30

2. FLEXO NORMAL COMPOSTA

uma combinao dos casos de trao (ou compresso) simples e flexo pura. Ser assim estudada:

- flexo com trao: pequena excentricidade (domnio 1)

grande excentricidade (domnios 2 e 3) - flexo-compresso: pequena excentricidade (domnio 5)

grande excentricidade (domnios 2, 3, 4 e 4a)

2.1 Flexo com trao: 2.1.1 - Pequena excentricidade (domnio 1) Consideraes:

- sees transversais inteiramente fissuradas; - despreza-se a resistncia trao do concreto (seo resistente formada apenas pelas

sees das armaduras As e As); - o concreto funciona apenas como proteo para as armaduras; - o estado limite ltimo fica caracterizado com a deformao na armadura mais

tracionada igual a 10. Ocorrncia: em tirantes de C.A. (colunas tracionadas).

a) Dimensionamento

Considere-se a figura seguinte:

31

d-d'

As

R'sd

Rsd

e

es

Fd

A's

Seo transv. Deformaes Tenses Foras

b

d'

d'As

A's

eFd

h

x < 0

d

es = 10

eyd

e's

f yd

Fazendo M no C.G. da armadura mais tracionada igual a zero:

( ) = sdsd eFddR '' '' ddeF

R sdsd =

Fazendo M no C.G. da armadura menos tracionada igual a zero tem-se:

( ) ( ) = sdsd eddFddR '' ( )

'

'

dd

eddFR sdsd

=

onde:

ydssd fAR = '' e ydssd fAR =

logo:

( ) ydsd

s fdd

eFA

='

' ( )I

( )

( ) ydsd

s fdd

eddFA

='

' ( )II

Obs.: o limite de pequena excentricidade corresponde condio de 0' =sA , ou seja, de ( ) 0I = se . Tem-se, portanto, o caso de pequena excentricidade quando:

2

'ddes

b) Estados limites de fissurao

- verificado de forma anloga quela da flexo simples. - abertura provvel:

+

= 454

5,12 1 ses

s

EW

s

yd

s

32

e50

20

FdMd

fazendo-se aqui, de forma simplificada e a favor da segurana:

tots

ks A

F

,

=

c

totalsse A

A ,= , Ac = rea da seo transversal (b h).

Exemplo 1: Calcular as armaduras para uma seo

transversal pr-dimensionada para 20x50cm, sujeita aos esforos kNFd 500= (trao), mkNM d = 55 ,

Mpaf ck 20= , ao CA-50, mmWadm 3,0= , cmdd 44'= , 2/21000 cmkNEs = .

cmF

Me

d

d 11500

55 ===

cmdd

emx 222

44

2

' ===

< mxee pequena excentricidade

( ) ydsd

s fdd

eFA

='

'

cmedd

es 1111222

' ===

kNFd 500=

2/48,4315,1

50cmkNf yd ==

( ) mmcmfddeF

Ayd

sds 10487,248,4344

11500

'' 2 =

=

=

( )( )

( )mmcm

fdd

eddFA

yd

sds 5,12762,848,4344

1144500

'

' 2 =

=

= (feixes)

2, 95,1175,820,3 cmA

eftots =+= (tab 1.3.a)

Verificao das fissuras:

+

= 454

5,12 1 ses

s

EW

2/89,2995,114,1

500cmkN

kNs =

=

2/21000 cmkNEs =

0120,05020

95,11 =

==c

sse A

A 25,21 =

mmE

Wses

s 239,0450120,0

4

21000

89,29

25,25,12

5,1245

4

5,12 1=

+

=

+

=

ok!

33

Obs.: quando se utilizam feixes de barras, o espaamento no pode ser inferior ao

dimetro de um crculo de mesma rea do feixe. Verificando:

cmA

dd

AcmA 19,275,344

475,3)5,123(

22 =====

( )

!875,32

25,1220

25,1225,125,125,22

okcmeh

t

==

=+++

armadura pele (combate fissurao)

Dimensionamento Econmico Exemplo 2: Dimensionar a seo do exemplo 1, dispondo de uma armadura de pele de

mm102 por face ao longo da maior dimenso com C.G. no centro geomtrico da seo.

As

A's

Fde = 11cm

11cm

R'sd

22cm

Rsd

Rsd,pele

Fazendo 0=M no C.G. da armadura As:

mmcmAA

ffA

FRR

ss

ydydsd

dpelesdsd

10228,1'550015,1

508,0422'

15,1

5044

500118,0422'44

1122'44

2

,

==+

=+

=+

Fazendo dsdpelesdsdH FRRRF =++= ,'0

mmcmAA ss 1097,650015,1

50

15,1

508,04

15,1

5060,1 2 ==++

Verificao da fissurao:

012,01000

1212 2 === ses cmA

2/76,29124,1

500cmkN

kNs =

=

mmW 191,045012,0

4

21000

76,29

25,25,12

10 =

+

= ok!

eh e h 2,5

t

34

2.1.2 - Grande excentricidade (domnios 2 e 3)

Neste caso tem-se: 2

'dde

>

Ou seja, a fora atuante Fd situa-se abaixo da armadura tracionada, como se indica a seguir:

transportando Fd para o C.G. da armadura tracionada:

d - d'2

d-d'

As

Fd

e

A's

As Fd

A's

Msd

- Decomposio do Diagrama de tenses

As

A's

0,85 f cd

cf = d - d'

y

M1d

Rt1

Rc

z

M2dRt2

Rt2

a) b)

221 ' e , ttt RRR so as foras que surgem nas armaduras em funo do equilbrio de M1d e M2d,

respectivamente. Considerando o diagrama (a)

sAM de .C.G no 0= zybfzRM cdcd == 85,01

Este diagrama semelhante ao diagrama de tenses para flexo simples, com seo normalmente armada. O momento fletor correspondente a esta situao dado por:

L.M.P.

1.1 tab;4,3

4,3

2

1

c

cd

k

k

dbM

=

Considerando o diagrama (b) tem-se:

Rt2

35

ftd cRM = 22 '

conhecido M1d, M2d ser dado por:

dsdd MMM 12 =

onde 22

fd

fdsd

cFdM

ceFM =

=

Msd = momento fletor atuante em relao ao C.G. da armadura tracionada. Caso Msd seja menor ou igual a M1d, no ser necessria a armadura complementar (M2d = 0). - Resultante das Foras

a) Na armadura de compresso: 2'' tRR =

b) Na armadura de trao: dtt FRRR ++= 21 - Clculo das armaduras

ydf

d

yd

t

yds fc

M

f

R

f

RA

''

'

'

'' 22

=== ;

( )dttydyd

s FRRff

RA ++== 21

1

1 21 d ds d

yd f

M MA F

f z c

= + +

Ocorrncia: o caso de flexo-trao com grande excentricidade pode ocorrer em elementos horizontais (vigas) de prticos calculados para absorver a ao do vento. - Verificao da fissurao

Tenso na armadura

++= k

f

kk

ss Fc

M

z

M

A '

1 21

cr

sse A

A= ; Acr: determinado como na flexo simples.

Exemplo: Dimensionar a seo transversal sujeita ao esforo de trao de kNFk 200= e momento cmkNM k = 29200 , adotando-se ao CA-50 e MPafck 20= ; cmb 25= e

cmh 75= ; ' 5 "d cm d= = .

kNNd 2802004,1 == kNM d 40880292004,1 ==

36

cmN

Me

d

d 146280

40880 ===

' 75 5 532,50

2 2

d dcm

= = Grande2

' > dde Excentricidade

=

=

2

65146280

2f

dsd

ceNM

cmkNM sd = 31780

2,24,34,3

2

1 == cc

d kk

dbM (tab 1 L.M.P)

cmkNM d == 8,55681

2,2

7025 21

Como sdd MM >1 , 02 =dM

85,331780

7025 22 ===sd

c M

dbk

4,227032,032,032,0 ===== dxd

xx

- Determinao das armaduras:

0'

' 2 =

=fyd

ds cf

MA

+= dsdyd

s Nz

M

fA

1

04,612

4,228,070

2

8,0 === xdz

( )2s2 9,18A camadas) duas (em 20641,1828004,6131780

48,43

1cmmmcmAs ==

+=

2, 90,18 cmA tots =

- Verificao da fissurao

+

= 454

5,12 1 ses

s

EW

2/26,3028004,61

31780

4,1

1

9,18

1cmkNs =

+=

( ) 257525815 cmAcr =+=

e

d

as

8,0

7,5 = 15

37

033,0575

26,30 ===cr

sse A

A

IIeICAApmmW =

+

= /17,045033,0

4

21000

07,31

25,25,12

20 ok!

Armadura de pele dispor como no caso de flexo simples. 2.3 Flexo-compresso: 2.3.1 - Pequena excentricidade (domnio 5) Ocorrncia: elementos verticais (pilares)

Estando no domnio 5 de deformao, verifica-se que a seo transversal estar totalmente comprimida (a linha neutra no corta a seo transversal).

Considere-se a seo transversal retangular sujeita a uma carga pouco excntrica:

e

As

A's

h

d' A'sf 'Nd

as

ca's

b

/2

h/2

d

2

2

c f

0,85 fcd

sd

N'1d = 0,85Acfcd

Asf 'yd

Seo transversal Deformaes Foras Condio adotada: As e As so dispostas de tal maneira que o centro de gravidade da seo de concreto armado coincide com o centro C de aplicao da carga Nd. Com isso, a seo se desloca paralelamente a si mesma, tendo-se 2== cte e o diagrama de tenses retangular, com tenso constante igual a 0,85fcd. - Determinao das armaduras Fazendo 0=M em relao ao C.G. da armadura As tem-se:

( ) 085,0'' =+ scdcfydssd afAcfAaeN , ou seja

( )fyd

sdsds cf

aNaeNA

+

='

' 1 ( )I

De forma anloga, fazendo 0=M no C.G. de As obtem-se:

( )fyd

sdsds cf

aNeaNA

='

'' 1 ( )II

yds fA ''

38

Para o ao CA-50, fyd = 42,00 kN/cm (para 2= ). Na flexo-compresso com pequena excentricidade, a excentricidade da carga tem seus valores limitados por:

'2

dh

e

Obs.: no caso das armaduras eqidistantes do eixo mdio 2

' fssc

aa ==

Exemplo: Calcular uma seo transversal de ( )cm8020 , dados: kNN 2000= , cmkNM = 14100 , MPafck 20= , ao CA-50, cmd 76= e cmd 4'= .

Geometria da seo:

cmh

das 362

8076

2===

cmdh

a s 36440'2' === cm

N

Me 05,7

2000

14100 ===

cmaac ssf 723636' =+=+= Esforos de clculo:

kNNd 280020004,1 == cmkNM d == 19740141004,1 Resistncias de clculo:

2/0,220 cmkNMPafck == 2/43,1

4,1

0,2cmkNfcd ==

2/42' cmkNf yd = kNfAN cdcd 8,194443,1802085,085,01 ===

Verificao da excentricidade:

cmdh

36440'2

==

< cme 36 pequena excentricidade. Armaduras:

( ) ( )7242

368,19443605,72800

'' 1

+=

+=

fyd

sdsds cf

aNaeNA

( )mmcmA s 1012 de feixes 16871,16' 2 +=

( ) ( ) 21 66,37242

368,194405,7362800

'

''cm

cf

aNeaNA

fyd

sdsds =

=

=

39

2.3.2 - Grande excentricidade

> d'he2

Ocorrncia: em elementos horizontais (vigas) de prticos calculados para absorver as aes de vento e, eventualmente, em pilares. Neste caso, o procedimento para o clculo das armaduras As e As anlogo ao caso de flexo-trao com grande excentricidade.

As

A's

0,85 f cd

c f

y

M1d Rt1

Rc

z

M2dRt2

R't2

Nd

e

d

As

a's

asNd

Msd

a) b) Analisando o diagrama (a) deduz-se:

zybfzRM cdcd == 85,01 , (momento fletor correspondente flexo simples, com seo normalmente armada). Assim utilizando-se a tab 1.1. L.M.P. tem-se:

4,3

2

1c

d k

dbM

=

Conhecido dsddsd MMMM 12, = Clculo das armaduras: - armadura de compresso

fyd

d

yd

ts cf

M

f

RA

==

''

'' 22

- armadura de trao

+=

+= d

f

dd

ydyd

dtts Nc

M

z

M

ff

NRRA 2121

1

ydf ' dado no captulo referente flexo simples.

Verificao da fissurao: Tenso de servio na armadura tracionada

x

xdn cs

= onde:

=c tenso mxima de compresso no concreto

( ) ( )[ ]xdAdxAnxbxN

sswc +

=''2

22

40

Posio do L.N. (x)

( ) ( )

( ) ( ) 0'''''6

'''63 23

=

+

+

++

+

dddAdAdAN

Mn

xddsAAAN

Mnxd

N

Mbxb

ssss

ssss

ww

Onde

s sM M N e= +

=sM momento em servio da fora externa, em relao ao C.G. da armadura tracionada. Momento de Inrcia:

( ) ( )223

'3

dxAnxdAnx

bI ssw ++=

Exemplo: Calcular uma seo sujeita aos esforos o)(compress 1500kNN = e

mkNM = 600 . Dados ao CA-50, cmh 80= , cmd 76= , cmd 4'= , cmb 25= , MPafck 20= e mmWadm 3,0= .

Geometria da seo

cmh

das 362

8076

2=== ; cmdha s 36440'2

' ===

cmaac ssf 723636' =+=+= Esforos de clculo

2/0,220 cmkNMPafck == 2/43,1

4,1

0,2cmkNfcd ==

kNNd 210015004,1 == mkNM d == 8406004,1

Verificao de excentricidade

cmmN

Me 404,0

1500

600 ====

> 0ee grande excentricidade.

( ) ( ) cmkNaeNM sdsd =+=+= 15960036402100

cmkNk

dbM

cmd =

== 4,656362,2

7625 2

4,3

2

1

cmkNMMM dsdd === 6,939634,6563615960012

es

MN

e

a ' s

A s

A' s

a' s

N d

x = 0,628

41

Determinao das armaduras

fyd

ds cf

MA

=

'' 2 ; 2/5,43'053,0

76

4'cmkNf

d

dyd ===

201,307248,43

6,93963' cmA s =

=

+= d

f

dd

yds Nc

M

z

M

fA 21

1

2

ydz = 18,3876628,08,08,08,0 ==== dxy x

cmz 9,562

18,3876 ==

2,

2

45,9

20325,8210072

6,93963

9,56

4,65636

48,43

1

cmA

mmcmA

efs

s

=

=

+=

Verificao da fissurao Numa primeira aproximao, a favor da segurana, podemos fazer

+=

+= 2100

72

6,93963

9,56

4,65636

4,1

1

45,9

11 21k

f

kk

ss Nc

M

z

M

A

2/10,27 cmkNs =

( ) 24750,25,7425 cmAcr =+=

0199,0475

45,9 ==se

mmW 226,0450199,0

4

21000

10,27

25,25,12

20 =

+

=

42

3 Flexo Oblqua: a solicitao cujo esforo normal no est aplicado em nenhum dos planos de simetria da seo transversal. Considerando-se uma seo transversal retangular, tem-se:

O processo de clculo feito por tentativas adotando-se a seo transversal e armadura e ajustando-as s solicitaes (Nd, Mx, My). Trata-se, na realidade, de uma verificao do dimensionamento.

Considere-se o caso geral a seguir representado:

ey

exNd

h

PLAN

O DE

FLEX

O

LINHA NEUTRA

x

Acc

d x

d y

G

x

y

x

3h7

DOMNIOS2-3-4-4a

Asi

N d

y

x N d

y

x

M x

M y

ex

e y

ydy

xdx

eNM

eNM

==

cd cod

dc1

sd

dc1

cddc1

43

- Esforos Resistentes

=

+=barrasden

isdisiAcc cdd

AdxdyF

1

=

+=barrasden

isisdisiAcc cdxd

xAdxdyxM

1

=

+=barrasden

isisdisiAcc cdyd

yAdxdyyM

1

O equilbrio se dar quando:

dd NF = ; xdxd eNM = ; ydyd eNM = - Condies de Compatibilidade Dada a posio da linha neutra e imposta a deformao especfica de um ponto particular da seo transversal, ficam determinadas as deformaes especficas de todos os outros pontos da seo transversal, bem como suas respectivas tenses. Assim, impondo-se o valor 10=sd no domnio 2, 5,31 =dc nos domnios 3, 4 e 4a e o valor 2=cod no domnio 5, podem ser calculadas todas as tenses e determinados os esforos Nd, Mx, My. - Resultados Possveis Variando-se a posio x e a inclinao da linha neutra, obtm-se todos os possveis ternos de valores Fd, Mxd, Myd que conduzem uma dada seo ao estado limite ltimo de ruptura ou de alongamento plstico excessivo. Estes ternos de valores podem ser representados por meio de bacos de dimensionamento. - bacos de Dimensionamento Os bacos citados so traados em termos dos esforos adimensionais ,d xd yde e da taxa de armadura dados por:

; ; ydd xdd xd ydc cd c x cd c y cd

MN M

A f A h f A h f = = =

,s tot yd

c cd

A f

A f

=

(bibliografia: Fusco, P.B. Estruturas de Concreto Solicitaes Normais)

- Apresentao das superfcies de interao e do baco Aplicao: Dimensionar, via bacos de dimensionamento, a seo a seguir representada, sendo dados:

22 /48,43;/43,1

50;20;500

cmkNfcmkNf

CAaoMPafkNN

ydcd

ckk

==

==

44

ey = 4 cm

N

y

x

ex = 2 cm

20

30

Soluo

Esforos: 1, 4 500 700dN kN= = 700

0,8220 30 1,43

dd

c cd

N

A f = = =

14000,08

600 20 1,43xd

xdc x cd

M

A h f = = =

28000,11

600 30 1,43yd

ydc y cd

M

A h f = = =

0,4150,82p/ 0,550,1p/ baco No

0,400,8p/ baco No==

====

,,

s tot yd c cds total

c cd yd

A f A fA

A f f

= =

mmcmA totals 20419,848,43

43,1600415,0 2, =

=

2, 6,12 cmA efs =

Outra distribuio:

0,460,82p/ 0,600,1p/

0,450,8p/ ==

====

mmcmA totals 5.12831,648,43

43,160046,0 2, =

=

( )inferior 2010 2, %cmA efs =

Portanto, maior economia de ao.

Distribuio adotada para a armadura