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5 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.1 INTRODUCCIN Para el estudio de la vibracin de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisin de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos tiles en la comprensin de sistemas dinmicos ms complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solucin de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, as como ser parte de la solucin de problemas con mayor nmero de variables que pueden reducirse a una combinacin de sistemas de un GDL. "Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que slo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posicin del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ] El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente.

Las [ Ref. # ] indican las referencias bibliogrficas listadas al final de cada Captulo.

25.2 MODELOS

CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

SECC. 5.3: ECUACIN DE MOVIMIENTO

3F(t) - k.u = m. (5.2)

La viga simplemente apoyada o el prtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden ser representados aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL).m

Normalmente es ms conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual el equilibrio dinmico puede ser enforzado en cualquier instante aadiendo a las fuerzas externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleracin, m., que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio ser: (Fig. 5.3)

um

k

u

uk

m

k

k

k

F (t ) = F . f (t )

m

k = mgm

um

F (t ) = F . f (t )

uesttico um

uesttico u dinmicoF (t ) = F . f (t )

Fig. 5.1 Sistemas de un grado de libertad (1 GDL)

Posicin Neutra

F

Se han desarrollado, inclusive, mtodos modernos para el anlisis inelstico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta caractersticas fuerza-deformacin inelsticas y multilineales [ Ref. 10 ]. 5.3 ECUACIN DE MOVIMIENTO La ecuacin diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de mltiples maneras: a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio. c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales. d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservacin de la energa del sistema. En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se puede apreciar que la masa est sometida a una fuerza F(t), que vara con el tiempo. El resorte es elstico, as que la fuerza interna es siempre igual al producto de k.u . Ntese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posicin neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 . En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso. La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleracin imprimida. O sea: F = m.a (5.1)

k ( + u est ) = mg + F u est = F / ka) Posicin de Reposo b) Equilibrio Esttico

F(t) - k.u - m. = 0 m. + k.u = F(t) = F.f(t)c) Equilibrio Dinmico

Fig. 5.2 Diagrama de cuerpo libre

ku

&& uku

&& mu

m

&& u F (t )

m

F (t )

&& mu

Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posicin neutra por ello no se incluye el .................. peso

F(t) - k.u - m. = 0 m. + k.u = F(t) = F.f(t)

(5.3) (5.4)

Esta ecuacin relaciona la aceleracin (d 2 u / d t 2), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. Corresponde a una ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solucin da la respuesta del sistema, o sea, la variacin de u con el tiempo. Esta puede ser escrita comoDr. JAVIER PIQU DEL POZO

INGENIERA SISMORRESISTENTE

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

SECC. 5.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

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la suma de la solucin general de la ecuacin homognea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integracin, y cualquier solucin particular de la ecuacin completa o general. Las constantes de integracin se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt) en el origen del tiempo t = to (normalmente to = 0 ). 5.4 VIBRACIN LIBRE Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibracin libre. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibracin. La ecuacin de movimiento es en este caso una ecuacin homognea cuya solucin corresponde a la solucin general de la ecuacin diferencial. En este caso la solucin de:m. + k.u = 0 es u = A sen k k t + B cos t m m

u

uo

Amplitud

u oa) Desplazamiento inicial

u & uo

Amplitud

& uo

(5.5)

b) Velocidad incial

Fig. 5.4 Vibracin libre de un grado de libertad (1 GDL)

Haciendo =

k y los desplazamientos y velocidad iniciales: mu (t = 0) = u 0 & & u (t = 0) = u 0

La Ec. (5.6) da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es peridico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armnico con una frecuencia natural o perodo dados por: Frecuencia natural circular o angular ( ):

Evaluando las condicione iniciales se consigue:u=( & u0

=(5.6) Frecuencia natural ( f ):

) sen t + u 0 cos t

k m

, radianes/segundo (s- 1)

(5.7)

f= Perodo natural ( T ):

1 = 2 2

k m

, Hertz (Hz) o ciclos/segundo

(5.8)

T=

1 = 2 f

m , segundos (s) k

(5.9)

5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

Es til analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples, que tienen una solucin analtica, a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del perodo en la respuesta.

INGENIERA SISMORRESISTENTE

Dr. JAVIER PIQU DEL POZO

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

SECC. 5.5.1: FACTOR DE AMPLIFICACIN DINMICA ( FAD )

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La solucin de la Ec. (5.4) consta de dos partes: la solucin homognea uh, que corresponde a la solucin general de la vibracin libre vista en la seccin anterior; ms la solucin particular, up -que es cualquier solucin que satisface la ecuacin diferencial- y que por lo general corresponde a una que tiene la misma forma matemtica que la funcin excitadora. u = up + A sen t + B cos t (5.10)

La fuerza en el resorte ser 2 F1. Para este caso entonces, la variacin en el tiempo del FAD ser: FAD (t) = 1 - cos t y u = u est FAD (t) (5.14)

Considrese el caso de una fuerza aplicada sbitamente y mantenida indefinidamente. En este caso up = constante. Reemplazando en la ecuacin de movimiento up = F1/k (donde lgicamente F1 es constante). Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo (desplazamiento y velocidad iniciales iguales a cero).u= F1 ( 1 - cos t ) k

Cualquier fuerza aplicada sbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado, como mximo una amplificacin de 2. (Veremos ms adelante sin embargo que cuando la fuerza vara en el tiempo despus de su aplicacin inicial pueden presentarse amplificaciones mayores).5.5.1.A) Pulso Finito.- Si la fuerza mostrada en la Fig. 5.5 es aplicada por un cierto tiempo td , la solucin tiene que obtenerse en dos tramos. Uno hasta que t td y otro cuando t > td. Para el primer caso la solucin anterior es aplicable. Pero cuando t > td ya la fuerza no est actuando y se tiene vibracin libre con las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad que haban en el instante t = td :

(5.11)

En la Fig. 5.5 se observa la variacin de la respuesta con el tiempo. Partiendo de cero, la respuesta alcanzar un mximo de 2F1/k.F1FAD 2

u=u=

F1 ( 1- cos t) k

, para t td (5.15)

F1 F ( 1- cos t d )cos (t- t d )+ 1 sen t d sen ( t t d ) , para t > td (5.16) k k

simplificando la Ec. (5.16): u= F1 [ cos (t - t d ) - cos t] k , para t > td (5.17)

Fig. 5.5 Carga constante. Factor de amplificacin dinmica

El FAD para ambos casos, Ecs. (5.15) y (5.17), con = 2 T , son los correspondientes a las Ecs. (5.18) y (5.19), es decir:FAD = ( 1- cos t) FAD= 1- cos 2 t T

5.5.1 Factor de Amplificacin Dinmica ( FAD )

Una forma conveniente de adimensionar la respuesta consiste en expresarla en trminos de un factor de amplificacin dinmica, FAD en forma resumida. El FAD es la relacin (cociente) entre la respuesta y la deformacin (desplazamiento) esttica que sera causada por F1, o sea:FAD = F u u u = = , u est = 1 F1 u esttico u est k k

, para t td (5.18)

(5.12)

FAD = cos (t - t d ) - cos tFAD = cos 2( t td t - ) - cos 2 T T T

Por consiguiente para el caso anterior, de la fuerza aplicada sbitamente: