cap1-multimea numerelor reale

Analiza matematica

Nicolae DanetUniversitatea Tehnica de Constructii BucurestiDepartamentul de Matematica si Informatica

Anul universitar 2011-2012c Nicolae Danet 2011

Capitolul 1

Multimea numerelor reale

Avertisment!Aceste note de curs sunt distribuite gratuit numai studentilor din anul

I, seria A, Facultatea Cai Ferate, Drumuri si Poduri din UniversitateaTehnica de Constructii Bucuresti pentru utilizare personala.

Este interzista comercializarea sub orice forma sau asarea pe orice sitea acestui text, fara acordul scris al autorului.

c Nicolae Danet 2011

Pentru multimile uzuale de numere vom folosi urmatoarele notatii:N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} multimea numerelor naturale;N = N\{0} = {1, 2, . . . , n, . . .} multimea numerelor naturale fara zero;Z = {. . .n, . . . ,2,1, 0, 1, 2, . . . , n, . . .} multimea numerelor ntregi;Q =

{mn| m,n Z, n = 0, m, n numere prime ntre ele

} multimea nu-

merelor rationale;R multimea numerelor reale;C = {z = x+ iy | x, y R si i2 = 1} multimea numerelor complexe.

1.1 Multimea numerelor reale

Scopul acestei sectiuni este de a pune n evidenta proprietatile de baza alemultimii numerelor reale. Mai precis:

Multimea numerelor reale R este un corp comutativ total ordonat ncare este adevarata axioma marginii superioare.

n continuare vom explica termenii care apar n armatia de mai sus.

Structura algebrica a lui R

3

4 Capitolul 1. Multimea numerelor reale

Multimea numerelor reale R mpreuna cu operatiile de adunare si denmultire este un corp un corp comutativ. Aceasta nseamna ca oricarear numerele reale x, y, z sunt adevarate urmatoarele axiome:

1. (x+ y) + z = x+ (y + z) (adunarea este asociativa);2. x+ y = y + x (adunarea este comutativa);3. x+ 0 = x (0 este element neutru pentru adunare);4. x+ (x) = 0 (orice numar x are un opus x);(1-4 arata ca (R,+) este un grup comutativ)5. (xy)z = x(yz) (nmultirea este asociativa);6. xy = yx (nmultirea este comutativa);7. x 1 = x (1 este element neutru pentru nmultire);8. Daca x = 0, xx1 = 1 (orice numar x = 0 are un element invers fata

de nmultire);(5-8 arata ca (R, ) este un grup comutativ)9. x(y + z) = xy + xz (nmultirea este distributiva fata de adunare).

Structura de ordine a lui RPe multimea numerelor reale R exista o relatie de ordine notata x y,

ceea ce nseamna x < y sau x = y.Proprietatile unei relatii de ordine sunt:1. Reexivitatea: x x.2. Antisimetria: x y si y x x = y.3. Tranzitivitatea: x y si y z x z.Relatia de ordine pe R este o relatie totala, adica, oricare doua elemente

x, y R satisfac una si numai una din urmatoarele trei posibilitati: x < ysau x = y sau x > y.

Relatia de ordine pe R este compatibila cu operatiile de adunare si n-multire, adica sunt adevarate implicatiile:

4. x y x+ z y + z, pentru orice x, y, z R.5. x 0 si y 0 xy 0.Axioma marginii superioareO multimea nevida A R se numeste marginita superior sau majo-

rata daca exista un numar real a astfel nct x A x a. Numarul ase numeste un majorant al multimii A.

Multimea A R se numeste marginita inferior sau minorata dacaexista un numar real b astfel nct x A b x. Numarul b se numesteun minorant al multimii A.

Multimea nevida A R se numeste marginita daca este majorata siminorata, adica, daca exista doua numere reale a si b astfel ca x A b x a.

Nicolae Danet Analiza matematica 2011-2012

1.1. Multimea numerelor reale 5

Propozitia 1.1.1 O multime nevida A R este marginita daca si numaidaca exista un numar real M 0 astfel ca x A |x| M.

Demonstratie. Daca multimea A este marginita, atunci exista a, b Rastfel ca x A b x a. Denim M = max {|a| , |b|} . Atunci, pentruorice x A, avem

M |b| b x a |a| M.

Deci, |x| M, x A.Reciproc, daca exista M 0 astfel ca x A |x| M, atunci

M x M. Daca notam b := M si a :=M , atunci x A b x a.Deci multimea A este marginita.

Din demonstratie se observa ca M > 0 daca A = {0}.

Denitia 1.1.2 Fie A R o submultime nevida si majorata. Se numestemargine superioara a multimii A si se noteaza supA cel mai mic majorantal multimii A (daca exista).

Sa notam a := supA. Conform denitiei de mai sus numarul real a areurmatoarele doua proprietati:

1) x a, pentru orice x A, adica, a este un majorant pentru A.2) Daca m este un alt majorant al lui A, atunci a m, adica, a este cel

mai mic majorat al lui A.Conditia 2) este echivalenta cu:2) > 0 exista un element x A astfel ca a < x.Este bine de remarcat ca supA poate apartine sau nu multimii A. Daca

supA A, atunci supA se numeste cel mai mare element al multimiiA, sau maximul lui A, si se noteaza maxA. De exemplu, daca A = [0, 1],atunci supA este egal cu 1 si apartine multimii A. Daca A = [0, 1), atuncisupA este egal tot cu 1, dar de data aceasta supA nu mai apartine multimiiA.

Multimea numerelor rationale Q, ca si multimea numerelor reale R, esteun corp comutativ total ordonat. Ceea ce deosebeste n mod esential multimeanumerelor reale R de multimea numerelor rationale Q este faptul ca nmultimea numerelor reale este adevarata urmatoarea axioma, numita axiomamarginii superioare.

Axioma marginii superioare: Orice submultime nevida si majorataa multimii numerelor reale R are margine superioara.

n mod similar se deneste marginea inferioara a unei multimii.



Denitia 1.1.3 Fie A R o submultime nevida si minorata. Se numestemargine inferioara a multimii A si se noteaza inf A cel mai mare minorantal multimii A (daca exista).

Prin urmare, a := inf A daca si numai daca:1) a x, x A, adica, a este un minorant al lui A.2) Daca m este un alt minorant al lui A, atunci m a, adica, a este cel

mai mare minorant al lui A.Conditia 2) este echivalenta cu:2) > 0 exista un element x A astfel ca x < a+ .Daca inf A A, atunci inf A se numeste cel mai mic element al

multimii A, sau minimul lui A, si se noteaza cu minA.

Ca o consecinta a axiomei marginii superioare se poate demonstra urma-toare propozitie.

Propozitia 1.1.4 Orice submultime A R nevida si minorata are mar-gine inferioara si are loc egalitatea

inf A = sup(A).

Demonstratie. Fiem un minorant pentru A. Decim x, x A. Atunci,x m, ceea ce nseamna ca A este majorata. Conform axiomei marginiisuperioare exista sup(A) pe care-l notam cu a.

Vom demonstra ca inf A = a. ntr-adevar, deoarece x a, x A,rezulta x a, x A. Deci a este un minorant al lui A. Fie b un altminorant al lui A, adica, b x, x A. Atunci b x, x A, si cum a =sup(A), rezulta b a, sau b a. Deci a este cel mai mare minorantal multimii A, ceea ce nseamna ca inf A = a, sau inf A = sup(A).

Corolarul 1.1.5 n multimea numerelor reale orice submultime nevida simarginita are margine superioara si margine inferioara.

O consecinta a axiomei marginii superioare estePrincipiul lui Arhimede.

Teorema 1.1.6 (Principiul lui Arhimede) Daca x, y R si x > 0, atunciexista un multiplu ntreg nx al lui x astfel ca

(n 1)x y < nx.

Demonstratie. Consideram multimea A = {mx | m Z} a tuturormultiplilor ntregi ai lui x si presupunem ca y ar un majorant al acesteimultimi, adica,mx y, m Z. Conform axiomei marginii superioare exista


1.1. Multimea numerelor reale 7

a := supA, deci mx a, m Z. Cum x > 0, a x < a, deci a x nu maieste un majorant al lui A (ind strict mai mic dect cel mai mic majorant).Atunci exista un multiplu al lui x, e acesta m0x, astfel ca a x < m0x, saua < (m0 + 1)x, ceea ce contrazice faptul ca a = supA. Prin urmare, existam1 Z astfel ca y < m1x.

Analog, lund inf A, se arata ca existam2 Z astfel cam2x < y. Deoarecem2x < y < m1x si x > 0, rezulta m2 < m1. Examinnd pe rnd perechile(m2,m2 + 1), (m2 + 1,m2 + 2), . . . , (m1 1,m1), gasim un numar ntreg n,m2 n m1, astfel ca (n 1)x y < nx.

Aplicnd principiul lui Arhimede pentru x = 1 se obtine ca pentru oricey R exista un numar ntreg n astfel ca n1 y < n. Numarul ntreg n1se numeste partea ntreaga a lui y si se noteaza cu [y] . Numarul real y [y] senumeste partea fractionara a lui y si se noteaza (y). Atunci orice numar realy este suma dintre partea sa ntrega si cea fractionara, adica, y = [y] + (y).

Corolarul 1.1.7 Daca x, y > 0, atunci exista un numar natural n Nastfel nct nx > y.

Corolarul de mai sus arata ca pentru orice y > 0 are loc egalitatea

inf{yn|n = 1, 2, . . .

}= 0.

Propozitia 1.1.8 Orice interval deschis (a, b) contine un cel putin un numarrational.

Demonstratie. Fie h := b a. Conform corolarului de mai sus, aplicatpentru h > 0 si 1, exista un numar natural nenul n astfel ca nh > 1, de unde

rezulta ca b a > 1n.

Conform Principiului lui Arhimede, aplicat pentru x = 1 si y = an, exista

un numar ntreg m astfel ca m an < m+1, sau mn a < m+ 1

n. Deoarece

m

n a si 1

n< b a obtinem

a 0 exista un interval [an, bn] astfel nctbn an < .

Demonstratie. (i) Deoarece sirul (an) este marginit superior iar (bn)este marginit inferior, conform axiomei marginii superioare, exista x :=

sup{an|n 1}, y := inf{bn|n 1} si x y. Evident, [x, y] n=1

[an, bn].

Vom demonstra n continuare ca aceasta incluziune este o egalitate. Pentru

aceasta presupunem contrariu. Atunci exita un numar real z n=1

[an, bn],

dar z / [x, y]. Fie, spre exemplu, z < x = supA. Conform denitiei mar-ginii superioare exista un termen an astfel ca z < an, ceea ce nseamna ca

z / [an, bn]. Acest fapt contrazice presupunerea facuta ca z n=1

[an, bn].

Deci, [x, y] =n=1

[an, bn]. Daca x = y intervalul [x, y] se reduce la multimea

formata dintr-un singur punct {x}. Punctul (ii) arata n ce conditii se n-tmpla acest fapt.

(ii) Presupunem can=1

[an, bn] = {x} , deci x = y. Fie > 0. Atunci,conform denitiei marginii superioare, exista un termen an1 astfel ca x/2 0 este arbitrar rezulta y = x.

1.2 Multimea numerelor reale extinse R

Denim R := R {} {+}. Pentru simplicare notatiei vom scrie decele mai multe ori n loc de +. Multimea R se mai numeste si dreaptareala ncheiata. Elementele din R se numesc numere reale nite pentrua le deosebi de + si .



Pe R se extind operatiile de adunare si nmutire astfel:Pentru orice numar real x, denim:

a+ = + a =,a = + a = ,

x

=x

= 0.

Daca x > 0, atunci

x =x =, si x () = () x = .Daca x < 0, atunci

x =x = , si x () = () x =.ntre si se denesc operatiile:

+ = , = , = , () () =,

() = () = .Nu se denesc urmatoarele operatii:

, 0 , ,0

0.

Relatia de ordine care exista pe R se extinde pe R punnd

< + si < x < +, x R.Daca = A R, atunci supA se deneste astfel:(i) Daca A nu contine si este majorata supA este denit ca cel mai

mic majorant al multimii A (vezi denitia 1.1.2).(ii) n cazurile contrare, cnd A sau / A si A nu este majorata,

atunci, prin denitie, supA =.Analog se deneste inf A. Prin urmare, n R orice multime nevida are

margine superioara si margine inferioara (nita sau innita).

1.3 Vecinatatile unui punct pe dreapta reala

Fie x0 R. Se numeste vecinatate a lui x0 orice multime V R carecontine un interval deschis (a, b) astfel nct x0 (a, b) V. n particular,


1.4. Probleme 11

orice interval deschis (a, b) care contine pe x0 este o vecinatate deschisa a luix0. Vecinatatile de forma

V(x0) = (x0 , x0 ) = {x R | | x x0 |< }

se numesc vecinatati simetrice deschise ale lui x0.Orice vecinatate a lui x0 contine o vecinatate simetrica deschisa

V(x0). ntr-adevar, e (a, b) este un interval deschis astfel nct x0 (a, b) V . Daca notam cu = min{x0 a, b x0} > 0, atunci avem

V(x0) = (x0 , x0 + ) (a, b) V.

Datorita acestei observatii va sucient n continuare sa lucram numaicu vecinatati simetrice.

Vom nota cu Vx0 multimea tuturor vecinatatilor punctului x0. MultimeaVx0 are urmatoarele proprietati:

1) Daca V Vx0 , atunci x0 V.2) Daca V Vx0 si U V, atunci U Vx0 .3) Daca V1, V2 Vx0 , atunci V1 V2 Vx0 .4) Daca V Vx0 , atunci exista W Vx0 astfel ca y W V Vy.Daca pentru orice punct x al unei multimi X se deneste o multime Vx

de parti ale lui X care verica conditiile de mai sus se spune ca pe multimeaX s-a denit o structura topologica sau o topologie, iar X este un spatiutopologic. Prin urmare, R este un spatiu topologic.

1.4 Probleme

Exercitiul 1.4.1 Determinati daca exista n multimea numerelor reale supA,maxA, inf A si minA pentru multimile de mai jos. Dar n R ?

1. A ={1

n|n 1

}, A =

{(1)nn

|n 1}.

2. A ={(1)nn

+ n|n 1}, A =

{(1)nn

n2|n 1}.

3. A ={(1)nn+ 1

n|n 1

}.




TitluCap1-Multimea numerelor reale

cap1-multimea numerelor reale

Documents