magnetizzarsi

• Inoltre M è diretta lungo l’asse, in quanto deriva da vettori m tutti orientati allo stesso modo

fuori

dentrodz

diM

mag

..........0

........

Relazione tra M e correnti amperiane

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Circuitazione di M

• Calcoliamo la circuitazione di M lungo il rettangolo ABCD

• I tratti AB, BC, CD danno contributo nullo poiché M è parallelo all’asse ed è nullo fuori dal cilindro

• Ne segue

M

A B

CD

conc

mag

magA

D

A

DABCDA

idz

diLMLMdlldMldM

• La circuitazione di M è dunque uguale alle correnti di magnetizzazione del materiale

• Si puo` dimostrare che questo e` un risultato generale

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Circuitazione di M

• La relazione tra M e le correnti di magnetizzazione ci permette di estendere la legge di Ampère in presenza di materia

• A tal fine riscriviamo tale legge inserendo oltre alle correnti circolanti nei conduttori elettrici, che generano il campo B0, anche le correnti di magnetizzazione che generano il campo Bmag : in totale otterremo il campo B

• ovvero:

ldMldBiildB conc

mag

conc

cndt

0000

000 ldMBB

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Circuitazione di M

• Data l’arbitrarieta` della linea di circuitazione ne segue

• E poiche’

• Abbiamo e anche

• Dall’eq. delle circuitazioni si deduce la forma differenziale:

MBJJB conc

mag

conc

cndt

0000

MBB

00

magBBB

0

MBmag

0 MB

00

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Campo H

• Dall’equazione:

• dividendo entrambi i membri per 0 e sostituendo la relazione tra M e Jmag :

• Otteniamo

• Introducendo il vettore campo magnetico

• si ottiene l’eq.• Cioè il rotore di H dipende solo dalle correnti di

conduzione e non da quelle di magnetizzazione

H

B

0

M

magJJB

0

MJ mag

MJB

0

1

JM

B

0

JH

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Campo B nella materia

• Nelle sostanze paramagnetiche e ferromagnetiche M ha lo stesso verso di B0

• In quelle diamagnetiche ha verso opposto• Nelle sostanze para- e dia- M è proporzionale

a B0 (se questo è abbastanza piccolo)

• Dove è la suscettività magnetica

M

B 00

B

B 0 0

M

B 0 1 r

B 0

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Campo B nella materia• Diamagnetismo: r < 1

– è una piccola costante negativa indipendente dalla temperatura

• Paramagnetismo: r > 1– è una piccola costante positiva che dipende dalla

temperatura

• Ferromagnetismo: r >> 1

– è una funzione di B0 che dipende dalla temperatura e dallo stato precedente di magnetizzazione. Assume valori molto elevati (103-104)

– Formalmente si può scrivere anche in questo caso 00 BBB r

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Campo B nella materia

• Il campo B all’interno della materia risulta proporzionale al campo nel vuoto tramite la permeabilità magnetica relativa

• L’equazione è simile a quella per il campo E nella materia

0BB r

r

EE

0

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47

Relazioni tra B, M e H

• Eliminando M dalle relazioni

• otteniamo

0

0

B

M

BBBBB

Hrrr

11

0000

H

B

0

M

r

BB

0

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Campi nella materia

• Come nel caso elettrico è stato introdotto il campo ausiliario spostamento elettrico D

• così nel caso magnetico abbiamo introdotto il campo ausiliario magnetico H

• Questi campi non servono nel vuoto, ma sono utili nello studio delle proprietà e.m. della materia

EED r

0

r

BBH

0

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49

Eqq. di Maxwell nella materia

• Le equazioni di Maxwell si riscrivono così

• Ove per carica deve intendersi solo quella libera sui conduttori e non quella di polarizzazione

• e per corrente deve intendersi solo quella circolante nei circuiti elettrici e non quella di magnetizzazione

dt

DdildH conc

C

)(

int)( QD

0)( B

dt

BdldE

C

)(

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Superfici di separazione

• Come nel caso elettrico, dalle equazioni

• possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo all’altro la componente normale di B e tangenziale di H si conservano

• Esprimendo la seconda eq. in termini di B

0C

ldH

0)( B

H1|| H2||

B1 B2

B1||1

B2||2

50

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12

B2

B1

n 12

Rifrazione delle linee di campo

• Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori B1, B2 formano con la normale n, abbiamo

• Facendone il rapporto

• La direzione delle linee di campo, passando da un materiale all’altro, subisce una variazione discontinua

• Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo

tg1 B1||B1

tg2 B2||B2

tg1tg2

B1||B1

B2||B2

B1|| B2||B1 B2

12

51

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2

1

B1

B2

Rifrazione delle linee di campo• Se il mezzo 1 è ferromagnetico mentre il

mezzo 2 è aria, il rapporto

• è dell’ordine delle migliaia. Ne segue che

• Ovvero tg1 è molto grande e quindi 1 è prossimo a /2, anche se2 è piccolo

• Ciò significa che le linee del campo B internamente al ferromagnete corrono quasi parallele alla superficie, vengono cioe` praticamente ‘catturate’ nel materiale

• Questo fenomeno e` molto importante perche’ permette di concentrare le linee di B e quindi di aumentarne il flusso

12

r1

12

1

2

1

tg

tg

52

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Campo magnetico di un magnete permanente

• Consideriamo un anello magnetizzato con lunghezza l1 di aria e l2 di ferro

• Applichiamo la proprietà del campo H:

• ove C è la curva tratteggiata• Per l’uniformità del campo

in ciascun mezzo, avremo

0C

ldHHK

K H H1l1 H2l2

53

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Campo magnetico di un magnete permanente

• Ne segue che H1 e H2 hanno segno opposto

• cioè il campo magnetico subisce una discontinuità passando da un mezzo all’altro

• L’induzione magnetica B assume invece lo stesso valore nei due mezzi

• Ricordando che possiamo riscrivere l’eq. precedente

H1 l2l1

H2

B 0H1

B 0l2l1

H2

54

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Campo magnetico di un magnete permanente

• Supposto che la curva di magnetizzazione della calamita sia la seguente

0l2l1

• L’eq. precedente rappresenta una retta di coefficiente angolare

H2

B

55

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Campo magnetico di un magnete permanente

• L’intersezione tra la retta e la curva ci fornisce sia il valore di B nel circuito magnetico, che il valore H2 nel ferro

H2

B• E il campo H in aria

è dato da

H1 B

0

56

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Campo magnetico di un elettromagnete

• Consideriamo un elettromagnete ad anello con lunghezza l1 di aria e l2 di ferro

• Applichiamo la proprietà del campo H:

• ove C è la curva tratteggiata• Per l’uniformità del campo

in ciascun mezzo, avremo

nildHHKC

K H H1l1 H2l257

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Campo magnetico di un elettromagnete

• Esprimendo il campo H in termini di B:

• Ove si è tenuto conto che l’induzione magnetica B assume lo stesso valore nei due mezzi

• Poiché per il ferro è molto più grande che per l’aria, si può scrivere

• ovvero

ni H1l1 H2l2 B

1l1

B

2 B l2

B

1l1 ni

B 1ni

l1 58