campo algebravector

7/23/2019 Campo AlgebraVector

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Electricidad y Magnetismo - Grupo21.1

Curso 2010/2011

Campo - lgebra Vectorial 1

J.L. Fernndez JambrinaEyM 1a-1

Tema 1: Introduccin

Concepto de campo

Repaso de lgebra vectorial

Sistemas de coordenadas

Cartesiano

Curvilneas generalizadas: cilndrico y esfrico.

Operadores vectoriales.

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Derivada temporal

Combinacin de operadores: Laplaciana

Expresiones con operadores

Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.


Escalares y Vectores

Escalar:

Magnitud determinada por un nmero.

Ejemplos: Longitud, masa, tiempo,

Vector:

Magnitud determinada por un nmero (mdulo), una direccin y unsentido.

Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleracin,

VectoraA

EscalaraA

aA

rr

Ar


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Concepto de campo

Un campo es la descripcin de determinadas propiedades delos puntos del espacio.

Campo Escalar.

Se puede describir con slo un nmero para cada punto.

Se representa por medio de una funcin de la posicin.

Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno.Potencial Electrosttico...

Campo Vectorial.

Para cada punto la propiedad vara con la direccinconsiderada.

Requiere una funcin vectorial: un vector que cambia con cadapunto del espacio.

Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...

El campo electromagntico requiere al menos dos vectores.


Representacin de campos escalares

0

10

20

30

0

10

20

30

-2

-1

0

1

2

Representacion 3D

5 10 15 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Isotmicas

z xe x y= 2 2


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Representacin de campos escalares


Representacin de campos vectoriales

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Vectores

Z

Lneas de campo


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Campo elctrico en un coaxial Campo magntico en un coaxial


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lgebra vectorial: Suma Vectorial

Suma de vectores:

Propiedad Conmutativa: - Propiedad Asociativa:

Ar

CBA rrr

++

B

r

Ar

BA rr

+B

r

Br

Ar

Cr

Ar

BA rr

+

Br

ABBA rrrr

+=+ ) )CBACBA rrrrrr

++=++


lgebra vectorial: Producto por un escalar

Producto por un escalar:

Es multiplicar su mdulo por el escalar:

Propiedades:

Ar

( ) ( )

( ) BABAAAA

AA

AA

rrrr

rrr

rr

rr

+=+

+=+

=

=

)(

Ar


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lgebra Vectorial: Producto escalar.

El producto escalar de dos vectores es:

Es un escalar.

Propiedades:

cosBABA rrrr

=Ar

Br

( )( ) ( ) ( )BABABA

CABACBAABBA

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

==

+=+=


lgebra Vectorial: Producto escalar (2)

Obtencin del mdulo de un vector:

Vectores unitarios:

Los de mdulo unidad:

Obtencin de un vector unitario

cosBABA rrrr

=

Ar

Br

002

=== AAAAAAAA rrrrrrrr

cos

11 == aaa rrr

=

=

Aa

a

AA

Aa

Ar

r

r

rr

r

r

r

//

10


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lgebra Vectorial: Producto escalar (3)

Signo del producto escalar:

Propiedad:

cosBABA rrrr

=

Ar

B

r

0>BA rr

Ar

B

r

0


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La componente de un vector en una direccin se puede obtener con elproducto escalar por el unitario en esa direccin:

Si la componente de una magnitud en una direccin sigue esta regla, es unavector. Si no la sigue, no es un vector

Por ejemplo no es un vector

+==

+=

+=sencos

sencos

yxuyx AAuAA

yxu

yAxAA rr

+= sencos

2

yxu BBB

B


lgebra Vectorial: Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores:

Es otro vector:

Ortogonal a los operandos:

Orientado segn la regla del tornilloal girar el primero hacia el segundo

A

r

Br

BA rr

senBABA rrrr

=

Br

Ar

senB

r


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lgebra Vectorial: Producto Vectorial (2)

Propiedades:

( )( ) ( ) ( )

0

0

=

=

==

+=+

=

AA

BABA

BABABA

CABACBA

ABBA

rr

rrrr

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

//

Ar

Br

BA rr

BA rr


lgebra Vectorial: Producto Vectorial (3)

Propiedades:

En un sistema dextrgiro o a derechas

xy

( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABABBB

AAAzyx

BA

xzyyxzzyx

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

++=

==

===

rr


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lgebra vectorial: Productos triples

( ) ( )CBACBA rrrrrr

Ar

BA rr

Cr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBAACBBCACBA CBABCACBA rrrrrr

rrrrrrrrr

rrrrrrrrr

==

) ) )== BACACBCBA rrrrrrrrr

Br

( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBA rrrrrrrrrrrr

=

Producto Mixto

Doble Producto vectorial


lgebra vectorial: Diferenciacin

Derivada de un vector:

Propiedades:

( ) ( ) ( )

=

+

=

AAA

d

Ad rrrr

00

limlim

zddA

yd

dAx

ddA

dAd zyx

++=

r

( ) ( )

( ) ( )

+

=

+

=

+

=

+

=+

d

BdAB

d

AdBA

d

d

d

AdmA

d

dmAm

d

ddBdAB

dAdBA

dd

dBd

dAdBA

dd

r

rr

r

rr

r

rr

r

rr

r

rr

rr

rr


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lgebra vectorial: Diferenciacin (2)

Diferencial de un vector en cartesianas:

zdAydAxdA

zdd

dAyd

d

dAxd

d

dA

dd

AdAd

zyx

zyx

++=

=++=

==

r

r


lgebra Vectorial: Integracin

Definicin como lmite de una suma:

Evaluacin en cartesianas:

( ) ( )( )1

1

=

= ii

N

ii

N

b

a

AdA rr

limiii

NN ba

==

1

110 L

++=b

a

z

b

a

y

b

a

x

b

a

dAzdAydAxdA r

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