cap-1 senales continuas

Anlisis de Seales y Sistemas Hector Pea M. EIE-UCV

SECCION 1

ANALISIS DE SEALES


Seales 1CONTENIDO:1.-Seales de tiempo continuo

Definicin,escaln,rampa,impulso,seales peridicas2.-Seales de tiempo discreto

Definicin,muestreo,escaln,rampa,pulso,seales peridicas de tiempo discreto,seales digitales

3.-ConvolucinPropiedades, Convolucin de seales de tiempo continuo y de tiempo discreto

4.-Series y Transformada de Fourier (tiempo continuo y discreto)Representacin en componentes de frecuencia, forma exponencial compleja, Espectro de frecuencia, Seales peridicas, Serie trigonomtrica, Fenmeno Gibbs, Teorema de Parseval, Transformada Inversa

5.-Transformada de LaplacePropiedades, Inversa, Relacin con Fourier

6.- Transformada Z


Seales 2

CAPITULO 1SEALES DE TIEMPO CONTNUO

Definicin: Una seal se dice de tiempo continuo o seal anloga cuando la variable tiempo t toma sus valores del conjunto de nmeros reales

Ejemplos de seales de tiempo continuo1.1-Funcin Escaln Unitario:

==

-

0 real )()(

0 0)(

KdK

ttK

K(t)

0

(K)

t


Seales 8

La notacin (K), en la figura, se refiere al rea del impulso.

1.4-Seales Peridicas

Sea T un nmero real positivo fijo. Una seal de tiempo continuo x(t) se dice peridica de perodo T si

(1.1)

Note que si x(t) es peridica, con perodo T, entonces tambin lo es con periodo qT, con q cualquier entero positivo.

=+ ttxTtx t, )()(


Seales 9

El perodo fundamental es el menor valor positivo T para el cual se cumple la igualdad (1.1). Un ejemplo de seal peridica es la sinusoide:

(1.2)

Donde A es la amplitud, es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s) y es la fase en radianes. La frecuencia, f, en ciclos por segundo, hertz, Hz, viene dada como:

+= ttAtx ,)cos()(

T2f 1==


Seales 10

Para comprobar que la sinusoide es peridica, observe que para cualquier valor de la variable tiempo t, se verifica que:

luego la sinusoide es peridica con perodo y que adems este es el perodo fundamental.

)cos()2cos(2cos +=++=

+

+ tAtAtA

2

t

A

22+

22

2

2+


Seales 11

Si =-/2 entonces :

Una situacin importante para anlisis de seales es :la suma de dos seales peridicas es una seal peridica ?

Sean x1(t) y x2(t) seales peridicas con periodos fundamentales T1 y T2 respectivamente. La suma serperidica?. Es decir existe T tal que

? (1.3)

tAsentA =+ )cos(

ttxtxTtxTtx +=+++ )()()()( 2121


Seales 12

La relacin (1.3) es satisfecha si y slo si la razn T1/T2puede escribirse como la relacin q/r de dos enteros q y r. DEMUESTRE !!!!!. qu sucede si q y r son coprimos?

1.5-Seal desplazada en el tiempo

Si t1 es un nmero positivo real, la seal x(t-t1) es nada mas que la seal x1(t) desplazada a la derecha en t1unidades de tiempo. x(t+t1) es la seal desplazada a la izquierda.


Seales 13

Suponga x(t)=s(t-t1) con t1=2 seg., entonces obtenemos:

t

S(t-2)

1

2

t

S(t+2)

1

-2


Seales 14

Se comprueba que:

t s(t-2) valor0 s(-2) 0

1 s(-1) 0

2 s(0) 1 etc..


Seales 15

Para un impulso K(t) y para cualquier numero fijo, positivo o negativo, t1, el desplazamiento temporal K(t-t1) del impulso es igual al impulso de rea K localizado en t=t1. Es decir

Esta caracterstica permite definir la propiedad de desplazamiento del impulso unitario:

f(t) continua en t1y real

+

>=

=

1

1

0 )(

0)(

1

11t

t

KdtK

ttttK

+

>=

1

1

0 )()()( 11t

t

tfdtf


Seales 16

1.6-Seales Continuas y Continuas por trazos

Una seal de tiempo continuo x(t) es continua en un punto t1 si Donde los nmeros:

son positivos e infinitesimal. Si la seal x(t) es continua para todo t, se habla de seal continua.

De no verificarse lo anterior se habla de una seal discontinua.

OBSERVEN QUE SE HABLA DE SEAL DE TIEMPO CONTINUO QUE ADEMAS ES CONTINUA (como funcin de t)

)()()( 111+ == txtxtx

1111 y tttt +


Seales 17

Por ejemplo, la seal escaln es una seal de tiempo continuo, sin embargo no es una seal continua, porque no esta definida para todo tiempo.

Un ejemplo de seal continua: (pulso triangular)

12 +t12 + t

1

t-/2 /20


Seales 18

Una seal continua es continua por trazos si es continua para todo t con excepcin de una coleccin finita de puntos ti , i=1,2,3...Un ejemplo es el tren de pulsos:

0123 1 2 3

t


Seales 19

1.7-Derivada de una seal de tiempo continuoUna seal x(t) de tiempo continuo se dice

diferenciable en un punto fijo t1 si se cumple que:

Es evidente que se hace necesario (aunque no suficiente en general, que x(t) debe ser continua en t=t1.

Para una seal continua por trazos se habla de una derivada generalizada, definida como:

htxhtx

dttdx

htt

)()()( 110

lim1

+==


Seales 20

Si x(t) es una seal de tiempo continuo, y adems continua por partes, su derivada generalizada se expresa como:

Observemos que se compone de la derivada ordinaria (exceptuando t=t1) y de un impulso en t=t1 con amplitud igual al salto de la discontinuidad.

[ ] )()()()()( 111 tttxtxdt tdxdt tdx G += +


Seales 21

Veamos unos ejemplos:1.- Derivada generalizada de un escaln K

Si K=1, se hace evidente que la derivada generalizada de un escaln unitario es un impulso unitario.

2.- Derivada generalizada de un seal continua por trazos

Considere x(t) definida como:

[ ] )()0()0()0()( tKtssKdt

tdsG

== +

totro todo3t22t11t0

03t-

112

)(


Seales 22

El grfico de la funcin es entonces:

01 2 3 4

1

2

3

)(tx

t

12 +t

3+ t0


Seales 23

La derivada generalizada ser:Para el intervalo (0,1) exceptuando 0 y 1 es

Para el intervalo (1,2) exceptuando 1 y 2 es

Para el intervalo (2,3) exceptuando 2 y 3 es

Para el intervalo (todo otro tiempo)

[ ])1()(2 tsts

0

[ ])3()2( tsts0


Seales 24

Entonces la derivada ordinaria es

En consecuencia la derivada generalizada viene dada como:

Que puede simplificarse como:

[ ] [ ])3()2()1()(2)( = tstststsdt

tdx

[ ] [ ] [ ][ ] )1()1()1( )()0()0()3()2()1()(2 + + ++

txxtxxtstststs

[ ] [ ] )1(2)()3()2()1()(2 + tttstststs


Seales 25

Entonces la derivada generalizada se obtiene como:

)1(

1

2

1 )2(

1

2 3 4

t


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1.8-Seales definidas por intervalosSeales de tiempo continuo son generalmente

definidas intervalo por intervalo. Ejemplo:Sea:

Cualquier funcin de este tipo puede ser representada en trminos de un escaln s(t) y sus desplazamientos. Es decir:


Seales27

Rearreglando se obtiene:

De (1.5) se desprende que x(t) puede expresarse como:

Donde:

[ ][ ] (1.5) t t)()(

)()()()()()(

1323

21211

++=

) s(t-ttxtxttstxtxttstxtx

(1.6) )()()()()()()( 1332211 ttttstfttstfttstftx ++=

)()()()(

)(

)()()(

23

12

1

3

2

1

txtxtxtx

tx

tftftf

===


Seales 28

Por otra parte, suponga ahora que x(t) esta dado en la forma de (1.6) para algunas funciones f1(t), f2(t), f3(t). Entonces

Que tambin podemos escribir como:

)7.1( )()()(

)()()(

)(

3

22

21

321

21

1


Seales 29

totro todo3t22t11t0

03t-

112

)(

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