cap10 func exponencial

Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica

266

10

10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL 10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA 10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS 10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES 10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS. 10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Otras funciones de variable real importantes que merecen un capítulo aparte son las Exponenciales y las Logarítmicas. Así como también las propiedades de los logaritmos permitirán resolver otras situaciones, no sólo aquí sino también en otros cursos.


267

83422110

1

2

3

21

418

1

−

−

−

yx

TABLA DE VALORES

xy 2=

OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina y caracterice la función exponencial y la función logarítmica. Represente en el plano cartesiano el gráfico de funciones exponenciales y logarítmicas dadas sus reglas de

correspondencia. Aplique las propiedades de los exponentes y los logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones

exponenciales y logarítmicas.. Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de los logaritmos.

10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función f , de variable real, se la

denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL si y sólo si su regla de correspondencia es de la forma:

Ejemplo 1

Sea xxf 2)( = . Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores Conclusiones:

En la función exponencial xay = donde 1>a , se cumple que: Es una función CRECIENTE Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” (¿QUÉ ES UNA ASÍNTOTA?) IRfDom =)( ( )∞= ,0)( fRg

BASE

EXPONENTE

xaxf =)( donde 10 ≠∧> aa


268

Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no es de la forma básica.

Observe que: ∞=∞2 donde ≡∞ cantidad muy grande; y por lo tanto

0212 ≈=∞

∞−

Ejemplo 2

Tracemos ahora la gráfica de xx

y −=

= 2

21

. Con la ayuda de una tabla de valores

Conclusiones:

En la función exponencial xay = donde 10 << a , se cumple que: Es una función DECRECIENTE Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” IRfDom =)( ( )∞= ,0)( fRg

Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base ea = . Algunas gráficas, empleando esta base son:

( )( )( )( )( )( )( ) 75.03

25.02

5.01

10

21

42

83

32

1

22

1

12

1

02

1

12

1

22

1

32

1

=

=

=

=

=−

=−

=−

−

−

−

yx

TABLA DE VALORES

xx

y −=

= 2

21

xey =

xey −=


269

Considerando definiciones anteriores para estas gráficas, tenemos:

1−= xey

11 −= −xey

11 −= −xey

xey = xey −=

<≥== − 0;

0;xexeey x

xx


270

Ejemplo

Graficar: 321)(

1

−

=

+x

xf

Considere la gráfica de ( ) xy 21=

Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor absoluto. Es decir:

xey −=

1−−= xey


271

Ejercicio Propuesto 10.1 Graficar:

1. 12 −−= xy

2. ( ) 11 −−=

xey

3. 12 −−= xy

4. xy −= 12

5. xy −= 12


272


273

10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

A la función inversa de la función exponencial, definida biyectiva ( +RRa x : ), se la llama FUNCION LOGARITMICA.. Y su regla de correspondencia en su expresión básica es de la forma:

xxf alog)( = donde

10 ≠∧> aa

Con respecto a su gráfica tenemos:

Conclusiones:

La función logarítmica xxf alog)( = donde 1>a

Es una función CRECIENTE

( ) ( )∞= ,0log xDom a . Aquí surge una nueva restricción: 0>x (logarítmo de números negativos no se define) ( ) IRxrg a =log Su gráfica tiene como asíntota al eje “ y ”

En cambio,

10;log <<= axy a

10; <<= aay x

1; >= aay x

1);(log >= axy a

0)1(log =a


274

Esta es una función DECRECIENTE.


275

Si ea = tenemos la función LOGARITMO NATURAL

Si 10=a , tenemos:

Pero la gráfica para ea 1= sería:

xye

1log=

xxy loglog10 ==

xxy e lnlog ==


276

Aplicando definiciones anteriores, por ejemplo desplazamiento horizontal, tenemos: Observemos una grafica interesante: Entonces la gráfica de xy ln= sería:

)1ln( += xy

)ln( xy −=

<−>

==0;)ln(

0;lnln

xxxx

xy


277

Ejercicio Propuesto 10.2 Graficar:

1. ( )xy −= 2log

21

2. ( )xy −= 2log

3. ( )xy −= 2log2

1

4. 2log −= xy

5. 2log2

1 −= xy

Analicemos ahora el siguiente ejercicio: Ejercicio Resuelto

Sea)3log(

)(2

1

xxxf−

= . Hallar su máximo dominio posible.

SOLUCIÓN:

La regla de correspondencia)3log(

)(x

xxf−

= presenta las restricciones:

0)3(0)3log(0 >−∧≠−∧≥ xxx Entonces: Por lo tanto el máximo dominio posible es el intervalo [ ) ( )3,22,0 ∪

Ejercicios Propuestos 10.3 1. Graficar : a) ( ) 12-x 3log)( +=xf ; x>2

b) ( )12log2)( +−= xxf ; x>-1

c) ( ) 1x-2 ln)( +−=xf

2. El rango de la función: R x;24)( ∈−−= xxf es el intervalo:

a) ( )0 ,−∞ b) ( )+∞,4 c) ( )+∞,0 d) ( )4 ,−∞ e) ( )4 ,1−

3. Si f es una función tal que 312)( −+−= xxf , con x∈R, entonces el rango de f es: a) ( ]2,3 −− b) R+ c) ( )+∞− ,3 d) ( )3,−−∞ e) ( )0,3−

4. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es: a) ( )∞,10 b) ( )10,−∞ c) ( )∞− ,10 d) [ )∞,10 e) ( ]10,−∞

[ ) ///////////////////////////// ××××××××××××× 0 1 2 3

O


278

5. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( )( )

( )

>+−≤<−−

−≤−

=01

01121log

xxxx

xxxf

entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) f es sobreyectiva. b) f es biyectiva. c) f es una función decreciente. d) ( ) 43 −=f . e) f es una función impar.

6. Sea ( )

<−≥−=1;11;12

xxxxxf y ( ) xxg 3= , IRx∈ entonces es FALSO que:

a) ( )( ) 11 =fg b) ( )( ) 81 =gf c) ( )( )( ) 81 =gfg d) ( )( )( ) 01 =fgf e) ( )( ) 00 =gf

10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Existen expresiones algebraicas que contienen logaritmos. Para simplificarlas debemos considerar sus propiedades.

1. 01log =a

2. xa xa =log donde 0>x

Ejemplos:

( ) 132 213log 22 ++=++ xxxx para 0132 >++ xx

( ) 1212ln +=+ xe x para 012 >+x

3. xa xa =)(log

4. 1log =aa

5. ( ) [ ]MM aa loglog αα =

Ejemplo : Para calcular 8log2 ; a 8 lo expresamos en término de 2 , para

poder aplicar las propiedades. Es decir: 32log32log8log 23

22 ===

6. ( ) NMMN aaa logloglog +=

Ejemplo: 5log2log)52(log10log aaaa +=×=

7. NMNM

aaa logloglog −=


279

8. Cambio de base aM

Mb

ba log

loglog =

No olvide de justificar todas estas propiedades.

Ejercicio resuelto 1

Despejar “ x ” si )(log21 xy −=

Solución: Poniendo cada miembro como exponente de la base 2

1 y aplicando propiedades,

tenemos

x

xy

y

xy

−=

=

−=

−

21

21

21

)(log

)(log21

21

Entonces: ( )yx 21−=


Despejar “ x ” si xy 3= SOLUCIÓN: Aplicando logaritmo en base 3 a ambos miembros y luego aplicando propiedades,

tenemos ( )3loglog

3loglog

3

33

33

xyy

yx

x

==

=

Entonces yx 3log=


Calcular:

−

+

12516log2

276log

2536log3

3

Solución: Descomponiendo los números en sus factores primos y aplicando propiedades tenemos:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2log5log62log83log62log35log63log62log6

5log62log83log62log35log6)32log(65log62log83log62log35log66log6

5log32log423log2log35log26log23

5log2log29log2log35log6log3

125log16log292log325log36log3

12516log2

276log

2536log3

2

3422

3

=+−−+−+=

+−−+−×=+−−+−=

−−−+−=

−−−+−=

−−

+−=

−

+


280


Si 2log =xa , entonces al SIMPLIFICAR la expresión:

( ) ( ) ayx

xyyx aa log

log31log2log

364

2

−

+ se obtiene:

a) -1 b) -2 c)-3 d) -4 e) -5 Solución: Aplicando propiedades, tenemos:

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) [ ]

4)2(2

log2log3log3loglog6log3log2

log3log3loglog62

log6log4

loglog3loglog2log2

loglog

10loglog

10log

log

3log1log2log

loglog

log31log2log

21

2

364

32

64

10

10

364

−=−=−=

+−−−+=

+−−−+

=

−−

+−

+=

−−+=

−

+

xyxxyyx

yxxyyx

yxxya

yx

a

yx

xya

yxayx

xyyx

a

aaaaaa

aaaaaa

aaaaa

aa

a

aa

a

aaa

aaa

Por lo tanto la opción “d” es correcta. Ejercicio resuelto 5

Despejar ""t en la ecuación

−= wzt

ezxy

2

1

SOLUCIÓN: Una opción sería despejar la exponencial e , para de ahí aplicar logaritmo

−=

−=

−=

−=−

−=

xzyxe

wzt

xzyxe

xzye

exyz

e

zxy

wzt

wzt

wzt

wzt

lnln

lnln

1

1

1

2

2

2

2

2

entonces:

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]xzyxzwt

xzyxzwt

wz

xzyxt

xzyxw

zt

lnln

lnln

lnln

lnln

2

2

2

−−=

−−=

−−=

−−=


281

Ejercicios Propuestos 10.4

1. Al simplificar la expresión algebraica: 0a ; 1 4 33 2 ≠=− yx aa se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que:

a) su pendiente es 4 d) el punto (2,1) pertenece a la recta b) su pendiente es 4/9 e) su pendiente es -4/9 c) la intersección con el eje de las “Y” es 8

2. El resultado de la operación:

+

+

8081log3

2425log5

1516log7 es:

a) log 3 b) log 5 c) 1 d) log 2 e) 0

3. Si 48log3alogy 4log ayxa +== , entonces el valor de: ( )( )

42 3

5 4log

yx

yxa es:

a) 6 + 2 loga 48 b) 2 loga 48 c) 6 − loga 48 d) 0 e) 6 4. Si ,2/37blog ; 4/2log aab == siendo b ∈ R−{1}, a∈R+, entonces

el valor de ,2128log

− abb es: a) a b) 2 a c) 4 a d) 1 e) 1−2 a

5. Si ln 2= 0,693 y ln 3 = 1,099 calcule:

a) ln (1,5) b) ln (48) c) log 9 (24)

6. Para la expresión: ( ) ,12loglog22log +−− yxyx con x,y∈R−{0} una expresión equivalente

es: a) )4/log( yx b) 4log1 y− c) 10 d)

−410log y e) 14log −

y

7. Hallar el 65log si α=3100log y β=2100log

8. Al despejar el valor de "k" en la expresión: kc

ba3

210 = se obtiene:

a)

=ba

ck 2

310 c) 3loglog2a log cbk −−=

b) c 3log b log+alog2 −=k d) c 3log b 2log+alog2 −=k e) c 3log+ b 2logalog −=k

9. Al despejar "n" de la ecuación: nk

kRCM

+=100

1 se obtiene si R>0, k>0, C>0, M>0

a) ( ) ]log100[logloglog

kRkkCMn−+

−= d)

]R logk [logloglog

+−

=k

CMn

b) ( ) ]loglog100 [logloglog

kRkkCMn−+

−= e) ( ) ]2log100[log

loglog+−+

−=

kRkkCMn

c) ( ) ]2log100[logloglog

−−+−

=kRkk

CMn

10. Sea x, y ∈ R. Al despejar y en la siguiente ecuación: ye

xe

xe=

+− )12(

2

se obtiene:

a) y = x + 1 b) y = (x + 2)2 c) y = (x + 1)2 d) y = x2 + 3x +2 e) Elija esta opción si ninguna corresponde a y.


282

Ahora analicemos lo siguiente: Ejercicio Resuelto

Sea

≥<<−+

−≤−

=0;3

01;1

1;)(log

)(21

xxx

xx

xfx

. Hallar la regla de correspondencia de su inversa

y graficar. SOLUCIÓN: A cada regla de correspondencia de f , le encontramos su inversa, estableciendo sus respectivos intervalos de existencia:

1: Para 1);(log21 −≤−= xxy Tenemos:

0;211

1);(log21

≥

−=−

−≤−=

xx

f

yyx

2: Para 01;1 <<−+= xxy Tenemos: 10;11

01;1

<<−=−<<−+=

xxf

yyx

3: Para 0;3 ≥= xxy Tenemos:1;3log1

0;3

≥=−≥=

xxf

yyx

Por lo tanto: Graficando en un mismo plano tanto a f como a su inversa 1−f

≥<<−

≤

−

=−

1;3log10;1

0;21

)(1

xxxx

xx

xf

xy 3log=

1−= xy x

y

−=

21

)(log21 xy −=

1+= xy

xy 3=

)0,1(

)0,1(− )1,0(

)1,0( −

)(xfy =

)(1 xfy −=


283

Ejercicios propuestos 10.5 1. Sea la función de variable real f definida por la regla de correspondencia:

0 x; 1+x0> x; 3)(

≤=

xxf

Entonces, la función inversa de f tiene como regla de correspondencia a:

a)

≤=−

0x ; 1+x-0>x ; x

xf 31 log)( d)

≤=−

1x ; 1-x1>x ; x

xf 31 log)(

b)

≤=−

0x ; 1-x0>x ; x

xf 31 log)( e)

≤=−

1x ; 1-x-1>x ; x

xf 31 log)(

c)

≤=−

1x ; 1+x-1>x ; x

xf 31 log)(

2. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia: ( ) ( )xexxf 2logln2log3 −= ,

entonces la regla de correspondencia de su FUNCIÓN INVERSA es:

a) 22)(1x

xf =− b) 2log)(1 xexf =− c) xxf log)(1 =−

d) 2)(1x

exf =− e) La función f no tiene inversa

3. Sea f: R → R+ una función exponencial y ( ) ,381 =−f entonces la regla de correspondencia de f es:

a) xxf 8)( = b) xxf 3)( = c) xxf 5)( = d) xxf 2)( = e) xexf =)(

4. Dada la función xxf −= 32)( donde x∈R. Entonces la regla de correspondencia de )(1 xf − es:

a) )(1 xf − =2 ln (3-x) b) )(1 xf − = log2 (x) − 3 c) )(1 xf − =− log2 (x) + 3 d) )(1 xf − =log2 (x) + 3

e) )(1 xf − =3 log2 (x) 5. Dada la función ( ) ( )+∞→+∞ ,0,0:)(xf tal que ( ) xxxf log2log)( −+= , entonces la regla de

correspondencia de la función inversa de f es:

a) )(1 xf − =2(10x−1) b) )(1 xf − = ( )1101−x c) )(1 xf − = ( )110

2−−x

d) )(1 xf − = x102 e) )(1 xf − = ( )110

2−x

6. Si se define Rx, 2> x; 12-x2

2 x; 242)( ∈

+

≤−+−=

xxxf ; entonces, la regla de correspondencia de )(1 xf − es:

a) ( )

≤

−+=−

2

1log2)( 21

x ; x-2-2

2>x ; xxf c) ( )

≤

−+=−

2x ; x+2-2

2>x ; xxf

1log2)( 21

b) ( )

≤

++=−

2x ; x-2+2

2>x ; xxf

1log2)( 21 d) ( )

≤

+−=−

2x ; x-2-2

2>x ; xxf

1log2)( 21

e) ( )

≤

++=−

2x ; 2-x+2

2>x ; xxf

1log2)( 21

7. Sea f una función de variable, tal que:( )

−≥−=

11

log)(

x ; 2

-1<x ; xxf

1+x-. De ser posible, encontrar la regla de

correspondencia de su función inversa

8. Sea f una función de variable real tal que 212

21)(

xxf

−−= ; Rx∈ ,entonces la regla de correspondencia

de su función inversa es: a)

21;22

12log2)(1 >−

−=− xxxf b)

21;2

12log22)(1 >

−−=− xxxf

c)21;2

12log22)(1 <

−−=− xxxf d)

21;2

12log21)(1 <

−−=− xxxf


284

e)21;2

12log22)(1 <

−−=− xxxf

9. Sea f una función de variable real , tal que ( ) ( ),1log xbxf +−= , entonces la regla de correspondencia

de su inversa ( )xf 1− es:

a) ( )xf 1− =xb

xb 1+ b) ( )xf 1− =2

1+

−+xb

xb c) ( )xf 1− =xb

xb−1

d) ( )xf 1− =xb

xb−+1 e) ( )xf 1− =

xb

xb+−

1

10. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia

( )( )

≤−−

>−

=−

2;12

21

2;1log1 2

1

xx

xx

xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:

a) ( ) ( )

≥++<+

= 0;1log20;12

21 xx

xxxf b) ( )

( )

≥−+

<+

=

0;21log

0;121

21 xx

xx

xf

c) ( )( )

≥+−

<+

=

0;1log2

0;121

21 xx

xx

xf d) ( ) ( )

≥++<−

= 0;1log20;12

21 xx

xxxf

e) ( )( )

≥++

<+

=

0;1log2

0;121

21 xx

xx

xf

10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en su

expresión funciones exponenciales.

Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación de los ceros de una función, por ejemplo:


Los valores para los cuales: R x; 222)( ∈−= xxxxf , se intercepta con el eje X son: a) 2 y -2 b) 3 y -3 c) 0 d) 1 y -1 e) 4 y -4 SOLUCIÓN:

Igualando a cero, tenemos:

110)1)(1(2

0)1(2

)1(20

220

2

2

2

−===−+

=−

−=

−=

xxxx

x

x

x

x

x

x

xx

Por tanto la opción “d” es correcta.


285

Otras situaciones, serían:


Si x∈R, entonces el conjunto solución de la ecuación ( ) 4 24 1/2-x2x= es: a) {1/2} b) {0} c) {1} d) {-1} e) {-3, 1} Solución: Poniendo 4 en término de 2, tenemos:

( )

130)1)(3(

032

212

22

222

222

2

2

122

122

22

2

2

212

=−==−+

=−+

=−+

=

=

=

−+

−

−

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

Por tanto la opción “e” es correcta. Ejercicio resuelto 3

Sea x∈R. El conjunto solución de: 315)25(2 =+− xx es: a) {0, 1} b) {log5 (1/2)} c) {log5 3} d) {log3 5} e) {log5 2} Solución:

Primero pongamos a 25 en términos de 5: 0355

252

0315252

=−−

=−+−

xx

xx

Luego hagamos el siguiente cambio de variable: ux =5 y resolvemos para “ u ”:

( ) ( )

( )0

2

1262

06252

0352

1

31

2

2

=/

+

/−/

=−−

=−−

uu

uu

uu

Entonces: ( )( )

213

0123

−=∨=

=+−

uu

uu

Ahora regresamos a “ x ” , para lo cual 21535 −=∨= xx

Aplicando logaritmo tenemos: 3log

3log5log3log5log

5

55

55

===

xx

x

, en cambio

Por tanto la opción “c” es correcta.

−=21log5log 55

x NO es POSIBLE


286

Ejercicios Propuestos 10.6 1. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones si el Re=R

a) ( ) 39 5,442=−+ xx

b) 8)4(616 −=− xx

c) ( ) ( ) xx −−=

22162

d) 1=− −xx ee

e) 232 54 ++ = xx f) 7503333 4321 =+−+ −−−+ xxxx

g) ( ) xxx −= 142

h) xxx

eee 12 =− −

2. La suma de las soluciones de la ecuación: R x, 24 1)1( 2∈= −−x ; es :

a) 1/2 b) 1 c) 0 d) -1/2 e) 1/9 3. La SUMA de los valores de IRx∈ , que satisfacen la ecuación: ( ) 0222 01 =+− −xx es: a) -1 b) 1 c) -2 d) 0 e) 2

4. La suma de las soluciones de la ecuación: 0652 =+− xx ee , siendo x∈R, es igual a: a) ln 6 b) ln 20 c) ln 16 d) ln 14 e) ln 8

5. Sea Re=R, entonces la suma de las soluciones de la ecuación: 012 =−− −xx ee es igual a: a) ln 1 b) ln 2 c) 1 d) ln 2 e) ln 2 − ln 2 6. La SUMA de las soluciones de la ecuación 032310143 =+

−+ xx , es:

a) 2

1 b) 0 c)2

1− d) 1 e) 2

7. La SUMA de las soluciones de la siguiente ecuación 4116

4521

=+

+

x

x x es:

a)1 b)0 c)2 d)–1 e)–2

10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Analicemos los siguientes ejercicios.

Ejercicio resuelto 1 Al resolver la ecuación: 3)3log()15log( =−−− xx , se obtiene: a)1 b) 2999/995 c) 299/95 d) 2/95 e) 95/299 SOLUCIÓN: Como todos los logaritmos están en base 10, aplicando propiedades tenemos:

9952999

3

3315log

29999953000100015

10315

1010

3315log

=

=−=−

=−−

=

=−−

−−

x

xxx

xx

xx

xx

Opción “b”.


287


El conjunto solución de la ecuación:

=+

xx 2log2log3log 222 es:

a) {2, -2} b) {2} c) {1/2, -1/2} d) {-2, ½} e) {1/2} SOLUCIÓN:

Aplicando propiedades, tenemos:

( )

41

28

22

2log8log

2log8loglog

2

2log)8(log

22

222

22

=

=

/=/

=

=+

/

/

x

xx

xx

xx

xx

La opción correcta es la “e”

Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con radicales, introducen soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los valores de “ x ” satisfagan el predicado dado.

Ejercicio resuelto 3 Dada la ecuación: ( ) 132log =−xx el valor de “ x “ es: a) log 3 b) log (2/3) c) 2 d) 3 e) No hay valor posible de x SOLUCIÓN:

Poniendo cada miembro como exponente de la base “ x ”, tenemos:

( )

332

132log

==−

=/−/

xxx

xx xx

Opción “d”. Ejercicio resuelto 4

La solución de la ecuación: ( ) 9loglog 10 −= xxx es un valor que se encuentra entre: a)1 y 4 b) 5 y 7 c) 8 y 11 d) 12 y 14 e) 15 y 18 SOLUCIÓN:

Aplicando propiedades tenemos:

( )

1091

910log9log10log

=−=

−=−=

xx

xxxx

Por tanto la opción “c” es correcta.

21

21

412

=

±=

=

x

x

x

21

−=x NO satisface la ecuación original


288


La solución de la ecuación: ( ) 045log425log =+− xx es:

a) x no existe b) x=10 c) x=1/25 d) x=25 e) x=0 Solución:

Haciendo cambio de variable xu 5log= , tenemos: 2

0)2(

0442

2

==−

=+−

uu

uu

Pero, como 25log == xu entonces:25

25

25log5 5

==

=/ /

xx

x

Por tanto la opción “d” es correcta.


Sea Re= R, la suma de las soluciones de la ecuación: 22 )(log)log( xx = es igual a: a) 2 b) 1 c) 100 d) 101 e) −1 SOLUCIÓN: Aplicando propiedades, tenemos: ( )2loglog2 xx = . Haciendo cambio de variable: xy log=

Tenemos:

200)2(

02

22

2

===−=−

=

yyyy

yy

yy

entonces 1

1010

0log0log

==

=

x

xx y

1001010

2log2log

==

=

x

xx

Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción “d” Ejercicio resuelto 7

La suma de los valores de "x" , tal que: 019log21log25 45 =+−+x es: a) -2 b) 3 c) -4 d) 5 e) -6 SOLUCIÓN: Expresando 25 y 2 en términos de las bases de los logaritmos, tenemos:

( )

( )122

01321

019log421

019log41log5

019log

41log25

21

4

4212

5

45

++

=+−+

=+/−+

=+−+/

=+−+

/

/

xx

x

x

x

x


289

Las soluciones de la última ecuación son:

212

211

212,1

2222

2,1

2)1)(4(42

2,1

0122

−−=

+−=

±−=

±−=

−−±−=

=−+

x

x

x

x

x

xx

que al sumarlas se obtiene:

2212121 −=−−+−=+ xx . Por tanto la opción “a” es correcta. Ejercicio resuelto 8

Sea ( ) ( ) 02log2log2log:162

=+

xxxxp , IRx∈ , entonces es VERDAD que:

a) ( ) φ=xAp b) ( ) [ ]10,0⊆xAp c) ( ) ( )∞⊆ ,10xAp d) ( ) ( )xAp⊆10,9 e) ( ) [ ]CxAp 10,0⊆ SOLUCIÓN: Expresando todos los logaritmos presentes, en base “ x ”, tenemos:

( ) 0

16log

2log

2log

2log2log =

+

xxx

x

x

xx

Resolviendo, tenemos:

( )

( )

21

210

0)21)(21(0)41(

04

04

0)41)(1(

)1()41(

0411

:2log

02log41

2log2log1

2log

02loglog

2log

2loglog

2log

2

3

232

2

2

2

411

2

=∨−=∨=

=−+=−

=−

=/−+−/

=−−

−+−

=−

+−

=

=−

+−

=−

+−

vvv

vvvvv

vv

vvvv

vvvvvv

vv

vv

entoncesvSi

xx

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

Las soluciones son 4 y 4

1 , por tanto la opción “b” es correcta.

NOxx x

x

⇒≠=

=

12

02log02log

42

212log

212log

==

=

=

xx

xx x

x

41

12

212log

212log

=

=

=

−=

−

x

x

xx x

x


290


Dado el predicado 1225

34

43:)(

loglog=

+

xxxp y Re=R, entonces es verdad que:

a) Ap(x)= φ b) Ap(x) ⊆ [1, 10] c) Ap(x) ⊆ [-10,10-1] d) ∀xp(x) e) Ap(x) ⊆ [10-1,10] SOLUCIÖN:

Expresando en una misma base, tenemos:1225

43

43

1loglog=

+

−xx luego hacemos cambio

de variable: x

ylog

43

= y reemplazando nos queda:

( )( )

43

34

03443

034

9121612

0144)12(25)12(

0122512

251212

12251

1225

11

3443

2

2

2

1

==

=−−

=/×/

/−

−

=+−

=+−

=+

=+

=+ −

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

Entonces:

101

1010

43

43

34

43

1log

1log

log

=

=

=

=

−

−

x

x

x

x

y

101010

43

43

43

43

1log

log

log

==

=

=

x

x

x

x

Opción “e”. Ejercicios Propuestos 10.6

1. En la ecuación: 34 2loglog 44 =+x el valor de “ x ” que la satisface es: a) 64 b) log (2/3) c) 2 d) 3/2 e) No hay valor posible de x 2. El número de elementos del conjunto solución de la ecuación:

( ) ( ) xxxxx log62log/1log632log ++=−

−+ es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. Sea Re= R y sea el predicado ( ) ( ) ( ) 02log2log12log:)( =+−−−− xxxxp Entonces el conjunto solución de p(x) es: a){−1, 3} b) {−1} c) {3} d) {1} e) {−3}


291

4. El conjunto solución de la ecuación ( )[ ] 01log11log 521

=−++ xxe x es:

a) R+ b) R− {0} c) (−∞,0] d) { 0 } e) φ 5. El conjunto solución de: log (2x−1) − log (x) = 2; x∈ R es: a) R b) R+ c) { −1/98} d) φ e) {1/98} 6. La solución de la ecuaciòn: 3)72(3log)2(3log =+++ xx es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. La suma de las soluciones de la ecuación: 06log105log3log25 35 =+− xx es:

a) 2 b) 33 c) 5 d) 6 e) 10

8. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) ( ) ( ) 130log2log2log −=++− xxx es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

9. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 2222

1log222log +

−=

+ xx

10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 3log210 xxx = es: a)10 b)110 c) 10010 + d) 10100 + e) 1010 +

10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Analicemos los siguientes problemas.

Problema resuelto 1 Una compañía está ampliando sus instalaciones, y tiene opción para escoger entre dos modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente: ( )5,402log3)(1 ++= xxC y ( )560log2)(2 ++= xxC donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos tienen el mismo costo es: a)15 b) 10 c) 20 d) -15 e) -20 SOLUCIÓN: Igualando costos, determinamos el valor de “ x ” buscado:

( )

1040040

54052060)5.402(10560

105.402

560

15.402

560log

23)5.402log()560log()560log(25.402log3

)()( 21

==

−=−+=+

=++

=++

−=+−+++=++

=

xxxx

xxx

xx

xxx

xxxCxC

Opción “b”


292

Los siguientes problemas son modelos de crecimiento y de

decrecimiento exponencial. Problema resuelto 2 (calculadora) La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿ cuándo alcanzará la población los 10 mil millones. SOLUCIÓN: En la siguiente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a año, a partir de 1976.

Año POBLACIÓN ( P ) 1976 0 40 =P mil millones

1977 1 )02.01(02.0 000 +=+ PPP 1978 2 [ ] 2

0000 )02.01()02.01)(02.01()02.01(02.0)02.01( +=++=+++ PPPP 1979 3 ( )30 02.01+P

... ... ... t tPtP )02.01()( 0 +=

Entonces la función ttP )02.1(4)( = nos permite calcular la población del planeta, en miles de millones de habitantes, en cualquier año a partir de 1976. Para hallar “ t ” cuando la población sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos lo

siguiente:

añost

t

t

t

t

t

3.46)02.1log()5.2log(

)02.1log()5.2log()02.1log()5.2log(

)02.1(5.2

)02.1(410

=

=

==

=

=

Un modelo de CRECIMIENTO EXPONENCIAL está dado por la siguiente

función: trYty )1()( 0 += donde ≡0Y valor inicial y ≡r tasa de crecimiento.

0y ( )tryty += 1)( 0


293

Si tuviésemos un modelo de DECRECIMIENTO EXPONENCIAL, su

ecuación sería trYty )1()( 0 −= (¿POR QUÉ?) (¿CUÁL SERÍA SU GRÁFICA?)

Problema resuelto 3 (calculadora) Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 millón y 2 millones, respectivamente. Si el primero aumenta su circulación en un 2% al mes, mientras que la circulación del segundo decrece en un 1% al mes, calcule cuánto deberá transcurrir antes de que las circulaciones sean iguales. SOLUCIÓN: Llamemos )(ty a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos. La información del primer periódico es: 10 =Y y su tasa de crecimiento es 02.0=r . Entonces su

función circulación, es: ttty )02.1(1)02.01(1)( =+= La información del segundo periódico es: 20 =Y y su tasa de decrecimiento es 01.0=r . Entonces

su función circulación, es: ttty )99.0(2)01.01(2)( =−= . Igualando las circulaciones, tenemos: ( ) ( )( )( )

2.23

99.002.1log

2log

2log99.002.1log

299.002.1

299.002.1

99.0202.1

=

=

=

=

=

=

t

t

t

t

t

tt

RESPUESTA: Al cabo de 23,2 meses Problemas Propuestos 10.7 1. (Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña

publicitaria de acuerdo a la fórmula ( ) ( ) t3,1750 −=tV , donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas?

2. Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la función ( ) 3. −= teAxf , donde A es el número inicial de bacterias que hay al tiempo t = 3. Entonces esta cantidad inicial de bacterias se duplicará para:

a) 6=t b)32ln

=t c) 32ln −=t d) 2=t e) 32ln +=t

( ) ( )tt yy 02.102.01 =→+=

( ) ( )tt yy 99.0201.012 =→−= t


294

Misceláneos

1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación ( )

112

2313log3

−=−−

−+−

xx

xx , es:

a) { }0 b) {}1 c)

23 d)

32 e) Φ

2. Sea f una función de variable real, tal que 12)( −= − xxf , entonces es VERDAD que: a) rg ( )∞−∞= ,f b) rg ( )∞= ,0f c) rg ( ]0,1−=f d) rg ( )1,0=f e) rg ( )0,1−=f

3. Sea f una función de variable real, tal que

−≤−−−−≤<−

>=

−

4;4444;

4;2)(

2

xxxx

xxf

x

, entonces la regla de

correspondencia de )(xfy = es:

a)

−≤+−−

<<−−≤≤>

=

−

4;44

04;40;4;2

)(

2

xx

xxxxx

xf

x

b)

−≤++

<<−−≤≤>

=

−

4;44

04;40;4;2

)(

2

xx

xxxxx

xf

x

c)

−≤−−−−≤<−

>=

−

4;4444;

4;2)(

2

xxxx

xxf

x

d)

−≤+−−

≤<−−>−

=

−

4;44

44;4;2

)(

2

xx

xxx

xf

x

e)

−≤−−−−

<<−≤≤−>−

=

−

4;44

04;40;4;2

)(

2

xx

xxxxx

xf

x

4. La regla de correspondencia de la función f

es:

a) xxf 2log)( = b) xxf 2log)( = c) xxf21log)( −= d) xxf

21log)( = e) xxf 2log)( =

5. Sea f una función de variable real tal que 12)( 3 −= −xxf , entonces es VERDAD que:

a) [ )∞= ,1frg b) ( )∞−= ,1fDom c) ( ) )3(31 ff =− d) ( ) )0(631 ff +=− e) 5)3(1 =−f


295

6. La regla de correspondencia de la función f

es:

a) )3(log)(21 −= xxf b) )3(log)(

21 += xxf c) )3(log)( 2 += xxf

d) )3(log)(21 += xxf e) 3log)(

21 += xxf

7. Una de las siguientes reglas de correspondencia corresponde al gráfico adjunto, identifíquela:

a) ( ) 1log2 += xxf

b) 12)( 1 += −xxf

c) ( )1log)( 2 −= xxf

d) 12)( −= −xxf

e) ( ) 12 += −xxf

8. Sea el predicado 13

116

42:)( −

+

+=x

xxp , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es:

a) {}1 b) { }1− c) { }5− d) { }2− e) { }2

9. Si 252log =a y 3

13log =a ; 10 ≠∧> aa . Entonces el VALOR de ( )108log 2a es:

a) 85 b) 6 c)3 d) 4

3 e) 23

10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) xx =2log2 1; >x Es: a) 4 b) 6 c) 2

5 d) 43 e) 3

11. La SUMA de las soluciones de la ecuación ( ) 2

32

3 loglog xx = , es: a)2 b)10 c)8 d)5 e)9

12. El VALOR de “ x ” que satisface la ecuación: ( ) 12logln −=x , es: a)2 b)e c)2e d)22 e)2-e

13. Sean f y g funciones de variable real tal que, 3)( 2 += xexf y xxg 3ln)( = . Entonces la REGLA DE

CORRESPONDENCIA de )( gf es:

a) 3))(( 2 += xxgf ; 0>x b) 3))(( += xxgf ; 0>x


296

c) 39))(( 2 += xxgf ; 0>x d) xxgf 8))(( = ; 0>x e) 33ln))(( += xxgf ; 0>x

14. Sí m=3log4 y n=7log2 ; entonces 21log2 es igual a:

a) ( )12 +nm b) 12 +mn c)2n ( )1+m d) nm +2 e) m+2

15. Sea las funciones de variable real xxf 2)( = y ( ) 2log 22 += xxg y, entonces la regla de

correspondencia de ( ) )(xgf es:

a) ( ) 222)( += xxgf b) ( ) 22log)( 2

2 += xxgf

c) ( ) 2)( 2 += xxgf d) ( ) 12log)( 22 −+= xxgf

e) No es posible encontrar ( ) )(xgf

16. El MAYOR POSIBLE DOMINIO de la función de variable real ( )2

32log)(2

+

−−=

xxxxf

es el intervalo: a) [ )∞,3 b) ( ) ( )∞∪−− ,31,2 c) ( ) [ ]3,12, ∪∞− d) [ )∞− ,1 e) ( ) ( )3,01,2 ∪−−

17. Sea el predicado 0639:)( =−− xxxp . Entonces su conjunto solución )(xAp es:

a) {}1 b) { }2,3 − c) { }2,1 − d) { }2+ e) { }1,1−

18. Una expresión equivalente para )1log(213loglog2 +−+ xxx es:

a)1log

)3log( 2

+xx x

b)1log

3log 2

+xxx

c)1

3log2

+xxx

d)1

)3(log2

+xx x

e)1log

log3log 2

+xxx

19. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia 22)( 1 += −xxf ; entonces la regla de

correspondencia de la función inversa 1−f es:

a) 1;2)1(log)( 21 >−−=− xxxf

b) 1;2)1(log)( 21 −>−+=− xxxf

c) 1;)1(log)( 22

1 >−=− xxxf

d) 2;1)2(log)( 21 >+−=− xxxf

e) 2;1)2(log)( 21 >−−=− xxxf

20. Sean f y g funciones tales que : 221)( −

=

xxf y 2)( += xxg , entonces es FALSO que:

a)43)1()2( −=−+ gf b)

23)1)(( −=−gf c) 0)2)(( =−⋅ gf

d) 1)2( =−

gf e) 3)0)(( =fg

21. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es: a) ( )∞,10 b) ( )10,∞− c) ( )∞− ,10 d) [ )∞,10 e) ( ]10,∞−

22. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( )( )

( )

>+−≤<−−−≤−

=01

0111log

2

xxxx

xxxf

entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( )xf es sobreyectiva. b) ( )xf es biyectiva. c) ( )xf es una función decreciente. d) ( ) 43 −=f . e) ( )xf es una función impar.


297

23. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ( ) xxf −= 2log21 , entonces su

GRÁFICO es:

a) b) c) d) e) 24. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia

( )( )

≤−

>−

= −−

2;121

2;1log21 2

1

x

xx

xf x , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:

a) ( ) ( )

≥++<+

=0;1log20;12

21 xx

xxf

x b) ( )

( )

≥−+

<+

=

0;21log

0;121

21 xx

xxf

x

c) ( )( )

≥+−

<+

=

0;1log2

0;121

21 xx

xxf

x

d) ( ) ( )

≥++<−

=0;1log20;12

21 xx

xxf

x

e) ( )( )

≥++

<+

=

0;1log2

0;121

21 xx

xxf

x

25. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 43log192loglog2 +=x es:

a)–12 b)12 c)0 d)24 e)144


298

26. Si xma =log y yna =log . Entonces la expresión: ( )32log mnm es EQUIVALENTE a:

a)x

yx3− b)

3

22 yx c)2

32 yx − d)x

yx2

3+ e)y

yx 32 −

27. Sea f una función de variable real, tal que 12)( 3 −= −xxf , entonces es VERDAD que:

a) ( )∞−= ,1fDom b)f es decreciente. c)f no es inyectiva. d) f es par. e) ( )∞−= ,1frg

28. Una población de bacterias crece según la fórmula 180 )8(t

PP = , donde 0P es la población inicial y t el tiempo en días. Entonces es VERDAD que, la población se duplicó al:

a) Cuarto día. b) Tercer día. c) Segundo día c) Quinto día e) Sexto día.

29. El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12 % anual. Si el actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 100 unidades es:

a) 51ln

325

=t años b) 51ln

31

=t años c) 2ln32

=t años

d) 2ln43

=t años e) 2=t años

30. La SUMA de las solucio nes de la ecuación ( ) 1log3log =++ xx es: a) 5− b) 3− c) 0 d) 2 e) 3

cap10 func exponencial

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