campi nella materia.pdf

21
1 Effetto dei campi elettrico e di induzione magnetica nella materia AVVERTENZA: le seguenti note non sono esaustive e sono da intendersi come schema nella guida allo studio. In questo senso esse non si sostituiscono al testo di riferimento (C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori) a cui si rimanda per un maggiore dettaglio sugli argomenti trattati. Cosa accade ai campi elettrico e di induzione magnetica generati da distribuzioni di sorgenti (cariche puntiformi o corpi estesi carichi, correnti o corpi magnetizzati) se lo spazio è riempito da un mezzo materiale? Si vedrà che le proprietà del campo elettrico nella porzione di spazio in cui è presente il mezzo si possono descrivere introducendo una grandezza adimensionale, la costante dielettrica relativa che si indicherà con ( ) r ε ω , dove ω è la frequenza angolare (pulsazione) del campo. Si ha per la prima equazione di Maxwell: 0 ε ε ρ r E = . Analogamente, le proprietà del campo di induzione magnetica nel mezzo sono descritte introducendo una grandezza adimensionale r μ che prende il nome di permeabilità magnetica relativa. La quarta equazione di Maxwell diviene: E t J B + = × ) ( ω με μ dove 0 ) ( ) ( μ ω μ ω μ r = . Le due grandezze adimensionali così introdotte dipendono dalle proprietà del materiale che riempie lo spazio. In ciò che segue si fornisce lo schema concettuale per giungere alla scrittura della due equazioni di Maxwell nella materia sopra riportate. Campi elettrici nella materia I materiali, che sono formati da atomi interagenti tra loro, sono suddivisi sulla base della loro capacità di essere sede di una corrente elettrica in due categorie: isolanti (o dielettrci ) e conduttori 1 . Conduttori 2 Un tipico materiale conduttore è rappresentato da un metallo. In un metallo gli atomi sono disposti a formare un reticolo cristallino. Ogni atomo è ai vertici di un reticolo poliedrico (ad esempio cubico) di estensione spaziale molto grande rispetto al passo di ogni singola cella del reticolo. 1 I materiali possono anche essere classificati come semiconduttori o superconduttori. I semiconduttori sono degli isolanti in cui la conduzione è possibile grazie a processi di eccitazione termica degli elettroni, mentre i superconduttori sono dei conduttori in cui tramite un meccanismo cooperativo di interazione tra l’elettone di conduzione ed il reticolo la conduzione avviene in assenza di resistenza elettrica. 2 Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.II.

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Page 1: Campi  nella materia.pdf

1

Effetto dei campi elettrico e di induzione magnetica nella materia AVVERTENZA: le seguenti note non sono esaustive e sono da intendersi come schema nella guida allo studio. In questo senso esse non si sostituiscono al testo di riferimento (C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori) a cui si rimanda per un maggiore dettaglio sugli argomenti trattati. Cosa accade ai campi elettrico e di induzione magnetica generati da distribuzioni di sorgenti (cariche puntiformi o corpi estesi carichi, correnti o corpi magnetizzati) se lo spazio è riempito da un mezzo materiale? Si vedrà che le proprietà del campo elettrico nella porzione di spazio in cui è presente il mezzo si possono descrivere introducendo una grandezza adimensionale, la costante dielettrica relativa che si indicherà con ( )rε ω , dove ω è la frequenza angolare (pulsazione) del campo. Si ha per la prima equazione di Maxwell:

0εερr

E =⋅∇��

.

Analogamente, le proprietà del campo di induzione magnetica nel mezzo sono descritte introducendo una grandezza adimensionale rµ che prende il nome di permeabilità magnetica relativa. La quarta equazione di Maxwell diviene:

Et

JB����

∂∂+=×∇ )(ωµεµ

dove 0)()( µωµωµ r= . Le due grandezze adimensionali così introdotte dipendono dalle proprietà del materiale che riempie lo spazio. In ciò che segue si fornisce lo schema concettuale per giungere alla scrittura della due equazioni di Maxwell nella materia sopra riportate. Campi elettrici nella materia I materiali, che sono formati da atomi interagenti tra loro, sono suddivisi sulla base della loro capacità di essere sede di una corrente elettrica in due categorie: isolanti (o dielettrci ) e conduttori1. Conduttori2 Un tipico materiale conduttore è rappresentato da un metallo. In un metallo gli atomi sono disposti a formare un reticolo cristallino. Ogni atomo è ai vertici di un reticolo poliedrico (ad esempio cubico) di estensione spaziale molto grande rispetto al passo di ogni singola cella del reticolo.

1 I materiali possono anche essere classificati come semiconduttori o superconduttori. I semiconduttori sono degli isolanti in cui la conduzione è possibile grazie a processi di eccitazione termica degli elettroni, mentre i superconduttori sono dei conduttori in cui tramite un meccanismo cooperativo di interazione tra l’elettone di conduzione ed il reticolo la conduzione avviene in assenza di resistenza elettrica. 2 Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.II.

Page 2: Campi  nella materia.pdf

2

Il potenziale che determina la forza che attrae gli elettroni ai singoli centri (potenziale con andamento periodico, con periodicità fornita da quella del reticolo) è tale che alcuni elettroni delle orbite più esterne (circa 1 o 2 elettroni per atomo) possono essere considerati sostanzialmente liberi. L’energia di legame è abbastanza piccola da essere più bassa dell’energia di agitazione termica a temperatura ambiente. Gli elettroni più esterni sono dunque assimilabili ad un gas di elettroni liberi. Un campo E

� applicato, anche piccolo, mette in moto gli elettroni producendo una corrente.

In un conduttore3 la presenza di un campo elettrico E�

genera una densità di corrente J�

data da

212

n eJ e nv E E

mτ σ= − = =

� � ��

dove σ rappresenta la conducibilità elettrica del materiale, in generale funzione della pulsazione ω del campo. Nel caso elettrostatico, anche in presenza di un campo elettrico esterno, il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo. Se ciò non fosse si avrebbe movimento di cariche all’interno del conduttore, in contrasto con il fatto di essere in situazione statica. Quando un campo elettrico esterno viene acceso, le cariche libere all’interno del conduttore rapidamente si ridistribuiscono in modo da annullare il campo all’interno. Conseguenza di questo fatto è che la carica all’interno del conduttore è nulla (si dimostra ciò utilizzando il teorema di Gauss) e le cariche si distribuiscono alla superficie. Se int 0 costanteE V= � =�

: il conduttore è a potenziale costante.

Utilizzando il teorema di Gauss e la circuitazione di E�

, si verifica che all’interfaccia di separazione tra due mezzi si ha

1 1

1 21 2

t t

n n

E E

E Eε ε=��

� =��

Ne consegue che se il campo elettrico interno è nullo (in condizioni statiche), è nulla la componente parallela alla superficie. È dunque nulla la componente parallela del campo anche all’esterno della superficie. Se ne ricava che il campo elettrico alla superficie esterna di un conduttore è perpendicolare alla superficie stessa. Poiché le cariche del conduttore si dispongono alla superficie in presenza di un campo esterno, si ricava, utilizzando sempre il teorema di Gauss, che

0

ˆextE nσε

=�

.

3 Si vedano le dispense del corso di Fisica A Cap.9,

1tE

2tE

1nE

2nE 1E�

2E�

1

2

Page 3: Campi  nella materia.pdf

3

La ridistribuzione delle cariche di un conduttore che comporta la loro migrazione e localizzazione alla superficie in presenza di un campo elettrico esterno prende il nome di polarizzazione. Dati due conduttori uno dentro l’altro, se il primo è carico, nel conduttore 2 (neutro) le cariche si spostano (il conduttore si polarizza): cariche con segno opposto a quelle del primo conduttore migrano verso la superficie interna e cariche di ugual segno migrano verso la superficie esterna. Il conduttore 2 si mantiene globalmente neutro, ma le cariche si sono ridistribuite. Questo fenomeno è detto di induzione completa. Dati due conduttori uno dentro l’altro inizialmente neutri, se il conduttore esterno viene caricato, quello interno non subisce effetti. Il conduttore esterno costituisce uno schermo elettrostatico. Due conduttori che realizzano il fenomeno dell’induzione completa costituiscono un condensatore. I condensatori tipicamente possono essere di tipo piano (dati da due lastre conduttrici piane affacciate), cilindrico (due cilindri conduttori uno dentro l’altro) o sferico (due sfere conduttrici una dentro l’altra). Se su uno dei conduttori è presente la carica +Q, sulla superficie del secondo conduttore affacciata al primo si concentra una carica –Q. Si verifica che fissata la geometria del condensatore, il rapporto tra la carica immagazzinata e la differenza di potenziale tra i conduttori è costante

QC

V=

∆.

Tale costante C prende il nome di capacità. Dielettrici4 In un dielettrico gli atomi (o le molecole) hanno tutti gli elettroni legati ai rispettivi siti atomici. Tali elettroni non migrano sotto l’effetto dei campi elettrici tipicamente disponibili. Solo con forze localizzate molto intense (strofinio, scariche elettriche,…) può accadere che gli elettroni meno fortemente legati vengano strappati dal materiale lasciandolo carico positivamente localmente. Qualora gli elettroni siano stati introdotti con forza si realizzerà localmente una carica negativa. Un dielettrico, pur rimanendo neutro, modifica il campo prodotto da distribuzioni di carica localizzate esterne (campo elettrico esterno) se esso possiede un momento di dipolo diverso da zero.

4 Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.III.

0E =�

+

+ +

+

- - -

-

0E ≠�

+ + +

+

+ + +

+

+

+

+ + +

+

+

+

+

_

_

_

_

_

_

_

_ _ _

_ 1

2

Page 4: Campi  nella materia.pdf

4

Tale momento di dipolo è non presente in generale in assenza del campo elettrico esterno (ad eccezione dei materiali ferroelettrici o piezoelettrici, la cui trattazione è al di fuori delle finalità del presente corso). Il fenomeno per cui un dielettrico acquista un momento di dipolo elettrico è detto polarizzazione. La polarizzazione elettrica può essere di due tipi: per deformazione o per orientamento. Polarizzazione per deformazione Un atomo è un sistema neutro schematizzabile come una nuvola di carica elettronica (negativa) al centro della quale è presente un nucleo di carica positiva di raggio molto più piccolo rispetto a quello totale atomico ( 5 4/ 10 10nucleo atomor r − −÷� ). Estremizzando, si può considerare la densità di carica elettronica negativa ( , , )x y zρ a simmetria sferica attorno al nucleo (con diametro dell’ ordine del decimo di nm). Un atomo così fatto non ha momento di dipolo intrinseco (i baricentri delle densità di carica positiva e negativa coincidono). Se l’atomo è posto in un campo locale lE

�, esso viene deformato ed acquista un momento di dipolo

p�

indotto.

Il nucleo subisce una forza N lf ZeE=� �

ed il baricentro C della carica negativa subisce una forza

C N lf f ZeE= − = −� � �

.

Una volta spostati per effetto del campo elettrico locale, C ed N si attraggono con una forza pari ad f ′

�.

All’equilibrio si ha che N Cf f f′ = =� � �

.

Per campi lE�

non molto intensi ci si attende che lo

spostamento lr E∝��

, in base a un modello per cui gli elettroni sono legati elasticamente ai nuclei.

Questo può essere mostrato in modo semplice facendo la drastica approssimazione che la densità di carica elettronica sia uniforme. Per trovare f ′

� si noti che se r

� è lo spostamento relativo tra i centri delle due cariche, il campo E′

generato dalla densità di carica negativa in r�

è dato da (utilizzando il teorema di Gauss)

20

ˆ( )4q r r

Erπε

′ =�

+ -

-

-

-

-

-

N

e

Q Ze

Q Ze

= += −

Dove Z è il numero atomico

- -

-

-

-

- +

lE�

r�

Cf�

Nf�

Page 5: Campi  nella materia.pdf

5

dove 3

3sfera raggio 33

4( ) 343

ratat

Ze rq r V r Ze

RRρ π

π= = − = − .

Da cui

3 30 0 04 4 3at at

Ze r Ze rE r

R Rρ

πε π ε ε′ = − = − = −

� �� �

.

Si ottiene che la forza f ′

� che la carica elettronica esercita sul nucleo è

( )2

304 at

Zef ZeE r

Rπε′ ′= = −� � �

.

Uguagliando f ′

� a Nf−�

si può ricavare r�

.

304 at

l

Rr E

Zeπε� �

= � �

��.

La condizione lr E∝

�� è largamente soddisfatta per tutti i campi lE

� realizzabili in pratica.

Una volta ottenuto r�

è immediato determinare il momento di dipolo indotto. Si ha

l d lp Zer p E p Eα= � ∝ � =� �� � � �

. Il coefficiente di proporzionalità dα è chiamato polarizzabilità elettronica (o per deformazione). La polarizzazione per deformazione è presente anche in molecole poliatomiche: il campo può distorcere la forma della molecola spostando i baricentri delle densità di carica positiva e negativa. Campo locale Nelle precedenti espressioni si è sempre parlato di campo elettrico locale lE

�.

Il campo locale è il campo che agisce sull’atomo (o molecola) considerato. Esso è determinato da tutte le cariche esterne e da tutti i contributi dovuti ai dipoli indotti nel dielettrico ad eccezione dell’atomo (o molecola) in esame. Il campo E

� macroscopico internamente al dielettrico include anche il campo generato dalla

porzione del materiale in cui il campo viene calcolato. Polarizzazione per orientamento Molte molecole poliatomiche sono dotate di un proprio momento di dipolo elettrico permanente 0p

�.

È questo il caso ad esempio della molecola dell’acqua. Tali molecole, poste in un campo elettrico locale lE

� tendono ad orientarsi nella direzione del

campo. Esse sono soggette ad un momento (della forza) che si dimostra essere pari a

0 lM p E= � ��

Page 6: Campi  nella materia.pdf

6

e posseggono nel campo una energia potenziale pari a

0 lU p E= − ⋅��

. In assenza del campo elettrico tutti i dipoli sono orientati casualmente. A livello macroscopico non si osserva alcun momento di dipolo elettrico. Ciò è dovuto all’agitazione termica che tende a disordinare i dipoli molecolari microscopici.

Quando è presente un campo elettrico, i dipoli tendono ad orientarsi in accordo con lE

�. Statisticamente, i dipoli assumeranno una orientazione media rispetto ad

lE�

che dipende dall’equilibrio tra due tendenze contrastanti: da un lato l’agitazione termica che tende a disorientare i dipoli, dall’altra la forza elettrica che tende ad allineare i dipoli ad lE

�.

Utilizzando metodi statistici si deriva che

2 20 0,

3 3l o l oB B

p pp E p E

K T K Tα α= � = =

� �� �

dove KB = 1.38 � 10-23 J/K è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta. Si ha dunque ancora che il momento di dipolo elettrico è proporzionale al campo elettrico locale e la costante di proporzionalità è data da oα , polarizzabilità per orientamento. Si noti che a differenza della polarizzazione per deformazione, in questo caso è il valore medio del momento di dipolo che è proporzionale a lE

�. Si noti inoltre che per campi lE

� sufficientemente intensi (e/o temperature

molto basse tali per cui l’effetto dell’agitazione termica influisce poco) tutte le molecole sono allineate ad lE

�. In questo caso p

� tende a 0p

� e cessa di essere proporzionale al campo locale. Si

realizza una condizione di saturazione.

Vettore di polarizzazione elettrica P�

Da quanto sinora visto, dal punto di vista macroscopico è conveniente introdurre un vettore di polarizzazione elettrica P

� pari al momento di dipolo elettrico per unità di volume.

0lim ii

V

p dNP p n p

V dV→= = =�

�� � �

dove con dN

ndV

= si è indicato il numero di molecole per unità di volume.

Benché all’interno del dielettrico le cariche non possono muoversi liberamente, il fatto che si realizzi una situazione in cui 0P ≠

� per effetto di un campo esterno può essere schematizzato

immaginando la presenza sulla superficie e nel volume del dielettrico di cariche elettriche aggiuntive. Tali densità di carica vengono indicate con Pσ e Pρ per superficie e volume, rispettivamente.

Page 7: Campi  nella materia.pdf

7

Qualitativamente ci si attende che se P

� è costante (vettore

uniforme) la densità di carica di polarizzazione di volume

Pρ sia nulla e si abbia solo una 0Pσ ≠ alle superfici

esterne del dielettrico. Se P�

non è uniforme, si ha non solo una 0Pσ ≠ ma anche una

0Pρ ≠ .

È possibile dimostrare che valgono le seguenti relazioni:

ˆP

P

P n

P

σρ

= ⋅

= −∇ ⋅

� �

Queste relazioni legano Pσ e Pρ al vettore di polarizzazione P

�.

Calcolo del campo elettrico all’interno di una sfera dielettrica di raggio R dotata di polarizzazione elettrica uniforme 0P

Se 0P

� è costante nella sfera, si ha che Pρ è nulla e

0 0ˆ cosP P n Pσ θ= ⋅ =�

. Si hanno solo cariche di polarizzazione alla superficie. Si può pensare di realizzare tale distribuzione di carica prendendo due sfere uguali di raggio R uniformemente cariche, con densità di carica uguali in modulo ρ ma opposte in segno, spostate una rispetto all’altra di una piccola quantità x∆ lungo l’asse x, parallelo alla direzione di 0P�

. Lo spostamento x∆ da luogo a n dipoli per unità di volume (dove n è il numero di cariche per unità di volume in ognuna distribuzione) ciascuno di momento pari a q x∆

���

(avendo indicato con q la carica puntiforme). Si ha

( ) 00

PP n q x x

xρ ρ= ∆ = ∆ � =

��� ����.

Per ottenere il campo elettrico interno, si può utilizzare il principio di sovrapposizione, calcolando il campo come somma dei campi dovuti alle due distribuzioni. Da quanto visto in uno dei precedenti paragrafi

- +

- + - + - + - +

- +

- +

- + - +

- + - + - +

- +

- +

- + - +

- + - + - +

- +

- +

- + - +

- +

- +

- +

0Pσ < 0Pσ >

0

uniformeP

P

ρ =�

0

decrescenteP

P

ρ ≠�

P�

extE�

+

+

+ +

+

+

- -

-

- -

-

0P�

0P�

θ

θ

R�

x

+

+

+ +

+

+

- -

-

- -

-

1C 1r�

x 2C 2r�

x∆���

Page 8: Campi  nella materia.pdf

8

1 103

E rρε

= −� �

e 2 203

E rρε

=� �

, da cui

( ) 01 2 2 1

0 0 03 3 3P

E E E r r xρ ρε ε ε

= + = − = − ∆ = −�

���� � � � �.

Il campo all’interno della sfera dielettrica è dunque uniforme. Suscettività È possibile a questo punto mettere in relazione il vettore di polarizzazione P

� con il campo E

macroscopico nel dielettrico. Come visto nei punti precedenti, si è osservato che lp Eα=

��, dove in generale d oα α α= + . Ne

consegue che

lP n p n Eα= =� ��

. Occorre dunque stabilire la relazione tra E

� ed lE�

.

• In generale, per sostanze a bassa densità (come gas) di particelle poco interagenti

lE E� ��

Per molecole polari (dove è presente sia polarizzazione per orientamento che per deformazione si ricava che

20

3d o dB

pK T

α α α α= + = + ,

da cui

0lP n p n E Eα ε χ= = =� � ��

.

In questa espressione si è introdotta la grandezza 0

nαχε

= detta suscettività. Si vedrà a breve

che la suscettività è legata alla costante dielettrica relativa del materiale da 1rχ ε= − . • Per liquidi densi e sostanze amorfe non si ha in generale lE E

� �� . L’azione delle molecole

circostanti al punto in cui E�

ed lE�

sono calcolati non è trascurabile. Se il campo generato dalle molecole è dovuto a soli dipoli, se la distribuzione dei dipoli è uniforme ( P

� uniforme), se il loro momento di dipolo è diretto parallelamente al campo

esterno e i momenti delle molecole sono tutti uguali, vale la cosiddetta relazione di Lorentz:

Page 9: Campi  nella materia.pdf

9

03l

PE E

ε= +

�� �

.

Per ricavare tale espressione si può usare il principio di sovrapposizione, come illustrato in figura. Si consideri un dielettrico in cui è praticato un foro di piccole dimensioni. Il campo elettrico nel foro corrisponde a quello locale. Il campo totale E

� può essere ottenuto come somma del campo elettrico nel foro ( lE

�) e il

campo elettrico della sfera di materiale dielettrico che è stata tolta dal foro, uniformemente

polarizzata (ricavato in un precedente paragrafo 0

03Pε

−�

).

Si può quindi scrivere

03l

PP np n E n Eα α

ε� �

= = = +� �

�� � ��

da cui

00

0

13 1

3

n nP n E P E E

nα αα χεαε

ε

� �� � �� − = � = =� � � −� �

� � � � �

e

0

0

1

13

n

n

αχε α

ε

=� �

−� �

.

Poiché, come si introdurrà a breve, 1rχ ε= − , sostituendo si ottiene

( )( )

0 132

r

rn

εεαε

−=

+.

Tale scrittura prende il nome di relazione di Clausius Mossotti. I dielettrici amorfi, i dielettrici cristallini a struttura cubica ed i liquidi densi possono essere ben descritti da tale relazione.

Dielettrici anisotropi

E�

lE�

P�

E�

P�

PE−�

P�

− − −

+ + + = +

Page 10: Campi  nella materia.pdf

10

Alcuni solidi cristallini sono anisotropi. La loro reazione al campo E�

è differente a seconda della direzione lungo la quale il campo è applicato rispetto agli assi cristallografici. In questo caso, anziché parlare di polarizzabilità come quantità scalare, si introduce la polarizzabilità tensoriale. Si ha p Eα=

��

dove 11 12 13

21 22 23

31 32 33

α α αα α α α

α α α

� �� = � � �

è detto tensore di polarizzazione. Si ha

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x x y z

y x y z

z x y z

p E E E

p E E E

p E E E

α α αα α αα α α

� = + +�

= + +�� = + +�

.

Un dielettrico si dice perfetto quando gli elementi ijα del tensore di polarizzazione (o per un solido

isotropo semplicemente la polarizzabilità α ) sono costanti indipendentemente dal valore di E�

e dalla posizione (in molti casi ad esempio P

� non varia linearmente con E

� a bassa temperatura

assoluta T). Equazioni di Maxwell in presenza di dielettrico All’interno di un mezzo dielettrico, la prima equazione di Maxwell viene modificata dalla presenza della densità di carica di polarizzazione.

0

PEρ ρ

ε+∇ ⋅ =

� �.

Poiché P Pρ = −∇ ⋅

� � ne consegue che

( )00

PE P E

ρ ε ρε

− ∇ ⋅∇ ⋅ = � ∇ ⋅ + =� �

� � � � �

Solitamente si introduce un nuovo vettore 0D P Eε= +

� � � chiamato vettore spostamento elettrico (o

vettore campo esterno) tale per cui l’espressione della prima equazione di Maxwell si riduce alla forma estremamente compatta

D ρ∇ ⋅ =� �

dove ρ è la sola densità di carica dovuta alle cariche esterne – o libere (non dovuta agli effetti di

polarizzazione). Nel caso in cui il mezzo sia il vuoto, il vettore spostamento si riduce a 0D Eε=� �

. Nel caso semplice in cui il dielettrico è perfetto e isotropo, allora risulta

Page 11: Campi  nella materia.pdf

11

( )0 0 0 0 1D P E E E Eε ε χ ε ε χ= + = + = +� � � � � �

. La grandezza ( )1χ + è adimensionale. Questa grandezza viene chiamata costante dielettrica

relativa, ( )1rε χ= + . Da ciò, per mezzi dielettrici perfetti e isotropi si ha

0 rD E Eε ε ε= =� � �

Avendo posto 0 rε ε ε= , costante dielettrica del materiale. La prima equazione di Mawell può essere dunque posta indifferentemente nelle forme equivalenti

D

E

ρρε

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

� �

� � .

Campi di induzione magnetica nella materia5 Come accade per il campo elettrico, la presenza di materia modifica i valori del campo di induzione magnetica e fa sì che si generino azioni meccaniche sui materiali soggetti al campo. La risposta di un materiale ad un campo magnetico dipende dal tipo di materiale. Essenzialmente si distinguono tre classi di materiali: i) materiali ferromagnetici (che subiscono forze molto intense di attrazione quando posti in un campo magnetico); ii) materiali paramagnetici (che subiscono deboli forze di attrazione); iii) materiali diamagnetici (che subiscono deboli forze di repulsione). Sostanze ferromagnetiche � Ferro, Cobalto, Nikel,… Sostanze paramagnetiche � Alluminio, Platino, Cromo,… Sostanze diamagnetiche � Cloruro di Sodio, Rame, Piombo, Zolfo, Carbonio, Argento,… L’interpretazione dei fenomeni magnetici nella materia si basa sul teorema di equivalenza di Ampère, secondo il quale a grande distanza una spira percorsa da una corrente si comporta come un dipolo magnetico.

Un dipolo magnetico in presenza di un campo di induzione magnetica tende ad allinearsi parallelamente alle linee di forza del campo. In particolare esso è soggetto ad un momento (di una forza) pari a M m B= ×� ��

. All’interno del campo possiede anche un’energia potenziale data da

U m B= − ⋅��

5 Riferimento: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Ed. Liguori, Cap.VI.

m IS=��

B�

I

S θ

Page 12: Campi  nella materia.pdf

12

Secondo il modello atomico semplificato di Rutheford (modello planetario), gli elettroni orbitanti intorno al nucleo sono sede di correnti (formano spire microscopiche). Di conseguenza possono essere visti come generatori di momenti di dipoli magnetici microscopici. In modo simile a quanto visto per il campo elettrico, in assenza di un campo di induzione magnetica esterno tutti i dipoli sono orientati casualmente (per effetto dell’agitazione termica). In presenza di un campo di induzione magnetica si generano fenomeni di polarizzazione. I dipoli elementari tendono ad orientarsi nella direzione del campo, alterando gli effetti del campo stesso e producendo azioni di tipo meccanico sul materiale. Nelle equazioni di Maxwell per il campo di induzione magnetica, la modifica indotta dalla presenza di materia è relativamente semplice: accanto alla densità di corrente di conduzione condJ

� (ed

eventualmente del termine di spostamento) deve comparire un termine che rappresenta la densità di corrente microscopica dovuta agli elettroni in moto nelle orbite atomiche mJ

�. Si ha

0 0

0

cond m

B

B J Jµ µ

�∇ ⋅ =��∇× = +��

� �

� � � �

Il problema consiste ora nella determinazione di mJ

�, che in generale è ignoto. Occorre dunque

trovare la relazione tra mJ�

ed una grandezza macroscopica misurabile. Si vedrà a breve che questa è

data dal vettore di magnetizzazione M�

. Fattori microscopici che determinano il magnetismo nei mezzi Nella trattazione dei fenomeni magnetici in questa sede si fa riferimento al modello atomico di Rutherford (modello planetario, con nucleo carico positivamente al centro ed elettroni carichi negativamente che orbitano attorno su traiettorie ellittiche). Il modello di Rutherford è drasticamente semplificato ed una trattazione rigorosa richiede la meccanica quantistica. Tuttavia il modello di Rutherford riesce a dar ragione di molti degli aspetti essenziali del magnetismo. Si consideri un atomo di idrogeno sotto l’ipotesi che l’orbita dell’unico elettrone presente sia circolare uniforme intorno al nucleo. Sia 0r il raggio di tale orbita. La forza di attrazione tra nucleo

ed elettrone è quella elettrostatica. L’equazione del moto, considerato che l’accelerazione è solo di natura centripeta (moto circolare uniforme) fornisce:

( )2220 0 20

0 020 0 0 0

223

0 0 0 020 0 0

4

2 44

e e c e e e

e e

rveF m a m m m r

r r r

em r T m r

r T e

ωω

πε

π π πεπε

= � = = =

� �� = � =�

� �

dove 319.1 10 kgem −= ⋅ è la massa dell’elettrone e 00

2T πω= è il periodo di rivoluzione. Tenendo

conto dei valori sperimentali per 100 0.5 10 mr −⋅� si ottiene un periodo di rivoluzione dell’ordine di

160 1.5 10 sT −⋅� . Da ciò risulta che la corrente microscopica aI associata alla spira elettronica vale

0v�

e− aI

+ eF�

e+

Page 13: Campi  nella materia.pdf

13

0

1 mAa

eI

T= �

Il momento magnetico associato vale di conseguenza

2 2 24 20 0

0

9.35 10 A ma a

em I S I r r

Tπ π −= = = = ⋅ ⋅

e tale momento risulta perpendicolare al piano dell’orbita. È considerevole il fatto che il valore ottenuto sia in buon accordo con i valori sperimentali, nonostante le drastiche approssimazioni eseguite e la semplificazione estrema del modello atomico. Il momento magnetico m

� è inoltre proporzionale al momento angolare (o momento della quantità

di moto) L�

dell’elettrone rispetto al nucleo. Si ha

0 0eL r m v= � � �

(perpendicolare all’orbita). Dato il segno della carica dell’elettrone (la carica e− è considerata dotata di segno, negativa per l’elettrone), si ha che L

� e m�

sono antiparalleli.

In modulo si ha

( ) 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0

2 2e e e eL m v r m r r m r r m r

T Tπ πω

� �= = = =�

che confrontato con l’espressione sopra scritta per 20

0

em r

Tπ= fornisce

( )2 e

emL m

= .

Da tutto ciò si può scrivere

( )2 e

em L

m

=��

.

Il rapporto ( )2 e

eg

m

= viene chiamato fattore giromagnetico. È degno di nota il fatto che a tale

risultato si pervenga anche effettuando la corretta trattazione quantistica. Se si effettuasse la trattazione quantistica si otterrebbe che il momento angolare orbitale dell’elettrone in un qualsiasi sistema atomico è quantizzato. Esso può assumere in modulo solo valori discreti che siano multipli della costante universale 2h π=� , dove 346.62 10 J sh −= ⋅ ⋅ è la costante di Planck.

0v�

e− aI

+ 0r�

e+

m�

L�

Page 14: Campi  nella materia.pdf

14

( 1)L l l= + � , con 0,1,2,3,...l = Di conseguenza anche il momento magnetico orbitale può assumere solo valori che siano multipli della quantità

( )2B

e

em

m

= � chiamata magnetone di Bohr.

Si ha

( )( 1) ( 1)

2Be

em l l lm l l

m

= + = + � con 0,1,2,3,...l =

Momento angolare di spin Nei sistemi atomici il momento angolare (ed il relativo momento di dipolo magnetico) non è dovuto solo al moto degli elettroni di rivoluzione intorno ai nuclei. Protone, neutrone ed elettrone posseggono anche un momento proprio, chiamato momento di spin (rispettivamente angolare e magnetico). Da un punto di vista classico questo è visualizzabile pensando alle particelle che compongono l’atomo come a delle sferette che ruotano attorno ad un asse baricentrale. È un fatto sperimentale che il momento angolare di spin è identico per protone, neutrone ed elettrone e vale ( 1)s s s= +�

� con s =1/2. Il momento magnetico varia invece da particella a particella. I rapporti giromagnetici sono

ELETTRONE 2 02e

e

eg

m

−� �= <�

� �

il momento magnetico di spin e quello angolare di spin sono antiparalleli

PROTONE 2.79 02p

p

eg

m

+� �= >� �

� �

il momento magnetico di spin e quello angolare di spin sono paralleli

NEUTRONE 1.91 02n

n

eg

m

−� �= <�

� �

il momento magnetico di spin e quello angolare di spin sono antiparalleli

Come conseguenza di ciò si noti che per l’elettrone, il momento magnetico di spin vale

2 32 2e B

e

em

−� �= ≈�

�.

Il momento magnetico intrinseco dei nucleoni è poi molto meno rilevante di quello degli elettroni nella determinazione del comportamento magnetico del materiale (a causa della massa dei nucleoni, di circa 2000 volte più grande di quella degli elettroni). I momenti magnetici dei nucleoni possono essere trascurati nella trattazione degli effetti magnetici nella materia. Momento magnetico atomico totale

Page 15: Campi  nella materia.pdf

15

Il momento magnetico totale di ogni atomo si ottiene come somma vettoriale dei momenti orbitali e di spin dei vari elettroni. Nel fare ciò devono essere però considerate alcune regole fissate dalla meccanica quantistica

1. Quantizzazione della proiezione del momento angolare orbitale L�

lungo un asse (ad esempio quello individuato dal campo di induzione magnetica esterno). La componente di L�

lungo l’asse di quantizzazione può assumere solo valori multipli interi di � compresi tra l− � e l� . Lo spin degli elettroni può essere solo parallelo o antiparallelo a tale direzione

2. Principio di esclusione di Pauli: in un sistema atomico non possono sussistere più di due elettroni nello stesso stato orbitale (nel qual caso i loro spin sono antiparalleli)

Da tutto questo risulta che molti atomi dotati di distribuzione spaziale simmetrica hanno momento di dipolo magnetico nullo. Anche quando il momento magnetico totale è diverso da zero in generale l’orientazione dei dipoli microscopici è del tutto casuale. Ogni porzione macroscopica di materia (in media) ha momento magnetico risultante nullo. Alcuni materiali (ferromagnetici) una volta che sono stati inizialmente polarizzati per effetto di un campo magnetico esterno (i dipoli elementari sono stati orientati secondo la direzione del campo), permangono in tale stato di magnetizzazione anche quando il campo esterno viene rimosso. In questo caso si hanno dei magneti permanenti. L’allineamento dei dipoli persiste anche in assenza di campo di induzione magnetica esterno. In ogni caso, l’effetto della presenza di un campo magnetico esterno è quello di indurre nel materiale un momento magnetico risultante diverso da zero. Come nel caso della polarizzazione elettrica, anche per la polarizzazione magnetica è il campo di induzione magnetica locale ad agire sui dipoli microscopici. Campo di induzione magnetica locale Il campo locale lB

� è il risultante dei campi macroscopici applicati dall’esterno sul materiale e dei

campi generati da tutti i contributi microscopici ad esclusione di quelli che di volta in volta vengono considerati. Il campo di induzione magnetica macroscopico B

� include invece tutti i contributi, compresi quelli

del sito in cui il campo viene preso in esame. È necessario a questo punto stabilire il legame tra campo locale e momento di dipolo magnetico. Precessione di Larmor Si trova che per qualsiasi atomo la presenza di un campo locale induce un momento di dipolo magnetico (momento di dipolo magnetico di Larmor) che si oppone al campo. Tale contributo è piccolo e diviene trascurabile qualora l’atomo sia dotato di momento di dipolo magnetico permanente. Qualora ciò non si verifichi, allora il momento di dipolo di Larmor è l’unico momento atomico presente. I materiali in cui ciò accade sono detti diamagnetici. Si consideri un atomo di idrogeno secondo il modello di Rutherford. Nell’ipotesi (verificata sperimentalmente) che il campo di induzione magnetica induca nel moto dell’elettrone solo una piccola perturbazione, si può mostrare che il suo momento angolare L

� compie un moto di

Page 16: Campi  nella materia.pdf

16

precessione attorno alla direzione del campo. Sia il campo lB�

parallelo all’asse Z di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

L’equazione del moto si scrive come

0 l

dL dLM m B

dt dt= � = � �

� ��

dove 0 2 e

em L

m= −

�� è il momento magnetico associato

all’elettrone, come visto nei paragrafi precedenti (avendo posto il segno negativo, la carica e viene considerata in modulo).

L’espressione sopra scritta implica che dLdt

è perpendicolare

sia a L�

che a lB�

. Ciò comporta alcune importanti conseguenze:

• costantedL

L Ldt

⊥ � =�� �

. L�

cambia nel tempo solo la sua direzione.

• 0zl

dLdLB

dt dt⊥ � =��

. La componente di L�

proiettata lungo l’asse individuato da lB�

rimane costante nel tempo. Si ha allora che il momento angolare L

� compie un moto di precessione attorno all’ asse Z. Per la

determinazione della frequenza angolare di rotazione Lω� si noti che, dalla formula di Poisson per un vettore di modulo costante, si ha

L

dLL

dtω= ×

���

da cui

2 2L l L le e

e eL B L B

m mω ω× = × � =

� � � �� � Velocità angolare (o pulsazione) di Larmor.

Si osservi che Lω� ha la stessa direzione e verso di lB

�. L�

precede dunque in senso antiorario intorno

a lB�

. Il moto di precessione comporta una corrente elettronica di Larmor che, dato il segno dell’elettrone, circola in senso orario.

2

2 4lL

LL e

e BeeI

T mωπ π

= = = .

A tale corrente è associato un momento magnetico (diretto nel verso opposto a lB

�) in modulo pari a

0v�

e− aI

+ 0r�

e+

L�

Z

X

Y

lB�

Page 17: Campi  nella materia.pdf

17

2

4l

L L z ze

e Bm I S S

mπ= =

dove zS è la proiezione della sezione dell’orbita sul piano XY. Mediando su tutte le possibili

orientazioni nello spazio dell’orbita, ipotizzando una distribuzione isotropa, si ottiene 223zS rπ=

dove r è il raggio dell’orbita. Ne consegue che

22

6L le

em r B

m= .

Sommando su tutti i possibili raggi delle orbite elettroniche di un atomo con numero atomico Z si ottiene

( )( )2

2 2 22 2 1

1

con 6 6

Z

iZi

L i l lie e

re Ze a

m r B B am m Z

=

=

�= − = − =� �� �

��

� ��.

Si è così trovato che il campo locale lB

� induce un momento di dipolo magnetico Lm

� opposto al

campo stesso. Ciò è vero per ogni tipo di atomo. Polarizzazione per orientamento Qualora gli atomi siano dotati di momento di dipolo magnetico proprio, questo tende ad allinearsi alla direzione data dal campo locale lB

�, in analogia con quanto visto per il caso elettrico.

In questo caso, attraverso metodi statistici si arriva a trovare che il momento di dipolo magnetico medio lungo la direzione individuata da lB

� è dato da

( )3

0 0

0

1coth ... (sviluppando in serie)

3 45

lB

y ym L y m y m

y

my B

K T

� � �� �= = − + +� � �

� � ��� =��

La funzione L(y) è chiamata funzione di Langevin. Si noti che la dipendenza del momento magnetico medio non è più lineare in lB .

Vettore di magnetizzazione Procedendo in modo analogo a quanto visto per il caso del campo elettrico nella materia, si introduce un vettore di magnetizzazione M

�, che rappresenta il momento di dipolo magnetico

( )L y

y

Page 18: Campi  nella materia.pdf

18

medio per unità di volume. Esso è mediato su una regione di spazio abbastanza grande da includere il contributo di un numero molto grande di dipoli elementari.

0lim ii

V

m dNM m n m

V dV→= = =�

�� � �

.

M�

si misura in A/m. È una grandezza macroscopica in quanto mediata su un volume sufficientemente grande da includere molti contributi elementari. È possibile calcolare il legame che lega il vettore di magnetizzazione M

� alle densità di correnti

microscopiche nel materiale. Si ottiene che

ˆmv

ms

J M

J M n

= ∇×

= ×

� � �

� �

dove mvJ

� e msJ�

sono le densità di corrente microscopiche di volume e di superficie6 rispettivamente ed n̂ è il versore normale alla superficie esterna del mezzo magnetizzato. Per visualizzare qualitativamente come M

� è legato alle correnti microscopiche si consideri un

materiale a forma cilindrica magnetizzato lungo l’asse del cilindro. In assenza di magnetizzazione le spire elementari sono orientate casualmente. Se 0M ≠

� e costante indipendentemente dalla posizione,

internamente al materiale il valore medio delle correnti microscopiche è nullo. Tutti i dipoli sono parimenti orientati e si ha perfetta compensazione in ogni punto tra le correnti circolanti in spire adiacenti. Si ha una corrente diversa da zero solo sulla superficie laterale del cilindro (corrente descritta da msJ

�, densità di corrente

superficiale). Se 0M ≠

� ma non è uniforme nel materiale (ad esempio la

densità dei dipoli varia lungo una data direzione oppure le correnti associate alle spire dei singoli dipoli elementari variano lungo una direzione) si avrà una densità di corrente 0mvJ ≠

�.

Scrittura delle equazioni di Maxwell per il campo di induzione magnetica in presenza di materia Nello scrivere le equazioni di Maxwell all’interno di un materiale le densità di corrente di superficie non compaiono. Si ha

( )0 0 0

0

cond mv cond

B

B J J J Mµ µ µ

�∇ ⋅ =��∇× = + = + ∇×��

� �

� � � � � � �

da cui

6 Si noti che la densità di corrente di superficie si misura in A/m, mentre la densità di corrente di volume si mostra in A/m2.

msJ�

M�

Page 19: Campi  nella materia.pdf

19

0

0cond

B MJ

µµ

� �−∇× =� �

� �� �

A questo punto si introduce solitamente il vettore ausiliario 0

0

B MH

µµ

−=� �

�, chiamato vettore campo

magnetico, per cui la quarta equazione di Maxwell assume la forma semplificata

condH J∇× =� � �

Dove non compaiono i contributi microscopici. È ora necessario trovare la relazione tra M

� e B�

(ed in seguito quella tra B�

e lB�

). Suscettività magnetica Per mezzi isotropi e omogenei i campi B

� e H�

sperimentalmente risultano paralleli. Ciò implica il parallelismo o anti-parallelismo di M

� e B�

. In tali mezzi si usa scrivere

0 rB H Hµ µ µ= =� � �

dove µ è detta permeabilità magnetica e rµ (quantità adimensionale) è detta permeabilità magnetica relativa.

Mediante semplici passaggi sostituendo B Hµ=� �

nella espressione 0

0

B MH

µµ

−=� �

� si ricava

( ) ( )0

11r

rr

M B Hµ

µµ µ

−= = −� � �

che rappresenta la relazione tra M

�, B�

e H�

in mezzi omogenei e isotropi. In linea di principio non è detto che la relazione sia lineare, in quanto rµ può dipendere dal campo di induzione magnetica stesso. Si introduce ora la grandezza suscettività magnetica

1m rχ µ= − per cui mM Hχ=

� �

Condizioni di raccordo tra i campi di induzione magnetica all’interfaccia tra due mezzi Le equazioni di Maxwell sono scritte all’interno del materiale. Accanto alle equazioni di Maxwell occorre dare le relazioni che esprimono le condizioni di raccordo tra i campi al passaggio tra due mezzi differenti. Si ricava che

Page 20: Campi  nella materia.pdf

20

1 2

1 2

1 2

n n

t t

B B

B Bµ µ

=��� =��

con l’usuale significato dei simboli al pedice come già visto per il campo elettrico. Relazione tra campo locale e campo macroscopico In modo simile a quanto visto per il campo elettrico si dimostra che

3l

MH H= +

�� �

.

Nel caso di materiali diamagnetici e paramagnetici M

� è di norma trascurabile e spesso si può porre

lH H� �� .

Nel caso di materiali ferromagnetici la relazione su scritta è invece inadeguata e va sostituita con la seguente

lH H Mγ= +� � �

dove 3 410 10γ ≈ ÷ è chiamata costante di Weiss. Materiali diamagnetici In questi materiali gli atomi sono privi di momento magnetico proprio. La polarizzazione magnetica è dovuta solo alla precessione di Larmor.

2 2 2 2

06 6L l l d le e

Ze a Ze a nM n m n B H H

m mµ α

� �= = − = − =�

� � � ��

avendo sostituito a 0l lB Hµ=� �

e avendo posto 2 2

06de

Ze a nm

α µ= − .

Tenendo conto della relazione tra campo locale e campo macroscopico 3l

MH H= +

�� �

si ottiene

( )3

3d

d

M Hαα

=−

� �

e poiché mM Hχ=� �

si ha ( )3

3d

m dd

αχ αα

= ≈−

che rappresenta un valore molto piccolo dell’ordine di

10-5 e minore di zero. La precessione di Larmor è presente in tutti i materiali, tuttavia nei sistemi paramagnetici e ferromagnetici dove si ha un momento di dipolo magnetico proprio degli atomi costituenti la magnetizzazione per orientamento è dominante. Materiali paramagnetici

Page 21: Campi  nella materia.pdf

21

Nei materiali paramagnetici gli atomi possiedono un momento magnetico proprio, ma il suo valore e la struttura del materiale fanno sì che in generale il campo locale lB

� non raggiunga mai valori

molto intensi. In questo caso, per temperature non troppo basse, la relazione tra m e lB può essere arrestata al primo ordine nello sviluppo. Si ha

20 0 0

0 0

3

3 3

l

l l p lB B

MH H

m m nmM nm n B H H

K T K Tµ α

�= +�

��

� �� = = = =� � ��

�� �

� � � ��

avendo posto 20

03pB

nmK T

α µ= . Questo termine è maggiore di zero ed è in generale un valore piccolo.

Sostituendo il risultato nella prima relazione si ricava

( )3

3p

p

M Hαα

=−

� �

in analogia con in caso diamagnetico e per la suscettività di ha ( )3

3p

m pp

αχ α

α= ≈

Materiali ferromagnetici Nei materiali ferromagnetici la relazione tra lH

� e H�

è data da lH H Mγ= +� � �

. Inoltre non si può più assumere che il campo locale sia piccolo nel materiale (a causa dell’elevato valore di γ ). Per

queste ragioni la dipendenza di m da lB non può più essere arrestata al primo ordine.

( ) 00 0

1coth ,

l

l

B

H H M

m BM nm nL y nm y y

y K T

γ� = +�� � �

= = = − =� � ��

Questo problema può essere risolto graficamente. Si nota che la dipendenza di M

� da B�

non è più di tipo lineare. Si trova inoltre che il valore di M

� dipende non solo dal valore di B

� ma anche dalla

storia di magnetizzazione del materiale. Tali argomenti non vengono approfonditi ulteriormente in queste note.