cap 6 fuerzas internas en vigas

Universidad de La Serena Facultad de Ingeniera Departamento de Ingeniera en Obras Civiles

Versin mayo de 2015 Apuntes de Mecnica I

Ing. Jos A. Aguilera Muoz

1

Capitulo 6 Fuerzas internas en vigas

Viga es un elemento estructural, que soporta principalmente cargas con direccin perpendicular a su eje longitudinal.

El objetivo de determinar las fuerzas internas en vigas, es identificar las secciones crticas de la viga, desde el punto de vista de los esfuerzos que soportan, para posteriormente disearlas de modo de proveerlas de la resistencia adecuada.

En este captulo analizaremos los fuerzas internas en vigas, limitados al caso de estructuras planas con cargas en su plano.

En la viga de la figura que se muestra a continuacin VNM ,, son el momento flextor y las fuerzas internas en la seccin A-A .

=N Fuerza Normal =V Fuerza de corte =M Momento flextor

N

M

V

A

A

A

A

N V

C

TM




2

=V Fuerza de corte =N Fuerza normal =M Momento flextor

Usaremos la siguiente nomenclatura para las fuerzas internas VNM ,, positivos o negativos:

(Traccin) (Compresin)

Fuerza normal N Fuerza de corte V Momentos flextores M

Las fuerzas internas se calculan utilizando el equilibrio de un tramo de viga como cuerpo libre, con las que se pueden generar grficos que entregan una informacin visual de los esfuerzos internos en cada seccin de la viga. El principio utilizado para plantear las ecuaciones es que si toda la estructura se encuentra en equilibrio, parte de ella tambin se encuentra en equilibrio. Veamos esto con ejemplos:

M

V

V

N N M

A

A

( )+ ( )+ V

V

( ) V ( )

V

( )+

( )+

N N

( )

M

N

( )

N

M

M M




3

Ejemplo N 1 Obtener los grficos de VNM ,, de la viga cargada como se muestra a

continuacin. Datos: = 60,, aP

Solucin:

a) Equilibrio del cuerpo libre para el clculo de las reacciones en los apoyos: Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Ecuaciones de equilibrio:

0= xF 0cos2 =+ xBP = 60cos2PBx PBx =

03220 =+= aBasenPaPM yA ( )+= 604

31 senPPBy PBy = 488,1

0= yF 02 =+ senPPBA yy senPPBA yy ++= 2 PAy = 244,1 b) Clculo de las fuerzas internas .

En este caso existen tres tramos de anlisis: Tramo 1: el tramo comprendido entre el apoyo A y la carga P . Tramo 2: el tramo comprendido entre la carga P y la carga P2 . Tramo 3: el tramo comprendido entre la carga P2 y el apoyo B.

A

a a a

P P2

B

xB

a a a

P P2 B A

yA yB




4

b.1. Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las fuerzas internas en la viga para el tramo 1, o sea para ax 0 Ecuaciones de equilibrio :

00 == xx NF 0=xN (1) 00 == xyy VAF PVx = 244,1 (2)

00 =+= xyo MxAM xPM x = 244,1 (3) b.2. Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las fuerzas internas en la viga para el tramo 2, o sea para axa 2 Ecuaciones de equilibrio :

00 == xx NF 0=xN (4) 00 == xyy VPAF PVx = 244,0 (5) ( ) 00 =++= xyo MaxPxAM

( ) aPxPxPaxPxAM yx +== 244,1 ( ) PaxM x += 244,0 (6)

x A

yA xV

xM

xN O

a A

yA

xV

xM xN O

P

x




5

b.3. Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las fuerzas internas en la viga para el tramo 3, o sea para axa 32 Ecuaciones de equilibrio :

0cos20 =+= xx NPF PNx = (7) 020 == xyy VsenPPAF PVx = 488,1 (8) ( ) ( ) 0220 =+++= xyo MaxsenPaxPxAM ( ) ( )axsenPaxPxAM yx 22 =

( ) PxaM x = 488,1464,4 (9) Observacin: Para la determinacin de las fuerzas internas del tercer tramo, resulta ms fcil el anlisis del equilibrio del trozo derecho del tramo. Veamos como se hace: Tramo 3, o sea para ax 0 con ( x ) : Ecuaciones de equilibrio:

xxxxx BNBNF ==+= 00 PNx = (7) yxyxy BVBVF ==+= 00 PVx 488,1= (8)

xBMxBMM yxyxo ==+= 00 xPM x = 488,1 (9)

A

yA xV

xM xN O

P

x

P2

a a

xB

x

B

yB

xV

xN

xM




6

Grficos. Los grficos de de fuerzas internas correspondientes a los distintos tramos, se obtienen con las ecuaciones (1); (2) y (3) para el tramo 1; ecuaciones (4), (5) y (6) para el tramo 2 y ecuaciones (7), (8) y (9) para el tramo 3. O sea:

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 0=xN 0=xN PNx =

PVx = 244,1 PVx = 244,0 PVx = 488,1 xPM x = 244,1 ( ) PaxM x += 244,0 ( ) PxaM x = 488,1464,4

xB

a a a

P P2 B

yA yB

Tramo 3

xN

x ( ) PxV

( )+ P244,1 ( )+ P244,0 ( )

P488,1

x

xM

( )+ Pa244,1

( )+ Pa488,1

( )+ x

A

Tramo 1 Tramo 2




7

Relacin entre cargas y fuerzas internas

Supongamos que tenemos una viga cargada con una sobrecarga cualquiera. Analizaremos el equilibrio de un trozo diferencial de dicha viga. Entonces:

=)(xn sobrecarga horizontal en funcin a la variable x . =)(xq sobrecarga vertical en funcin a la variable x .

Ecuaciones de equilibrio:

( ) ( ) 00 =+++= xxxx dNNdxxnNF ( )xndxdNx = ( ) ( ) 00 =+= xxxy dVVdxxqVF ( )xqdxdVx =

( ) ( ) 02

0 =+++= xxxxo dMMdxdxxqdxVMM Si consideramos que: ( ) 02 dx Entonces: 0=+ xx dMdxV xx Vdx

dM =

Si el anlisis de los esfuerzos internos de la viga se realiza considerando el equilibrio del tramo derecho, o sea con x () variando de izquierda a derecha, entonces:

xx V

dxdM =

dx

( )xx dNN + O

( )xx dVV + ( )xx dMM + 2dx

dxxqdQ = )(

xN

)(xn

xV xM

)(xq




8

El clculo de las ecuaciones de xxx MVN ,, , tambin puede realizarse para vigas o barras inclinadas o curvas. En este ltimo caso es mas conveniente el anlisis con coordenadas polares, considerando un diferencial de longitud drds = en lugar del de longitud dx . x

x VdxdM = Vds

dM = VdrdM = O sea :

d

dMr

V = 1 Ejemplo N 2: Determinar y dibujar los diagramas de VNM ,, para la viga cargada como se indica en la siguiente figura. Datos : l,q

Solucin: Clculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:

00 == xx AF 0=xA

128121

01611

8110

l

lll

qB

BqM

y

yA

=

=+= lqBy = 945,0

C B

q

A

l 83l

C B

q 811 lqQ =

A

l 83l

xA

yA yB




9

lll

l

qqqBA

qBAF

yy

yyy

==+=

=+=

43,0128

558

11

08

110 lqAy = 43,0

Calculo de los esfuerzos internos de la viga.

En este caso existen dos tramos de anlisis: Tramo 1: el tramo comprendido entre el apoyo A y el apoyo B. Tramo 2: el tramo comprendido entre el apoyo B y el voladizo en C

Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de los esfuerzos internos de la viga en el tramo 1 l x0 :

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son vlidas para l x0

Ecuaciones de equilibrio :

0:__;00 ==+= xxxx APeroNAF 0=xN (1) xqAVVxqAF yxxyy === 00 xqqVx = l43,0 (2)

02

0 =++= xyo MxxqxAM 243.02xqxqM x

= l (3) Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las fuerzas internas de la viga, en el

tramo 2, vlida para 830 l x con (C):

C

x

xN

yA

O

xV

xM 2x

AxA

xqQ =

x

xN O

xV

xM 2x

xqQ =




10

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son vlidas para 830 l x ( x )

Ecuaciones de equilibrio : 00 == xx NF 0=xN (4)

xqVxqVF xxy === 00 xqVx = (5) 0

20 == xo MxxqM 2

2xqM x= (6)

Grficos. Los grficos de esfuerzos internos correspondientes a los distintos tramos, se realizan con las ecuaciones (1); (2) y (3) para el tramo 1 y ecuaciones (4), (5) y (6) para el tramo 2.

O sea: Tramo 1 Tramo 2

0=xN (1) 0=xN (4) xqqVx = l43,0 (2) xqVx = (5)

243.0

2xqxqM x= l (3)

2

2xqM x= (6)

En consideracin a que la ecuacin de xM para el primer tramo corresponde a la ecuacin de una parbola, es necesario determinar el punto del cambio de curvatura para facilitar la confeccin del grfico correspondiente. Esto es :

243.0

2xqxqM x= l (3) 043,0 == qxq

dxdM x l

l43,0=x Reemplazando en la ecuacin (3), tenemos:

( ) 2243,0 09245,02

43,043.043,0 lllll qqqM x ===

243,0 09245,0 ll qMM mxx ===

209245,0 lqMmx =




11

Grficos:

Tramo 1 ( ) __0 lx Tramo 2 ( ) __830 lx

0=xN 0=xN xqqVx = l43,0 xqVx =

243.0

2xqxqM x= l

2

2xqM x=

C B

q A

xN

83l

xA

lqAy = 43,0 lqBy = 945,0 l

x

xV

x

xM

207,0 lq

0 0

( ) lq43,0

lq57,0

lq375,0

l43,0

209245,0 lq

x

( )+

( )+

( )+

( ) ( )




12

Ejemplo N 3 Para la viga cargada como se muestra en la figura, se pide:

a) Calcular las reacciones en los apoyos A, C y D b) Determinar las ecuaciones y confeccionar los grficos de momentos flextores M y

fuerzas cortantes V . c) Calcular el momento flextor mximo mxM (positivo o negativo) Datos:

( )( )ma

mtonq11

==

Solucin: a) Clculo de las reacciones: Equilibrio del cuerpo libre:

Ecuaciones de equilibrio:

0= xF 0=xA 0= yF 083 =++ qaqaDCA yyy

0= DM 0285,7349 =++ aqaaqaaCaA yy 0= BM 05,133 =+ aqaaAy

2

3qaAy = ( )tonAy 5,1=

4

25qaCy = ( )tonCy 25,6=

C D

q q2

a4 a2 a3

B A

C D

q q2

a4 a2 a3

B A

yD yC yA

xA




13

Reemplazando en la 2 ecuacin:

0114

252

3 =++ qaDqaqa y 413qaDy = ( )tonDy 25,3=

b) Ecuaciones y grficos de M y V : Tramo AB: ax 30 ( )

0= yF 0= xy VxqA xVx = 5,1 0= oM 02

2

=++ xy MxqxA

2

2xqxAM yx= 25,05,1 xxM x =

Momento mximo en el tramo AB:

05,1 == xdxdM x ( )mxt 5,1= ( )

( ) ( )25,15,05,15,1 =tramoABmxM ( ) ( )mtonM tramoABmx = 125,1

Momento en la articulacin B :

Para ( )mx 3= ( )235,035,1 =BM ( )mtonMB = 0

Tramo BC: axa 53 ( )

q xM

x

O A xN

xV yA

q xM

x

O A xN

xV yA a3

B




14

0= yF 03 = xy VqaA

qaAV yx 3= 5,1=xV 0= oM ( ) 05,13 =++ xy MaxqaxA ( )axqaxAM yx 5,13 = 5,45,1 += xM x

Tramo DC: ax 40 ( )

0= yF 02 =+ xy VxqD

yx DxqV = 2 25,32 = xVx 0= oM 02

2 2 = xy MxqxD 2xqxDM yx = 225,3 xxM x = Momento mximo en el tramo DC:

0225,3 == xdxdM x ( )mxt 625,1= ( ) ( ) ( )2625,1625,125,3 =tramoDCmxM ( ) ( )mtonM tramoDCmx = 64,2 Momento en el apoyo C:

Para ( )mx 4= ( )24425,3 =CM ( )mtonMC = 3

q2 xM

x

O D xN

yD

xV




15

Grficos: Tramo AB ( ) Tramo BC ( ) Tramo DC ( )

xVx = 5,1 5,1=xV 25,32 = xVx 25,05,1 xxM x = 5,45,1 += xM x 225,3 xxM x =

Momento flextor mximo: ( )mtonMM Cmx == 3

C D

q q2

a4 a2 a3

B

-3,25

A

4,75

-1,5 -1,5

1,625

2,64

-3

1,125

1,5

1,5

x

x

xM

xV

(+)

(+)

(+)

(+)

(-)

(-)(-)




16

Ejemplo 4 Para la estructura en forma de cuarto de circunferencia, cargada como se muestra en la siguiente figura, se pide calcular las reacciones en los apoyos, determinar las ecuaciones de esfuerzos internos y dibujar los respectivos diagramas. Datos : aP, Solucin:

a) Equilibrio del cuerpo libre:

Ecuaciones de equilibrio: 00 =++= PBAF xxx (1)

00 =+= yyy BAF (2) 00 == aPaAM yB PAy = (3) 00 =+= aAaAM xyC PAA yx == (4) Reemplazando (3) en (2) : PBy =

a

A B

C P

a

a

yB

A B

C P

a

xA

yA

xB




17

Reemplazando (4) en (1) : 0=xB Para el anlisis de los esfuerzos internos debemos considerar dos tramos; el anlisis de los tramos AC y CB. Sin embargo, como en este caso el tramo CB es una biela con un esfuerzo de compresin conocida, ya que est determinada por la reaccin PBy = , slo determinaremos los esfuerzos internos del tramo AC. Ecuaciones de esfuerzos internos del tramo AC: xA yA

a) Ecuacin de momento flextor para 2

0 : 00 =++ = MvAuAM xyo vAuAM xy =

Pero: ( ) cos1cos == aaau ( )cos1= au senav = senav = Luego:

( ) senaPaPM += cos1 ( )1cos += senPaM (5) b) Ecuacin de esfuerzo de corte para

20 :

Recordemos que: d

dMr

V = 1 (6) Entonces, derivando la ecuacin (5) y reemplazando en (6), tenemos:

a

O

B

a

V

a

u

v

N M

A




18

( ) senPaaV = cos1

( ) senPV = cos (7) c) Ecuacin de esfuerzo normal para

20 :

0= F 0cos =++ senAAN xy ( ) cos+= senPN (8) Grficos:

Ecuaciones vlidas para 2

0 ( ) cos+= senPN ( ) senPV = cos ( )1cos += senPaM

1) Grfico de N : ( ) cos+= senPN

PN

PN

====

2

0

PN

PN

==

==

366,13

366,16

PN == 414,1

4

A B

C P414,1

P

PP366,1

P366,1

(+)

(+) (+)

P

P

(+)

(-)




19

2) Grfico de V : ( ) senPV = cos

PV

PV

====

2

0

PV

PV

==

==

366,03

366,06

0

4== V

(-) P (+) P 3) Grfico de M : ( )1cos += senPaM

0

2

00

====

M

M

PaM

PaM

==

==

366,03

366,06

PaM == 414,0

4

(+)

A B

C

P 366,0 P366,0 0

A B

C Pa366,0

Pa366,0 Pa414,0

(+)




20

Ejemplo N 5 Para la estructura triarticulada cargada como se muestra en la siguiente figura, se pide calcular las reacciones en los apoyos, determinar las ecuaciones de esfuerzos internos y dibujar los grficos correspondientes. Datos: aq, Solucin. a) Clculo de las reacciones. Ecuaciones de equilibrio:

00 =+= xxx BAF 0420 =+= qaqaBAF yyy ( ) ( ) 01494

38320 =+

+= aBaqaaaqaM yA

E

A B

C D

a4

a4

a4 a3 a3

q

E

yB

A B

qaQ 42 =

D

xA

yA

xB

a4

a4

a4 a3 a3

q C

38a

3

4a

qaQ 21 =

a2




21

03

42470 =++ = aqaaAaAM xyD

qaAqaB

y

y

==

62,2

38,3

qaBqaA

x

x

==

92,392,3

Ecuaciones de esfuerzos internos: Debemos determinar las ecuaciones de esfuerzos internos en los tramos AC, CD, DE, y EB. Tramo AC: ( ) __50 ax

De la geometra de la estructura, se deduce que : 53cos = y

54=sen

Adems: =u proyeccin horizontal de x cos= xu xu = 6,0 =v proyeccin vertical de x senxv = xv = 8,0

Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:

06,062,28,092,3

00

=+=+=

x

xyxo

MxqaxqaMuAvAM

xqaM x = 564,1 (1) Esfuerzo de corte:

qadxdMV xx == 564,1 qaVx = 564,1 (2)

Esfuerzo normal: 0cos0 =++= senAANF yxxx qaNx = 448,4 (3)

A xA

yA

O

xV

xM xN

x

AOx =

u

v




22

Tramo CD: ( ) __40 ax Donde :

axqqx 4=

axqQ

8

2= Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:

( ) 03

340 =+++= xyxo MxQxaAaAM

axqxqaqaM x 24

62,282,73

2 += (4) Esfuerzo de corte:

axqqa

dxdMV xx 8

62,22==

axqqaVx 8

62,22= (5)

Esfuerzo normal: 00 =+= xxx ANF qaNx = 92,3 (6)

A xA

yA

x

a3

xq xqxQ = 2

1

a4 xV

xM

xN C O




23

Tramo BE: ( ) __50 ax

Sabemos que : 53cos = y

54=sen

Luego: =u proyeccin horizontal de x cos= xu xu = 6,0 =v proyeccin vertical de x senxv = xv = 8,0


xqaxqaMMuBvBM

x

xyxo

6,038,38,092,3

00

+==+=

xqaM x = 108,1 (7) Esfuerzo de corte:

qadxdMV xx == 108,1 qaVx = 108,1 (8)

Esfuerzo normal: 0cos0 =+= senBBNF yxxx qaNx = 056,5 (9)

xB

yB BOx =

B

O

xV

xM xN

x

u v




24

Tramo ED: ( ) __40 ax


( ) 02

340 =++= xyxo MxQxaBaBM

2

38,354,52

2 xqxqaqaM x+= (10)

Esfuerzo de corte:

xqqadxdMV xx +== 38,3 xqqaVx += 38,3 (11)

Esfuerzo normal: 00 =+= xxx BNF qaNx = 92,3 (12)

Resumen: Tramo AC ( ) __50 ax Tramo CD ( ) __40 ax

qaNx = 448,4 qaNx = 92,3 qaVx = 564,1 a

xqqaVx 862,2

2=

xqaM x = 564,1 axqxqaqaM x 24

62,282,73

2 += Tramo BE ( ) __50 ax Tramo ED ( ) __40 ax

qaNx = 056,5 qaNx = 92,3 qaVx = 108,1 xqqaVx += 38,3

B

yB

x

a3

xqQ =

a4

xV xM q

E

xB

O




25

xqaM x = 108,1 238,354,52

2 xqxqaqaM x+=

Grfico de esfuerzos normales: Grfico de esfuerzos cortantes: Grfico de momentos flextores:

2172,0 qa ( )

B

( ) ( )

282,7 qa

( )+

A

C D E

254,5 qa

( ) a38,3

qa056,5

( ) ( ) ( )

( )

qa448,4

qa92,3

E

A B

C D

qa38,3 ( )

B

( ) ( )+

qa564,1

qa62,2

( )+

A

C

D

E

qa62,0




26

Ejemplo N 6 La estructura cargada como se muestra en la figura, est apoyada sobre articulaciones fijas en A y B. El tramo CE tiene uniones rgidas en C y E y una articulacin D en el centro del tramo. Se pide, calcular las reacciones que se producen en los apoyos A y B y determinar las ecuaciones de VN , y M para el tramo CE . Datos: aq, Solucin:

a) Clculo de las reacciones que se producen en los apoyos A y B Equilibrio del cuerpo libre:

0= xF 0=+ xx BA 0= yF 03 =+ qaBA yy 0= AM 0539 = aqaaBy 3

5qaBy =

a4

E

D C

B A

q

a3 a3 a3

a4

E

D C

B A

q

a3 a3 a3 yB

xB

yA

xA




27

En 0= yF 0335 =+ qaqaAy 3

4qaAy = 0= DM 0232

143 =+ aqqaaBaB xy

16

17qaBx =

En 0= xF 01617 = qaAx 16

17qaAx =

b) Ecuaciones de fuerzas internas para el tramo EC ( x ):

0= xF 0=+ xx BN

1617qaNx =

0= oM 04

362=++ aBxBx

axqxM xyx

4

17363

5 23 qaaxqxqaMx =

==

axqqa

dxdMV xx 123

5 2

axqqaVx 123

5 2+=

a4

E

B

xV

yB

xB

xN

xM xq

O

x




28

Ejemplo N7 La estructura cargada como se muestra en la figura, est empotrada en A y en voladizo en B y D. La unin C es rgida. Se pide determinar las ecuaciones de fuerzas internas y grficos de ( )xxx MVN ,, para el tramo AC. Datos: aq, , qaP 3= Solucin:

a) Equilibrio del cuerpo libre:

b) Clculo de las reacciones en el empotramiento A : Ecuaciones de equilibrio:

0= xF 03 =+ qaAx qaAx 3= 0= yF 08 = qaAy qaAy 8= 0= AM 0853 =+ aqaaqaM A

27qaMA =

a8

D

a3 a5

a5

C B

A

P

q

a8

D

a3 a5

a5

C B

A

AM

a4

qa3

yA

xA

qa8

q




29

c) Ecuaciones de fuerzas internas: TRAMO 1, para ax 50 :

0= xF 0=+ xx VA qaVx 3= 0= yF 0=+ xy NA qaNx 8=

0= oM 0=++ xAMM xAx 037 2 =+ xqaqaMx

273 qaxqaMx =

TRAMO 2, para axa 85 :

0= xF 03 =++ xx VqaA 0=xV 0= yF 0=+ xy NA qaNx 8=

0= oM ( ) 053 =+++ axqaxAMM xAx 0157 22 =+ qaqaMx

28qaMx =

A

AM

yA

x o

xM xN

xV

xA

A

AM yA

x

o

xM xN

xV

xA a5

qa3




30

Grficos:

a5

27qa

qa3 (-)

qa8

qa8 28qa

28qa

qa3

xN xM xV

(+)

(+)

cap 6 fuerzas internas en vigas

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