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DINAMICA DEL MOVIMIENTO

DE RO T ACION-II •

y LA CONSERVAaON DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO ANGULAR.

CAPITULO 13

PROBLEMAS

1.- Un tro~po esti girendo e 30 rev/.eg el rededor de un eje que

for~4 un ingulo de 30 0 con la

kg y su mo.ento de inercia ee

vertic.l . Su •••• e. de 0.50

-" de 5.0 x 10 kg-a. El cen

tro de ma •• se encuentra a 4.0 cm de la punta del pivote.

Si la r otaci6n e. en el sen tid o de la ••• necil la . del relo j

vista desde arriba, ¿cual se r ! la •• gnitud y di recci6n de

l. velocid.d .ngula r de precesi6n?

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-320-

~: w : 30 re v /seg • 60 radianel/seg.

m z O.5kg. -o

5 1< 10

r 4C!J\~4

Soluci6n;

.. •

Sabemos que la magnitud de l a veloc i d ad a ngular d e p r ~ci

ai6n (w ) es: p

(ver Ha lliday , ca? ltulo 13 ejemplo 5).

W ; (lI\gr)/L p

---- --- (1) pero para un cu e rpo rJgido sabe

mo, q", L • , .. = 0.5 • ,. , • o • 1 0- 2 ,. , red/seg . • • • • p ,. 10- 4

5 • • 60

su dirección lerA perpend i cular al plano en el cual gira el

trompo.

Rp td: [Wp

'" 2. 1 rad /seg.

4._ (a) Su poniendo que el electr6n se mueve en una 6rbita c ircu

l~r alrededor del prot6n en un Atomo de hidr6geno, si la

fuer z a centripeta sobre e l elect r 6n es producida por una

fuerta alictrica e2 / 4nC Or2 , sie nd o e la magnitud de la c a r

ga de un elect r ón y de un protón , r el radi o de la órbita.

y [o una constante . demostrar que el radio de la órhita es

" ~lI[ Omv

, si e ndo m la ma, a del electrón y v s u velo c idad.

(b) Supónga se a hora que l a c antidad de movimiento angular

del electrón alrededor del núc leo puede tener solamente va ·

lores que sean múltipl os ent e ro s n d e h/ 2= . siendo huna

constante que se ll am a co n stante de Planc k . Demostrar qu e

la s Gnicas órbi ta s elect r ó n icas pos ibles son aquella s de

rlldi o

" • """,,"~h"c-_ 211 mv

(e) Combinar estos resultados para e liminar a v y demostrar

que las Gni eas 6rbitas para la s cuales se cump len ambos re ·

quisjtos son l a s que t i enen radi os



- 32 1-

, . 0 2C: Oh 2

~ ' .. Po r con sig ui e nte l os radio s peraiti d os s on pro p o~c ion.le s a

lo s cuad r ad os de l o s oúaeros en te r o s n ~ 1 , 2, 3 , et c.

Cu a odo o : 1, r t ien e el ~al~r m5 ~ ?e~U I~ n po ~ibl e qU I es

d e 0.528 x 1 0- 1 0 m.

So l uci6n : ( a) La f ue r za c e o t rIpeta qu e ha cI e l e l e c t r 6n de s

c ribir uoa 6r b i ta de r adi o r , alred e do r dl l pr o t6 n . s :

•• , pero re

•• --- (l )

I g ua lando las .cuacion •• (1) y

(2) : , , r ... /("'II[ omv )

(b) Sa beao. que L z 01'1/2'11

(dato) --- - - (3)

y que L .. r :x p

L .. rpeen 90 0 z r p R ray

r .. (oh )/( 21 aY)

( . )

(c) Eliai nando y de l • • e xp rl. ione a de r ob tenid as e n (. )

y (b) tendrell os:

" , r .. n t. Oh 1<" ae )

6.- En 1913, Miel, Bohr p l .ote6 el po.t~la d o d e q~' un ,is t ea a

aecAnico c ualquiera an rotaci6o con un aoaent o de inercia

1, .olaaante puede tener valores de cantidad de aovialen t o

.ngular que .ean .últi plo s entero s d, u n cierto oúaero -,. 1'1 z 1 .05" x 1 0 joule -aeg. (tste nú.ero es 1 /2W de l.

conatante de Pl.nck h.) [o ot ra s pa labra s ,

L " Iw " nh,

s i e nd o n un número entero positivo cualq ui era o bien cero.



-]22-

Oee imn~ que L est! eua n ti~ado. puesto que ya no puede tener

v~lo r es c ua l e squi era. (a) Demo s trar que este postulado r e!

tringe la energía cinéti c a qu e pueda t ener e l sisteaa en ro

ta c i6n a una se rie de val ore s di scr e t~s . esto es , que la e

ncogIa est! c', an t f7. "d", (b) Co nsidére se el ll~ .. ad o rod ad o l·

rígido , c onsi st ente en una .. a s a m o blig ada 11 girar en un

c i r c ulo de radio r. ,Co n qué ve l oci dad es a ngu l ar es podría

g i rar la _asa s i e l po s tu l a d o fu era cor r e c t o ? ¿Qu é valor e s

de energI a cinética po drI II adqui r irlo

Solud6n:

(a) tn efecto

La energ I a es :

siL=lvE , 1: '" I v 12

oh

:s 011 .. /2

lo que de.uest r a q ue la e ne ri l a de rot a ci6n es un múl ti pl o

entero ( positivo o cero) de (h./ 2) o sea que la e ne r gt a es

t! c\lan ti~a d a .

(b) Sabe.os que L '" I v --- - --- - -- -- (1 )

el .. o~e nto de inerci a serl 1 : .R 2

L • 2

a R w, per o L z ab. de do nd e: ,

v " nh / .. R

l a s v~!locidades angulares que puede tomar 50'1:

2 h /Id ;

La e n ergIa c inéti c a es

La energla es

2 1 w 12 '" h( w)

-- - ---- (2)

, '" "2 oh(

los valor e s que puede to~ar la energla cinlt i ca s erln los

que se obtengan de reea plazar lo s valore s de n '" 1, 2 , 3, -

en la ecuaci6n (2).

1 3 . En un parque de j uego s hay un pequeno carrousel de I¡ pie s

de radio y .. asa 1 2 sluI. tI radio de g iro .s de 3 pi e s.

Un mu c hacho de a a s a t r e a s lugs corre co n velo c i4ad de 10 , pies/seg. tan, ent e a l borde del c arrou sel cua ndo . st e se

e ncue nt r a en r ep08 o , y salta a él. No tomando en cuenta la

fricci6n , cal cul e l a velocidad angular del carrousel y del

rauch e cho.

R = ~ p ies (radi o del c a r r ous el).



-323 -

k r J pie s (r~dio de giro)

" " 12 s1ug (~~sa del carrousel l

B " J slug (masa del aucha cho)

y z 10 pies/seg (ve l ocid a d del lII uc hachol •

Soluci6 n :

!.~ c~nt idad de movi.iento .::ngul~r d'!'l si.t .... se co"nserv~ra

porque no .xiste torque externo sobre .1 . ist •• ~ .

c~n t . de BOV anaular ini c ial : e. de .. ay an¡ula r fí n. l.

pero 1 : "k2

y vI : RW. luelo reeMpl~~ ~ ndo en ( 1) :

2 2 .VR " IIIR w t " k w,

Ro. • • -",r'''--,-- '' O.?? r.d /ae a · aR t Mk

2

Rpta : Iw" O.?? r adIa., .

1~. L. integr~l di tiempo de un ao •• nto de ' rotaei6 n s e ll~ a. ¡a

pulso angular. ' A p~ rtir de f z d!./dt . de aos tr~ r q ue el i a

pul so angular reS\llt~nte IS ¡¡u.l al ca.abi o da 1i1 c a nt idad

Esta ecuaci6p es la ~n'l o¡ a rotaci~

nal del taore .. ~ d . l a cantid~ d d. ao via iento -i"pulso li -

n.al.

Soluci6n:

Sabe mo s que T • dL/dt.

Intagrando tandra.o. :

o d I. K Td t

19 . Una rueda a.tl airando con una v.loeid~d an,u l ar de 500

rey/min e n un Irbol cuyo IIIOlllento da ine r cia •• i n.ilnifi e~~

ta. Una segunda rueda idint ica a l~ pr iaera, y que in i cia!

•• nt . esta a n rapoao , repen tina.en te se .eopla a l aisao Ar

bol. iC ul1 aa l a velocidad an¡ular de l~ eoabi n.eión que

result a al acopla r el ¡rbol y la. do. rued • • ?

Soluci6n:

Por el principio d e eon •• rvaeió n de la ea nt idad da .ovi.i.~

to angular tena.oa :

c . de B . a n¡u la r iniei~l r c. de aovo anau l. r f in.l .



-324':

1 w r (r t 1 )w, .1 o a o pero la r lb (porque las ruedas son

guales.)

Lu e ao : 1 w ; 2 J w. w : w /2 ~ SOO/2 : 'SO rey/seg. a o a o

• Rpta : Iw r 2S0 rev/seg. 1

22. Un bo.~re esti de ~ie e n una pla tafur~a gir8t ória sin ro~a

miento, que es t ! gi ra ndo con uua ~ el oc i d a d d e 1 .0 ~ev/seg ¡

sus b r. ~os eltA ft el t i r ado l y .ostiene una pesa en cada mano·

Con sus &anos I~ ea ta posi c i6n, _1 Momento d. ine r c ia total , del nOMbre y d e la pla t a f o'r_a e s d e 6.0 ka - M S i al a cer-

cal' la. pe sa.

i nercia a 2.0

e l hoabr. disaiRuy e _1 _OMento d_

Lc u' l .s la velocidad a ngul.r re -

s ultante de la pla t a f or.a ?

c inética1

SoludOn:

(a ) c de DOY ang ula D inicial ~ c. de

d e donde w E 1 w /1 • o

(O) " i n" r ._.nto d. _

nera

1•

c inltics

.1

'0'

1 1 , 1

1 , 1 , 0' • , • - , • • , • o o

• 23' jou l as no t o que:

• • 3 • , increMe nt o

reali~. • 1

Rpta :

rad /·_a· • • 1 • o

d. enerila c 1nllti ca

hO/llbre '0 encijer

(a) W E 3 rey/ses .

(h) X • 23 1 joule s

" •

" .. lo.

al . a ni. f inal .

: 6 • 1 /2 • 3 r ev lseg

. er6 ;

2 If) 2 1 (21) 2 - , • 6 •

rad/ees·

i ¡ual q" .1 trabajo

bra~o • 000 , .. pesas.

2~. Una cu"ara ch. , de •••• • , cor re e n sentid o contrar i o a l a s

lIIanecill as del re l oj poi: el borde de \Xl platillo gir atorio ncntado

sobre u n eje vertical de r'd io R y ~o~ento de iQerci a 1 s~

br e apoyos .in roz •• iento. La velocidad d e la cucaracha

(con re laci6n a la Tier r a) e. v , ~ientras que el platillo

gira en el sentido de l as ~ane"ill.e del reloj con una vel~

cidad an¡ular wo ' La cuca racha encue ntra una _igaja de pan

en el borde y , por supu~sto, se d6tiene. ¿C uál es l a vel o-



-325-

cid~d ~ngu la r del platillo despui s de q ue se detiene la cu

caracha? ¿Se conserva la energía?

Solyc i6n :

c. de ~. angular inicial ~ c. de ~ . angular fina!

Ivo

- mil"" Iv t mll 2v __ _______ (1)

.11.211 .... om.nto de ine r cia d e la cucara ch. en reposo . "

Iv III Rv de donde : w • o

~a enerata no se co ns erva porque la c ucara cha ti ene q ue ha

c. r trabajo para ca min a r.

Rpta' v '" ( Iv o no se cons erva.

25, Una part1cula s e dispara hori:tontalment. a lo largo del in

terior de u n cazo simies firi co de r ad io 1" que est! en re po-

so (fig, 13-17 ). Quer.lllos enc~

trar la veloc ida d inicial Vo

que

se requie~e par. que la part1cu

la llegue apenas al bo rde del ca

zo. ~ncontrar a v co.o fun ci6n o

d. g l a posi ci6n angular inicial o

de la partlcula. (Suge rencia: U

tilizar pri ncip ios d. co nservaci6n).

Soluc i 6n: ~a partIcu la se dispara

inicialmente del punto que se .ue~

t r a en la fig . ~a partl c ula al 119

gar al borde te ndr! energta pote n

cial y ciné t ica de r o t aci6n 1 es d.

clr:

1 2 2' IIV

O "

1 2 2 IIIgh t '2 (!!IV R ). pe r o

h: I! s e n (90" gO):RcosgO

mv' ~ r o 1 22

mgR co~ ~ t 2 IIV R --.--- (1)

CO IIO la ca n tidad de movim i e nt o angul a r se conserva' ten d re -

IIOS:

------ (2)



¡;n ('1):

- ] 26-

d-Rs e n 9°

mv Rsen9° o

, ; mR "', de d onde

w ; (v se n 9")/R o

R~empl ll zanüo este va l or " lo eeu ación

1 , • .,R '0 1 , ., •• '"' • ., • • o o

1 v '1 ( 1 , 1 , , ., sen 1iI ") • ., • cos liI • ¡Rcos

o o

• • V (2gR) Icos 'o o

Rpta: • • [ ( '1gR) Icos ,,31/2

o

•

(1) t en e",os;

sen '1 9"

'0. ., donde:

26. Un disco p l a no uniforme de _as a " y radio R gira alr ed edor

de un eje horizontal que pa.a por su centro e on una veloci -

dad angular " o (. ) ¿Cull es su en e rgIa ciniti ca? , Cuil ee

su c antidad de movimiento an gular? (b) Una astilla de ma sa

• se desprende del borde del disco en un instante tal que

l a as tilla se eleva verticalmente so bre el punto en do nde

se rompió (rig. 13- 1 8 ) .

¿A qué al t u ra so bre el pu!!.

to su be a ntes de comenzar

a c aer?

(e) ¿Cu i l es la velocidad

angular final de l di sco ro

t o ? ,Cu i l es la energla

la ca ntidad de mov imi e nt o

angula r finalas?

SoluciÓn:

y

(a) La energla ci né tica ser':

1 K ; '2 1 ,.. 2 =

o o ! ( ,

_reo w

o

H

La cantidad de movimient o angular es:

L ; 1.. '::: 1 MR '1 w o o o 2 °

m; ---



- ]27-

(b) loa astilla al d e sprend e r s e de l !>arde s a le c o n 13 I:liS llla

velocidad qu e t i ene e l disco en ese in s t ant e, o se a :

V 2 " R • o o

La 31tur3 máxima que dlc a nza ra l a astil la serJ : , •• o

2gh , pe r o vf

'" O, lu e go:

2 2 : ("ol! )/2g

(c) Por consid e ra ciones energé t ic a s t e nd r elllos:

Ko '" K1

t Ua

-------- (1)

donde , o

, 2 2 :.. - ( I'I I! " ) , o • es l a e n e rg la ci nética in i cial d e l

disco. , , U ~ mgh '" (m"ol! )/2, es la e n e r gta pot e ncial de la as t illa , "1 s (J

1"1)/2, es la ene r gta cin~ t ic .. del disco despuis qu e

------ (2)

La astílla se puede considera r conoo una particula q u e gira

aLreded o r de O en el moment o en que se desprende , su moaen

to de ine r cia sera :

J '" mR 2 •

Reelllplazando valores en ( 2) obtenelllos:

, , 2 - .R

K1

'" (R2,,~/2)( M /2 - 111 )

y

Reemplazando valores en (1) tenelllos:

, '2 - MR w , 2 •

, • 2 de donde w ~

La c antidad de lIIovilliento angular final s erá:

'" 1 " , , _ III)R 2" o

'" IR2,,: /2 (1'1/2 - .)

•• o

26. En una gran vi a c ircu la r hor'¡'¡¿ontal sin· rozamiento, ce ra-

dio R, estin do= pequena! ~~s~s m y "'. ·o~ libert ad -a



-328-

resbalar sobre la v1a. Entre las dos masas se encuentra a-

pret~d o un resorte, el c ual, sin e~bargo, no .st! fij o a m

ni a H Las dos ma s as se sostienen un idas por medi o de un

hi l o . ( a) 5 1 se rompe el hjlo , el resorte comprimido (que

se supo ne que no tiene masa) dispa r a l a s dos mas as en sen t i

do s opu e stoa; el resorte mismo se qu ed a a trAs o

c ho can c uand o s e vuelven a

en contrar en la via (fig. 13-19).

¿En d6nde ocurre el choq ue? (Us

ted podr! enc o ntrar c onvenient e

e~presar la respuesta en funci6n

d.l Angula que describe m ó " J. (b) Si la energla potencial que

.staba inicialmente almacenada

e n el reeorte era U , ¿c ulnt o o

tiemp o transcurre desde que se

r ompe el hilo hasta que ocurr e

Llls bollls

e l choque? ( e ) Suponiendo que el c hoqu e sea perfectamente

ellstico, ¿en d6 nde vo lverán 11 chocar las bolas después del

choque?

Solución:

(a) Apli c and o el principio de conse r vación de la can t idad

de moy o angular:

c anto de m. angul a r inicial = cant de mov. angular final.

-- ----- - (1 )

de la ecuación ( 1 ) te ndremos:

", ",

, • ..1. "

, K - - - --- (2) •

son las v elocidades t an genci a l e s de las part lc ula s

de que el r esorte s e rompe . S i el ¡ngulo que r ec~

rre m es i, el que recorre la masa H será 2~ _ i, esto es

l o qu e recorre cada uno antes de choc ar. El tiempo que

tardan en recorrer dichas lIIa sa s sus res pectivO; ¡n gulas s e

rA el mislllO , según esto:

, .,



-)29-

• , ", • • -'-::0

211 g de dond e ;

de las ecu a ciones ( 2 ) y (3) o Ltene ~~s : • '¡' M

g ~ ~ radiane s o

(b) El tiu.po que tarda en ocu rri r , 1 ch oque despué s d e qu e

el resorte se r omp e es:

• , ",

. .. ~ 0"'" u

1

e e uaei6n en la c ual c onoc em os g y ~o

( . )

Ca lculemos el valor d e u1

, apliea r .~os e l pr in c ipi o de con

se rva c i 6n de la en e rgla.

, , '" 2 111 U 1 (5)

ne las eeuacion e. (2 ) y (5) obtene mos:

", 20 ,

o .. (M t 111) " . 2

r--j 20 _

H U I ~ m)

aeemplazand o val ores en (4) obtenemo.:

, j2U oK(M

m+ 111) J 2U( Mt ml

o

(e) Si 111 recorre un I ng u10 B . desd •• u pos i ei6n de l primer

ch oq ue , K re eo rrer a un angula 2 - 8 la lII a s a

una nu e va velocidad angular ~ 1 y se pue de ob t en e r

v1

• v1 /R '" BIt

" d.

tendrl

de donde el áng ul o pedid o ser! _.-_ . (1 )

en di cha ecu a ci6n se de seo no een t y v 1

t 1 tje .po t que demora las lIla sas de sde su primer ehoq ue al

segund o s erA :

, " R • _ ______ (8)

do nde v1

y v ] so n lo~ m6dulos de la s vel~cidade s después



- 330--

d~: ~ ri me r c h oq u~ y se pu eden ¡ ¡ ~l lar de :

( • M

" (

, 2M ", ( ,.

" , • • , " • " , • " • • M , • • " • " • 1. u1 (9' --- - -

" • • '" lo e c u ,¡ c i611 " , " r ee mpl a t ol r ,s n , .. v a l o r es d. " , " d, lo e c uol c i 6n ( ó) .

Re e mph t <ln do ,., v a lores o bt en i d o s , m , .. e c ua c i on e s ( 8) , ( 9) e n (1) s e pu. d e en contr ar e ~ va l o r del Ang ulo pedi do.



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