Análisis de Flujo de Carga

Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.001 -2.938 200.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 1.029 -3.427 200.0 20.0 0.0 0.0 0.0 Carga_3 1.009 -13.732 100.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_4 0.893 -23.205 400.0 100.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.050 -0.709 60.0 8.0 500.0 161.3 0.0 Gen_2 1.050 -11.968 50.0 5.0 200.0 174.8 0.0 Slack 1.000 0.000 0.0 0.0 340.1 -22.6 0.0

Flujo en las líneas y pérdidas

--Línea-- -Flujo en la línea- --Pérdidas-- desde hasta MW Mvar MVA MW Mvar Carga_1 Carga_3 134.416 -28.964 137.501 4.205 -2.128 Carga_2 4.336 -41.077 41.305 0.156 -17.693 Carga_2 Carga_4 242.202 86.285 257.113 14.930 64.411 Carga_1 -4.180 23.384 23.754 0.156 -17.693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SlackCarga_1 Carga_2

Carga_4Carga_3

Gen_2

Gen_1

PG

G

G

V0°|V|

|V|

Q

P

Q

P

QP

Q

Dada una red

Mediante resolución de las ecuaciones de flujo de carga

Finalmente en forma directa determino

Presentación del problema

Expresiones fundamentales de la red

Vi

V1

V2

Vn

yi1

yi2

yin

yi0

Ii ...

ij

ij

n

i

nnninn

iniiii

ni

ni

n

i

niniiiiniiii

niiniiiiiii

y

y

V

V

V

V

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

I

I

I

I

VyVyVyVyyyyI

VVyVVyVVyVyI

ij

ii

2

1

21

21

222221

111211

2

1

2211210

22110

Y diagonal la de fuera elementos

Y diagonal la de elementos

:por dados estan elementos sus y

nodal admitancia matriz denomina le se arriba matriz La

.

.

.

.

....

....

....

....

....

....

....

....

.

.

.

.

.

:red una de barras n las para matricial forma en loexpresando

...)...(

:terminos los oreordenand

)(...)()(

n

jjiijijjii

n

jjiijijjii

n

jjijjijiiii

iiii

n

jjijjiji

n

jjiji

YVVQ

YVVP

VYVjQP

IVjQP

i

VYI

VYI

I

1

1

1

*

1

1

i

)(sin||||||

)(cos||||||

:imaginaria e real partes en Separando

)(||||)(||

:potencia la de expresión la en corriente la doSustituyen

:es barra la en compleja potencia La

)(||||

:tenemospolar forma en ecuación esta Expresando

:escribir Podemos

Clasificación de las barras de la red

Las barras son clasificadas generalmente en tres tipos:

• Barra Slack - Es tomada como referencia donde |V| y son especificados, no aporta ecuaciones al algoritmo, si no que una vez calculados los |V| y en el resto de las barras, se calcula Pslack y Qslack :

n

jjiijijjislack

n

jjiijijjislack

YVVQ

YVVP

1

1

)(sin||||||

)(cos||||||

• Barra de carga - o barra PQ, se especifica la potencia activa y reactiva, el módulo y la fase de las tensiones son desconocidas, y se calculan resolviendo el siguiente set de ecuaciones no lineares:

n

jjiijijjii

n

jjiijijjii

YVVQ

YVVP

1

1

)(sin||||||

)(cos||||||

• Barra de generación- o barra PV o barras de tensión controlada, se especifican el módulo de la tensión y la potencia activa, debiendose determinar la fase de la tensión y la potencia reactiva.Los límites de la potencia reactiva son también especificados. Se aplica entonces una única ecuación por barra para el cálculo de la fase de la tensión:

n

jjiijijjii YVVP

1

)(cos||||||

una vez calculadas todas los módulos y fases de las tensiones de todas las barras (o sea convergió algoritmo Newton-Raphson), se calcula Q en todas las barras PV:

n

jjiijijjii YVVQ

1

)(sin||||||

si se viola el límite inferior o superior en alguna/s barras se puede tomar alguna de las siguientes acciones correctivas: 1 - fijar Q=Qlim y liberar la tensión (transformar en una barra PQ) y vuelvo a entrar en el algoritmo N-R. 2 - Aumentar (o disminuir) un escalón porcentual el módulo de la tensión y vuelvo a entrar en el algoritmo N-R).

Datos de entrada para resolver el flujo de carga

% Datos de archivo de entrada tomados del Gross, pag. 244%% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVAr SUCEPTANCIASL Slack 1 0 0 0 0 0 0 0 0PQ Carga_1 1 200 30 0 0 0 0 0 0PV Gen_1 1.05 60 8 500 0 0 0 0 0PQ Carga_2 1 200 20 0 0 0 0 0 0PV Gen_2 1.05 50 5 200 0 0 0 0 0PQ Carga_3 1 100 30 0 0 0 0 0 0PQ Carga_4 1 400 100 0 0 0 0 0 0%%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea Carga_1 Carga_3 0.023 0.138 0.271Linea Carga_2 Carga_4 0.023 0.138 0.271Linea Carga_1 Carga_2 0.015 0.092 0.181Linea Carga_3 Carga_4 0.015 0.092 0.181%%% DATOS DE TRANSFORMADORES% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA TAP Trafo Slack Carga_1 0.0012 0.015 1 Trafo Gen_1 Carga_2 0.001 0.012 1 Trafo Gen_2 Carga_3 0.002 0.024 1

SlackCarga_1 Carga_2

Carga_4Carga_3

Gen_2

Gen_1

PG

G

G

V0°|V|

|V|

Q

P

Q

P

QP

Q

Dada una red

Solución de Ecuaciones Algebraicas No-Lineares - Método de Newton-Raphson

(k)

(k)(k)1)(k

)(

(k)(k)

(k)(k)

)0(

(0))0((1)

(0)

(0)(0)(0))0(

(0)

(0)

2(0)

)0(

2

2(0)

)0((0)

(0)(0)

(0)(0)

x Si

xxx

c

x

)x(c

: Definiendo

Raphson-Newton de algoritmo al identifica ntoprocedimie este de uso Sucesivo

c

x

:ónaproximaci segunda la en resultará inicial estimación la a x Sumando

residuo. el )x(c siendo ,xc

:resultando osdespreciadser pueden

alto orden de terminos los pequeño, muy es xerror el que Asumiendo

...)x(!2

1x)x(

:Taylor de serie en izquierda la de término el oExpandiend

)xx(

:tenemos correcta, solución la de desviación pequeña la es x y inicial, estimación la es x Si

)(

:por dada es ldiemnsiona-uni ecuación una de solución La

kJ

fc

dx

dfJ

dxdf

x

fcdx

df

cdx

fd

dx

dff

cf

cxf

Interpretación gráfica:

C=0

c(0)

x(0)

c(1)

x(1)

J(0)

J(1)

» te6ej1Nombre de la función: 'pol3'Entre la estimación inicial y rango de ploteo [xe xi xf] -> [6 0 6]iter Dc J dx x1 -50.0000 45.0000 -1.1111 4.8889

2 -13.4431 22.0370 -0.6100 4.2789

3 -2.9981 12.5797 -0.2383 4.0405

4 -0.3748 9.4914 -0.0395 4.0011

5 -0.0095 9.0126 -0.0011 4.0000

6 -0.0000 9.0000 -0.0000 4.0000

0 1 2 3 4 5 6

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Búsqueda de la raíz de f(x)=x3-6 x2+9x-4.

. : a denomina se , C

:compacta forma en

.

.

..

....

....

..

..

)(.

.

)(

)(

:matricial forma la en o

...)(

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...)(

...)(

:ordenmayor de terminos los dodesprecian

Taylor, de series en izquierda la de termino el oExpandiend

),...,,(

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

),...,,(

),...,,(

:variables con ecuaciones ahora doConsideran

)0()0((0)

)0(

)0(2

)0(1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)0(

)0(22

)0(11

)0()0(2

2

)0(1

1

)0(

2)0(2)0(

22

2)0(1

1

2)0(2

1)0(1)0(

22

1)0(1

1

1)0(1

)0()0()0(2

)0(2

)0(1

)0(1

2)0()0()0(

2)0(

2)0(

1)0(

12

1)0()0()0(

2)0(

2)0(

1)0(

11

obianamatriz JacJXJ

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

fc

fc

fc

cxx

fx

x

fx

x

ff

cxx

fx

x

fx

x

ff

cxx

fx

x

fx

x

ff

cxxxxxxf

cxxxxxxf

cxxxxxxf

nn

n

n

nnn

n

n

nn

nnn

nnnn

nn

nn

nnnn

nn

nn

Quedando entonces el algoritmo de Newton-Raphson:

)0()0(2

)0(1 ,...,, iniciales valores los estiman Se nxxx

quemayor es X de elemento algún Si

X

X

Jacobiana la calcula Se

)(.

.

)(

)(

C

(k)

(k))()1(

)(1)((k)

)(

)(

)(22

)(11

(k)

kk

kk

k

knn

k

k

XX

CJ

J

fc

fc

fc

*

*El problema se reduce entonces a resolver sucesivos sistemas de ecuaciones lineares.

En Matlab, la solución del sistema de ecuaciones es obtenida

usando el operador de división de matrices \, o sea \ el cual es

basado en factorización triangular y eliminación Gaussiana, mucho más eficiente

que invertir

XJ C

XJ X

J .

Se usa el método de Newton-Raphson para encontrar la intersección de las curvas

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y x2+y2=4

ex+y=1

» te6ej2bEntre el vector estimación inicial [x1; x2] -> [0.5 -1]'Iter DC Matriz Jacobiana Dx x1 2.7500 1.0000 -2.0000 0.8034 1.3034 0.3513 1.6487 1.0000 -0.9733 -1.9733

2 -1.5928 2.6068 -3.9466 -0.2561 1.0473 -0.7085 3.6818 1.0000 0.2344 -1.7389

3 -0.1205 2.0946 -3.4778 -0.0422 1.0051 -0.1111 2.8499 1.0000 0.0092 -1.7296

4 -0.0019 2.0102 -3.4593 -0.0009 1.0042 -0.0025 2.7321 1.0000 0.0000 -1.7296

5 -0.0000 2.0083 -3.4593 -0.0000 1.0042 -0.0000 2.7296 1.0000 -0.0000 -1.7296

1

22xe

yxJ

1

422

ye

yxx

Tenemos entonces dos ecuaciones por cada barra PQ y una por cada barra PV, suponiendo que:Barra 1 - barra SlackBarra 2 a m - barras PQBarras m+1 a n - barras PVExpandiendo en series de Taylor haciendo estimaciones iniciales para |V| y y despreciando los términos de orden elevado, se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineares:

||.

.

||

.

.

||..

||..

......

......||

..||

..

||..

||..

......

......||

..||

..

.

.

.

.

)(

)(2

)(

)(2

)(

2

)()(

2

)(

)(2

2

)(2

)(2

2

)(2

)(

2

)()(

2

)(

)(2

2

)(2

)(2

2

)(2

)(

)(2

)(

)(2

km

k

kn

k

m

km

km

n

km

km

m

kk

n

kkm

kn

kn

n

kn

kn

m

kk

n

kk

km

k

kn

k

V

V

V

Q

V

QQQ

V

Q

V

QQQV

P

V

PPP

V

P

V

PPP

Q

Q

P

P

En forma abreviada:

||43

21

VJJ

JJ

Q

P

El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson es el que sigue:

Para las barras PQEspecifica Pi y Qi

Estima |Vi(0)| y (0) (igual a la slack)

Para las barras PVEspecifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi

Estima (0) (igual a la slack)

Usando los valoresespecificados y estimados Calculo el vector:

)(

)(2

)(

)(2

.

.

.

.

km

k

kn

k

Q

Q

P

P

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iiespk

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iiespk

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iiespk

i

YVVPP

YVVQQ

YVVPP

1

)()()()(.

)(

1

)()()()(.

)(

1

)()()()(.

)(

)(cos||||||

:PV barras las para y

)(sin||||||

)(cos||||||

:PQ barras las Para

Para la barra Slack

Se especifica V y

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iik

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iik

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iik

i

YVVPP

YVVQQ

YVVPP

QP

1

)()()()()(

1

)()()()()(

1

)()()()()(

)(cos||||||

:PV barras las para y

)(sin||||||

)(cos||||||

:PQ barras las Para

: y los devetor el Actualizo

Se calculan los elementos de la matriz jacobiana J1, J2, J3 y J4.

Q

P

JJ

JJ

V\

|| 43

21Se resuelve:

Se actualizan los |Vi| y i :|||||| )()()1(

)()()1(

ki

ki

ki

ki

ki

ki

VVV

Mientras halla algún:|Pi

(k)|> o algún|Qi

(k)|>

convergió

n

jjslackijijjslackslack

n

jjslackijijjslackslack

YVVQ

YVVP

1

1

)(sin||||||

)(cos||||||

PV) (barras a 1 de

)(sin||||||1

nmipara

YVVQn

jjiijijjii

Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV: Si se violó al menos un límite tomo accióncorrectiva y vuelvo al algoritmo

Solución Flujo de Carga Desacoplado Rápido

Para relación X/R alta

P está fuertemente acoplado a y debilmente acoplado a |V|

||||

||

o

||0

0

4

1

4

1

VV

QVJQ

PJP

VJ

J

Q

P

Además considerables simplificaciones a J1 y J4 pueden ser hechas:

)(sin||||)(sin||||||)(sin||||||

:diagonal la de elementos los Para

)(cos||||||

Siendo

2

1,1

1

1

iiiii

n

jjiijijji

n

ijjjiijijji

i

i

n

jjiijijjii

YVYVVYVVP

PJ

YVVP

-QiBii

Siendo Bii la parte imaginaria de los elementos de la diagonal de Y, o sea, la suma de todas lassuceptancias incidentes a la barra i.

iii

i

BV

Q

||P

entonces

|V||V| además ,B típicos potencia de sistemas En

i

i

i2

iii

Q está fuertemente acoplado a |V| y debilmente acoplado a

ijij

jijjij

jiji

jiijji

BV

VYVV

YVV

||P

1|| asumiendo obtenida es ciónsimplifica otra ),sin(||||||P

)( entonces ,0 normal operación de scondicione en

ij )sin(||||||P

:diagonal la de fuera elementos los Para

i

iji

ijij

ijj

i

Bii

ijij

i

iiii

i

BVV

Q

BVV

Q

J

||||

:diagonal fuera

||||

:diagonal

: parasimilar forma En 4

Llegamos entonces a que los sistemas de ecuaciones||

||||4

1

VV

QVJQ

PJP

Se pueden plantear como:

PQ. barras las a solo ientescorrespond los y

PQ yPV barras las a ientescorrespond Y de elementos los de asuceptanci la Siendo

||||

||

''

'

''

'

B

B

VBV

Q

BV

P

Siendo B’ y B’’ constantes, estas pueden ser invertidas una única vez antes de iniciar las iteracionesy luego durante el proceso de cálculo los cambios de |V| y son dados en forma directa por:

||

||

||

1''

1'

V

QBV

V

PB

El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson desacoplado rápido es el que sigue:

Para las barras PQEspecifica Pi y Qi

Estima |Vi(0)| y (0) (1.00)

Para las barras PVEspecifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi

Estima (0) (1.00)

||

.

.||

)(

2

)(2

n

kn

k

V

P

V

P

Determinar B’ y B’’ y en consecuencia [B’]-1 y [B’’]-1

Para la barra Slack

Se especifica V y

Usando los valoresespecificados y estimados Calculo los vectores:

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iiespk

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iiespk

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iiespk

i

YVVPP

YVVQQ

YVVPP

1

)()()()(.

)(

1

)()()()(.

)(

1

)()()()(.

)(

)(cos||||||

:PV barras las para y

)(sin||||||

)(cos||||||

:PQ barras las Para

||

.

.||

)(

2

)(2

m

km

k

V

Q

V

Q

||]''[||

||]'[

1

1

V

QBV

V

PB

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iik

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iik

i

n

j

jk

ik

ijijk

jk

iik

i

YVVPP

YVVQQ

YVVPP

QP

1

)()()()()(

1

)()()()()(

1

)()()()()(

)(cos||||||

:PV barras las para y

)(sin||||||

)(cos||||||

:PQ barras las Para

: y los Actualizo

Se actualizan los |Vi| y i :|||||| )()()1(

)()()1(

ki

ki

ki

ki

ki

ki

VVV

Mientras halla algún:|Pi

(k)|> o algún|Qi

(k)|>

convergió

n

jjslackijijjslackslack

n

jjslackijijjslackslack

YVVQ

YVVP

1

1

)(sin||||||

)(cos||||||

PV) (barras a 1 de

)(sin||||||1

nmipara

YVVQn

jjiijijjii

Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV: Si se violó al menos un límite tomo accióncorrectiva y vuelvo al algoritmo

|| ||

los ActualizoV

Q

V

P :productos los mediante

|| y calculan Se V