canales teoría
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HIDRAULICA GENERAL
CANALES Escurrimientos a Superficie Libre
Responsable: Ing. Rafael LOPEZ DIAZ Docentes : Ing. Fernando CAZON NARVAEZ Auxiliar Docente Sr. Ramiro Arancibia Alumnos : Srta Catherine Laspiur Srta Marcela Flores
CENTRO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Avda. Bolivia 5150 – Tel: 425-5377 – Fax: 425-5351
[email protected] COMISIÓN 2009
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CANALES: 1.- Generalidades Definición: Un canal es en general un conducto que conduce un líquido en contacto permanente con la atmósfera a través de una porción de su contorno denominado superficie libre la cual puede considerarse isobárica. Los cursos de agua naturales, ríos o torrentes constituyen casos típicos de escurrimientos en canales. Pueden existir movimientos permanentes y no permanentes. En el primer caso, la velocidad en un punto dado es independiente del tiempo, mientras que en el segundo caso, varían con el tiempo. El movimiento permanente puede ser a su vez uniforme o variado según sus secciones transversales sean iguales o diferentes entre si. 2.- Escurrimiento Permanente: 2.1. Movimiento Uniforme: Si el movimiento es uniforme requiere que todas las secciones transversales sean iguales, resulta forzoso que todos los elementos que configuran el escurrimiento, altura o tirante de agua, forma de dichas secciones, pendiente del fondo del canal, permanezcan constante (y de esta forma en el canal se mantiene el movimiento uniforme).
J = pendiente de la línea de energía total. I= pendiente de la superficie libre i = pendiente del fondo del canal
En el movimiento uniforme
Si h1 = h2 , J=I=i por lo tanto ∆J=∆z (se cumple) En consecuencia, la superficie libre debe ser paralela a cualquier sección longitudinal del fondo. Esto mismo puede expresarse diciendo que la pendiente del fondo y la superficie libre deben ser iguales.
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3.- Valores de la Velocidad y el Caudal:
Recordando que por la pequeña inclinación del fondo, se puede sustituir el ángulo de inclinación por su seno o tangente, bastara igualar la componente del peso en la dirección del escurrimiento con las fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento. Para ángulos pequeños.
i = ∆z/L = senα además α=senα= tgα i = ∆z/l = tgα
( ) iLsenL ⋅⋅Ω⋅=⋅⋅Ω⋅ γαγ (1) En donde Ω = sección transversal Las fuerzas de rozamiento se pueden suponer proporcionales al cuadrado de la velocidad media y el área de contacto entre las paredes y el líquido, es decir:
LvkavkFr ⋅⋅⋅=⋅⋅= χ22 (2)
En donde a= área de contacto y = perímetro mojado
Igualando la ecuación (1) con la (2) obtenemos:
2v vL i k L ikγγ χ
χΩ
⋅Ω ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Denominando a la relación R=Ωχ “Radio Hidráulico” llegamos a que:
R i C R ikγ
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅v (Ecuación de Chezy)
En donde C es el coeficiente de Chezy, que es función de la rugosidad de las paredes y el radio hidráulico. El caudal Q = V.Ω será entonces iRCQ ⋅⋅⋅Ω= , por otro lado, la expresión más utilizada para el coeficiente C es la formula de Manning, a saber:
1 2 21 16 3 32 21 1 1V y elcaudalC R R i Q R i
η η η= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = Ω⋅ ⋅ ⋅
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4.- Características de la sección de escurrimiento: Denominaremos Ω = Superfície transversal h= tirante R = radio hidráulico χ= perímetro mojado, es el contacto entre el
Líquido y las paredes del canal
De las distintas formas de secciones transversales y de acuerdo a la formula iCv ⋅Ω
⋅=χ
, dada
una Ω = constante y para velocidad máxima, las condiciones de perímetro mojado mínimo se logra para secciones circulares o semicirculares, que, sin embargo, se utiliza poco en la practica por las dificultades constructivas que supone las cuales se suelen reemplazar por las trapeciales.
Con m= talud Bf = ancho de fondo
n = coef. de Manning es función de la rugosidad de las paredes
La expresión 2 1
3 21 R iη
= Ω⋅ ⋅ ⋅Q es de rápida aplicación cando se conocen (Bf, h, m, i) y se quiere
determinar Q, como es el caso de un canal construido y se quiere saber cual es el caudal que transporta. No ocurre lo mismo en el caso inverso, es decir cuando se quiere dimensionar el canal para un caudal dado, que es el caso mas corriente, pues la “sección transversal” es función del ancho de fondo, del talud y del tirante, y “el radio hidráulico” es función de las mismas características pero elevado a 2/3, por tanto, el procedimiento de calculo del tirante o del ancho de fondo es por un procedimiento iterativo (mediante planilla de Excel). No obstante, se provee de tablas para el calculo para la ocasión en que no se cuente con acceso a planillas de calculo, en estas Tablas se efectuaron un agrupamiento de los diversos elementos que intervienen en los aspectos geométricos e hidráulicos del escurrimiento y permiten el cálculo expeditivo de la incógnita compatible con el problema que se plantea. Esas tablas son debidas al ingeniero José Gandolfo de la Universidad de La Plata, partiendo de
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2
13
21iRQ ⋅⋅⋅Ω=
η , como R=Ωχ
entonces reemplazando el valor del radio hidráulico, obtenemos que:
32
352
1−
⋅Ω⋅= χη
iQ
Siendo esta ultima la expresión general del gasto para canales en movimiento permanente y uniforme con sección transversal de cualquier forma ya sea de contorno abierto o cerrado. Una vez establecida la forma que ha de tener la sección transversal, a ella le corresponderá una formula matemática para expresarla sección transversal, y otra para el perímetro mojado, que luego se reemplazan en la ecuación, a continuación veremos el procedimiento que se sigue para la confección de dichas tablas, tomando para ello los casos mas frecuentes, es decir canales trapeciales y rectangulares. 5.- Secciones trapeciales y rectangulares:
El talud queda definido como: ( )ϕtgm = mientras que la sección transversal es
( ) ( )hmBh
hhmBBf
ff ⋅+⋅=Ω⇒⋅⋅⋅++
=Ω2
2 ,
en tanto, el perímetro mojado 212 mhBf +⋅⋅+=χ Multiplicando y dividiendo por “h” a ambos miembros las ecuaciones correspondientes de área y perímetro mojado respectivamente, nos queda:
2hmh
Bf ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Ω hm
hBf ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+= 212χ
Y ahora, reemplazando en la ecuación general,
32
352
1−
⋅Ω⋅= χη
iQ
nos queda:
32
235
221
12
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅= hm
hB
hmh
BiQ ff
η
Operando algebraicamente, y acomodando términos, nos queda:
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5 21 3 32 10 223 3
5 23 3
281
32
8132
2 1
dejando los terminos adimensionales en el 2do miembro tenemos
2 1
1
f f
f f
f
B BiQ m h m hh h
B BQ m mh hi h
Q mhi h
B
η
η
η
−−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= + ⋅ + ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
5 23 3
21 2 1
f
mh
B
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ + ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Como los dos miembros de la ecuación son adimensionales, al segundo miembro se lo denomina Adimensional Trapecial y se lo representa “Atr”
8132
1 ,
f
Q Atr f mhi h B
η⎛ ⎞
⋅ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Esta ecuación fue tabulada en función de los diversos valores de h/Bf que se presentan en el campo de aplicación usual y agrupados en columnas de taludes (m) habituales o sea que para cada talud m se ha determinado el Atr dando sucesivos valores de h/Bf. También se puede determinar otra adimensional similar al anterior en donde en el primer miembro figura el ancho de fondo Bf en lugar del tirante h.
3/2
2
3/52
3/82/1.121.
..
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
ffff Bhm
Bhm
Bh
BimQ
También se lo designa adimensional trapecial y su notación es ´
trA . Veamos la confección de las tablas y su aplicación
h/Bf m=0 m=1/4 m=1 m=4 0.01 0.02 Atr 0.03
CASO 1 GENERAL Supongamos que queremos dimensionar un canal y ya hemos elegido su forma (trapecial). De acuerdo a las características del suelo, a la función del canal, a la disponibilidad de material en la zona, se decide si va a ser revestido o no, de tal manera, conocemos n. Pasos:
1. se elige un talud m de acuerdo a si va a ser revestido o no 2. se adopta la relación h/Bf 3. Con h/Bf y m se entra a la tabla y sacamos un Atr, y con ella 4. Calculamos h. Luego, como tenemos la relación h/Bf 5. Calculamos Bf .
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CASO 2 Datos conocidos: Q, i, n , h y m(de acuerdo al tipo de pared) Incógnita Bf =? Pasos:
1. se elige un talud m de acuerdo a si va a ser revestido o no 2. se calcula el Atr en tabla con este y el talud m determino h/Bf 3. Con h/Bf y h se determina Bf
También se puede determinar otro adimensional similar al anterior en donde en el primer miembro figura el ancho de fondo Bf en lugar del tirante h. la expresión queda:
5 22 3 32
1 82 3
1 82 3
1 2 1
'
f f ff
f
Q h h hm mB B Bi B
Q Atri B
η
η
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⋅=
⋅
También se lo designa Adimensional Trapecial y su notación es Atr’. CASO 3 Datos conocidos: Q, i, n , Bf y m(de acuerdo al tipo de pared) Incógnita h =? Pasos:
1. se elige un talud m de acuerdo a si va a ser revestido o no 2. se calcula el Atr’ en tabla con este y el talud m determino h/Bf 3. Con h/Bf y Bf se determina h
Veamos la tabla y su aplicación
h/Bf M=0 m=1/4 m=1 m=4 0.01 0.02 Atr’ 0.03
7.- Secciones más convenientes: A veces interesa determinar para algunas formas geométricas que secciones en igualdad de áreas son las que tienen mayor capacidad.
Analizando la expresión 2 1
3 21Q R iη
= Ω⋅ ⋅ ⋅ , es conveniente ver que es evidente que para que Q sea
máximo, R=Ωχ debe ser máximo, o sea el perímetro mojado χ debe ser mínimo, estas son las
llamadas secciones de mínima resistencia o sea que son las que transportan el mismo caudal con menor sección.
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De acuerdo a lo indicado anteriormente son las secciones circulares las que presentan menor perímetro mojado para una misma área. Esto no significa que la sección de mínima resistencia es la sección más económica. 8.- Secciones de mínima resistencia en canales trapeciales: Recordando, las expresiones del área y perímetro mojado en un canal trapecial son, respectivamente:
( )hmBh f ⋅+⋅=Ω 212 mhBf +⋅⋅+=χ
despejando Bf de la primera:
( )hmh
Bf ⋅−Ω
=
Y reemplazando en la segunda, nos queda que el perímetro mojado es:
212 mhhmh
+⋅⋅+⋅−Ω
=χ
Derivando con respecto a “h” e igualando a cero, a fin de encontrar un mínimo,
( )
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⋅
=∴+⋅+⋅−=
⇒=+⋅+−⋅+
−
⇒+⋅+−Ω
−==
mmB
hmm
h
B
mmh
hmB
mmhdh
d
f
f
f
2
02
0
22
0
0
22
0
12
1122
012
120χ
Entonces para cada valor de m existe una relación h/Bf que nos da la mínima resistencia. Una vez calculado el caudal, hay que hacer dos verificaciones:
1. velocidad máxima y mínima admisibles 2. verificación de la energía propia
Cuando hay libertad para elegir el ángulo del talud resulta la sección de mínima resistencia la que responde a un semi hexágono regular inscripto en una circunferencia de radio hr ⋅⋅= 3
32 y
circunscripto a otra de radio r=h y su radio hidráulico vale R 2h= .
9.- Determinación del Coeficiente C
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Planteada la ecuación de Chezy, iRCv ⋅⋅= , los esfuerzos de los hidráulicos se dirigieron por igual a comprobar la validez de dicha expresión como a determinar el valor del coeficiente que en ella figura. Entre las formulas mas usuales, podemos citar las siguientes: Formula de Ganguillet y Kutter:
Ri
Cηη
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
++=
00155.0231
700155.01
23; i = pendiente
En la cual η es otro coeficiente que depende de la rugosidad de las paredes. El principal problema de esta formula radica en su difícil aplicación. Formula de Kutter:
Rm
RC
+⋅
=100
Es una simplificación de la de Ganguillet y Kutter, en donde m depende de la naturaleza de las paredes del canal. Esta expresión es independiente de la pendiente i. Formula de Manning:
η
6 RC = En la cual n tiene el mismo significado que en la de
Ganguillet y Kutter Formula de Bazin:
R
RC
+⋅
=γ87
En donde γ depende de la naturaleza de las
paredes 10.- Criterios de Aplicación: Suele decirse que la formula de Ganguillet y Kutter es la mas exacta de las planteadas a causa de tener en cuenta a la pendiente del canal, sin embargo, ya se ha señalado que la influencia de la misma es muy reducida y la mayoría de las veces no se justifica su empleo, de una expresión tan poco sencilla. Por lo tanto, no puede afirmarse que una formula es preferible a otras para los casos comunes y la mejor prueba de ello es que las cuatro expresiones citadas se emplean actualmente en el mundo. Las diferencias entre una y otra no suelen pasar de un 5% y en la práctica esto tiene poca importancia por cuanto en la práctica los canales se construyen con una profundidad real mayor que el tirante hidráulico calculado. La única recomendación que cabe hacer es la de adoptar, dentro de lo posible una única expresión y trabajar siempre con la misma, a fin de poder comparar los propios resultados e ir formando de esta manera un criterio y elemento de juicio acerca de los valores numéricos de los coeficientes correspondientes a cada tipo de material empleado.
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11.- Distribución de Velocidades: Tal como ocurre en las cañerías, la velocidad del agua en un canal, definido como cociente del caudal sobre la sección, es solo una velocidad media distinta en general de la que verdaderamente existe en cada punto de la sección considerada. La forma de distribución aparece clara si se trazan las líneas llamadas isotaqueas, que se obtienen uniendo todos los puntos de igual velocidad real. La distribución de las curvas isotaqueas depende tanto de la forma de la sección transversal como de la naturaleza de las paredes como de la planimetría del canal.
La experiencia enseña que las velocidades son menores a causa del rozamiento en las proximidades del fondo y de las paredes, aunque los máximos no se producen en la superficie libre sino con mucha frecuencia algo por debajo de ella.
Diagrama de velocidades en una vertical Para tener en cuenta esta distribución de velocidades se debe afectar a la velocidad media V del coeficiente de Coriolis α. Sin embargo dicho coeficiente se suele admitir a un valor constante e igual a 10/9 suficientemente aproximado para los casos comunes. Es frecuente, también, adoptar el valor 1 para dicho coeficiente. En la mayoría de los casos, el error que se comete con esta ultima suposición, no es de importancia.
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12.- Energía Total y Energía Especifica o Propia.- Escurrimiento Critico Consideremos el escurrimiento en canal, refiriendo el movimiento a un plano horizontal A-A y tomando al eje de las X paralelo al fondo, dirigido en el sentido del movimiento, y sean 2 secciones transversales 1 y2 distantes entre sí dx, la energía disponible por unidad de peso del liquido haciendo α(coef.Coriolis) = 1, tenemos
21
1 1 1v
2E z h
g= + +
⋅ 22
2 2 2v
2E z h
g= + +
⋅
La energía perdida o disipada a causa de la resistencia hidráulica será: J1-2 La que puede ser escrita como
J1-2 = dE1-2 = E1 – E2 = I.dx (1) Para el caso de movimiento uniforme
h1 = h2 ; v1=v2 La pendiente de la línea de energía I es igual a la pendiente del fondo del canal i, se puede escribir
dE1-2 = E1 – E2 = I.dx = z1 – z2
1-2dE =Idx = (2)
En términos de energía significa que I representa el trabajo (kg.m) empleado para vencer las resistencias hidráulicas por cada kg de agua para recorrer una distancia de 1 metro.
I
I
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La potencia necesaria para el escurrimiento de un caudal Q a lo largo del recorrido L será
( ).v = QN L i L Iγ γ= ⋅Ω⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ siendo g el peso especifico del agua. Resulta también conveniente dar el concepto de Energía Especifica en vista de la aplicación que tiene en muchos casos prácticos y por la utilidad que representa en el movimiento permanente variado. Consideremos nuevamente un escurrimiento uniforme en un canal pero ahora refiriéndonos al plano del fondo para cada sección, se denomina Energía Especifica a la suma de:
2 2
2
v (3)2 2
QH h o tambien H hg g
= + = +⋅ ⋅ ⋅Ω
que indica la distancia entre el plano de energía total al plano del fondo del canal.
Evidentemente para un caudal constante resulta de la ecuación 3 que H=f(h) y dentro del régimen uniforme, las variaciones de h deben suponerse por un cambio de pendiente i o por un cambio de rugosidad o sea del cambio del coeficiente C.
Es importante que mientras la expresión gvhzE ⋅++= 2
2 nos da los valores de la energía
total referida a un plano fijo, la energía especifica H dada por la ec. (3) y referida al plano de fondo, de cota variable de sección a sección expresa la relación entre dicho valor y los distintos tirantes de agua posibles. En movimiento uniforme H es igual para todas las secciones, pues h=constante y como ( )hfH = ,
entonces: 0=dLdH
Todo lo contrario sucede cuando es el movimiento permanente (Q=const) variado, h varia de sección a sección, 0≠
dLdH
Es decir: “Si la sección transversal del canal es de forma y dimensiones constantes, un mismo Q puede escurrir en movimiento permanente y uniforme con infinitos tirantes h, todos constantes, y definidos por el valor de la pendiente y/o rugosidad en cada caso”. Así, a cada valor de h le corresponde uno de Energía Especifica H. También se denomina a H como energía propia.
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Para un determinado caudal Q, la ec. (3) puede escribirse como:
2
2
2 Ω⋅⋅+=
g
QhH (4)
Si se traza el diagrama de “Energía Especifica” se obtiene el valor de H como la suma de una recta inclinada a 45º con una curva de tipo hiperbólica, con las siguientes particularidades:
1º) 2
2; 0;2
Qh Hg
→∞ = →∞⋅ ⋅Ω , es decir la curva tiende asintóticamente a la recta de 45º (H=h)
2º) 2
20; ;2
Qh Hg
→ = ∞ →∞⋅ ⋅Ω , la curva tiende asintóticamente a la rama superior
3º) El valor de la energía especifica (propia) pasa por un mínimo, Hmin (punto C) para un único
valor del tirante denominado “tirante critico hc”, el cual depende exclusivamente de las características geométricas de la sección para un Q dado. El Hmin es el mínimo contenido de energía de la corriente para que el gasto Q pueda escurrir.
4º) Para un valor de H> Hmin existen dos tirantes llamados “tirantes conjugados” (por ej. h1 y h2). Esto quiere decir que el gasto podrá existir con un tirante pequeño (h1) y una velocidad grande o con un tirante grande (h2) y una velocidad pequeña para idénticas valores de la energía propia.
5º) El hc divide a todas las formas del escurrimiento del gasto Q en dos grupos perfectamente definidos: a) los escurrimientos en régimen veloz, torrencial o fuerte que son aquellos en los que el tirante es menor que hc, en los que a un aumento de tirante corresponde una disminución de la energía propia y viceversa;
Régimen Veloz (Torrencial) 0; <<dhdH
hch
b) Los escurrimientos lentos, tranquilos o fluviales que son aquellos en los que el tirante es mayor que hc y en los que a un aumento del tirante corresponde un aumento de la energía propia (especifica) y viceversa:
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Régimen Lento (Tranquilo) 0; >>dhdH
hch
c) un tercer escurrimiento corresponde para el caso que h= hc, y es precisamente el régimen critico.
A la pendiente que provoca dicho escurrimiento se la denomina ci , pendiente critica, y le corresponde una velocidad denominada critica vc, que es mayor que las del régimen lento y menor que las del régimen torrencial o veloz: TCL vvv << . De la misma manera, la pendiente critica es menor que las del régimen torrencial y mayor que las del régimen lento: TCL iii << .
Analizaremos a continuación las conclusiones que nos llevan las consideraciones precedentes para el caso de un canal de sección rectangular y para una sección constante de un canal prismático. Sección Rectangular:
hb ⋅=Ω
22
2
2
2
2
2
hbg
QhH
g
QhH
⋅⋅⋅+=
⇒Ω⋅⋅
+=
Para hallar el valor de Hmin hacemos: 0=dhdH
2 2
2 31 0; 1 0dH Q dH vdh dh g hg b h
= − = = − =⋅⋅ ⋅
En donde, de la primera ecuación podemos decir que:
32
2
bg
Qhch
⋅== Y de la segunda obtenemos: (1)cv g hc= ⋅
Resultando 1cvg hc
=⋅
Por lo que el numero de Froude es igual a F=1, y 22
2 hcg
v=
⋅.
Se deduce así que en canales rectangulares, con el régimen critico la altura de velocidad es la mitad del tirante correspondiente y en consecuencia la altura mínima Hmin valdrá:
b
h
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hcH 2
3min = que surge de lo siguiente
2
min
2
3min 2
2 2
3 32 2
v hcH hc hcg
QH hcg b
= + = + ⇒⋅
= = ⋅⋅
La pendiente critica se obtiene combinando al ecuación de Chezy con la (1):
2
2
2
cc c c
c
cc
c
UUc C R i iC R
g hi
C R
= ⋅ ⋅ ⇒ = ∴⋅
⋅=
⋅
Secciones constantes en general: Para calcular el Hmin, se procede como antes:
2
2
2 Ω⋅⋅+=
g
QhH
dhd
B
Bdhd
Ω=
⋅=Ω
Derivando e igualando a cero:
2 2
3 3
2 3
1 0; 1dH Q d dH Q Bdh dh dhg gQ cg Bc
Ω= − ⋅ = = − ⋅ ⇒
⋅Ω ⋅Ω
Ω=
Siendo la última expresión la condición de tirante critico. Teniendo en cuenta que v
QvQ =Ω⇒⋅Ω= Reemplazando en la expresión:
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Bgvc
Bvc
Q
Bvc
QgQ
Ω⋅=
⇒⋅
Ω⋅=
⋅=
2
2
3
32
Y llamando B
hmedcΩ
= , altura media de una sección rectangular equivalente, obtenemos que:
chmedgvc ⋅= Operando,
11 =⇒=⋅
Fhmedg
vc
c
Para determinar la altura hc para distintas secciones en la práctica se recurre a gráficos, algunos se agregan al final de este apunte. Si no se dispone de ellos, resulta conveniente trazar la curva
( )hfB
=Ω3
para un determinado gasto.
Para cada valor de h se determina Ω y B, y se calcula B
3Ω :
Para determinar el hc se calcula gQ2
y se intercepta la curva ( )hfB
=Ω3
.
En la actualidad con la disponibilidad de computadoras o de cálculos programables el problema se resuelve rápidamente por medio de tanteos sucesivos, y fijándole a la maquina un error aceptable. Sabemos que para una sección en general teníamos:
Bcc
gQ 32 Ω
= (2)
Donde Ω y B son funciones de hc, por ejemplo en una sección trapecial:
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( )
hcmbB
hcmbhcc
⋅⋅+=⋅+⋅=Ω
2
Por tanto, la ec. (2) queda:
( )hcmbhcmbhc
gQ
⋅⋅+⋅+⋅
=2
332
Despejando hc y llamándola como una variable L:
( )
hcmb
hcmbgQ
Lhc⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅+⋅
==
31
22
Para una primera aproximación, hacemos por ej. hc = 1, calculamos L (hc), comparamos L con el hc asignado, si esta dentro del error admitido se obtiene L o sea hc, sino el valor de L obtenido se ingresa en la formula como un nuevo hc, se calcula L y de nuevo se compara con el hc anterior, y así hasta que el error obtenido sea menor que el fijado de entrada. Viendo el proceso como un diagrama de flujo:
h c=1
?
h c=L
Imprima hc
FIN
SI
NO
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El régimen de escurrimiento y el número de Froude: Como sabemos, el numero de Froude es igual a
hg
vF
⋅= .
Para las secciones rectangulares, en régimen critico vimos que
11 =∴=⋅
⇒⋅=
Fhcg
v
hcgv
c
c
Si el régimen de escurrimiento no es el critico caben dos alternativas. Si es tranquilo, la velocidad será menor y el tirante mayor y por lo tanto el F < 1, pero si el régimen es torrencial, la velocidad es mayor que la critica y el tirante menor, por lo tanto, F > 1. Estas relaciones tienen gran importancia práctica en la hidráulica por lo siguiente: puede demostrarse que la velocidad de propagación de una onda de pequeña altura en un canal rectangular vale precisamente C g h= ⋅ , es decir igual que la velocidad critica. Por esta razón, si la velocidad del agua es igual o mayor que la celeridad de la onda (F > 1), esta no puede avanzar hacia aguas arriba; en tanto que si la velocidad del agua en menor que la celeridad de la onda (F<1), ésta avanza también hacia atrás propagándose aguas arriba. Dicho de otra manera: en régimen veloz (F > 1) las perturbaciones locales no pueden afectar hacia aguas arriba de las mismas, o sea, que una sección en régimen veloz, ignora lo que ocurre aguas debajo de la misma. Esto tiene consecuencias prácticas: la descarga del vertedero por ejemplo no se ve afectada por la presencia de un resalto al pie del mismo.
Veamos ahora el caso de una compuerta que sube o baja desde la posición que ilustra la figura. Esta ejerce su influencia (pues modifica la velocidad y el tirante) aguas arriba y aguas abajo, donde el escurrimiento es lento y veloz respectivamente.
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Se concluye de esto: el régimen lento es controlado desde aguas abajo, en tanto que el régimen veloz es controlado por una característica ubicado aguas arriba del mismo. Si la compuerta se levanta y aguas arriba se llegara a un tirante h < hc, entonces a partir de allí el caudal dejaría de ser regulado por la compuerta ubicada aguas abajo (ya que ahora el régimen de aguas arriba es veloz). Por las mismas razones el cálculo del tirante en movimiento variado, se realiza en la dirección (hacia aguas arriba o abajo) en que dicho control es ejercido. En secciones no rectangulares, prismáticas en general y trapeciales en particular, deja de ser cierta la relación F = 1 para el régimen critico, pero si sustituimos el valor de h por el de Bhmed Ω= , se obtiene una relación formalmente idéntica al numero de Froude. Curva de Gastos: Hemos estudiado la curva H = f (h), que representa las variaciones posibles de la energía propia H al escurrir un gasto Q determinado en movimiento permanente y uniforme con distintos tirantes h, dijimos también que para dicho gasto Q cada uno de esos tirantes podría ser provocado por una pendiente diferente del canal. Podemos hacer ahora una suposición distinta, imaginando una serie de escurrimientos todos ellos con una energía propia H constante y en los que habrá de variar el gasto Q en función del tirante, igual que en el caso anterior puede suponerse producidos por diferentes valores de “i”.
H=cte Q=f(h) ⇒ Q=f(i)
2
2
2 Ω⋅⋅+=
g
QhH , despejando el gasto:
( ) ( )hfhHgQ =−⋅⋅Ω= 2 (3)
Haciendo, para
0
00
=→==→=
QHh
Qh
Por lo tanto, para un valor intermedio de h, debe pasar por un máximo. Parabola de Koch o Curva de Belanger La curva se conoce como “Parábola de Koch” y algunos la llaman “Curva de Belanger”.
- 20 -
Para cualquier valor de Q (menor que Qmax) podrán existir dos tirantes conjugados (h1 y h2 en la figura). Quiere decir que para H constante podrá existir un mismo gasto Q con un tirante pequeño y una velocidad grande, o un tirante grande y una velocidad pequeña. También se ve que el Qmáx podrá escurrir con un solo tirante, que es el tirante crítico hc, y por lo tanto el Qmax escurre solamente en régimen crítico. Como el régimen critico tiene lugar solo cuando Q es máximo, la condición matemática para que tal régimen exista se obtiene de la ec. (3). Igualando a cero la derivada de Q con respecto a h:
( )( )
022
22 =
−⋅⋅⋅⋅⋅Ω
−−⋅⋅⋅Ω
=hHg
ghHg
dhd
dhdQ
De donde:
( )[ ] Ω⋅=−⋅⋅⋅Ω
ghHgdhd
2
Y como
dhd
BΩ
= , resulta:
( )[ ] cc hmedg
BghcHg ⋅=
Ω⋅=−⋅⋅ )2
Simplificando y sabiendo que:
gvc
hcH⋅
=−2
2, resulta:
chmedgvc ⋅=
En particular para la sección rectangular:
( ). . 2Q b h g H hc= ⋅ ⋅ −
( )( )[ ]
02
32=
−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
=hcHg
hcgHgbdhdQ
Es decir: Hhc 32= , y
hcgvc ⋅=
así el gasto máximo:
HgHBQ
HHgBvchcBQ
⋅⋅⋅⋅⋅=
⇒⋅⋅⋅=⋅⋅=
2385.0max
32
32max
- 21 -
RESALTO HIDRAULICO El resalto hidráulico es un fenómeno local mediante el cual se verifica el pasaje, de manera brusca, del régimen veloz al régimen lento. El esta acompañado de una agitación mas o menos marcada y de grandes perdidas de energía. Los tirantes hI y hII antes y después del resalto se denominan “tirantes conjugados”.
Los problemas que se presentan con relación al resalto son los siguientes:
1. dado un tirante conjugado hI , determinar hII o viceversa, 2. calcular la perdida de energía y la potencia disipada 3. determinar la longitud del resalto 4. fijar su emplazamiento
Determinación de las alturas conjugadas del Resalto. Curva de momento. Como consecuencia de la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento:
( )
21
2211
1221
MM
vQFvQF
vvQFF
=⋅⋅+=⋅⋅+
−⋅⋅=−ρρ
ρ
En donde cgF hγ= ⋅Ω⋅ es el empuje hidrostático.
En la última ecuación, “hcg” representa la distancia del pelo de agua al centro de gravedad de la sección y ρQv representa la cantidad de movimiento existente en dicha sección. Si dividimos ambos términos por el peso específico del líquido obtenemos el valor llamado “Momentum” de la corriente en dicha sección.
( )2QM h f h
g= Ω⋅ + =
⋅Ω
Que viene medido en m3, y para Q = Cte., resulta función del tirante de agua. La curva M = f (h) tiene dos ramas, y a semejanza de la curva de H propia, pasa por un mínimo:
- 22 -
La condición de resalto es como vimos, M1= M2. Cuando se dan la forma del canal y el gasto Q puede calcularse la curva M por puntos, cualquier vertical que corte a la curva determina un par de tirantes conjugados hI y hII . Evidentemente, hay un número infinito de posibles tirantes conjugados, correspondientes cada par a una posible vertical. A cada valor de hI le corresponde un solo valor conjugado hII y viceversa. Si a continuación de la curva de momentos colocamos la de energía propia y llevamos horizontales correspondientes a hI y hII hasta cortar la curva de Energía Propia, leemos HI y H II, la diferencia entre ambos nos da la energía perdida en el resalto. A la relación HII /H I “se denomina eficiencia del resalto”. También se la puede determinar analíticamente por el teorema de Bernoulli:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅+=∆
⇒∆+⋅
+=⋅
+
gv
hg
vhH
Hg
vh
gv
h
IIII
II
IIII
II
22
2222
22
Si queremos calcular la perdida de energía total debemos sumar a la perdida de energía propia, el termino i ⋅∆L siendo “i” la pendiente del canal, y ∆L la longitud total del resalto.
LiHJ ∆⋅+∆=∑
Debido a esta perdida de energía que produce el resalto, hace que sea un elemento muy utilizado en las obras hidráulicas para amortiguar grandes cantidades de energía, como por ejemplo la energía al pie de un vertedero de gran altura, si no es disipada adecuadamente produciría grandes erosiones al pie del mismo y su colapso.
También es utilizado en saltos en canales de tierra para evitar su erosión. Longitud del resalto: No se puede determinar la forma de la superficie libre del resalto. No se disponen de más datos que los aportados por la experiencia. La sobre elevación del resalto tiene lugar con un ángulo de 8º a 13º, por lo que de una forma aproximada puede escribirse:
- 23 -
( ) ( )( ) ( )III
III
IIIIII
hhLtgL
hh
hhLtgL
hh
−⋅=→≈−
−⋅=→≈−
4º13
7º8
Como L me permite dimensionar el colchón de amortiguamiento, en donde se desarrolla el resalto del lado de la seguridad podemos adoptar
( )6 II IL h h= ⋅ − También podemos calcular la longitud del resalto en función del número de Froude, con formulas experimentales y ábacos:
( ) ( )38.08.10 −⋅⋅−= IIII FhhL Siendo FI el numero de Froude en la sección I. Localización del resalto: La posibilidad de formación del resalto existe solamente en el paso del régimen veloz al régimen lento. El régimen veloz puede deberse a una fuerte pendiente o a condiciones exteriores especiales por ejemplo podría ser el escurrimiento por debajo de una compuerta. El régimen lento puede deberse a un cambio brusco de la pendiente del cauce, o en condiciones determinadas de aguas abajo, como ser la presencia de un escalón, o una compuerta. De la combinación de situaciones anteriores surge siempre un resalto, cuya ubicación interesa averiguar, para lo cual daremos los lineamientos generales al tratar las curvas de remanso. El resalto en canales rectangulares:
Para el análisis es cómodo considerar un ancho unitario con gasto “q”, así, aplicando el teorema del momento:
( )1 2 2 1
2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
I I
II II
F F Q v v
h hF
h hF
ρ
γ γ
γ γ
− = ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅Ω = ⋅
= ⋅ ⋅Ω = ⋅
( )2 21 22
II IF F h hγ−− = ⋅ −
- 24 -
Y el cambio en la cantidad de movimiento por metro de ancho:
( ) ( )2 1 2 1v v v vQ qgγρ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −
Igualando ambas expresiones:
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
2 22 1
2 2
v v2
22 1
21 2
II I
II I
II I II I
h h qg
h h qv v g
h h h h qv v g
γ γ−⋅ − = ⋅ ⋅ −
− ⋅− =
−
− ⋅ + ⋅=
−
Pero:
22
1
v ;1
v
II
I
q qh
qh
= =Ω ⋅
=
Así: ( ) ( )
( ) ( )( )( )
gq
hh
hh
hhhh
gq
hh
hhhh
III
III
IIIIII
III
IIIIII
2
2
2
2
11
⋅=
⋅
−
+⋅−
→⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−
Simplificando y acomodando términos:
( )
( ) ( ) 02
2
222
2
=⋅
−⋅+⋅
→⋅⋅+=⋅
gq
hhhh
hhhhgq
IIIIII
IIIIII
La cual es una ecuación de 2º grado en hII:
gh
qhhh
I
IIII
⋅
⋅++−=
22 242
En la que si sustituimos el gasto por su valor en función de la velocidad y el área nos queda:
2212 v
2 4
II III hh hh
g⋅ ⋅
= − + +
También la podemos expresar en función del número de Froude:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅++−= 2811
21 I
I
IIF
h
h
- 25 -
Canales trapeciales: Hacemos lo mismo que para canales rectangulares. El empuje hidrostático, tratándose de un canal trapecial, vale GF hγ= ⋅Ω⋅ , con un área:
( )hmBh ⋅+⋅=Ω .
En donde:
2 23 2
3 26
G
G
h B m h BhB m h B
h B m hhB m h
+ ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞= ⋅ →⎜ ⎟+ ⋅ ⋅ +⎝ ⎠⋅ + ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠
Remplazando en la ecuación:
( ) ( )
( )
2
2
3 2 3 26 6
232
h B m h hF h B m h B m hB m h
hF B m h
γγ
γ
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
La diferencia de empujes hidrostáticos es:
( )2
1 2 12
32
IIIIhF F F B m hγ ⋅
− = − ⋅ + ⋅ ⋅
Y el cambio en la cantidad de movimiento es:
( )2 1v - vQg
γ ⋅⋅
Igualando ambas expresiones:
( ) ( )2
1 2 12 v -v32
IIIIh QF B m h
gγ γ⋅ ⋅
− ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅
Despejando hII nos queda:
( )2 12 11 v -v
23
IIII
Qh Fg B m h
γγ
⎛ ⎞⋅= − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟
+ ⋅ ⋅⎝ ⎠
- 26 -
Ecuación que hay que resolver por tanteo puesto que hII aparece en ambos miembros. Para el primer tanteo en el calculo se recomienda emplear el tirante hII correspondiente a una velocidad v2 poco menor que la velocidad correspondiente al tirante h en el canal después de la estructura. Ejemplo de Calculo en un Salto de Sección Rectangular
Se conoce el caudal, los tirantes h0 y h3, y las velocidades v0 y v3, porque el canal ya esta dimensionado. Para conocer hII es menester primero conocer hI: Calculo de hI: Planteamos Bernoulli entre las secciones en correspondencia con h0 y hI es decir antes de la rápida y en la sección inicial del resalto, despreciando las perdidas de energía entre ambas secciones:
2 20 1
0v v2 2
Iz h hg g
+ + = +⋅ ⋅
El primer término es conocido, pues la altura “z” se desprende del proyecto, por lo tanto:
.2
.2
.2
22
2
21
2
21
ctehBg
Qh
cteg
Qh
cteg
vh
II
I
I
=⋅⋅⋅
+
⇒=Ω⋅⋅
+
⇒=⋅
+
La única variable es hI y se la calcula por tanteos. El tirante conjugado será:
ghB
Qhhh
I
IIII
⋅⋅
⋅++−=
2
22 242
La profundidad necesaria del colchón (p) o altura del escalón, para que se produzca el resalto seria la diferencia entre hII y h3 del canal aguas abajo, sin embargo en la práctica se incrementa un poco haciendo:
31.15 IIp h h= ⋅ −
- 27 -
Y la longitud del colchón será: ( )III hhL −⋅≅ 6
O también: ( ) ( )18.08.10 −⋅⋅−≅ IIII FhhL el numero de fraude se evalúa en la sección de hI (tirante
conjugado) Movimiento Permanente gradualmente variado El movimiento permanente variado se produce cuando, con un caudal invariante, la velocidad en cada punto es constante e independiente del tiempo, pero variable de una sección a otra. Es muy frecuente en la práctica, ya que un cambio de la pendiente, de la sección transversal o de la rugosidad del canal, transforma el movimiento uniforme en variado. El caso típico del movimiento permanente gradualmente variado lo constituye la curva de sobreelevación, llamada remanso que se forma aguas arriba de un obstáculo interpuesto en una corriente que escurre en régimen tranquilo sea por ejemplo un canal que escurre con un tirante h0 en movimiento uniforme. Aguas arriba se produce una sobreelevación, aumentando los tirantes ho a h1 variables de sección a sección. ho > h c régimen lento
Si el canal en movimiento uniforme escurre con un tirante h0< hc o sea régimen veloz, se produce un resalto y luego un remanso.
Las situaciones señaladas no son las únicas en las cuales puede producirse remansos y resaltos. Existen otras que se explicaran mas adelante. Es muy importante en la práctica conocer la superficie libre producida por el remanso, para poder evaluar por ejemplo la zona inundable producida por una presa, o para determinar la altura de las defensas marginales para evitar esos desbordes.
- 28 -
Ecuación del movimiento permanente gradualmente variado:
Para establecer la ecuación del movimiento variado es preciso primero estudiar previamente las pérdidas de energía que tienen lugar en el escurrimiento
( )2 2 2 2
* 1 2 1 21 2 1 2
2 2* 2 1
v -v v -v2×g 2×g
v -v2×g
h h h
h
j L J z z z
z j L
−⋅∆ = = − + = ∆ + ⇒
∆ = ⋅∆ +[1]
Sabiendo que
1 2
z i Lz h zh h
∆ = ⋅∆∆ + = ∆ +
Por lo tanto
1 2( )zh i L h h∆ = ⋅∆ + − [2] i y j* son positivos cuando la sección 2 esta mas baja que la 1. En estas circunstancias pueden suceder dos casos:
- 29 -
a) casos A y B (retardado) Caso “A”
h2 > h1 Por lo tanto
v2 < v 1 entonces 02
21
22 <
⋅−
gvv ,
y si gvv
Lj⋅−
>∆⋅2
21
22*
Resulta así analizando la ec. (1) , 0>∆zh , y
como Ljzh ∆⋅=∆ , entonces j es “positiva”. Lo que significa que la superficie libre debe descender, Caso “A”. Pero si
gvv
Lj⋅−
<∆⋅2
21
22*
Resulta de la ec. (1) 0<∆zh , Entonces j es “negativa”, Lo que significa que la superficie libre debe ascender, Caso “B”. En ambos casos A y B la corriente resulta retardada (pues v2< v1).
b) Caso “C”
en este caso, h2 < h1, por lo tanto, v2 > v1, es decir 02
21
22 >
⋅−
g
vv ,
luego en [1] ∆zh siempre es positivo y la superficie libre siempre desciende, y la corriente resulta acelerada (v2 > v1). Energía propia de la corriente: De las ecuaciones [1] y [2] se tiene, igualando los ∆zh:
( )
( ) ( )
[ ]
2 22 1
1 2
2 2 2 22 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1
*2
*2 2 2
*
* 2
v vi L h h j Lg
v v v vi j L h h h h H Hg g g
H H Hi jL L
dH i jdL
−⋅∆ + − = ⋅∆ +
⋅
⎛ ⎞−→ − ⋅∆ = − + = + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
− ∆→ − = = →
∆ ∆
= −
Analizaremos el signo de dH/dL en función de i y j*, para ello se admitirá:
- 30 -
a) en movimiento permanente y uniforme se cumple la ecuación de Chezy:
iRCv UUU ⋅⋅= ,
con U
UUR χ
Ω= ⇒ UUU RC
Qi
⋅⋅Ω=
22
2
b) sin error sensible la perdida de energía total *j L⋅ ∆ puede expresarse para tramos
L∆ suficientemente cortos, con una expresión similar a la de Chezy
2*
2
VjC R
=⋅
donde Ω, C, R corresponden a valores de una sección de tirantes h comprendidos entre h1 y h2 en la longitud ∆L1-2:
2*
2 2
QjC R
=Ω ⋅ ⋅
Reemplazando en [2]:
[ ]211
22222
22
2
22
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω−
⋅⋅Ω⋅=
⋅⋅Ω−
⋅⋅Ω=
RCRCQ
RC
Q
RC
QdLdH
UUUUUU
Así, para que dH/dL sea positiva implica que H2 > H1 y analizando [2´] debe ser h > hu. Por lo tanto, cada vez que para un gasto Q el tirante excede del uniforme la energía propia aumenta y cuando h < hu, dH/dL < 0 y H disminuye. En el primer caso, como el tirante escurre con un tirante mayor que el necesario, y con una velocidad menor que la necesaria, la pendiente j* disponible (para el régimen uniforme j* = i) es mayor que la que se consume, esta diferencia aumenta la energía propia. Curvas de remanso: El perfil longitudinal de la superficie libre en un movimiento gradualmente variado se denomina “curva de Remanso”. Si la corriente es acelerada vimos que el remanso es de depresión (caso C) en cambio, si la corriente es retardada, el remanso es de sobreelevación (casos A y B). En un canal prismático de generatrices descendentes se pueden estudiar las condiciones de remanso partiendo de [2] y [2´]. Partimos de la variación de j* y hacemos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω
⋅⋅Ω−⋅=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅Ω
⋅⋅Ω−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
RC
RCi
RC
QRC
Q
ii
ji
dLdH UUU
UUU
22
22
22
2
22
2
11*
1
Y como
- 31 -
2
2
2
2
22 Ω⋅⋅−=→
Ω⋅⋅+=
g
QHh
g
QhH
Y también:
dLdhB
g
QdLdH
dLd
g
QdLdH
dLdh ⋅
⋅Ω⋅
+=Ω
⋅Ω⋅
+=3
2
3
2
Y como
c
c
BgQ 32 Ω
= (Condición de tirante critico)
Entonces:
[ ]
3
3
2 2 3
2 2 3
3 2 2
3 2 2
2 2
2 2
3
3
1
1 1
13
1
c
c
U U U c
c
c U U U
c
U U U
c
c
dh dH dhBdL dL dLB
C Rdh B dhidL B dLC R
C Rdh B idL B C R
C RiC Rdh
dL BB
Ω= + ⋅ ⋅ →
⋅Ω
⎛ ⎞Ω ⋅ ⋅ Ω= ⋅ − + ⋅ ⋅ →⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⋅ ⋅ Ω⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω Ω ⋅ ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ − →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ω Ω ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞Ω ⋅ ⋅⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⋅ ⋅⎝ ⎠=
⎛ ⎞Ω− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟Ω⎝ ⎠
Y haciendo:
hmB
hmcBcc
⋅=Ω⋅=Ω
Entonces resulta:
[ ]31
1
2
2
22
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
ΩΩ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω⋅⋅Ω
−⋅
=
hmhmc
RCRC
i
dLdh
c
UUU
En donde: Ω, B, hm, C y R están definidos por el tirante “h”, Ωu, Cu, Ru están definidos por el tirante del movimiento uniforme “hu”, Ωc, Bc, hmc, Cc y Rc están definidos por el tirante del escurrimiento crítico hc.
Entonces las condiciones de la curva de remanso expresadas por la variación del tirante a lo largo del eje longitudinal, están definidos por los valores de estos tres tirantes h, hu, hc:
( )hchuhfdLdh
,,=
Si además de ser Q = constante, lo es i = constante o bien las secciones tienen forma y dimensiones características constantes, resultan hu y hc constantes en el movimiento permanente y en este caso
- 32 -
los lugares geométricos a lo largo del perfil dan hu y hc paralelos a la rasante o pendiente del fondo del canal. En cambio si se modifica la forma o las dimensiones características de la sección a lo largo de L, aun siendo Q = cte., los lugares geométricos de hu y hc no son rectas. Condiciones diversas de la curva de remanso: En un canal dado y para un dado gasto Q = Cte., se pueden presentar las siguientes situaciones en un movimiento gradualmente variado:
hu > hc corriente uniforme lenta
hu = hc Corriente uniforme critica.
hu < hc Corriente uniforme veloz
A las que corresponden las tres condiciones siguientes:
i < ic lenta
i = ic crítica
i > ic veloz
Canal de pendiente débil Canal de pendiente critica. Canal de pendiente veloz (D) (C) (F)
Expresemos las curvas de remanso como:
(D) cuando en un cierto canal con gasto se cumple hu > hc, i < ic (C) cuando en un cierto canal con gasto se cumple hu = hc, i = ic (F) cuando en un cierto canal con gasto se cumple hu < hc, i > ic
En consecuencia en las curvas (D) y (F) siendo hu ≠ hc se pueden distinguir tres zonas donde pueden ocurrir las curvas de remanso:
En el caso de hu = hc; i = ic (curvas C) las zonas se reducen a 2, la (1) uno y la 3 (tres) pues la (2) se anula por ser hu = hc. De modo que tenemos 8 condiciones distintas que definen 8 curvas de remanso:
D1, D2, D3, C1, C3, F1, F2, F3. Veremos cuales de estas curvas son de sobreelevación ( 0>
dLdh ), y cuando son de depresión
( 0<dLdh ).
Para que sea de sobreelevación (dh / dL > 0) en la ecuación [3] deberá cumplirse a su vez que h > hu y h>hc (zona 1)
- 33 -
o bien (numerador y denominador negativos) que h < hu y h< hc (zona 3), es decir son de sobreelevación D1, D3, C1, C3, F1, F3. Para que sea de depresión (dh / dL < 0) el numerador o el denominador deben ser negativos, luego
si h > hu (numerador positivo) debe ser h < hc (F2) o a la inversa h < hu y h > hc (D2).
Vale decir que son de depresión D2 y F2 (dos curvas). Condiciones en el Límite En la ecuación [3´] haremos variar el tirante tendiendo a los límites siguientes:
h → ∞ h → hu h → hc h → 0
a) Si h → ∞ , lo cual sucederá para L → ∞ ,
y haciendo sustituciones
RCRC UUU
⋅⋅Ω⋅⋅Ω
22
22
=A
hmhmcc ⋅
ΩΩ
2
2
=B
nos queda:
( )( )B
Ai
hmhmc
RCRC
i
dLdh
c
UUU
−−⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
ΩΩ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω⋅⋅Ω
−⋅
=11
1
1
2
2
22
22
entonces se tiene A → 0 , B → 0 por lo tanto:
idLdh
=
En este limite el crecimiento de h (respecto de la solera) será igual al descenso de la solera (i), y luego la curva de remanso se hace horizontal.
- 34 -
Esto sucede solo en la zona 1 aguas abajo. b) Para h = hu se tiene A = 1, es decir 0=
dLdh , es decir que h tiende asintóticamente a hu y eso
sucede para L → ±∞ , esto ocurre en la zona 1 ver D1 en la figura c), 2 y 3. La curva tiende a ser tangente a hu y normal a hc; no puede cumplir ambas condiciones y se reduce a un punto (caso hu = hc).
c) Para h = hc se tiene B = 1 y ∞→dLdh , lo cual significa que h tiende a ∞ para L = 0, es decir
corta perpendicularmente al tirante critico, esto ocurre en las zonas 1, 2 y 3.
- 35 -
Para i = ic la curva tiene que ser perpendicular a hc, y tangente a hu, pero siendo hu coincidente con hc no puede cumplir ambas condiciones a la vez y se reduce a un punto.
d) Para h →0, ( )( )
ii
dLdh
=∞−∞−⋅
=1
1
luego su tangente es horizontal, esto sucede en la zona 3 aguas arriba, curvas F3, C3, D3.
NOTA: no tiene significado físico y el valor deducido ( )
( )i
idLdh
=∞−∞−⋅
=1
1 es teórico, y solo sirve
para indicar el valor de la curva; luego su tangente es horizontal; esto sucede en la zona 3. En resumen tenemos las siguientes curvas:
Curva F1: es asintótica a la horizontal y perpendicular al hc Curva F2: es asintótica al tirante uniforme y perpendicular al hc tirante critico. Curva F3: es asintótica a la horizontal y asintótica al hu tirante uniforme. Curva C1: es una recta horizontal. Curva C3: es una recta horizontal. Curva D1: es asintótica al tirante hu y asintótica a la horizontal. Curva D2: es asintótica al tirante hu y perpendicular al tirante hc. Curva D3: es asintótica a la horizontal y perpendicular al tirante hc.
- 36 -
Variación de la energía propia en el sentido del movimiento:
a) Para D1:
h > hu, 0>
∆∆
hH y como crece con L, además 0h
dL∆
> ,
luego →>∆∆
⋅∆∆
0Lh
hH 0>
dLdH
b) Para D2:
h < hu y también ( )( )
0>−∆−∆
hH , pero ( )
( )0
hL
∆ −<
∆ +,
luego →<
∆∆
⋅∆∆
0Lh
hH 0<
dLdH
- 37 -
c) Para D3:
h < hc < hu, además ( )( )
0<+∆−∆
hH , pero ( )
( )0
hL
∆ +>
∆ +,
luego →<
∆∆
⋅∆∆
0Lh
hH 0<
dLdH
d) Para F1:
h1 > hc > hu, además ( )( )
0>+∆+∆
hH , también ( )
( )0
hL
∆ +>
∆ +,
luego →>
∆∆
⋅∆∆
0Lh
hH 0>
dLdH
e) Para F2:
hc > h2 > hu, además ( )( )
0<−∆+∆
hH , también
( )( )
0hL
∆ −<
∆ +,
luego →>
∆∆
⋅∆∆
0Lh
hH 0>
dLdH
- 38 -
f) Para F3:
( )( )
0<+∆−∆
hH , también ( )
( )0
hL
∆ +>
∆ +, luego →<
∆∆
⋅∆∆
0Lh
hH
0<dLdH
Resumen:
h > hu ∴ 0>
dLdH
0>
dLdH
Retardadas (sobreelevación)
0>dL
dzh
Sup. Libre descendente.
h < hu ∴ 0<
dLdH
0<dLdH
Aceleradas (depresión)
0<dL
dzh
Sup. Libre ascendente.
Estudio Particularizado de las curvas de remanso: Con la ecuación [3] y las condiciones limites definidas anteriormente se puede hacer el estudio particularizado de las 8 curvas. Convención: llamaremos convexa una curva cuyo centro de curvatura se halle siempre dentro de la masa liquida, y cóncava cuando se halle exteriormente. Curva D1: en un canal de débil pendiente, i < ic, cuando h> hu > hc se tiene esta curva que es un remanso de sobreelevación. El menor valor de h, que se logra cuando L → -∞ es hu y el mayor valor de h es ∞ para L → ∞ . La tangente a D1 con respecto a la horizontal varia desde i para (h = hu) hasta cero (h → ∞ ) y por lo tanto la curva es siempre muy pequeña.
D1 F1 F2
D1 D3 F1 F3
D1 D2 F2 F3
D2 D3 F3
D2 F2
D3 F1
- 39 -
La curva es cóncava y 0>
dLdH .
Si un gasto Q escurre en un canal de débil pendiente en movimiento uniforme y se interpone un obstáculo, el perfil de la superficie libre aguas arriba del obstáculo, se dispone según una curva de remanso D1. Tal obstáculo puede ser un estrechamiento de sección, la interposición de un umbral, de retención de una compuerta etc.
Curva D2: Siendo i < ic, si el tirante esta comprendido entre hc y hu ( hu > h > hc) se tiene la curva de remanso de depresión. Aguas arriba el valor máximo de h, [h= hu] se obtiene para L → -∞ , y el valor minino de h [h = hc] donde se disponen perpendicularmente a la recta de hc. La curva D2 es convexa, remanso de depresión y disminuye la energía propia 0<
dLdH .
Esta curva se presenta cuando en cierta posición se interrumpe la uniformidad mediante alguna disposición que hidráulicamente determine una disminución del tirante (por ejemplo un salto) siempre que el canal sea de débil pendiente. Curva D3: Si i < ic para un cierto gasto Q y sección del canal, cumpliéndose que h < hu < hc se tiene un remanso de sobreelevación. Al aproximarse h a su valor máximo hc la curva tiende a disponerse ortogonalmente a hc. Esta curva nunca llega a hc ya que esta siempre seguida por un resalto, por medio del cual cruza dicho nivel, continuando luego el escurrimiento que corresponda a la pendiente y rugosidad del canal.
- 40 -
Se hace notar que esta curva tiene la particularidad de ser ascendente y determinar una corriente veloz ( h < hc) en un canal de débil pendiente. La curva D3 es ascendente porque siendo i < ic las perdidas por frotamiento son mayores que la caída de la línea hidrodinámica del movimiento uniforme y la diferencia debe ser proporcionada por una disminución de la energía propia de la corriente, en el régimen veloz equivale a un aumento del tirante. Cuando una compuerta eroga por el fondo un gasto Q con una altura en la sección contraída menor que el tirante critico del canal de salida y este resulta de débil pendiente por las condiciones del escurrimiento uniforme, la curva de remanso aguas abajo y hasta la proximidad del tirante critico, se dispone según una D3, luego como dijimos se origina el resalto hidráulico. Curva F1: Si la pendiente es i > ic, donde h > hc > hu, se obtiene un remanso de sobreelevación, siendo limitado aguas arriba por el tirante critico y aguas abajo por una tangente horizontal. La curva es ascendente y convexa y aumenta su energía propia.
En un canal de fuerte pendiente para un cierto gasto Q, solo puede haber corriente lenta, si el perfil de la superficie libre se dispone según F1. La curva F1 se produce cuando un cierto gasto Q que escurre con un tirante hu < hc, y que debido a un obstáculo o cambio de pendiente, etc. Debe pasar a escurrir con un tirante h>hc y queda limitada desde el tirante a establecerse en el nuevo escurrimiento y las proximidades del hc; entre hc y hu se establece el resalto que empalma con la F1 en el tirante conjugado de hu = hI. Curva F2: hu < h < hc, se tiene un remanso de depresión de las corrientes veloces. La curva es cóncava y aumenta la energía propia.
- 41 -
Curva F3: h < hu < hc. El remanso es de sobreelevación. Hacia aguas arriba la curva esta limitada por las condiciones del obstáculo que perturba el movimiento uniforme, y aguas abajo se dispone tangente al tirante uniforme. La curva resulta convexa de sobreelevación pues h < hu < hc y la energía propia disminuye paulatinamente. Conclusiones: Cabe señalar entonces:
1. Pertenecen a corrientes lentas D1, D2, F1, en ellas el perfil del escurrimiento resulta perturbado hacia aguas arriba del obstáculo: mcc hgvv ⋅=<
2. Pertenecen a corrientes veloces D3, F2 y F3, en ellos el perfil del escurrimiento resulta
perturbado hacia aguas abajo del obstáculo: mcc hgvv ⋅=>
3. Hemos visto que la variación de la energía propia dLdH es positiva si el tirante h es mayor que
el tirante uniforme y negativa en caso contrario.
Por lo tanto habrá incremento de H en el sentido del movimiento para las curvas D1, F1, F2 y habrá decremento en D2, D3, F3.
4. No hemos estudiado el escurrimiento crítico pues es una situación teórica difícilmente alcanzada en la práctica.
CAMBIO DE PENDIENTE Q = CONSTANTE. Se estudiara el perfil de la superficie libre en un canal prismático cuyas características propias no cambian cuando en un determinado lugar se dispone un cambio brusco de pendiente. Las pendientes serán i´ aguas arriba e i´´ aguas abajo. En general se puede presentar:
1. De pendiente débil a mas débil: ciii << ´´´ 2. De pendiente débil a menos débil: ciii << ´´´ 3. De pendiente débil a fuerte: ´´´ iii c << 4. De pendiente fuerte a mas fuerte: ´´´ iiic <<
- 42 -
5. De pendiente fuerte a menos fuerte: ´´´ iiic << 6. De pendiente fuerte a débil: ´´´ iii c <<
Recordemos que:
En régimen lento: umcc vhgv >⋅= En régimen veloz: umcc vhgv <⋅=
Siendo vc la velocidad en el escurrimiento critico, coincidente con la celeridad de la propagación de las perturbaciones en las corrientes superficiales. 1º Caso: ciii << ´´´
hu’’>hu’>hc; Hu’’>Hu’; V’’< V’ La energía propia de la corriente pasa de Hu´ a Hu´´ mayor, lo cual se cumple mediante tirantes crecientes. La D1 incrementa la Energía propia pues debiendo escurrir con un tirante mayor que el hu´ gasta menos energía en rozamiento. 2º Caso: ciii << ´´´
H´´ < H´, luego debe ceder energía, vale decir que en régimen lento, esto sucede con tirantes cada vez menores.
- 43 -
3º Caso: ´´´ iii c <<
h´ > hc > h´´, también puede suceder que
´
´
HH
HHn
n
≥
≤ .
Se planteara el caso en que H´´ = H´ (los demás siguen el mismo razonamiento). En el cambio de pendiente, el pasaje se produce con el hc y con Hmín. 4º Caso: ´´´ iiic <<
Debe haber recuperación de energía, lo cual se realiza mediante tirantes decrecientes (F2), pues estamos en régimen veloz. 5º Caso: ´´´ iiic <<
hc > h´´ > h´; v´ > v´´; H´ > H´´,
- 44 -
luego debe haber cesión de energía lo cual se produce mediante ascenso de la superficie libre, pues estamos en régimen veloz (F3). 6º Caso: ´´´ iii c <<
h’<hc<h’’; V’’<V’ al pasar de hu’<hc a hu’’>hc
debe producir un resalto con su perdida ∆H y puede suceder que ´´ ´´´ ´
u u
u u
H H HH H H
≤ −∆≥ −∆
a) Si H´´ > H´ - ∆H, habrá que recuperar H´´ - H´ + ∆H, luego en los gráficos el
conjugado de hu´ es menor que hu´´ y en el trayecto desde el conjugado hr´´ hasta h´´ habrá que recuperar esa energía, y en consecuencia a tirantes crecientes se tienen energías crecientes, corresponde entonces una F1 desde A hacia aguas arriba, hasta el conjugado hr´´.
Si H´´ = H´ - ∆H los tirantes uniformes hu´ y hu´´ son los conjugados del resalto, no produciéndose ninguna curva de remanso.
b) si H´´ < H´ - ∆H, V´ < V, no hay recuperación de energía sin que deba cederse energía sobrante y eso solamente sucede con tirantes crecientes ya que h´´ > h´ en la zona mediante una D3 que se extiende desde el cambio de pendiente hasta el conjugado del resalto h´´r, o sea h´r.
Es decir que la corriente veloz tiene exceso de energía y penetra en la lenta, donde debe entregar por medio de un remanso el exceso de energía (aparte de la energía consumida por el resalto).
∆
- 45 -
Métodos para la Integración de la Ecuación General diferencial de la Curva de Remanso. Canales prismáticos. Métodos analíticos. a) Integración Grafica: Ya hemos visto que la ecuación de la curva de remanso era:
2 2
2 2
3
3
1.
1
U U U
c
C RC Rdh i
dL BBc
⎛ ⎞Ω ⋅ ⋅−⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⋅ ⋅⎝ ⎠=⎛ ⎞Ω− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟Ω⎝ ⎠
La podemos poner también de la siguiente forma,
haciendo i = iu, 2
2 2 QQ U U U u U U Uu
C R i C Ri
= Ω ⋅ ⋅ ⋅ → Ω ⋅ ⋅ =
y como también 3 2QC
CB gΩ
= ; reemplazando:
2
2 2
2
3
Q1
Q1
uu
i C Rdh idL B
g
⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅Ω ⋅ ⋅⎝ ⎠= ⋅⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟Ω⎝ ⎠
el segundo miembro de la ecuación es una función de h, se escribe: dL=f(h).dh
( ) dhhfLh
h
⋅= ∫2
1
Se traza la curva f (h) en función de h. el área comprendida entre la curva, el eje de las L y dos rectas de abscisas L1 y L2 permite calcular ∆L que es la distancia entre dos secciones de profundidad h1 y h2, operando así por varias secciones se podrá trazar por puntos la curva de remanso buscada, método largo pero preciso.
- 46 -
Ejemplo: En un canal trapecial con 10 metros de ancho y talud m = 1 escurre un gasto de Q = 15 m3/seg., la rugosidad de las paredes corresponde a un coeficiente de Manning η = 0,01. la pendiente de la solera del canal es de 0,03 %. Una presa vertedero obliga al referido gasto a escurrir con un tirante h2 = 1.5 m. en la sección inmediatamente aguas arriba de la presa. Determinar la curva de remanso. Calculo del tirante uniforme:
( )1 8182 323
Q 15 0.01 0.01870.0003 10fi B
η⋅ ⋅= =
⋅ ⋅=At y con m=1 de Tabla
mhBh
f92.0092.0 =→=→
Calculo del tirante critico:
50.11015
10.0101
===
==
BQ
q
Bm
Si hc = 0.60 m. y como hu > hc, el canal es de pendiente débil, y la curva de remanso el del tipo D Como h2 > hu, la curva de remanso será del tipo D1. La función f(h) esta calculada en el cuadro siguiente y representada en la figura. La ecuación 3 se ha escrito en la siguiente forma teniendo en cuenta que
2
2 2
Q*jC R
=Ω ⋅ ⋅
2
2 2
2 2
3 3
2
3
Q*
Q Q1 1
Q1
*
u uu u
u
i ii C R i jdh
dL B Bg g
BdL gdh i j
− ⋅⋅ Ω ⋅ ⋅ −
= = →− ⋅ − ⋅
Ω Ω
− ⋅Ω
=−
Adoptando 2 2 2
62 2 42 3
1 Q Q .* nC R jC R Rη
= ⋅ → = =Ω ⋅ ⋅ Ω ⋅
Del manual del Ing. Dalmati, grafico Nº 8 obtenemos que hc = 0.60 m.
- 47 -
2,5 31,3 17 1,83 2,24 15 0,043 0,9887 0,103 2,9 3409 0
2,3 27,6 16 1,68 20 14,5 0,0159 0,9841 0,148 2,85 3453 858
2,1 25,4 16 1,59 1,86 14,2 0,0199 0,9801 0,187 2,81 3488 1378
1,7 19,9 15 1,34 1,48 13,4 0,0496 0,9544 0,384 2,61 3657 2807
1,3 14,7 14 1,07 1,1 12,6 0,0912 0,9088 0,948 2,05 4433 4390
1,1 12,2 13 0,93 0,91 12,2 0,1537 0,8463 1,66 1,34 6316 5400
1 11 13 0,86 0,81 12 0,2068 0,7932 2,296 0,7 11331 6300
f(h)= Num/Den
L1 ‐ L2 [m]
h [m]
Ω
[m2]χ
[m]R [m]
R 4/3
[m4/3]
B [m]
(Q2.B)/
(g.Ω3)
Num= 1‐
(Q2.B)/(g.Ω3)
j*=
(Q2.n2)/(Ω2.R4/3)
x104
Den= (i‐j*)
x104
Nota: así a la distancia de 858 m la altura de agua será 2,25m, y a la distancia de 6300 m la altura de agua será de 1,00 m
- 48 -
Método de las Diferencias Finitas: Este método es una aplicación directa del Teorema de Bernoulli con perdidas de Energía. Entre dos secciones 0 y 1 distantes ∆L, suponiendo que la sección de referencia 0 esta aguas debajo de la 1:
22
*011 01 1 0 0 1 02 2
vvz h z h j Lg g
− −+ + = + + + ⋅ ∆⋅ ⋅
→∆⋅=− −0101 Lizz 22
*011 01 1 0 0 1 02 2
vvh i L h j Lg g
−− −+ + ⋅ ∆ = + + + ⋅ ∆⋅ ⋅
(A)
La variación de la línea de energía entre dos puntos en realidad no es lineal porque es función de la velocidad al cuadrado. Por eso en la ecuación anterior encontramos una incertidumbre que es justamente el valor de 01
*−J entre las secciones 0 y 1.
Cuando se estudia el trazado de una curva de remanso, tanto el gasto Q como el índice de rugosidad son conocidos, supongamos que también conocemos h1 y h0, lo que implica conocer Ω1, C1, R1 y Ω0, C0, R0 lo que implica también que conocemos las pendientes 1
*j y 0*j de la línea de energía
total en las respectivas secciones extremas de aguas arriba y abajo del tramo de corriente considerado.
12
12
1
2
1*RC
Qj
⋅⋅Ω= , y también
02
02
0
2
0*RC
Qj
⋅⋅Ω=
El hecho de ser el producto 0101*
−− ∆⋅ Lj igual a ∆J significa que necesariamente 01*
−j sea la pendiente de la recta A-C que une los puntos extremos de la curva de energía total, siendo esta pendiente igual a la de la tangente de dicha curva en un punto intermedio cuya ubicación no se conoce. Para solucionar esto, no queda otro recurso que establecer el valor de 01
*−j por hipótesis.
- 49 -
Merriman propone tomar los valores que figuran en dichas ecuaciones como el promedio de a los que a cada uno de ellos corresponde en las secciones extremas del tramo de curva de remanso considerado:
22222
201
20
21
20
21
2
012
02
1
20
21
01*
RRCCQ
RRCC
vv
j+
⋅+
⋅Ω+Ω
=+
⋅+
+
=−
En cambio la hipótesis de Belanger, que es la que usaremos, se basa en considerar que la pendiente
01*
−j es el promedio de 1*j y 0
*j , es decir
21
*0
*
01* jj
j+
=− →
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω+
⋅⋅Ω⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅+
⋅⋅=−
02
02
012
12
1
2
02
0
20
12
1
21
01* 11
221
RCRCQ
RCv
RCv
j
De la figura se deduce que:
010101 −− ∆=−+∆⋅ zhhhLi (B)
01−∆zh es la variación del nivel de la superficie libre al pasar de 1 a 0, y vimos que 0<dL
dzh
para las curvas D3 y F1, y positiva para las curvas D1, D2, F2 y F3. De la figura:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω+
⋅⋅Ω⋅∆⋅+
⋅−
=⋅
−∆+⋅
=∆ −−0
20
201
21
21
01
221
20
21
20
0111
2222 RCRCLQ
gvv
gv
Jg
vzh
(C) Veamos como se resuelve: Casi siempre se tiene un dato que es el punto de partida y que en general es el punto extremo de aguas abajo y de allí tenemos que ir aguas arriba calculando los tirantes. ∆L debe ser lo suficientemente pequeño para que podamos considerar el
perfil longitudinal de la superficie como rectilínea. Tratándose de curvas D1 (poca curvatura) podemos tomar el valor de ∆L hasta 5 veces el ancho superficial y no mayos de 500 metros. Si se tratara de curvas de radio pequeño, ∆L no debe ser mayor de 3 veces el ancho superficial. Son datos Q, i. la forma de la sección y el tirante aguas abajo (h0) y por consiguiente Ω0, C0, R0. Se tienen 2 procedimientos:
1. fijado 01−∆L , calcular h1 2. fijado h1, calcular 01−∆L
- 50 -
1.- Fijamos 01−∆L , debemos calcular h1, de las ecuaciones (B) y (C) tenemos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω+
⋅⋅Ω⋅
∆⋅+
⋅−
=−+∆⋅ −−
02
02
012
12
1
0122
12
001
1122
01RCRC
LQgvv
hhLi
Operando:
donde el primer miembro es una función de h1 y el segundo de h0 y 01−∆L (valores conocidos), por lo tanto al 2º miembro lo conocemos, lo llamaremos “M”. Conocemos la forma de la curva por las condiciones del problema, sabemos si es una D o una F, etc. Por lo tanto podremos ir dando valores a h1 (tanteando) y calculando Ω1, C1, R1, y se hallara el valor de la función que resulte igual a M o muy cercano de acuerdo a la precisión deseada, en las F1 conviene hacer el ajuste cuando el valor de h difiere mas de 1 mm. pues puede representar varios metros en la ∆L. 2.- Fijamos h1 y debemos calcular 01−∆L , de las ecuaciones (B) y (C) tenemos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω+
⋅⋅Ω⋅
∆⋅+
⋅−
=−+∆⋅ −−
02
02
012
12
1
0122
12
001
1122
01RCRC
LQgvv
hhLi →
2 2
1 0 2 2 2 2 2 21 1 1 0 0 0 0 1
1 1 1 10 12 2
Q QL i h hgC R C R−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ⋅ − ⋅ + = − + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅Ω ⋅ ⋅ Ω ⋅ ⋅ Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Si conocemos h0 y h1 vemos que 01−∆L sale inmediatamente, pues todos los datos son conocidos. Pero procediendo así puede suceder que 01−∆L se haga mayor que lo conveniente. Por ello, el valor de h1 se debe fijar con mucho cuidado, y se aconseja usar el primer procedimiento. Otra forma de Resolver la Curva de Remanso por el Método de las Diferencias Finitas. Volviendo a la ecuación (a)
0101*
20
00
21
11 22 −− ∆⋅+⋅
++=⋅
++ Ljg
vhz
gv
hz
Con
gv
hH⋅
+=2
21
11 , g
vhH
⋅+=
2
20
00 y 0101 −∆⋅=− Lizz ,
entonces:
( )ijLHH
LjLiHH
−⋅∆+=
∆⋅+∆⋅−=
−
−−*
0101
01*
0101
- 51 -
1) Se divide al perfil longitudinal en tramos cuya longitud este de acuerdo a la longitud
deseada. 2) Se traza la línea de energía H en función de la altura h, si la sección fuera variable, habría
que trazar varias curvas de este tipo.
3) Se traza la curva de las perdidas de energía unitaria j* en función de la altura h, para un gasto dado:
RC
Qj
⋅⋅Ω= 22
2* ó también
342
22*
R
Qj
⋅Ω
⋅=
η
4) A partir de h0, conocida en la sección determinante y de los valores H0 y j0* obtenidos de las
curvas (2) y (3) se determinan el valor aproximado '1H en la sección 1, a la distancia ∆L de “0”
será: ( )*'
1 0 0H H L j i= + ∆ ⋅ −
5) a partir de '1H se determina '
1h (curva 2) y a partir de '1h se determina *
1j (curva 3). Se repite el cálculo tomando para 01
*−j el valor
21
*0
*
01* jj
j+
=−
y se determina un nuevo valor ''1H y ''
1h , siguiéndose así sucesivamente hasta obtener para los distintos h1 aproximaciones de acuerdo con la precisión deseada. 6) Obtenido el valor definitivo '
1H y '1h se calcula un nuevo punto en la sección 2, de manera
análoga a la anterior. Existen muchos métodos más para calcular curvas de remanso, algunos simplificados, otros gráficos que aquí no se detallaran. A titulo informativo se mencionaran algunos de ellos, a saber de:
- Método de Bresse - Método de Bakhmeteff - Método de Ming-Lee - Método de Francesco-Ramponi
Bibliografía Hidraulica Ballofeet Gottelli Meoli Hidraulica Trueba Coronel Usinas Hidroelectrica Gerhard Schreiber Manual de Hidraulica Dante Dalmati
- 52 -
Ejemplo Queremos construir un canal rectangular para riego, de hormigón, para un caudal de 1500 lts/segundo y necesitamos regular su velocidad, como máximo a 1,2 m /seg. El terreno natural tiene una pendiente de 3˚/00 y el canal tiene 2000 m de largo. Dimensionado del canal
a) Q=1,5 m3/seg V=1,2m/seg n=0,013
Adopto Bf=1,5 m
4,28 m que es la altura que hay que salvar con saltos, adoptaremos dos saltos de 2,14 m cada uno separados
i = 0,00086 i = 0,00086 i = 0,00086 i< ic i = 0,00086 i = 0,00086
Régimen lento
Cálculo del salto
b) Adoptaremos para el salto una sección rectangular de igual ancho que la del canal.
- 53 -
En la sección de control se producirá el h crítico, al pasar de un lento a uno veloz.
Planteando Bernoulli entre A y B y suponiendo casi nulas las pérdidas de carga entre ellos y adoptando
1º Tanteo 2º Tanteo 3º Tanteo 4º Tanteo
Cálculo del tirante conjugado
Longitud del resalto
Adoptamos L=7 m Verificación de la altura del escalón P Planteando Bernoulli entre C y D
- 54 -
/seg
/seg
P = 0,32m Vemos que el P es aproximadamente igual a tal adoptado, sino hubiera sido así, con el P calculado tendríamos que volver a empezar el cálculo, tantas veces como sea necesario.
Cálculo de la curva de remanso Al pesar el canal de un régimen lento a uno veloz en el salto, se produce una curva de remanso, que se desarrolla desde la sección de control (A) donde se produce el hcrít hasta el tirante uniforme (hu = 0,83m). Calcularemos el tirante que se produce a una distancia de 100m aguas arriba del salto.
El canal es de débil pendiente por lo tanto la curva es del tipo D, y como el tirante en el remanso va a variar entre hu > h > hc, será del tipo D2. Resolución por el método de las diferencias finitas
1) Adoptamos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Ω+
⋅⋅Ω⋅
∆⋅+
⋅−
=−+∆⋅0
20
201
21
21
221
20
0111
22 RCRC
LQgvv
hhLi
Haciendo
- 55 -
Al segundo término lo conocemos
Pues h0 = hc = 0,467m El Ω0 = h0.B = 0,7m2
0,00086.5=
0,7069
h1 = 0,538
L h0 A h1
0 0,467 0,7069 0,5385 0,538 0,717 0,56210 0,562 0,725 0,57815 0,578 0,732 0,59220 0,592 0,7384 0,60325 0,603 0,744 0,61430 0,614 0,75 0,62335 0,623 0,755 0,63140 0,631 0,759 0,63845 0,638 0,7632 0,64550 0,645 0,7674 0,65155 0,651 0,771 0,65760 0,657 0,775 0,66365 0,663 0,7785 0,66970 0,669 0,7824 0,67475 0,674 0,7859 0,67980 0,679 0,789 0,68385 0,683 0,7915 0,68790 0,687 0,794 0,69195 0,691 0,797 0,695100 0,695 0,7996 0,7105 0,7
- 56 -
- 57 -
- 58 -
CANALES DE CONTORNO CERRADO
Se entiende por sección de “contorno cerrado” aquella en la que el contorno de la sección se va cerrando superiormente y de manera tal que al aumentar el tirante h, el ancho Bs de la superficie libre disminuye hacia la parte mas alta de la sección.
Para las secciones de contorno abierto que ya hemos visto, el gasto Qmáx corresponde siempre a la máxima velocidad media Umáx, o sea que Qmáx y Umáx se presentan simultáneamente y para un mismo nivel de la superficie libre.
En cambio, en los canales de sección transversal de contorno cerrado (segmento de círculo, ovoidal, herradura, etc.), el gasto Qmáx y la máxima velocidad media Umáx se presentan respectivamente para niveles distintos de la superficie libre. CONDICIÓN DE Q MAX (GASTO MÁXIMO)
O
Si para un conducto de sección circular de pendiente longitudinal “i”, de rugosidad no? Conocida se calcula sucesivamente el gasto que corresponde a diversas posiciones A, B, A’, B’, etc. de la superficie libre, se encontrara que el Qmáx se obtiene no para conducto lleno, sino para una cierta posición MN cercana a la clave del conducto. En efecto, se observa que en la vecindad de la clave, una pequeña elevación de la superficie libre acrecienta sensiblemente el perímetro mojado sin aumentar en la misma proporción la sección del escurrimiento de manera que el radio hidráulico
χΩ
=R disminuye y con el la velocidad
21
32
iR1
U ⋅⋅η
= y como el aumento de sección no es
suficiente para compensar tal disminución de la velocidad, el producto Ω⋅= UQ disminuye. Demostraremos:
UQ ⋅Ω= En donde:
( )hfΩ=Ω , y también:
( )hfi1
iR1
U u2
1
32
32
21
32
=⋅χ
Ω⋅
η=⋅⋅
η=
Entonces:
- 59 -
( ) ( ) ( )hfhfhfU u =⋅=Ω⋅=Ω Ω Derivando Ω⋅= UQ , nos queda:
dhd
UdhdU
dhdQ
´UUQ
Ω⋅+⋅Ω=
Ω⋅+Ω⋅=
Ahora bien, el gasto será máximo cuando:
ΩΩ⋅
−=
=Ω
⋅+⋅Ω
⇒=
dUdU
0dhd
UdhdU
0dhdQ
Elevando al cuadrado la expresión de U:
34
34
22 i
Uχ
Ω⋅
η=
Diferenciando ambos miembros, nos queda:
( )
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
χ
χ⋅Ω−Ω⋅χ⋅Ω⋅
η⋅=⋅
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
χ
χ⋅Ω−Ω⋅χ⋅χ⋅Ω⋅
η⋅=⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
χ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω⋅χ⋅χ⋅−χ⋅Ω⋅Ω⋅
⋅η
=⋅⋅
37
31
2
38
31
31
2
38
34
31
34
31
2
ddi32
dUU
ddi32
dUU
d34
d34
idUU2
Si en esta expresión reemplazamos:
UdU
dUU ⋅ΩΩ⋅
−=⋅
Nos queda:
( )
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
χ
χ⋅Ω−Ω⋅χ⋅Ω⋅
η⋅=Ω⋅−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
χ
χ⋅Ω−Ω⋅χ⋅Ω⋅
η⋅=
ΩΩ⋅
−
37
34
22
37
31
2
2
ddi32
dU
ddi32dU
Reemplazando esta expresión en la expresión de U2, resulta:
- 60 -
( )
( )
( )1d2d5
d2d5
d2d2d3
dd32
d
ddi32
di
37
37
34
23
4
34
2
→χ⋅Ω⋅=Ω⋅χ⋅⇒χ⋅Ω⋅−=Ω⋅χ⋅−
χ⋅Ω⋅−Ω⋅χ⋅=Ω⋅χ⋅−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
χ
χ⋅Ω−Ω⋅χ⋅=Ω−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
χ
χ⋅Ω−Ω⋅χ⋅Ω⋅
η⋅=Ω⋅
χ
Ω⋅
η−
Esta es la ecuación diferencial buscada que da en forma general la condición de gasto máximo para canales con sección transversal de contorno cerrado de cualquier forma, para una pendiente “i”, coeficiente de rugosidad “η”, pero utilizando en todos los casos el valor de C (que interviene en la expresión de Chezy) expresado por la formula de Manning. Establecida la forma de la sección, esta tendrá una ecuación para expresar Ω y otra para expresar χ, de los que se hallara a su vez dΩ y dχ, y reemplazando luego estos valores en la ecuación general (1) se obtiene la ecuación que para esa forma de sección transversal de contorno cerrado da la condición de Qmáx. De la ecuación (1) se deduce a su vez:
χΩ
⋅=
⇒χΩ
⋅=χΩ
dd
5.2R
dd
25
CONDICIÓN DE MÁXIMA VELOCIDAD MEDIA:
Vamos a demostrar que en los canales de sección transversal de contorno cerrado, la velocidad máxima media Umáx no se presenta par a el conducto lleno, y además el correspondiente nivel de la superficie libre no coincide con el que da el Qmáx.
( )( )
( )hfhf
hfiU u
32
32
21
==χ
Ω⋅
η=
χ
Ω
Derivando:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
χ
Ω⋅χ
⋅χ⋅−χ⋅Ω
⋅Ω⋅⋅
η=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛χ
Ω⋅χ
−χ⋅Ω
⋅η
=
−−
34
32
31
32
31
21
23
2
323
2
323
2
21
dhd
32
dhd
32
idhdU
dhd
dhd
idhdU
- 61 -
El máximo valor de U se obtiene cuando: 0
dhdU
=
χ⋅Ω⋅χ=Ω⋅Ω⋅χ
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
χ
Ω⋅χ
⋅χ⋅−χ⋅Ω
Ω⋅⋅
η
−−
−⋅
−
dd
0dhd
32
dhd
32
i
32
31
31
32
34
32
31
32
31
21
De donde resulta:
χΩ
=
χ⋅Ω=Ω⋅χ
dd
R
dd
CONDICIÓN DE QMÁX PARA LA SECCIÓN DE SEGMENTO DE CÍRCULO Para esta sección:
( )[ ]θ−θ⋅⋅=Ω sen22r
( )[ ]
θ⋅=χθ⋅=χ
θ⋅θ−⋅=Ω
drd
r
dcos12
rd
2
Reemplazando en la ecuación general (1)
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )θθθθθθθθθθ
θθθθθθ
χχ
cos52322cos55
222cos1
25
252
⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅
⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅Ω⋅=Ω⋅⋅
sensen
drsenrdrr
dd
Esta ecuación se satisface para θ = 302º 24´ 48´´, que corresponde a θ = 5.2781084 radianes. Reemplazando este valor de θº en la ecuación que da el valor del tirante:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−⋅=
2cos1
2D
h
Se obtiene D94.0D938181.0h ⋅≅⋅=
h = 0,94 D
Que es la condición de Qmáx para la sección segmento de círculo.
Si para un conducto de diámetro D, rugosidad η y pendiente i se dan sucesivos valores al tirante h y para cada uno de estos se obtiene el gasto Q (utilizando las tablas de Woodward y
- 62 -
Posey). La representación grafica de h en función de Q dará una curva como la indicada en la figura.
Demostraremos que para θ = 360º, el gasto es menor que el Qmáx en un 7% de este ultimo: Para θ = 360º:
382
1
º360
21
32
322
21
32
º360
2
22
Di
31169.0Q
iD25.0D7854.0
iR1
UQ
D25.0D4
DR
;D7854.04D
⋅η
⋅=
⋅⋅⋅η
⋅=⋅⋅
η⋅Ω=⋅Ω=
⇒⋅=⋅π⋅
⋅π=
χΩ
=
⋅=⋅π
=Ω
Por otra parte, el Qmáx le corresponde:
θ = 302º 24´ 48´´, θ = 5.2781084 radianes.
D28948.0´´
R
D64666.2´
D76616.0´ 2
⋅=χΩ
=
⋅=χ⋅=Ω
⇒
Reemplazando en la ecuación general de gasto:
382
1
MAX Di
33527.0Q ⋅η
⋅=
Entonces:
93.09297.033527.031169.0
Q
Q
MAX
º360 ≅==
Así, podemos decir:
MAXMAX
MAX
QQQQQ
%793.0
º360
º360
=−⋅=
- 63 -
CONDICIÓN DE VELOCIDAD MAX PARA LA SECCIÓN SEGMENTO DE CÍRCULO: Recordando, teníamos:
χ⋅Ω=Ω⋅χ dd ,
( )[ ]
( )[ ]
θ⋅=χθ⋅=χ
θ⋅θ−⋅=Ω
θ−θ⋅=Ω
drd
r
dcos12
rd
sen2
r
2
2
Operando, nos queda:
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
( )θ=θθ=θ⋅θ
θ−θ=θ⋅θ−θ
θ⋅⋅θ−θ⋅=θ⋅θ−⋅⋅θ⋅
tg
sencos
sencos
drsen22r
dcos12
rr
2
Esta es la condición de máxima velocidad para la sección segmento de circulo. Esta ecuación se satisface para
θ = 257º 27´ 12´´, |θ = 5.2781084 radianes| Reemplazando este valor en la ecuación del tirante:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−⋅=
2cos1
2D
h,
Nos queda:
D81.0h ⋅=
Si hacemos la representación grafica de h en función de la velocidad, dará una curva como la representada en la figura donde se ve que la velocidad máxima no se presentara para h = D sino
para 81.0
Dh
=.
Demostraremos que la velocidad media U(360º) es menor que U MAX en un 12% de esta ultima.
η⋅⋅=
21
32
32
º360i
D25.0U
- 64 -
Los valores de Ω y χ para θ = 257º 27´ 12´´, son:
DR
DD
⋅=Ω
=
⋅=⋅=Ω
30431.0''''''
24670.2''68369.0'' 2
χ
χ
Así, la velocidad máxima será:
( ) 322
12
1
32
MAX Di
45242.0i
D30431.0U ⋅η
⋅=η
⋅⋅=
Resultando el cociente:
88.087717.045242.039685.0
U
U
MAX
º360 ≅==
Finalmente:
MAXMAX UUU %12º360 =−
ADIMENSIONAL SEGMENTO DE CÍRCULO: Teníamos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−⋅=
2cos1
2D
h
Y también:
( )[ ]
θ⋅=χ
θ−θ⋅=Ω
2D
sen8
D2
De esta manera, el Radio Hidráulico nos queda:
( )[ ] ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θθ
−⋅=θ⋅
θ−θ⋅=
sen1
4D
2D
sen8
D
R
2
Reemplazando en la ecuación general de Q, nos queda:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] ( )
( )θ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
θθ−
⋅=⋅
η⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
θθ−θ
⋅=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ⋅θ
θ−θ⋅=
⋅
η⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ
θ−θ⋅=
⋅
η⋅
⋅θ⋅θ−θ⋅⋅η
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ⋅⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ−θ⋅⋅η
=χ⋅Ω⋅η
=
−
−−
35
21
38
31
353
1
35
5
21
38
31
2
5
35
32
21
38
38
32
35
35
32
21
323
522
1
32
352
1
sen105.0
iD
Q
sen05.0
sen05.0
iD
Q
sen
8
2
iD
Q
Dsen8
2iQ
2D
sen8
DiiQ
- 65 -
Al segundo miembro se lo llama “Adimensional Segmento de Circulo”, y se lo designa:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
Dhffca 21' θ
a’c es función de θ, pero a su vez θ es función de Dh
, por lo tanto a’c depende de Dh
. También podemos obtener otro adimensional, en donde en el primer termino figura “h” en vez de “D”:
38
21
38
21
38
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⋅
⋅==
⋅
⋅Dh
iD
Qacih
Q ηη
- 66 -
- 67 -
CANALES DE SECCIÓN TOLVA: Resultan una modificación de la sección trapecial al sustituir el fondo plano por un arco de circunferencia, debiéndose unir este arco tangencialmente a las paredes laterales. Ventaja: para tirantes pequeños (poco gasto) tienen velocidades mas altas que las del fondo plano (por ser menor el perímetro mojado χ), por lo tanto tienen menor sedimentación y menor limpieza del canal. Desventaja: son siempre revestidos, por lo que ello implica un mayor costo de construcción debido a los encofrados necesarios. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS:
α/2
αϕ
ϕ
m
ΑΒ F
O
Ε
D
C
r
G
f
( )
( )( )ϕ
=ϕ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α
ϕ−=α
=ϕ+α
⇒=ϕ++α
→−+⋅=Ω∆∆∆
tg1
gcot2
tg
º902
º902
º180º902
1OBFOCDEABC2
Pero:
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α⇒=ϕ
2gcotm
m1
2tgmtg
a)
( ) ( )
( ) mm
mhrrACB
mmhrr
tg
hrrOGrOBrBC
mBCgBCAC
BCACBCACACB
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⋅−−=⋅
⇒+
⋅−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−=
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
⋅=⋅⋅
=⋅
∆
∆
22
2
2
12
1
21
12
cos
2cot
22
2
αα
α
- 68 -
- →⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⋅
∆2
22 112
mm
hr
hrmhACB (a)
b)
( )bhr
2hOCDE
r2
180360
rOCDE
22
22
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
α⋅=
⋅α
=π
⋅α⋅⋅π
=
∆
∆
c)
( )c1hr
mh
OBF
1hr
hhrOG
mOG
2tgOGBG
OGBG2
OGBG2OBF
22→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α⋅=
⋅=⋅
⋅=
∆
∆
Así, reemplazando (a), (b), (c) en (1), nos queda:
2222
22
2 1hr
mh
hr
2h
mm1
1hr
hr
hm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
α⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅⋅=Ω
Desarrollando y simplificando esta expresión:
222
2 hmhr
mm12hr
mm122
⋅⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⋅−
α=Ω
- 69 -
- 70 -
- 71 -
El perímetro mojado será:
hr
hCDEr180
r180
ºº360
r2CDE
mm1
1hr
hr
hm2AC2
CDEAC2
2
⋅α⋅=⇒⋅α=π
⋅⋅α⋅π
=α⋅⋅π⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅=⋅
+⋅=χ
∩∩
∩
hrh
mm
hr
hrhm ⋅⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅=⇒ αχ
2112
Desarrollando esta expresión, nos queda:
hm12hr
mm12 22 ⋅⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +⋅+⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⋅−α=χ
Tanto la superficie transversal Ω como el perímetro mojado χ, para un m dado, dependen
exclusivamente de hr
( )IhmhrB
hrA →⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=Ω 2
2
En donde:
( )
( )2mm12B
1B2
A
2 →⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⋅=
→−α
=
Si hacemos:
m2Bb
BA2a
⋅+=+⋅=
Despejando de (1) el valor de α:
2
2
m12m2Bb
mm12Ba
BA2B
BBA2B2A2
+⋅=⋅+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⋅−α=−α=
⇒+⋅=−α++⋅=⋅+⋅=α
Reemplazando los valores de a) y b) en la ecuación del Perímetro Mojado:
( )IIhbhr
a →⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=χ
De la misma manera se calculan Bs, la flecha f y la longitud del arco C:
bBfcon
rffb
ccon
rcC
hmhrBBs
=
⋅=
=
⋅=
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=
´
´
4´
´
2
- 72 -
Para los taludes que mas se encuentran en la práctica se han calculado los correspondientes valores de A, B, a, b, c´, y f´, los que figuran en la tabla Nº3, pág. VII – 59 del manual del Ing. Dalmati.
SECCION HIDRÁULICAMENTE MAS CONVENIENTE O DE MÍNIMA RESISTENCIA: Hallados ya los elementos geométricos de la sección transversal pasaremos a tratar la condición de mínima resistencia:
Si hacemos hr
x = y reemplazamos en (I) y (II)
( ) ( )( ) ( )bhbxa
ahmxBxA 22
→⋅+⋅=χ→⋅+⋅+⋅=Ω
Nuestros datos son: Ω, m, n y la pendiente i, mientras que las incógnitas son: h, r, U=Umáx, Q=Qmáx. Si de la ecuación (a) despejamos h:
( ) 21
2
21
mxBxAh
+⋅+⋅
Ω=
Reemplazando en la (b):
( )
( ) 21
2
21
mxBxA
bxaX
+⋅+⋅
+⋅⋅Ω=
( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]
0
mxBxA2
BxA2bxamxBxAa2dxdX
23
2
221
=+⋅+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅−+⋅+⋅⋅⋅⋅Ω=
( ) ( ) ( )BxA2bxamxBxAa2 2 +⋅⋅⋅+⋅=+⋅+⋅⋅
Resolviendo esta ecuación se llega a:
bA2aBma2bB
x⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅
=
Reemplazando a y b por su valor:
1mA4B
mA4Bx
2
2=
⋅⋅−
⋅⋅−=
Como hr1
hr
hr
x =⇒=⇒=, siendo esta última la condición de mínima resistencia, o de
gasto máximo.
- 73 -
α/2 α ϕ
m
O
r h=r
Esta condición es valida para cualquier valor de Ω, n, m, D EXPRESIÓN DEL ADIMENSIONAL TOLVA:
hbhr
a
hmhr
Bhr
A 22
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=χ
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=Ω
Reemplazando estos valores en la expresión del caudal:
323
5
23
82
1
323
2
35
35
221
21
35
32
111
1
−
−−
−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
⋅
⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅=⋅Ω⋅⋅=
b
rh
am
rh
B
rh
Ahi
nQ
hbhrahm
hrB
hrA
nii
nQ χ
El segundo miembro es el llamado Adimensional Tolva (ato)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= m
rhfato ,
/1
Esta expresión del Adimensional Tolva fue tabulada en función del h / r, que cumple el campo de aplicación usual y agrupados en columnas de taludes “m” habituales. También se puede obtener otra expresión adimensional similar a la anterior donde figure en el primer miembro el radio “r” de la circunferencia del fondo en lugar del tirante h, obteniéndose:
toarhba
rhm
rhBA
hi
nQ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅+=
⋅
⋅ − 323
52
38
21 ..
- 74 -
- 75 -
- 76 -