cấp tốc chinh phục đề thi trắc nghiệm môn toán - chuyên đề đại số - phần...
TRANSCRIPT
24
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
PHẦN3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ
A - LÝ THUYẾT:I. HÀM BẬC 3: y = ax3 + bx2 + cx + d
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ ∆’ = b2 – 3ac > 0
y
x 0
I
y
x 0 I
y’ = 0 có nghiệm kép⇔ ∆’ = b2 – 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm⇔ ∆’ = b2 – 3ac < 0
y
x 0
I
y
x 0
I
• Hàm số có cực trị khi 03' 2 >−=∆ acb . • Hàm số không có cực trị khi 03' 2 ≤−=∆ acb .
25
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
• Hàm số đạt cực trị tại (x0;y0) thì
==
00
0
)(0)('yxy
xy
• Hàm số đạt cực đại tại x0 thì
<=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì
>=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Hàm số có cực trị nằm về 2 phía của trục tung:
• Hàm số có cực trị nằm về 2 phía của trục hoành:
• Hàm số có cực trị nằm phía trên trục hoành:
• Hàm số có cực trị nằm phía dưới trục hoành:
• Đường thẳng qua cực trị có dạng a
bcdxabcy
9.
92
32 2
−+
−=
−=
2'".9.
91 yyaya
• Hàm số luôn đồng biến khi
≤∆>
0'0
ya
; luôn nghịch biến khi
≤∆<
0'0
ya
• Hàm số đồng biến/nghịch biến trên đoạn có độ dài là d:
( ) 221
221 .4 dxxxx =−+
• Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước:
+ ( ) 221
22121 .4 mxxxxmxx =−+⇒=−
+ 0)(.21 <⇒<< αα faxx
+
=
−=+
=±
acxx
abxx
mxnx
21
21
21
.
.
26
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+
<
>⇒<<
α
αα
2
0)(.21 S
faxx
+
>
>⇒<<
α
αα
2
0)(.21 S
faxx
• Đồ thị hàm bậc 3 luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm.
• Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
• Đồ thị hàm số có điểm uốn tại (x0;y0) thì
==
00
0
)(0)("
yxyxy
• Đồ thị hàm số lồi trên (a;b) thì 0)(" 0 <xy ; lõm trên (a;b) thì 0)(" 0 >xy
• Chứng minh hàm bậc 3 là hàm lẻ, đặt
−=−=
byYaxX
, trong đó (a;b) là tọa độ
điểm uốn.• Qua điểm uốn kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến.• Tiếp tuyến tại điểm uốn có: + Hệ số góc lớn nhất nếu a > 0
+ Hệ số góc nhỏ nhất nếu a < 0• Đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng khi
• Đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số nhân khi
• Phương trình tiếp tuyến có dạng: 000 )).((' yxxxfy +−= (1)
+ Tại tiếp điểm (x0;y0) thay vào PT (1) (Thay vào x0 , y0)
+ Đi qua điểm (x;y) thay vào PT (1) tìm x0
adx
adxxx
xxx−
=⇒
−=
=32
321
2231
..
.
=>∆
00'
uonyy
27
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Song song với đường thẳng d có
−==⇒=++
==⇒+=
BAxfkCByAx
axfkbaxy
)('0
)('
0
0
+ Vuông góc với đường thẳng d: k
xf 1)(' 0−
=
+ Tạo với trục Ox góc α: αTanxf ±=)(' 0
+ Tạo với đường thẳng d góc α: kxf
kxfTan
).('1)('
0
0
+−
=α
• Tìm điểm để từ đó kẻ được n tiếp tuyến với hàm số:
+ Giả sử điểm cần tìm là M(xM;yM)
→ Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
+ ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)'( ) (2)
M Mf x k x x yf x k
= − + =
+ Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′(x) + yM (3) + Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị: ( ) ( )'( ) '( )
f x g xf x g x
= =
hoặc PT bậc 2 có nghiệm kép
• Tìm điểm để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với hàm số vuông góc với nhau:+ Giả sử điểm cần tìm là M(xM;yM) → Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
+ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)'( ) (2)
M Mf x k x x yf x k
= − + = + Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′(x) + yM (3)+ Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
tan
tan
28
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x1).f′ (x2) = –1. Từ đó tìm được M.
• Điểm cố định của đồ thị hàm số:+ Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).+ M(x0; y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m), ∀m (1) + Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:+ Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m
+ Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = , ∀m
⇔ 00
AB
= =
(2a) ⇔ 000
ABC
==
= (2b)
+ Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.
• Điểm mà đồ thị hàm số không bao giờ đi qua:+ Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).+ M(x0; y0) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m) vô nghiệm ∀m (1) + Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
+ Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 vô nghiệm ∀m ⇔ 00
AB
= ≠
(2a)
+ Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = vô nghiệm ∀m ⇔ 2
0004 0
A BCAB AC
= = ≠ ≠ − <
(2b)
+ Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm mà đồ thị không bao giờ đi qua.
• Khoảng cách:+ Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )2 2B A B AAB x x y y= − + − .
29
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + = và điểm M(x0;y0) khi đó ( ) 0 0
2 2,.
Ax By Cd M
A B
+ +∆ =
+.
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: )(xfy =
+ Giữ phần đồ thị trên Ox
+ Bỏ phần đồ thị dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới lên trên
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: )( xfy = + Giữ phần đồ thị phía bên phải Oy+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái Oy+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải qua bên trái
• Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị:
+ A, B đối xứng qua gốc toạ độ O ⇔ A B
A B
x xy y
= = −
30
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ A, B đối xứng nhau qua trục hoành ⇔ A B
A B
x xy y
= = −
+ A, B đối xứng nhau qua trục tung ⇔ A B
A B
x xy y
= − =
+ A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b ⇔ 2
A B
A B
x xy y b
= + =
+ A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a ⇔ 2A B
A B
x x ay y
+ = =
• Biện luận số nghiệm của phương trình F(x;m) = 0.Chuyển phương trình đã cho về dạng f(x) = m, khảo sát hàm số y = f(x) từ đó biện luận số nghiệm của phương trình theo m.
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c. (d) : y = m
c. yCĐ
yCT xA
c.
+ PT bậc 3 chỉ có 1 nghiệm:
(h.1a) (h.1b)
31
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ PT bậc 3 chỉ có đúng 2 nghiệm:
+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm:
+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm dương phân biệt:
f có 2 cực trị (h.2)yCĐ. y CT = 0
f có 2 cực trị (h.3)yCĐ. y CT < 0
f có 2 cực trị yCĐ. y CT < 0xCĐ > 0, xCT > 0a f(0) < 0 (hay ad < 0
32
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm âm phân biệt:
• Ứng dụng GTLN, GTNN trong giải phương trình (PT) và bất phương trình (BPT)Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có
. Khi đó:
+ Hệ phương trình ( )f xx D
= ∈
α có nghiệm ⇔ m ≤ α ≤ M.
+ Hệ bất phương trình ( )f xx D
≤ ∈
β có nghiệm ⇔ M ≥ α.
+ Hệ bất phương trình ( )f xx D
≤ ∈
β có nghiệm ⇔ m ≤ β.
+ Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α.
+ Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β.
f có 2 cực trị yCĐ. y CT < 0xCĐ < 0, xCT < 0a f(0) > 0 (hay ad > 0)
33
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
II. HÀM BẬC 4: y = ax4 + bx2 + c
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0
y
x 0
y
0
y’ = 0 chỉ có 1 nghiệm ⇔ ab > 0
y
x 0
y
0
• Hàm bậc 4 trùng phương luôn có 1 hoặc 3 cực trị.
• Để hàm số có 3 cực trị thì 02
>−
ab
• Hàm số đạt cực đại tại x0 thì
<=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì
>=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.
• 3 cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục tung.
34
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ Tam giác vuông cân: B
BA
xyy
Tan−
=045 hoặc
2
BCAH =
+ Tam giác đều: B
BA
xyy
Tan−
=060 hoặc BCAH
23
=
+ Diện tích tam giác: B
BA
xyy
RcbarpS
.44...
−=== hoặc BCAHS ..
21
=
Chú ý: Cách làm khác là quy đổi mọi hàm bậc 4 về dạng y = x4 - 2a2.x2 (a > 0) khi đó cực trị có tọa độ A(0;0), B(-a;-a4), C(a;-a4). Cạnh đáy BC = 2xB
= 2a, đường cao 4ayyAH BA =−=
• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số
cộng:
=
<>
acb
abac
9100
0;0
2
• Từ 1 điểm thuộc trục tung hoặc từ 1 điểm trên đồ thị kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị thì điểm đó là điểm cực trị (0;c) nằm trên trục tung (trong 3 tiếp tuyến có 1 tiếp tuyến nằm ngang y = c)
• Đồ thị hàm số có điểm uốn tại (x0;y0) thì
==
00
0
)(0)("
yxyxy
• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn lồi khi
≥>
00
ba
; luôn lõm khi
≥>
00
ba
• Đồ thị hàm số lồi trên (a;b) thì 0)(" 0 <xy ; lõm trên (a;b) thì 0)(" 0 >xy
tan
tan
35
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
III. HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT:
dcxbaxy
++
= →
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y
• Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng
−
∞−cd; và
+∞
− ;cd
• Hàm số không có cực trị và điểm uốn.
• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: cdx −
= ;
• Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: cay =
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm
−
ca
cdI ; của 2 đường tiệm cận là tâm đối
xứng. Không có tiếp tuyến đi qua I.
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= tại 2 điểm phân biệt M,
N và cắt 2 tiệm cận của hàm số đó tại A, B thì ta có MA = NB.
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= tại 2 điểm phân biệt M,
N sao cho:
36
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ M, N thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị: 0)(.. >−adfcm ( baxxf +=)( )
+ M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị: 0)(.. <−adfcm
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= tại 2 điểm phân biệt M,
N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. (Tâm đối xứng I thuộc đường thẳng
y = mx + n) + Lập phương trình hoành độ giao điểm → );( 11 nmxxM + ; );( 22 nmxxN +
+ Độ dài đoạn MN: min22
2
.1∆
+=
cmm
+ Thay vi-ét vào (1) rồi tách thành hằng đẳng thức để tìm MNmin
• Tích 2 khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= đến 2
đường tiệm cận là 1 số không đổi và bằng 2cbcad −
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: dcxbax
y+
+=
(hoặc
dcxbaxy
++
= )
+ Giữ phần đồ thị ứng với abx −
≥ (hoặc abx −
< )
+ Bỏ phần đồ thị ứng với abx −
< (hoặc cdx −
< ) + Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên đã bỏ qua trục Ox.
• Tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số:
+ Phân tích ( )( )
P xyQ x
= thành dạng ( )( )ay A x
Q x= + , với A(x) là đa thức, a là số
nguyên.
37
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Khi đó
∈∈
ZyZx
⇔ Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để
Q(x) là ước số của a.
IV. HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT:
→
A.a′ > 0 A.a′ < 0
y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y′ = 0 vô nghiệm
0 x
y
0 x
y
• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: ''
abx −
= ; tiệm cận xiên: 2'''
' aabbax
aay −
+=
[ ]( )lim ; lim ( )x x
f xa b f x axx→+∞ →+∞
= = − hoặc
[ ]( )lim ; lim ( )x x
f xa b f x axx→−∞ →−∞
= = −
38
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm
−−
2''2';
''
aabba
abI của 2 đường tiệm cận là
tâm đối xứng. Không có tiếp tuyến đi qua I.
• Đường thẳng đi qua cực trị của đồ thị hàm số là '
2a
baxy +=
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số ''
2
bxacbxaxy
+++
= tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho:
+ M, N thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị:
0)''().'( >
−−
abfmaa ( cbxaxxf ++= 2)( )
+ M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị: 0)''().'( <
−−
abfmaa
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số ''
2
bxacbxaxy
+++
= tại 2 điểm phân
biệt M, N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. (Tâm đối xứng I thuộc đường
thẳng y = mx + n) + Lập phương trình hoành độ giao điểm → );( 11 nmxxM + ; );( 22 nmxxN +
+ Độ dài đoạn MN:
+ Thay vi-ét vào (1) rồi tách thành hằng đẳng thức để tìm MNmin
• Tích 2 khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= đến 2
đường tiệm cận là 1 số không đổi và bằng 222 '.'
'''.(aaaabbab
+
−
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: ''
2
bxacbxaxy
+++
=
+ Giữ phần đồ thị ứng với ''
abx −
<
39
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Bỏ phần đồ thị ứng với ''
abx −
< + Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên đã bỏ qua trục Ox.
V. DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH:
• Diện tích: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị (C1), (C2).
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:
( ) ( )b
a
S f x g x dx= −∫ x
y
O
f(x
) g(x)
ba
40
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
• Thể tích:+ Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi{(C): y = f(x),y=0,x = a,x = b} quay
quanh Ox được tính bởi công thức:
+ Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi{(C): x = x(y), x = 0, y = c, y = d} quay
quanh Oy được tính bởi công thức:
+ Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y= g(x)
quay quanh Ox (f(x) ≥ g(x), Ɣ “x [a;b])
y
O
f(x)
bax
x
(x)
y
c
d
O