cap4 potencial electrico y energia potencial electrostatica

Cuaderno de Actividades: Física II

4) Potencial Eléctrico y Energía Potencial

Electrostática

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 46


4) 4) PotencialPotencial EléctricoEléctrico, V, V

V V àà CAMPO ESCALARCAMPO ESCALAR

4.1)4.1) DefiniciónDefinición dede potencialpotencial dede unauna cargacarga puntualpuntual

La diferencia de V,La diferencia de V, , entre los puntos A y B, será igual al trabajo, entre los puntos A y B, será igual al trabajo cuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, porcuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, por unidad de carga de prueba.unidad de carga de prueba.

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

P

0qq0

A BV V

A BEXT EF F

r

47


: Definición operacional del E

: Vector unitario en la dirección radial.



Generalizando para una carga q colocada en Generalizando para una carga q colocada en ,,

4.2)4.2) PotencialPotencial parapara diversasdiversas distribuciones distribuciones dede cargascargas

Extendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresiones Extendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresiones para distribuciones discretas y continuas,para distribuciones discretas y continuas,

i) i) DistribucionesDistribuciones DiscretasDiscretas: n q: n q



ii) ii) D.D. ContinuasContinuas: : , , y y


P

1q

iqnq

ir

r

dq

P

50


4.3) 4.3) LugaresLugares equipotencialesequipotenciales

i)i) SuperficiesSuperficies equipotencialesequipotenciales

Son regiones del RSon regiones del R3 3 donde el V se mantiene constante.donde el V se mantiene constante.

j) Volumétricosj) Volumétricos

Volumen AVolumen A V=cteV=cte

jj) Superficialesjj) Superficiales Plano APlano A V=cteV=cte


Q

51


jjj) Linealesjjj) Lineales Líneas ALíneas A V=cteV=cte

*El E es perpendicular a las superficies equipotenciales.

ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ii) Equipotenciales asociadas a ciertas

i)i) àà q q


SE

E

à CASACARONES ESFERICOS

kqV

R

r R

52


ii)ii) àà D. Discretas D. Discretas

¿? Podría obtener las ecuaciones generales de las SE.

iii)iii)

iv)iv)


E

Superficie Equipotencial

Superficie Cilíndrica

E

53


v)v)

4.4) 4.4) RelaciónRelación entreentre

1º1ºàà

2º2ºàà

AplicacionesAplicaciones


E

//Planos

Superficie Equipotencial

r

q

54


S21P1)S21P1) Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga: Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga:

a)a) Halle la carga total.Halle la carga total.b)b) Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.c)c) Halle el Halle el EE y úselo para determinar el V en cualquier posición y y úselo para determinar el V en cualquier posición y

grafíquelo.grafíquelo.

SoluciónSolución::


IE

IIE

rR

R da

55


ArgumentaciónArgumentación::

àà Continuidad del VContinuidad del V:

à



4.5)4.5) EnergíaEnergía potencialpotencial electrostáticaelectrostática, ,

La ELa Epe pe se puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luegose puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luego

de constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar elde constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar el sistema de cargas.sistema de cargas.

Para un sistema qPara un sistema q11,q,q22,r: ,r:

En general,


EXT EF F kqQW W q V

R

Q q r

0

0

Q q

r

Inicio

fin

1q

1r

2r

2qd

57


EEpepe parapara ciertasciertas distribucionesdistribuciones dede cargacarga

i)i) Distribuciones DiscretasDistribuciones Discretas

Caso n=4


iq

E1 E3E2 E4

1q1q 1q 1q

1q

2q2q2q

2q

3q 3q

4q

3q

4q

58


ii)ii) Distribuciones ContinuasDistribuciones Continuas

Para el volumen: Para el volumen:

Para el área: Para el área:

Para la longitud: Para la longitud:

4.6)4.6) Dipolo eléctrico, Dipolo eléctrico,



AISLANTEAISLANTE

DefiniciónDefinición dede dipolodipolo eléctricoeléctrico

Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del momento dipolarmomento dipolar,, , de un de un sistema de cargas.sistema de cargas.

Para el caso de Distribuciones Discretas:Para el caso de Distribuciones Discretas:


+-

+-

+-

+-

+-

+-+

-

+-

+-

+-

+-

+-

+- +

-

,P p

---

---

60

-


Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:



i) Potencial eléctrico del dipoloi) Potencial eléctrico del dipolo

àà “P muy lejos a ” “P muy lejos a ”


1 2r r

q q

r

r r

r

q q

P

d

62


en mejores coordenadasen mejores coordenadas



ii) Campo eléctrico del dipolo,ii) Campo eléctrico del dipolo,


p

r

E

r

p

64


iii)iii) Energía de InteracciónEnergía de Interacción

àà Energía para formar el dipolo en ese campo y posición.Energía para formar el dipolo en ese campo y posición.

iv)iv) Fuerza sobre un p en una región de EFuerza sobre un p en una región de E


pE

65


v)v) Torque sobre un p en una región de ETorque sobre un p en una región de E


EpF

66


Aplicaciones:


pE

r

67


S2P17) Un volumen esférico de radio R0 está lleno con carga de densidad uniforme . Supongamos que dicha esfera se construye, capa por capa, a partir de una esfera de radio r, a) ¿Cuál es la carga total en este estado?, b) Seguidamente añada una capa infinitesimal delgada de espesor dr. ¿Cuánto vale el trabajo dW efectuado en trasladar la carga de esta capa desde el infinito hasta el radio r?, c) Finalmente realice una integración desde r = 0 a r = R0 para calcular el trabajo total, ¿Cuál es la energía total asociada al sistema?, expréselo en función de la carga total Q y del radio de la esfera R0.

Solución:

A) Por superposición de capas: forma distinguible.


Q

q q +dq dr r r R0

68


B) Usando la Ec general: forma indistinguible



S2P38) Determine el V en el eje de un anillo de radio R y densidad


Z P z d

0 y R

x dq

70


;

S2P39) Una partícula de masa m y carga – q se coloca en el centro de un anillo cargado uniformemente, de radio a. El anillo tiene una carga total positiva Q y la partícula está confinada a moverse en el eje del anillo (X). Si se desplaza una pequeña distancia x de su posición de equilibrio a lo largo del eje (x << a) y luego es soltado, demuestre que la partícula oscilará con MAS y halle la frecuencia de oscilación.

Solución:



A) Usando Epe

La Ep para formar el sistema Anillo-carga,

Aplicando la condición,

B) Usando fuerza eléctrica



dFx dF cos

(solo interesa fuerza hacia la izquierda)

Distribución contínua de carga


Z Y dq

d x -q X

73


x << a



S2P21) Calcule la energía que se requiere para hacer el arreglo de cargas que se observa en la figura, donde a = 0,20, b = 0,40 m y q = 6C.Deducir las expresiones que usará.

SOLUCION:

Ep,el =?

a)


+q -2q

a

+2q b +3q

q1 q2 a

q4 b q3

q1 a

b

75


* w1 = 0

*


q1 q2

a

b

q1 q2

a

b q3

q1 q2

a

q4 b q3

76


b) *

*

*

*


a S

b

77


S2P27) La esfera de radio “a” constituye un sistema de cargas con densidad volumétrica = 0 r. Se encuentra rodeada concéntricamente por un cascaron metálico de radio interno “b”.a) Calcule el potencial eléctrico en r = a/2b) Si se conecta el interruptor S, ¿Cuál es el nuevo potencial en r =

a/2?

SOLUCION:

a) s V( r = a/2) = ?

(4): E4 =? LG

(3): E3 =0 V3 (r) = cte LG


E3 =0 s q (r) +Q -Q +Q E1 E2 E4 0 a b c r (1) (2) (3) (4)

78


Debido a la continuidad del V,

r = c; V (r = c) = V3 = V4 (r = c) =

(2):

(1): E1 (r) =? LG

V1 (r) =?

Por continuidad del V,



b) s V( r = a/2) = ?

En estas condiciones la carga +Q externa es neutralizada por “tierra”, alcanzando el cascaron potencial cero.

(4): E4 =0 LG , debido a la continuidad del V,

(3): E3 =0 V3 (r) = 0

(2):

(1): E1 (r) =? LG

V1 (r) =?

Por continuidad del V en



S2P35) Usando la ecuación: , r >> a, demuestre que las

superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico son descritas por la ecuación r2 = b cos donde b es una constante.

SOLUCION:

S E: V = cte


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