campo electrostático y corrientes eléctricas estacionarias

53

Upload: michel-josue-molina-s

Post on 08-Jul-2015

452 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 1/53

Page 2: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 2/53

 

Contenido 

1. Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias ............................. ........................ 4

1.1. Ley de Coulomb e intensidad de campo ......................... ................................ ................. 4

1.1.1. Ley de Coulomb................................... ................................ ...................... .............. 4

1.1.2. Intensidad de campo eléctrico ........................... ................................ ...................... 7

1.1.3. Ejemplo 1.1 ........................... ......................... ............................... .......................... 8

1.1.4. Ejemplo 1.2. ............................... ............................... ...................... ........................ 9

1.2. Ley de Gauss ............................ .......................... .............................. ............................. 11

1.2.1. Aplicaciones de la ley de gauss ........................... ................................ ................... 13

1.2.1.1. Carga puntual ............................ ............................ ....................... ................. 13

1.2.1.2. Carga de línea infinita ...................... ................................ ...................... ........ 14

1.2.1.3. Lámina infinita de carga ........................ ................................ ...................... ... 15

1.2.1.4. Esfera con carga uniforme ......................... ................................ .................... 16

1.2.2. Ejemplo 1.3 ........................... ......................... ............................... ........................ 18

1.3. Potencial eléctrico .......................... ............................. ...................... ........................... 20

1.4. Ecuación de Poisson y Laplace (Problemas con Valores en la Frontera en Coordenadas

Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas). .......................................................................................... 24

1.4.1. Ecuaciones de Poisson y de Laplace ........................ ................................ ............... 24

1.4.2. Teorema de unicidad. ......................... ................................ ...................... ............. 26

1.4.3. Procedimiento general para resolver la ecuación de Poisson o de Laplace ............. 29

1.4.4. Ejemplo 1.4 ........................... ......................... ............................... ........................ 30

1.5. Densidad de corriente, Ecuación de Continuidad, Condiciones de Frontera, Ley de

corriente de Kirchhoff, Ley de Joule .......................................................................................... 41

1.5.1. Densidad de corriente ........................ ................................ ...................... ............. 41

1.5.2. Ecuación de continuidad. ........................ ................................ ...................... ........ 44

1.5.3. Condiciones de frontera. ......................... ................................ ....................... ....... 46

1.5.3.1. Condiciones en la frontera dieléctrico dieléctrico. ............................... ........ 47

1.5.3.2. Condiciones en la frontera conductor dieléctrico. ............................... ........ 50

1.5.3.3. Condiciones en la frontera conductor vacío. .............................. ................. 52

Page 3: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 3/53

 

Í ndice de figuras 

Figura 1.1 Fuerza vectorial de Coulomb sobre las cargas puntuales Q1 yQ2...................................... 6

Figura 1.2(a), (b) Cargas iguales se repelen; (c) cargas distintas se atraen. ...................................... 6

Figura 1.3 Partículas cargadas suspendidas: para el ejemplo 1.2. ............................ ...................... 10

Figura 1.4 Ley de Gauss; el flujo que sale de es de 5nC, y el que sale de de 0C ................... 12Figura 1.5 Superficie gaussiana alrededor de una carga puntual. .................................................. 13

Figura 1.6 Superficie gaussiana alrededor de una carga de línea infinita. ........................... .......... 14

Figura 1.7 Superficie gaussiana alrededor de una lámina infinita de carga lineal. ...................... .... 15

Figura 1.8 Superficie gaussiana para una esfera uniformemente cargada. ................................... 17

Figura 1.9 Diagrama de contra r , en el caso de una esfera con carga uniforme ....................... 17

Figura 1.10 Desplazamiento de una carga..................................................................................... 21

Figura 1.11 Potencial V ( x , y) debido a un tanque conductor rectangular. ......................... .......... 30

Figura 1.12 Diagrama del cosh x y el senh x que demuestra que senh x = 0 si y sólo si x = 0. ......... 34

Figura 1.13 Diagrama del sen x que demuestra que sen x= 0 en un número infinito de puntos .... 36

Figura 1.14 Para el ejemplo 1.4: (a) cálculo de V(x, y) en algunos puntos;(b) diagrama de flujo y

líneas equipotenciales .................................................................................................................. 40

Figura 1.15 Corriente en un filamento ........................ ................................ ...................... ........... 42

Figura 1.16 Frontera dieléctrico dieléctrico. ............................................................................... 48

Figura 1.17 Refracción de D o E en una frontera dieléctrico - dieléctrico ............................ ........... 49

Figura 1.18 Frontera conductor dieléctrico. ............................................................................... 50

Figura 1.19 Frontera conductor vacio. ....................................................................................... 52

Page 4: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 4/53

 

1.  Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

1.1. Ley de Coulomb e intensidad de campo

1.1.1.  Ley de Coulomb

La ley de Coulomb Versa sobre la fuerza que una carga puntual ejerce en otra carga

puntual Por carga puntual se entiende una carga localizada en un cuerpo cuyas

dimensiones son mucho menores que las demás dimensiones pertinentes. Esta carga se

mide por lo general en coulomb (C). Un coulomb equivale aproximadamente a 6 x 1018

 

electrones: se trata, así, de una unidad de carga muy grande, puesto que la carga de un

electrón e = - 1.6019 x 10- 19

C.

La ley de Coulomb establece que la fuerza F entre dos cargas puntuales Q1 y Q2 es:

1. De dirección igual a la de la línea que las une.

2, Directamente proporcional al producto Q1Q2de las cargas.

3. Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre ellas.

Expresado matemáticamente.

(1.1)

donde k es la constante de proporcionalidad. En unidades del sistema internacional (SI),

las cargas Q1 y Q2 están en Coulomb (C), la distancia R en metros (m) y la fuerza F  en

Newtons (N), de manera que La constante se conoce como permitividad

del vacío (en farads por metro) y posee el valor

(1.2)

O bien  (1.3)

Page 5: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 5/53

 

Así la ecuación (1.1) se convierte en

(1.4)

Si las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan en puntos con vectores de posición r 1 y r 2,

entonces la fuerza F 12 sobre Q2 debida a Q1 la cual se muestra en la figura 1.1 está dada

por

(1.5)

donde

  (1.6a) 

(1.6b) (1.6c)

Al sustituir la ecuación (1.6c) en la ecuación (1.5), podemos expresar la ecuación como

  (1.7a) 

O bien

(1.7b)

Cabe señalar lo siguiente

1. 

Como se observa en la figura 1.1 la fuerza F 12 sobre Q1 debida a Q2 está dada por

  (1.8a)

  (1.8b)

Page 6: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 6/53

 

 

Figura 1.1 Fuerza vectorial de Coulomb sobre las cargas puntuales Q1 yQ2. 

2.  Cargas iguales (del mismo signo) se repelen, mientras que cargas distintas se

atraen. Esto se lustra en la figura 1.2.

Figura 1.2(a), (b) Cargas iguales se repelen; (c) cargas distintas se atraen.

3.  La distancia R entre los cuerpos cargados Q1 y Q2 debe ser grande en comparación

con las dimensiones lineal es de los cuerpos; esto es. Q1 y Q2 deben ser cargas

puntuales.

4.  Q1 y Q2 deben ser estáticas (hallarse en reposo).

5.  Los signos de Q1 y Q2 deben tenerse en cuenta en la ecuación (1.5).

Si se tienen más de dos cargas puntuales, es posible usar el principio de superposición

para determinar la fuerza sobre una carga particular. Este principio establece que si, N 

cargas Q1 , Q2 ,..., QN se ubican respectivamente en puntos con vectores de posición r 1 , r 2 ,..,

r N, la fuerza resultante F  sobre una carga Q localizada en el punto r es la suma vectorial de

las fuerzas ejercidas sobre Q por cada una de las cargas Q1 , Q2 ,..., QN .En consecuencia:

(1.9a)

o

 

(1.9b)

Page 7: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 7/53

 

1.1.2.  Intensidad de campo eléctrico

La intensidad  de c ampo eléc t r i c o E es la fuerza por unidad de carga en el campo eléctrico.

Así ,

��� (1.10)

o simplemente

(1.11)

La intensidad de campo eléctrico E es, obviamente, de dirección igual a la de la fuerza F y

se mide en newtons/coulomb o volts/metro. La intensidad de campo eléctrico en el punto

r debida a una carga puntual localizada en r se obtiene fácilmente de las ecuaciones (1.7)

y (1.11), de la manera siguiente

(1.12)

En el caso de N cargas puntuales Q1 , Q2 ,..., QN , localizadas en r 1 , r 2 ,.., r N, la intensidad de

campo eléctrico en el punto r se obtiene de las ecuaciones (1.9) y (1.11) en esta forma

(1.13)

o

 

(1.14)

Page 8: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 8/53

 

1.1.3.  Ejemplo 1.1

Cargas puntuales de 1 mC y - 2 mC se localizan en (3. 2. - 1) Y (-1, -1, 4), respectivamente.

Calcule la fuerza eléctrica sobre una carga de 10 nC localizada en (0, 3, 1) y la intensidad

de campo eléctrico en ese punto.

Solución:

 

 

         

En ese punto,

 

 

 

Page 9: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 9/53

 

 

1.1.4.  Ejemplo 1.2.

Dos cargas puntual es de igual masa m y carga Q están suspendidas en un punto común

por dos hilos de masa despreciable y longitud . Demuestre que, en equilibrio, el ángulo

de inclinación a de cada hilo respecto de la vertical está dado por

��� ��� 

Si es ínfimo, demuestre que

 

 

Solución:

Considere el sistema de cargas que aparece en la figura 1.3, donde F e es la fuerza eléctrica

o de coulomb. T la tensión en cada hilo y mg el peso de cada carga. En  A o B 

���  

���  Por tanto,

������  

Pero

��� 

Así,

��� ���  

o

��� ��� 

como se solicitó. Cuando es ínfimo

��� ���  

Page 10: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 10/53

 

 

Figura 1.3 Partículas cargadas suspendidas: para el ejemplo 1.2.

de manera que

 

o

   

Page 11: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 11/53

 

1.2. Ley de Gauss

La ley  de Gauss es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo.

La ley de Gauss establece que el  f lujo eléc t r i c o  total  a través de cualquier superficiecerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie. 

Por tanto

(1.15)

esto es,

(1.16a)

(1.16b)

o

(1.17)

Si se aplica el teorema de la divergencia al término intermedio de la ecuación (1.17)

�� (1.18)

La comparación de las dos integrales de volumen, resulta en

  (1.19)

La ecuación establece que la densidad de carga volumétrica es igual a la divergencia de la

densidad de flujo eléctrico.

Page 12: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 12/53

 

Cabe destacar lo siguiente:

y  Las ecuaciones (1.17) y (1.19) enuncian básicamente la ley de Gauss de diferentes

maneras: la ecuación (1.17) es la forma integral y la ecuación (1.19) la forma

diferencial o puntual.

y  La ley de Gauss es una formulación alterna de la ley de Coulomb; la adecuada

aplicación del teorema de la divergencia a la ley de Coulomb da como resultado la

ley de Gauss,

y  La ley de Gauss aporta un medio simple para hallar E  o D en el caso de

distribuciones simétricas de carga como las de carga puntual, carga de línea

infinita, carga superficial cilíndrica infinita y distribución esférica de carga. Una

distribución continua de carga posee simetría rectangular si sólo depende de  x (o

y o z), simetría cilíndrica si sólo depende de   y simetría esférica si sólo depende

de r (es independiente de y  ). Cabe destacar que la ley de Gauss se sostiene

aun si la distribución de carga no es simétrica.

Considérese, por ejemplo, la distribución de carga de la figura 1.4, donde y   son

superficies cerradas (o volúmenes cerrados). El flujo total que sale de es 10 - 5 = 5 nC,

puesto que 10 nC y - 5 nC son las únicas cargas encerradas por . Aunque las cargas 20

nC y 15 nC fuera de contribuyen al flujo que cruza por ella, de acuerdo con la ley de

Gauss el flujo neto que cruza

no toma en cuenta las cargas fuera de ella. De igual

forma, el flujo total que sale de es de cero, puesto que esta superficie no encierra

ninguna carga.

Figura 1.4 Ley de Gauss; el flujo que sale de es de 5nC,

y el que sale de de 0C

Page 13: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 13/53

 

1.2.1.   Aplicaciones de la ley de gauss

El procedimiento para aplicar la ley de Gauss al cálculo del campo eléctrico supone saber

antes si existe simetría. Una vez detectada una distribución simétrica de carga, se elabora

una superficie cerrada matemática (llamada superfici e gaussi ana ). D debe ser normal o

tangencial a la superficie gaussiana. En el primer caso, D. d S  = D dS , puesto que D es

constante sobre la superficie en el segundo, D. d S = 0. Así, debe elegirse una superficie

que reproduzca en cierto grado la simetría exhibida por la distribución de carga.

Apliquemos ahora estas ideas básicas a casos específicos.

1.2.1.1.  Carga puntual 

Supongamos una carga puntual Q localizada en el origen. Para determinar D en un puntoP, las condiciones de simetría serían evidentemente satisfechas por una superficie esférica

que contenga a P. Así, en este caso la superficie gaussiana es una superficie esférica

centrada en el origen como la que aparece en la figura 1.5.

Figura 1.5 Superficie gaussiana alrededor de una carga puntual. 

Puesto que D es normal en todas partes a la superficie gaussiana, esto es,  D = Dr .ar  la

aplicación de la ley de Gauss ( = Qencerr ad a) da como resultado

(1.20)

donde   ��� es el área de la superficie gaussiana. Así,

(1.21)

Page 14: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 14/53

 

1.2.1.2.  Carga de línea infinita

Supongamos que la línea infinita de carga uniforme   se ubica a lo largo del eje z.

Para determinar D en un punto P , elegimos una superficie cilíndrica que contenga a P para

satisfacer la condición de simetría, como se muestra en la figura 1.6. D es constante en ynormal a la superficie gaussiana cilíndrica: es decir,     Si aplicamos la ley de

Gauss a una longitud arbitraria de la línea

 (1.22)

Donde es el área de la superficie gaussiana. Nótese que  evaluada en

las superficies superior e inferior del cilindro es cero, puesto que D carece de componente

z; esto significa que D es tangencial a esas superficies. Así,

(1.23)

Figura 1.6 Superficie gaussiana alrededor de una

carga de línea infinita. 

Page 15: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 15/53

 

1.2.1.3.  Lámina infinita de carga

Considérese la lámina infinita de carga uniforme situada sobre el plano z = 0.

Para determinar D en un punto P , elegimos una caja rectangular simétricamente cortada

por la lámina de carga y con dos de sus caras paralelas a la lámina, como se muestra en lafigura 1.7. Puesto que D es normal a la lámina, y la aplicación de la ley de

Gauss da como resultado

 (1.24)

Nótese que D.dS evaluada en los lados de la caja es cero porque D carece de componentes

a lo largo de y Si las superficies superior e inferior de la caja poseen cada cual un

área  A 

  (1.25)de manera que

(1.26a)

o

(1.26b)

Figura 1.7 Superficie gaussiana alrededor de una lámina infinita

de carga lineal.

Page 16: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 16/53

 

1.2.1.4.  Es fera con carga uniforme

Considérese una esfera de radio a con una carga uniforme . Para determinar D en

cualquier punto, se elaboran por separado superficies gaussianas para los casos r   a y r  

a. Puesto que la carga posee simetría esférica, es obvio que la superficie gaussianaapropiada es una superficie esférica.

En el caso de r   a. la carga total encerrada por la superficie esférica de radio r, como se

muestra en la figura 1.8( a ), es:

���

 

(1.27a)

(1.27b)

y

��� (1.28a) (1.28b)

Por tanto, da como resultado

(1.29a)

O

  (1.29b)

En el caso de r   a la superficie gaussiana es la que aparece en la figura 1.8 (b).Esta vez la

superficie encierra la totalidad de la carga: es decir.

��� (1.30a) (1.30b)

Page 17: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 17/53

 

Mientras que,

(1.31)

Figura 1.8 Superficie gaussiana para una

esfera uniformemente cargada cuando:

(a) r  a y (b) r a.

como en la ecuación (1.28b). Por tanto:

(1.32a)

O

  (1.32b)

Así. a partir de las ecuaciones (1.29b) y (1.32b). D en cualquier punto está dada por

(1.33)

y es como se indica en la figura 1.9. D debe ser constante en la superficie gaussiana.

Figura 1.9 Diagrama de contra r , en el caso de una esfera con carga uniforme

Page 18: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 18/53

 

1.2.2.  Ejemplo 1.3

Puesto que calcule la densidad de carga en (1, ) Y la carga

total en cerrada por el cilindro de radio 1 m con -2

z

  2 m.

Solución:

 

En (1,

),

La carga total encerrada por el cilindro puede

hallarse de dos maneras.

Método 1.- Este método se basa directamente en la definición de la carga volumétrica

total.

 

 

 

Método 2.- Alternativamente, es posible aplicar la ley de Gauss,

 

 

donde son el flujo a través de los lados, la superficie superior y la superficie

inferior del cilindro, respectivamente (fig. 3. 17). Puesto que D carece de componente a lo

largo de , , respecto de,   , de modo que

Page 19: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 19/53

 

 

=2  

 

y respecto de   d S =, de manera que

 

 

Así 

 

Page 20: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 20/53

 

1.3. Potencial eléctrico

Con fundamento en las secciones anteriores, la intensidad de campo eléctrico E debido a

una distribución de carga puede obtenerse de la ley de Coulomb en la generalidad de los

casos o de la ley de Gauss cuando la distribución de carga es simétrica. Sin embargo.También es posible obtener E a partir del potencial escalar eléctrico V, que definiremos en

la presente sección. Este método para determinar E es, en cierto sentido, más sencillo. Ya

que resulta más fácil manejar escalares que vectores.

Supongamos que se desea mover una carga puntual Q del punto  A al punto B en el campo

eléctrico E que aparece en la figura 1. 10. Con base en la ley de Coulomb, la fuerza sobre Q

es F = Q E , de modo que el t r abaj o r eal izad o en el desplazamiento de la carga por d l es

(1.34) 

El signo negativo indica que el trabajo es realizado por un agente externo. Así, el trabajo

realizado total, o la energía potencial requerida, para mover Q de A a B es

(1.35)

La división de W entre Q en la ecuación (1.35) da como resultado la energía potencial por

unidad de carga. Esta cantidad, denotada con V  AB., se conoce como d if er enci a d e  pot enci al  

entre los puntos  A y B. Así 

(1.36)

Conviene destacar lo siguiente

1.  Al determinar V AB  A es el punto inicial y B es el final.

2.  Si V  AB es negativo, hay una pérdida de energía potencial en el desplazamiento de

Q de A a B: esto implica que el trabajo es realizado por el campo. Si, en cambio,

V  AB  es positivo, hay una ganancia de energía potencial en el desplazamiento; un

agente externo realiza el trabajo.

3.  V  AB es independiente de la trayectoria adoptada.

4.  V  AB se mide en joules por coulomb, unidad comúnmente llamada vol t  (V).

Page 21: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 21/53

 

 Figura 1.10 Desplazamiento de una carga

puntual Q en un campo electrostático E.

Si, por ejemplo, el campo E en la figura 1.10 se debe a una carga puntual Q situado en el

origen. Entonces

  (1.37) 

de manera que la ecuación (1.36) se convierte en

  (1.38a)

.

  (1.38b) 

donde V B y V  A son los  pot enci ales (o  pot enci ales absol ut os ) en B y  A. respectivamente, de

este modo, la diferencia de potencial V  AB puede considerarse como el potencial en B en

referencia a  A. En problemas que implican cargas puntuales se acostumbra elegir el

infinito como referencia: es decir, se parte del supuesto de que el potencial en el infinito

es cero. Por tanto, si VA = 0 cuando r  A 

en la ecuación (1.38), el potencial en cualquier

punto (r B r) debido a una carga puntual Q situada en el origen es

  (1.39)

Page 22: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 22/53

 

Nótese en la ecuación (1.38a ) que puesto que E  apunta en la dirección radial. Cualquier

contribución de un desplazamiento en la dirección de  o es anulada por el producto

punto = E cos  = E  d r, De ahí que la diferencia de potencial V  AB  sea

independiente de la trayectoria, como ya se indicó.

El  potenc ial  en cualquier punto es la diferencia de potencial entre ese punto y un puntoelegido como referencia en el que el potencial sea cero.

En otras palabras, al suponer un potencial cero en el infinito, el potencial en una distancia,

desde la carga puntual es el trabajo por unidad de carga realizado por un agente externo

para transferir una carga de prueba del infinito a ese punto. Así.

  (1.40)

Si la carga puntual Q de la ecuación (1.39) no se localiza en el origen sino en un puntocuyo vector de posición es r', el potencial V(x, y, z) o simplemente V( r  ) en r se convierte en

   (1.41) 

Hasta aquí sólo hemos considerado el potencial eléctrico debido a una carga puntual. No

obstante, las ideas básicas a este respecto también se aplican a otros tipos de

distribuciones de carga, de todas las cuales es posible afirmar que consisten en cargas

puntuales.

El principio de superposición, que ya aplicamos a campos eléctricos, se aplica asimismo a

potenciales. En el caso de n cargas puntuales Q1, Q 2,.., Qn .situadas en puntos con vectores

de posición r 1 r 2 ,.., r n, el potencial en r es

 

  (cargas puntales) (1.42)

En el caso de distribuciones continuas de carga, en la ecuación (1.42) se reemplaza Qk  por

el elemento de carga , o y la sumatoria se convierte en integración, de

manera que el potencial en r se convierte en

Page 23: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 23/53

 

 

=   ´  (carga de línea) (1.43)

=

 

 

´ (carga superficial) (1.44)

=   ´  (carga volumétrica) (1.45)

donde las coordenadas primas denotan habitualmente la ubicación del punto de origen y

las coordenadas no primas se refieren al punto del campo (el punto en el que se

determinará V). Cabe señalar lo siguiente:

1.  Recuérdese que en la obtención de las ecuaciones (1.39) a (1.45) se eligió

arbitrariamente el infinito como punto (de referencia) de potencial cero. De

elegirse como referencia cualquier otro punto, la ecuación (1.45), por ejemplo, se

convierte en

+ C (1.46)

donde C es una constante que se determina en el punto de referencia elegido. Esta idea

también se aplica a las ecuaciones (1.39) a (1.45).

2.  El potencial en un punto puede determinarse de dos maneras. según sea lo que se

conoce, la distribución de carga o E. Si lo que se conoce es la distribución de carga,

se emplea una de las ecuaciones (1.41) a (1.46), según la distribución de carga de

que se trate. Si lo que se conoce es E, se emplea sencillamente

(1.47)

La diferencia de potencial V  AB puede hallarse generalmente a partir de

(1.48)

Page 24: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 24/53

 

1.4. Ecuación de Poisson y Laplace (Problemas con Valores en la Frontera en

Coordenadas Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas).

Para determinar el campo eléctrico E nos hemos servido por lo general de las leyes de

Coulomb o de Gauss cuando la distribución de carga es conocida y de

cuando

el potencial V es conocido en toda la región. En la práctica, sin embargo, no es común quese conozcan ni la distribución de carga ni la distribución de potencial.

Consideraremos problemas prácticos de electrostática en los que sólo se conocen las

condiciones electrostáticas (carga y potencial) en algunas fronteras y se desea hallar E y V

en toda la región. Tales problemas, llamados problemas con valor en la frontera, suelen

abordarse con ecuación de Poisson1 o de Laplace2. Tras examinar los conceptos de

resistencia y capacitancia, usaremos la ecuación de Laplace para deducir la resistencia de

un objeto y la capacitancia de un capacitor (o condensador).

1.4.1.  Ecuaciones de Poisson y de Laplace

Las ecuaciones de Poisson y de Laplace se deducen fácilmente de la ley de Gauss (en el

caso de un medio material lineal.

(1.49)

Y

  (1.50)

La sustitución de la ecuación (1.50) en la ecuación (1.49) da como resultado

(1.51)

en el caso de un medio no homogéneo. En el de un medio homogéneo, la ecuación (1.51)

se convierte en

(1.52)

1Así llamada en honor a Simón Denis Poisson (1781-1840), físico matemático francés.

:Así llamada en honor a Pierre Simón Laplace (1749-1829), astrónomo y matemático francés. 

Page 25: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 25/53

 

Ésta es la ecuación d e Poi sson. Un caso especial de esta ecuación ocurre cuando  

(es decir, en una región sin carga). La ecuación (1.52) se convierte entonces en

(1.53)

la ecuación d e La place. La eliminación de del miembro izquierdo de la ecuación (1.53)

para obtener la ecuación (1.52) implica que es constante en toda la región asociada con

la definición de V: sin embargo,  no es constante en una región no homogénea, caso el

que la ecuación (1.52) no puede derivarse de la ecuación (1.53). Esta última es la ecuación

de Poisson para un medio no homogéneo; se convierte en la ecuación de Laplace para un

medio no homogéneo cuando .

Así, en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, la ecuación de Laplace está dada

respectivamente por

(1.54)

(1.55)

(1.56)

según el potencial sea �  En esos mismos sistemas de

coordenadas, la ecuación de Poisson puede obtenerse mediante el simple reemplazo por  del cero del miembro derecho de las ecuaciones (1.54), (1.55) y (1.56).

La ecuación de Laplace es de primera importancia en la resolución de problemas

electrostáticos que implican un conjunto de conductores mantenidos en diferentes

potenciales, como es el caso de los capacitores y diodos de tubos al vado. Pero además de

ser i para resolver problemas de campos electrostáticos, las ecuaciones de Laplace y de

Poisson también se usan en problemas relativos a campos de otro tipo. Por ejemplo, V se

interpretaría como potencial magnético en magnetostática, temperatura en la conducción

de calor, función de esfuerzo en el flujo de fluidos y carga de presión en filtración.

Page 26: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 26/53

 

1.4.2.  Teorema de unicidad.

Puesto que un problema puede resolverse con varios métodos (analítico, gráfico, numéri-

co, experimental, etc.), cabría preguntarse si las diversas soluciones que es factible ob-

tener de la ecuación de Laplace son diferentes entre sí. Por tanto, antes de proceder a

resolver esa ecuación es preciso responder a esta pregunta: si una solución de la ecuación

de Laplace satisface un conjunto dado de condiciones en la frontera, ¿es la única solución

posible? La respuesta es afirmativa: sólo hay una solución. Una única solución. Así, cual-

quier solución de la ecuación de Laplace que satisfaga las condiciones en la frontera será

la única, sin importar el método empleado para obtenerla. Éste es el t eor ema d e unici d ad  ,

el cual se aplica a cualquier solución de la ecuación de Poisson o de Laplace en una región

o superficie cerrada específica.

El teorema de unicidad se comprueba por contradicción. Si se parte del supuesto de que

dos soluciones y  de la ecuación de Laplace satisfacen las condiciones en la frontera

prescritas, entonces

 

(1.57a)

  en la frontera (1.57b)

Después se considera su diferencia

(1.58)

la cual obedece a

(1.59a) 

(1.59b)

lo cual está de acuerdo con la ecuación (1.57). Con base en el teorema de la divergencia

  (1.60)

Page 27: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 27/53

 

Sea   y empleemos una identidad vectorial

 

 

Pero, de acuerdo con la ecuación (1.59), , de manera que

  (1.61)

La sustitución de la ecuación (1.61) en la ecuación (1.60) da como resultado

(1.62) 

De las ecuaciones (1.57) y (1.59) se deduce claramente que el miembro derecho de la

ecuación (1.62) tiende a cero.

Por lo tanto:

 

Puesto que la integración siempre es positiva,

(1.63a)

O

Constante en todas partes en v  (1.63b)

Page 28: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 28/53

 

Sin embargo, la ecuación (1.63) debe ser congruente con la ecuación (1.57b). Así,  

o    en cualquier parte, lo que indica que   no pueden ser diferentes

soluciones del mismo problema. 

De acuer d o con el   teor ema de uni c idad  , si se puede determinar que una solución de la

ecuación de La place satisface las condiciones en la frontera, esa solución es la única. 

Podrían seguirse pasos similares para demostrar que este teorema también se aplica a la

ecuación de Poisson, así como para comprobarlo en relación con el caso en el que se

especifica el campo eléctrico (gradiente del potencial) en la frontera.

Antes de iniciar la resolución de problemas con valor en la frontera, ténganse presente las

tres cosas que describen inequívocamente a un problema: 

1.  La ecuación diferencial apropiada.

2.  La región de la solución.

3.  Las condiciones en la frontera prescritas.

Ningún problema tiene una solución única ni puede resolverse por completo en ausencia,

de estos elementos.

Page 29: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 29/53

 

1.4.3.  Procedimiento general para resolver la ecuación de Poisson o de Laplace

El procedimiento general que se describirá a continuación es útil para resolver problemas

con valor en la frontera que impliquen la ecuación de Poisson o de Laplace:

1. Se resuelve la ecuación de Laplace (si 0 ) o la de Poisson (si 0 ) mediante:

a)  integración directa cuando V es una función de una variable, o

b)  separación de variables cuando V  es  una función de más de una variable. La

solución aún es única en este punto. pero se expresa bajo la forma de las

constantes de integración desconocidas por determinar.

2. Se aplican las condiciones en la frontera para determinar la solución única de V . La

imposición de las condiciones en la frontera dadas vuelve única la solución.

3. Habiendo obtenido V, se halla E mediante  mediante  . 

4. Si se desea, se calcula la carga Q inducida en un conductor mediante  ,donde es la componente de D normal al conductor. De ser necesario

se determina mediante C = Q/V la capacitancia entre dos conductores.

Resolver la ecuación de Laplace (o de Poisson), paso 1 de este procedimiento, no siempre

es tan complicado como parece. La solución puede obtenerse a veces de la mera

inspección del problema. Asimismo, una solución puede comprobarse por retroceso y

determinando si satisface tanto la ecuación de Laplace (o de Poisson) como las

condiciones en la frontera prescritas.

Page 30: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 30/53

 

1.4.4.  Ejemplo 1.4

a) Determine la función de potencial de la región dentro del tanque rectangular de lon-

gitud infinita cuya sección transversal aparece en la figura 1.11 

b ) Respecto de V0 = 100 V y b = 2a , halle el potencial en x = a /2, y = 3a /4.

Figura 1.11 Potencial V ( x , y) debido a

un tanque conductor rectangular. 

Solución:

a )  En este caso, el potencial V depende de x y y. La ecuación de Laplace se convierte

en

 

(1.64)

Esta ecuación debe resolverse en sujeción a las siguientes condiciones en la frontera:

� (1.65a)

� � (1.65b) � (1.65c)

� (1.65d)

La ecuación (1.64) se resuelve con el método de se par ación d e v ari ables; es decir, se busca

una solución de producto de V. Sea

(1.66)

Page 31: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 31/53

 

Cuando X  sólo es una función de x y Y sólo es una función de y.

      

La división entre  X Y y la separación de  X  respecto de Y produce

 

  (1.67a)

Puesto que el miembro izquierdo de esta ecuación es sólo una función de  x y el miembro

derecho es sólo una función de y, para que la igualdad se sostenga ambos miembros

deben ser iguales a una constante ; es decir,

 

 

(1.67b)

La constante

se llama const ant e d e se par ación.

     (1.68a)

Y

  (1.68b)

Separadas las variables, las ecuaciones ant erior es  reciben el nombre de ecuaciones 

se par ad as.  X (x) y  Y (y) se despejan por separado. Para ello es necesario separar, de ser

posible, las condiciones en la frontera, de esta forma:

(1.69a)

(1.69b)

(1.69c)

(1.69d)

Page 32: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 32/53

 

Caso A.

Si

, La ecuación (1.68a ) se convierte en

   o  

lo que tras integrar dos veces, produce 

  (1.70)

Las condiciones en la frontera de las ecuaciones ( 1.69a ) y ( 1.69b ) implican que

  o  

Y

  o    

puesto que . De ahí que la solución de  X  en la ecuación (1.70) se convierta en

   

de lo que resulta que V = 0 en la ecuación (1.66).Así, se considera a  X (x) = 0 como una

solución trivial y se concluye que .

Page 33: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 33/53

 

CASO B.

Si

, digamos

, la ecuación (1.68a ) se convierte en

     o    

donde

 

Es decir,

(1.71)

lo que indica que tenemos dos soluciones posibles, correspondientes a los signos más y

menos. En cuanto al signo más. La ecuación (1.71) se convierte en 

o

 

Por lo tanto,

o �� ��  

donde

�� es una constante de integración. Así 

  (1.72a) 

En cuanto al signo menos, de igual modo, la solución de la ecuación (1.71) es

  (1.72b)

La solución total se desprende de las ecuaciones (1.72a ) y (1.72b) ; esto es.

Page 34: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 34/53

 

  + (1.80)

Puesto que   y o ���� y ���� la ecuación (1.80) puede expresarse

como

  ���� ���� (1.81)

Donde y . En vista de las condiciones en la frontera dadas la

solución de la ecuación (1.81) es preferible a la de la ecuación (1.80). De nuevo, las

ecuaciones ( 1.69a ) y ( 1.69b ) implican que

  o  

Y

   

Puesto que y ,   no puede ser igual a cero. Esto se debe a que   si y sólo si . Como se muestra en la figura 1.12. De ahí que y   

Ésta también es una solución trivial, de manera que concluimos que no puede ser menor

que cero.

Figura 1.12 Diagrama del cosh x y el senh x que

demuestra que senh x = 0 si y sólo si  x = 0. 

Page 35: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 35/53

 

CASO C . 

Si , digamos Si , la ecuación ( 1.68a ) se convierte en

    es decir,

  o (1.82) 

Donde

   . De las ecuaciones (1.71) y (1.82) se deduce que la diferencia entre los

casos B y C consiste en reemplazar por  . Siguiendo el mismo procedimiento que en

el caso B. la solución se obtiene de esta forma

  (1.83a)

Puesto que ��� ��� y ������la ecuación

(1.83a ) puede expresarse como

  � ��� ��� (1.83b)

Donde y   

En vista de las condiciones en la frontera dadas, es preferible usar la ecuación (1.83b). La

imposición de las condiciones de las ecuaciones (1.69a) y (1.69b) resulta en

  o  

   

Page 36: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 36/53

 

Supongamos que (pues de lo contrario obtendríamos una solución trivial); en

consecuencia

��� ���   , n= 1, 2, 3, 4, (1.84)

Figura 1.13 Diagrama del sen x que demuestra que sen x= 0

en un número infinito de puntos

Nótese que, a diferencia de , el cual es igual a cero sólo cuando  , es

igual a cero en un número infinito de puntos, como se observa en la figura 1.13.

Adviértase asimismo que

, puesto que

; ya consideramos la posibilidad

en el caso A, en el que obtuvimos una solución trivial. De igual forma, no esnecesario que consideremos puesto que   no variará con

valores positivos y negativos de . Respecto de una dada, así, la ecuación ( 1.83b ) se

convierte en

��� (1.85)

Habiendo determinado

 y

(1.86)

Page 37: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 37/53

 

 

Se resuelve la ecuación (1.68b), la cual es ahora

 

La solución de esta ecuación es similar a la de la ecuación (1.81) obtenida en el caso B; es

decir,

���� ���� 

La condición en la frontera de la ecuación ( 1.69c ) implica que

o  

De ahí que la solución de  se con vierta en

  ���� (1.87)

Esto indica que hay muchas posibles soluciones , y así sucesivamente cuando y así sucesivamente.

Por efecto del t eor ema  d e  super  posición , si , son soluciones de la

ecuación de Laplace, la combinación lineal

 

(donde son constantes) también lo es. Así, la solución de la ecuación

(1.64) es

��� ���� (1.88)

Page 38: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 38/53

 

Donde   son los coeficientes por determinar con la condición en la frontera de

la ecuación (1.69d  ). La imposición de esta condición resulta en

��� ���� (1.89)

Lo cual es un desarrollo en serie de Fourier de  , Al multiplicar por ambos

miembros de la ecuación (1.89) e integrar sobre  se obtiene

���

����

���

���

 

(1.90)

En razón de la propiedad de ortogonalidad de la función seno o coseno.

��� ���  

La incorporación de esta propiedad a la ecuación (1.90) significa que todos los términos

del miembro derecho de ésta tenderán a cero, salvo aquellos en los que . Así, la

ecuación (1.90) se reduce a

��� ���� ���

 

��

� ����

 

O

���� ��� 

Page 39: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 39/53

 

 

Es decir,

(1.91) 

La sustitución de esta expresión en la ecuación (1.88) da como resultado la solución final

(1.92)

Com probación  :  ,l a ecuación (1.92), solución de nuestro problema, no debería sorprender: en

realidad era posible inferirla de la mera observación del sistema de potencial de la figura

1.11. De ésta se deduce que, a lo largo de   varía de a  requisito que sólo una función seno puede satisfacer. A lo largo de y, asimismo, V varía de a circunstancia que sólo una función de seno hiperbólico

puede satisfacer.

Era de esperar entonces una solución como la ofrecida por la ecuación (1.92).

Para determinar el potencial en cada punto   del tanque, se toman los primeros

términos de la serie convergente infinita de la ecuación (1.92); basta tornar cuatro o cinco

de ellos.

b)  Respecto de  y , donde , tenemos

��� ���� ����

 

Page 40: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 40/53

 

��� ���� ���� ��� ���� ���� ��� ���� ����  

 

 

Sería ilustrativo considerar el caso especial en el que  V. En la

figura 1.14( a ) se presenta el resultado del cálculo, mediante la ecuación (1.92), del

potencial en algunos puntos específicos, y en la figura 1.14 (b) las líneas de flujo y líneas

equipotenciales correspondientes.

Figura 1.14 Para el ejemplo 1.4: (a) cálculo de V(x, y) en algunos puntos;(b) diagrama

de flujo y líneas equipotenciales 

Page 41: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 41/53

 

1.5. Densidad de corriente, Ecuación de Continuidad, Condiciones de

Frontera, Ley de corriente de Kirchhoff, Ley de Joule

1.5.1.  Densidad de corriente

En teoría de campos electromagnéticos trabajamos básicamente con magnitudes

definidas en amplias zonas del espacio, como son los campos escalares o vectoriales, y

tratamos de establecer las relaciones que existen entre ellos. La corriente eléctrica no es

una excepción. Usualmente precisaremos conocer no sólo la cantidad de carga eléctrica

que atraviesa una determinada sección de conductor por unidad de tiempo, sino también

la manera en que se distribuyen espacialmente esas cargas en movimiento. La densidad

de corriente proporciona esa información. Si la corriente fluye a través de una

superficie

, la densidad de corriente es:

 

(1.93)

esto es parte del supuesto de que la densidad de corriente es perpendicular a la

superficie. Si la densidad de corriente no es normal a la superficie,

(1.94)

De este modo, la corriente total que fluye a través de una superficie es;

(1.95)

Según como se produzca , existen diferentes tipos de densidad de corriente: densidad de

corriente de convección, densidad de corriente de conducción y densidad de corriente de

desplazamiento. La ecuación 1.95 se aplica a cualquier tipo de densidad de corriente,

indicando que la corriente a través de es sencillamente el flujo de la densidad de

corriente .La corriente de convección no implica conductores así que no satisface la ley de ohm.

Ocurre cuando la corriente fluye a través de un medio aislador como líquido, gasenrarecido o el vacío.

La densidad de corriente en un punto dado es la corriente a través de un área unitaria

normal en ese punto.

Considérese la figura 1.15:

Page 42: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 42/53

 

 

Figura 1.15  Corriente en un filamento

En presencia de un flujo de carga de densidad a una velocidad la corriente a

través del filamento está dada por: 

(1.96)

La densidad de corriente en dirección    está dada por:

 

(1.97) 

Así pues, en general

  (1.98) 

La corriente es la corri ent e d e conv ección y

 es la d ensi d ad  d e corri ent e d e conv ección,

en amperes/metro cuadrado ( � ).

La corriente de conducción requiere de un conductor que se caracteriza por tener una

gran cantidad de electrones libres, los cuales suministran corriente de conducción debida

a un campo eléctrico aplicado. Cuando se le aplica un campo eléctrico  la fuerza sobre un

electrón con carga es

(1.99)

Puesto que tal electrón no se encuentra en el vacío, no se acelerará por el efecto del

campo eléctrico. Sufrirá una colisión constante con la red atómica e irá a la deriva de un

átomo a otro. De acuerdo con la ley de Newton, el electrón con masa se desplaza en un

campo eléctrico  con una velocidad de deriva promedio de , el cambio promedio en el

momento del electrón libre debe ser proporcional a la fuerza aplicada. Así,

  (1.100)

Page 43: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 43/53

 

(1.101)

Donde es el intervalo temporal promedio entre colisiones. Esto indica que la velocidad

de deriva del electrón es directamente proporcional al campo aplicado. Si hay

 

electrones por unidad de volumen, la densidad de carga electrónica está dada por (1.102)

Así, la densidad de corriente de conducción es

  (1.103) 

    (1.104) 

Donde es la conductividad del conductor, a la relación de la ecuación (5.10) se

le conoce como la forma puntual de la ley de Ohm.

Page 44: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 44/53

 

1.5.2.  Ecuación de continuidad.

De acuerdo con el principio de conservación de la carga, la rapidez de reducción de carga

dentro de un volumen dado debe ser igual al flujo neto de corriente hacia fuera través de

la superficie cerrada del volumen. Así. la corriente  que sale de la superficie cerrada es

 (1.105)

Donde es la carga total encerrada por la superficie cerrada. Si se aplica el teorema de

la divergencia.

 

(1.106)

Pero

(1.107)

La sustitución de las ecuaciones (1.106) y (1.107) en la ecuación (1.105) da como resultado

 

O

(1.108) 

Esta última ecuación recibe el nombre de ecuación de continuidad de la corriente. Esta

ecuación deduce del principio de conservación de la carga y establece en esencia que no

puede haber acumulación de carga en ningún punto. E , por tanto , lo que

indica que la carga total que sale de un volumen es la misma que la carga total que entra

en él. La ley de la corriente de Kirchhoff se desprende de este principio.

Examinemos ahora, tras haber considerado la ecuación de continuidad y las propiedades y de los materiales, el efecto de la introducción de carga en algún punto interno de un

Page 45: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 45/53

 

material (conductor o dieléctrico) dado. A ello se le aplica la ecuación (1.108) junto con la

ley de Ohm

(1.109)

Y la ley de Gauss (1.110)

La sustitución de las ecuaciones (1.109) y (1.110) en la ecuación (1.108) da como resultado

� (1.111)

Ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea. Al separar las variables de la

ecuación (1.111) se obtiene

(1.112)

Y la integración de ambos miembros resulta en

�� ��  

Donde �� es una constante de integración. Así 

(1.113)

De

(1.114)

En la ecuación (1.113),   es la densidad de carga inicial (es decir en ). Esta

ecuación indica que, como resultado de la introducción de carga en algún punto interior

del material, hay un descenso de densidad de carga volumétrica

. Con ese descenso se asocia un desplazamiento de carga del punto interior en el queésta fue introducida a la superficie del material. La constante temporal , (en segundos)

se llama t i em po d e r elajación o t i em po d e r eacomod o.

El tiempo de relajación es el tiempo que tarda una carga colocada en el interior de un

material para descender a de su valor inicial.

Page 46: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 46/53

 

1.5.3.  Condiciones de frontera.

Hasta aquí sólo nos hemos ocupado de la existencia del campo eléctrico en un medio

homogéneo. Sin embargo, un campo también existe en una región compuesta por dos

medios distintos, caso en el que en la interfaz que separa a esos medios debe satisfacerlas llamadas condiciones en la frontera. Estas condiciones son útiles para determinar el

campo en uno de los lados de la frontera si el campo en el otro lado es conocido.

Obviamente, tales condiciones son impuestas por el tipo de material con el que se han

producido los medios. Consideraremos las condiciones en la frontera en una interfaz entre

y  dieléctrico () y dieléctrico ()

y  conductor y dieléctrico

y  conductor y vacío

Para determinar las condiciones en la frontera debemos emplear las ecuaciones de

Maxwell

 (1.15)

y

  (1.116)

Y descomponer la intensidad de campo eléctrico  en dos componentes ortogonales:

  (1.117) 

Donde   y   son, respectivamente los componentes de   tangencial y normal a la

interfaz de interés. También la densidad de flujo eléctrico  puede descomponerse de la

misma manera.

Page 47: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 47/53

 

1.5.3.1.  Condicione s en la frontera dieléctrico dieléctrico . 

Considérese el campo existente en una región compuesta por dos dieléctricos distintos

caracterizados por

y

como se muestra en la figura 1.16(a).

y

 

en los medios 1 y 2, respectivamente, pueden descomponerse así: (1.118)

(1.119)

Se aplica entonces la ecuación (1.15) a la trayectoria cerrada abcd a de la figura 1.16(a), 

partiendo del supuesto de que tal trayectoria es muy reducida respecto de la variación de

. De ello se obtiene

(1.120)

Donde y . Cuando , la ecuación (1.120) se convierte en

(1.121) 

Así, las componentes tangenciales de son iguales en los dos lados de la frontera. En

otras palabras, no sufre ningún cambio en la frontera: es cont i nua de un lado a otro de

la frontera. Puesto que , la ecuación (1.121) puede expresarse como

(1.122)

Es decir, sufre algún cambio a través de la interfaz: esd 

i scont i nua de un lado a otro dela interfaz.

Page 48: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 48/53

 

 

Figura 1.16 Frontera dieléctrico dieléctrico. 

En forma similar, se aplica la ecuación (1.116) al objeto (superficie gaussiana) de la figura

1.16 (b). Si concedemos , entonces

(1.123)

Donde es la densidad de carga libre deliberadamente colocada en la frontera. Téngase

presente que la ecuación (1.123) se basa en el supuesto de que se dirige de la región 2 a

la región 1, de modo que esta ecuación debe aplicarse en consecuencia. Si en la interfaz

no existe ninguna carga libre (es decir, si ahí no se han colocado cargas en forma

deliberada), y la ecuación (1.123) se convierte en

(1.124)

De esta manera, la componente normal de es continua de un lado a otro de la interfaz,esto es  no sufre ningún cambio en la frontera. Puesto que , la ecuación (1.124)

puede expresarse como

(1.125)

lo que indica que la componente normal de es discontinua en la frontera. Las

ecuaciones (1.121) y (1.123) o (1.124) reciben en conjunto el nombre de cond iciones en la 

 front er a deben ser satisfechas por un campo eléctrico en la frontera que separa a dos

dieléctricos distintos.

Como ya se mencionó, las condiciones en la frontera suelen aplicarse para determinar el

campo eléctrico en un lado de la frontera dado el campo en el otro lado. Pero además, las

condiciones en la frontera pueden usarse para determinar la "refracción" del campo

eléctrico a través de la interfaz. Considérese o y o , los cuales forman los

ángulos y con la nor mal   a la interfaz, como se ilustra en la figura 1.17 Usando la

ecuación (1.121), tenemos

Page 49: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 49/53

 

��� ��� 

O ��� ��� (1.126)

Figura 1.17 Refracción de D o E en una frontera dieléctrico - dieléctrico 

De igual forma, la aplicación de la ecuación (1.124) o (1.125) resulta en

��� ���  

o

��

� ��

� (1.127) 

Al dividir la ecuación (1.126) entre la ecuación (1.127) se obtiene

(1.128)

Puesto que y , la ecuación (5.33) se convierte en

(1.129)

Esta es la ley d e r e fr acción del campo eléctrico en una frontera libre de carga (puesto que

se da por sentado que en la interfaz ). En general, así, una interfaz entre dos

dieléctricos produce una flexión en las líneas de flujo como resultado de la acumulación

en los lados de la interfaz de cargas por polarización desiguales.

Page 50: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 50/53

 

1.5.3.2.  Condicione s en la frontera conductor dieléctrico . 

Este caso se ilustra en la figura 1.18 Se da por supuesto que el conductor es perfecto (es

decir,

). Aunque en la práctica no existen conductores de ese tipo, el

cobre y la plata puede n considerarse conductores perfectos.

Figura 1.18 Frontera conductor dieléctrico. 

Para determinar las condiciones en la frontera en el caso de una interfaz conductor -

dieléctrico se sigue el mismo procedimiento que en la interfaz dieléctrico dieléctrico,

salvo que se incorpora el hecho de que dentro del conductor. La aplicación de la

ecuación (1.15) a la trayectoria cerrada abcd a de la figura 1.18 (a) da como resultado

(1.130)

Cuando ,

(1.131)

De igual modo, de la aplicación de la ecuación (1.16) al objeto de la figura 1.18 (b)  y

haciendo que obtenemos

(1.132)

Puesto que dentro del conductor. La ecuación (1.132) puede expresarse

como

� (1.133)

Page 51: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 51/53

 

En condiciones estáticas, así, es posible llegar a las conclusiones siguientes acerca de un

conductor perfecto:

1.  Dentro de un conductor no puede existir ningún campo eléctrico; es decir,

(1.134)

2.  Puesto que , no puede haber ninguna diferencia de potencial entre

dos puntos cualesquiera en el conductor; esto es, un conductor es un cuerpo

equipotencial.

3.  El campo eléctrico  puede ser externo al conductor y normal a la superficie de

este; es decir,

(1.135)

Page 52: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 52/53

 

1.5.3.3.  Condicione s en la frontera conductor vacío . 

Éste es un caso especial de las condiciones conductor - dieléctrico y se ilustra en la figura

5.5, Las condiciones en la frontera en la interfaz entre un conductor y el vacío pueden

obtenerse de la ecuación (1.135) mediante el reemplazo de por 1 (ya que el vacío

puede considerarse como un dieléctrico especial respecto del cual  = 1). Si, como cabe

esperar, el campo eléctrico es externo al conductor y normal a la superficie de éste, las

condiciones en la frontera son 

(1.136)

Cabe destacar que la ecuación (1.136) implica que el campo

  debe aproximarse

normalmente a la superficie de un conductor.

Figura 1.19 Frontera conductor vacio. 

Page 53: Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias

5/9/2018 Campo Electrostático y Corrientes Eléctricas Estacionarias - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/campo-electrostatico-y-corrientes-electricas-estacionarias 53/53